一種單參變量Bernstein序列及其在含變分?jǐn)?shù)階非線性邊界值問題中的應(yīng)用

王春秀，周星德，方立雪，金奕潼，石賢增

（1.河海大學(xué) 土木與交通工程學(xué)院，南京 210098；2.合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院，合肥 230009）

分?jǐn)?shù)階微積分也稱為非整數(shù)階微積分，當(dāng)階次為常數(shù)時，稱為常分?jǐn)?shù)階，當(dāng)階次為函數(shù)時，稱為變分?jǐn)?shù)階，對于許多材料（如鹽巖、聚合物等）來講，其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系采用分?jǐn)?shù)階描述更為合理[1-2]，相應(yīng)的變分?jǐn)?shù)階振動控制研究漸漸興起[3-4]。振動控制從本質(zhì)上來講是求解一個邊界值問題。有關(guān)非線性邊界值問題的研究成果較多，但含分?jǐn)?shù)階的非線性邊界值問題（nonlinear boundary value problems，NBVP）研究還較少，目前主要有三種處理方式:其一，采用線性逼近的方式，Jia等[5]分別采用準(zhǔn)牛頓法和簡化復(fù)制核方法把含分?jǐn)?shù)階的NBVP近似為線性系統(tǒng)，通過迭代方式獲得逼近解，其中，分?jǐn)?shù)階階次為常數(shù)，且計算量偏大；其二，對分?jǐn)?shù)階進(jìn)行近似處理，即把分?jǐn)?shù)階用整數(shù)階多項式近似表示，進(jìn)而變?yōu)槠胀ǖ腘BVP非線性邊界值，然后通過常規(guī)的數(shù)值方法進(jìn)行求解，Matteo等[6]根據(jù)廣義微分變換法把RL分?jǐn)?shù)階變?yōu)楦唠A整數(shù)階表示，進(jìn)而解出NBVP的解，但由于高階微分的出現(xiàn)，提供足夠的邊界值是較為困難的；其三，通過攝動法求解，即對非線性部分采用假設(shè)解可以按小參數(shù)展成冪級數(shù)，可得各級近似方程，進(jìn)而對級數(shù)進(jìn)行截斷得到原方程的漸進(jìn)解[7]。

對于含分?jǐn)?shù)階的NBVP，目前研究側(cè)重于通過重構(gòu)的方式把分?jǐn)?shù)階近似表示為整數(shù)階多項式形式，諸如移位或加權(quán)Jacobi多項式[8]、Chebyshev多項式[9]、Bernstein多項式[10-12]等，由于分?jǐn)?shù)階，尤其是變分?jǐn)?shù)階，其表達(dá)式復(fù)雜，采用常規(guī)的正交多項式逼近需要項數(shù)較多，可采用改進(jìn)多項式，如加權(quán)Jacobi多項式、超Bernstein多項式等，其處理方式就是在原多項式定義的基礎(chǔ)上，引入?yún)⒆兞恳约铀偈諗?。Hassani等[13-14]提出的超Bernstein序列（transcendental Bernstein series，TBS），其n+2維多項式構(gòu)造如下:引入n個參變量，前二項為恒定項，從第三項始，每一項都表示為n個參變量的函數(shù)。這種模式對問題的求解無疑是有利且精度較高，但計算難度較大。此外，在目標(biāo)函數(shù)求解方面，目前多采用含變分?jǐn)?shù)階的NBVP表示為積分形式，附加邊界值約束，變?yōu)楹s束的優(yōu)化問題，由于非線性的存在，較大可能會出現(xiàn)多解現(xiàn)象，且優(yōu)化難度也較大。

針對上述存在缺陷，本文以含變分?jǐn)?shù)階的非線性邊界值問題為研究對象，提出一種單參變量Bernstein序列（single Bernstein sequence，SBS），即，從Bernstein序列第三項始，每一項附加一個參變量。相對于TBS，雖然引入的總參變量個數(shù)不變，但Bernstein基將變簡單，相應(yīng)的計算難度也會下降。此外，對于含約束的優(yōu)化問題，若采用諸如拉格朗日乘子法，求解較為困難。為此，本文采用高斯勒讓德積分近似目標(biāo)函數(shù)，仿真結(jié)果顯示此種處理方式可減少優(yōu)化計算量，且可滿足計算精度要求。具體過程如下:首先，引入單參變量構(gòu)造SBS，進(jìn)而把變分?jǐn)?shù)階項轉(zhuǎn)換為SBS為基的多項式表示；其次，對于含積分的目標(biāo)函數(shù)，用高斯勒讓德積分近似表示；再次，考慮到非線性優(yōu)化時存在多解現(xiàn)象，引入遺傳算法以期同時獲得所有次優(yōu)解，進(jìn)而以次優(yōu)解作為初始值，采用MATLAB優(yōu)化模塊獲得最優(yōu)解；最后，給出了二個仿真實(shí)例，結(jié)果顯示本文方法求解的精度與超Bernstein多項式一樣，且均比采用同樣維數(shù)的Bernstein多項式精度高。

1 含變分?jǐn)?shù)階邊界值問題及Bernstein多項式

設(shè)含變分?jǐn)?shù)階NBVP為

式中:G（·）為非線性算子；α，a，b，c，f均為時變參數(shù)；τ為時間t的函數(shù)，并且假設(shè)在[0，1]區(qū)間二階可微；1＜α＜2；u0，u1分別為兩端邊界值參數(shù)；為在Caputo定義下的變分?jǐn)?shù)階微分，表示為

當(dāng)u（t）=tm時，

m次Bernstein多項式（Bernstein polynomials，BP）的通項為

2 單參變量Bernstein序列

本文提出的單參變量Bernstein序列，是在Bernstein多項式的基礎(chǔ)上，引入?yún)⒆兞縮i，其通項為

這里需要注意的是，不同于Hassani等提出的TBS，本文提出的SBS，從第三項起，每一項均包含1個參變量。

以i=4（m≧4）為例:

SBS

TBS

其中，

有關(guān)SBS收斂性證明如下:

定理1假設(shè)μ是函數(shù)J在Cn[0，1]內(nèi)的最優(yōu)解，若μn是J在Cn[0，1]∩Y內(nèi)的最優(yōu)解，則有[15]

定理2假設(shè)g（t）∶[0，1]→R是一個連續(xù)函數(shù)，對于任意t∈ （0，1）且 ε＞0，存在一個SBS，使成立。證明如下:

給定一個任意數(shù)ε，利用維爾斯特拉定理[16]，通過多項式有

因此，此處令

構(gòu)造一個實(shí)數(shù)數(shù)列{si，n}，當(dāng)n→∞時，參變量si，n→si，這就說明，當(dāng)n→∞時，tsi，n→1/ci，其中ci=（i！ （mi）?。?（m！ （1-t）m-i）。 對 于 任 意 的 ε＞0， 有

存在v=max{N0，N1，…，Nm∈N}， 使

證明完畢。

3 數(shù)值算法

以SBS為基函數(shù)，u可近似表示為

式中:CT=[c0c1…cm]為待定常數(shù)；Sm（t）=[1 t S2，m（t）S3，m（t）…Sm，m（t）]T。

對于Sm（t）的變分?jǐn)?shù)微分根據(jù)式可近似為矩陣形式，為

同理，對于Sm（t）的一階微分，可近似表示為，其中為

根據(jù)變分?jǐn)?shù)階和一階微分表示，可以得到下列展開式

將式（9）代入式（1），得

目標(biāo)函數(shù)定義為

也可以取目標(biāo)函數(shù)為

其中，

優(yōu)化的約束條件為式（1）中的邊界條件，為

目標(biāo)函數(shù)J1計算相對簡單，但在優(yōu)化過程中，由于絕對值的存在，err曲線會出現(xiàn)尖點(diǎn)，優(yōu)化時可能出現(xiàn)奇異，適合于不太復(fù)雜的非線性邊界值問題；目標(biāo)函數(shù)J2計算較為復(fù)雜，但在優(yōu)化過程中，err曲線不會出現(xiàn)尖點(diǎn)，優(yōu)化時出現(xiàn)奇異概率較小，適合于較為復(fù)雜的非線性邊界值問題。

采用拉格朗日乘子法求解非線性邊界值較為困難，因此，本文采用（q+1）點(diǎn)高斯勒讓德積分形式對式（11a）、式（11b）進(jìn)行簡化

式中:δk為勒讓德多項式的零點(diǎn)；wk為相應(yīng)的權(quán)值。

4 遺傳算法

考慮到非線性優(yōu)化時存在多解現(xiàn)象，而常規(guī)優(yōu)化得到的最優(yōu)解往往與初始值相關(guān)，為避免漏失最優(yōu)解，本文引入遺傳算法以期同時獲得所有次優(yōu)解，進(jìn)而將次優(yōu)解作為初始值代入MATLAB優(yōu)化模塊獲得所有最優(yōu)解。

考慮到本文優(yōu)化約束中含有自變量，把其作為個體，在遺傳算法中，只能先確定自變量所在區(qū)間[d，e]，

但這個區(qū)間不易確定，可以先選擇大的范圍，根據(jù)優(yōu)化結(jié)果來縮小區(qū)間。在個體產(chǎn)生方面，為簡化計算，此處，直接采用十進(jìn)制數(shù)產(chǎn)生，為

式中:Rand為介于0～1的隨機(jī)數(shù)；pi為第i個自變量。

交叉和變異均采用式（15）產(chǎn)生新的個體，適應(yīng)度取

5 算例分析

本章將通過兩個算例證明上述所提算法的精確性和可行性。在ti∈[0，1]上的絕對誤差值定義為

例1

其中，

采用m=3的SBS為基函數(shù)，以式（11a）作為目標(biāo)函數(shù)形式，通過5點(diǎn)高斯勒讓德積分方法對該問題進(jìn)行近似。

其中，c0，c1，c2，c3和s2，s3均為未知量。

由hij組成的系數(shù)矩陣H可表示為

因此，近似解可表示為u（t）≈CTS3（t）。

根據(jù)式（7），變分?jǐn)?shù)階微分算子矩陣中K為

根據(jù)式（8），一階微分算子矩陣中Z為

式（14）表示的邊界條件為

根據(jù)以上計算可得到本例的目標(biāo)函數(shù)

其中，

利用遺傳算法，初始時各未知變量取值區(qū)間為[-300，300]，可以通過優(yōu)化結(jié)果來縮小各個變量區(qū)間。所有變量的初始群體均為200，考慮到遺傳算法的優(yōu)化結(jié)果僅僅作為采用MATLAB優(yōu)化的初始值，這里，誤差取為2.0，限于篇幅，此處僅列出m=3時各變量最終取值范圍:s2為[-20，20]，s3為[-1，1]，c1為[-0.5，0.5]，c2為[-1，1]，根據(jù)邊界條件可知c0=0，c3=1-c1。由遺傳算法得到的部分結(jié)果（見附表1）確定MATLAB優(yōu)化模塊中所需要的初值，此處取初值為:s2=0.550 6，s3=-0.612 9，c0=0，c1=-0.081 1，c2=-0.050 1，c3=1.081 1從而得到未知參變量最優(yōu)解

表1 不同m值SBS和BP的絕對誤差Tab.1 The absolute errors of SBS and BP to different m

為了對比分析，筆者還用同樣的優(yōu)化方式求解該例題在BP基函數(shù)下的近似解。當(dāng)t在[0，1]內(nèi)時，取不同的m值，通過SBS方法和BP方法求得的近似解與精確解的絕對誤差情況見表1。使用BP法時產(chǎn)生的絕對誤差曲線見圖1（m=3（圖1（a））、m=5（圖1（b））。結(jié)果表明，在SBS方法下的結(jié)果比使用BP方法精確度更高。

圖1 采用BP近似時的絕對誤差Fig.1 The absolute errors when using BP approximation

例2變分?jǐn)?shù)階非線性Troesch邊界值問題

當(dāng)α=2時，精確值在文獻(xiàn)[17-18]中給出。針對不同的m和α值，以式（14b）作為目標(biāo)函數(shù)，通過7點(diǎn)高斯勒讓德積分方法對該問題進(jìn)行近似。圖2給出了m=4時，α=2，θ=0.5（圖2（a））和 α=2，θ=1（圖2（b））的近似曲線和精確點(diǎn)值的吻合情況。圖3給出了m=4，θ=0.5（圖3（a））和m=4，θ=1（圖3（b））時，α函數(shù)分別取1+0.1cos t2，2-0.2exp（-10t），2-（sin t）2/5，2的近似曲線。結(jié)果表明，本文提出的SBS數(shù)值方法精度較高，且無論α函數(shù)如何選取，u的近似曲線都很穩(wěn)定，說明此方法穩(wěn)定性較好。

圖2 α=2時SBS近似解與精確點(diǎn)對比Fig.2 The SBStechnique compared with the exact solution withα=2

圖3 不用α函數(shù)時SBS近似曲線Fig.3 The approximate solution based on SBSto different functionsα

6 結(jié) 論

本文在Bernstein多項式和Hassani等提出的超Bernstein序列的基礎(chǔ)上，提出了單參變量Bernstein序列，以SBS為基函數(shù)解決非線性變分?jǐn)?shù)階邊界值問題，得出如下結(jié)論:

（1）所提出的SBS，從第三項目始，每項僅含有一個參變量si，和Hassani等相比計算量大幅減少。

（2）針對積分表示的優(yōu)化目標(biāo)，利用高斯勒讓德積分方法近似減少計算量，從實(shí)例結(jié)果來看，精度也可滿足。

（3）考慮到非線性優(yōu)化時存在多解現(xiàn)象，通過引入遺傳算法同時獲得所有次優(yōu)解，進(jìn)而以次優(yōu)解作為初始值，采用MATLAB優(yōu)化模塊獲得最優(yōu)解，此種處理方式可有效避免漏失最優(yōu)解現(xiàn)象。

（4）算例分析表明引入?yún)⒆兞靠蓴U(kuò)展BP的實(shí)用性。

附錄A

表A.1 遺傳算法所得的部分次優(yōu)解及適應(yīng)度Tab.A.1 Partial sub-optimal solutions and fitness of using genetic algorithm