基于動(dòng)態(tài)嚙合力的人字齒輪摩擦因數(shù)分析

王 云， 楊 為， 唐小林

（1.重慶大學(xué) 機(jī)械傳動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044；2.重慶大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，重慶 400044）

多種因素會(huì)造成齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的功率損失，其中齒面摩擦功率損失占比大，機(jī)械傳動(dòng)效率是衡量傳動(dòng)系統(tǒng)品質(zhì)的關(guān)鍵指標(biāo)之一。一直以來齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性、潤滑特性是研究熱點(diǎn)[1-2]。王明凱等[3]建立了雙漸開線齒輪傳動(dòng)摩擦動(dòng)力學(xué)模型，研究了混合彈流潤滑特性與動(dòng)力學(xué)之間的耦合作用。陸鳳霞等[4]建立了人字齒輪副動(dòng)力學(xué)模型，采用彈流潤滑摩擦因數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式分析了齒面摩擦對(duì)人字齒輪動(dòng)力學(xué)特性的影響規(guī)律，但是實(shí)際工況下人字齒輪副處于混合潤滑狀態(tài)，研究中未考慮齒面摩擦導(dǎo)致的齒面溫升的影響。袁冰等[5]基于Timoshenko梁理論和有限單元法，引入時(shí)變嚙合剛度和綜合嚙合誤差，建立了人字齒輪副系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，研究了齒距累積誤差對(duì)人字齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響規(guī)律。茍向鋒等[6-7]考慮齒面閃溫對(duì)時(shí)變嚙合剛度的影響，建立了單級(jí)直齒圓柱齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，分析了其對(duì)非線性分岔特性的影響。林騰蛟等[8]基于熱彈流潤滑理論獲得了人字星型齒輪不同表面粗糙度下的油膜承載比及摩擦因數(shù)，結(jié)合齒面接觸載荷和滑移速度，計(jì)算得到了齒面熱流密度分布。菅光霄等[9]計(jì)及齒輪副的時(shí)變嚙合剛度和表面粗糙度，建立了6自由度齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，開展了動(dòng)、靜兩種載荷模型下齒輪副彈流潤滑特性的研究。董輝立等[10]建立了漸開線齒輪有限長線接觸彈流潤滑模型，分析了干摩擦與潤滑條件下不同壓力分布的特征以及動(dòng)載荷對(duì)油膜分布的影響規(guī)律，其動(dòng)力學(xué)模型中只考慮了扭轉(zhuǎn)自由度。薛建華等[11]建立了動(dòng)載荷下的瞬態(tài)熱彈流分析模型，分析了嚙合過程中的油膜最大壓力、油膜厚度以及齒面閃溫隨時(shí)間變化的規(guī)律。Li等[12]提出了一種直齒圓柱齒輪副潤滑-橫向扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)耦合模型，研究了表面粗糙度和潤滑特性對(duì)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響規(guī)律。鄒玉靜等[13]建立了考慮摩擦的6自由度漸開線直齒輪動(dòng)力學(xué)模型，研究了摩擦學(xué)特性和動(dòng)力學(xué)行為以及兩者之間的耦合關(guān)系。Jian等[14]建立了漸開線齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，詳細(xì)分析了齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)和潤滑特性，研究了不同轉(zhuǎn)速和載荷下油膜剛度的變化規(guī)律。Liu等[15]提出了一種計(jì)及滑動(dòng)摩擦的直齒圓柱齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，研究了小齒輪的轉(zhuǎn)速對(duì)齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響規(guī)律。

已公開報(bào)道的參考文獻(xiàn)表明，研究人員對(duì)直齒、斜齒輪副進(jìn)行了大量的動(dòng)態(tài)特性和潤滑特性研究。在對(duì)漸開線斜齒輪的動(dòng)態(tài)特性和潤滑研究中，大多數(shù)動(dòng)力學(xué)數(shù)值計(jì)算模型中均只考慮了扭轉(zhuǎn)自由，且模型中未考慮溫度的影響。人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)由于具有承載能力高、振動(dòng)噪聲小、工作平穩(wěn)以及軸向力可以抵消等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于船舶、航空等高速重載齒輪傳動(dòng)裝置中[16]。在高速重載工況下，由于嚙合齒面相對(duì)滑動(dòng)速度大，瞬時(shí)溫升高，影響了齒輪系統(tǒng)的溫度分布，易產(chǎn)生熱機(jī)耦合效應(yīng)，進(jìn)而導(dǎo)致增大齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)與噪聲，現(xiàn)有的參考文獻(xiàn)鮮有涉及此方面的研究。

因此，計(jì)及齒面閃溫的影響，在人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)平移-扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，將動(dòng)態(tài)嚙合力用于求解混合彈流潤滑摩擦因數(shù)，開展人字齒輪的動(dòng)態(tài)特性和潤滑特性研究，研究動(dòng)態(tài)嚙合力下人字齒輪嚙合副摩擦因數(shù)的變化規(guī)律，對(duì)提高人字齒輪的嚙合平穩(wěn)性、承載能力和降低摩擦損耗等具有重要理論意義和工程實(shí)用價(jià)值。

1 人字斜齒輪動(dòng)力學(xué)模型

1.1 單側(cè)動(dòng)力學(xué)模型

設(shè)左右斜齒的軸向力相互抵消，每個(gè)斜齒輪都考慮了x，y平移自由度以及繞z軸的扭轉(zhuǎn)自由度θ。人字齒輪副多自由度動(dòng)力學(xué)模型，如圖1所示。圖1中:β為螺旋角；et為綜合嚙合誤差；αt為端面壓力角；ψ為安裝相位角；φ為端面嚙合線與y軸夾角。左右嚙合齒面節(jié)點(diǎn)廣義坐標(biāo)為

圖1 人字齒輪嚙合副動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 Dynamic model for herringbone gear

式中:下標(biāo)p，g為主動(dòng)輪和從動(dòng)輪；下標(biāo)i為l或r，左嚙合副或右嚙合副。L（t）為嚙合副在嚙合方向上的相對(duì)位移，可表示為

綜合嚙合誤差et=e0sin（ωmt），其中:e0為齒輪誤差平均幅值，根據(jù)齒輪制造精度選取；ωm為嚙合頻率。

輪齒的動(dòng)態(tài)嚙合力為

齒面摩擦力為

式中:cm為嚙合副的平均阻尼，Ns/m；km為平均嚙合剛度，N/m；u為摩擦因數(shù)；sgn（vs）為摩擦力方向系數(shù)；vs為嚙合點(diǎn)相對(duì)滑動(dòng)速度，m/s；sgn（x）為符號(hào)函數(shù)，其表達(dá)式為

采用Kisssoft軟件計(jì)算了平均嚙合剛度km，嚙合阻尼cm由經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算[17]。

式中:r1，r2分別為兩齒輪的節(jié)圓半徑，m；I1，I2分別為兩齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，kg·m2；ξ為齒輪副的阻尼比，通常取值范圍為[0.03，0.17]，研究中取為0.1。

采用拉格朗日方程建立齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程

式中:T為系統(tǒng)動(dòng)能；U為系統(tǒng)內(nèi)力勢能；D為系統(tǒng)對(duì)于黏性阻尼的逸散函數(shù)；qi為廣義坐標(biāo)；Pi為載荷列向量。

令

系統(tǒng)的內(nèi)力勢能為

系統(tǒng)動(dòng)能為

系統(tǒng)黏性阻尼的逸散函數(shù)為

式中，[M]，[C]，[K]為實(shí)對(duì)稱矩陣，因此可以得到

式（6）可以寫成矩陣形式為

1.2 系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

如圖2所示，人字齒輪分為三部分:左側(cè)斜齒輪、右側(cè)斜齒輪及中間連接結(jié)構(gòu)。連接結(jié)構(gòu)從右側(cè)齒面中點(diǎn)到左側(cè)齒面中點(diǎn)。使齒輪的總質(zhì)量等于左右兩側(cè)和連接結(jié)構(gòu)的單個(gè)質(zhì)量之和。因此，連接結(jié)構(gòu)的子矩陣為

圖2 人字齒輪左右斜齒梁單元連接Fig.2 Beam element for herringbone gear

式中:下標(biāo)e1為梁單元1；下標(biāo)e2為梁單元2。

將式（12）和式（13）定義的從右到左的耦合矩陣一起系統(tǒng)地裝配，以獲得由一對(duì)人字齒（總共12自由度）組成的人字齒輪組的整體運(yùn)動(dòng)方程。采用Runge-Kutta積分法，調(diào)用軟件MATLAB的ode45函數(shù)進(jìn)行數(shù)值求解。人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的參數(shù)如表1所示。

表1 齒輪傳動(dòng)參數(shù)Tab.1 Parameters of gear transmission

2 混合熱彈流潤滑模型

2.1 摩擦因數(shù)

混合彈流潤滑摩擦因數(shù)可以通過邊界潤滑摩擦因數(shù)和彈流潤滑摩擦因數(shù)加權(quán)和的形式表示[18]

式中:uML為混合潤滑條件下摩擦因數(shù)；uEHL為全膜潤滑條件下摩擦因數(shù)；uBDR為邊界潤滑條件下摩擦因數(shù)，實(shí)驗(yàn)所測該系數(shù)摩擦因數(shù)在0.07～0.15；fλ為在混合潤滑狀態(tài)下點(diǎn)接觸載荷分布百分比；Ra為齒面等效平均粗糙度。

由參考文獻(xiàn)[19]，人字齒輪嚙合中心油膜厚度公式為

式中:η為潤滑油動(dòng)力黏度，Pa·s；ve為卷吸速度，m/s；ξ為黏壓系數(shù)；Fn為基于動(dòng)態(tài)嚙合力的齒面法向載荷；R嚙合點(diǎn)的綜合曲率半徑；E為等效彈性模量，單位為GPa。

彈流潤滑狀態(tài)是兩齒面完全被油膜分開的理想狀態(tài)，此時(shí)摩擦因數(shù)最小，功率損耗最小。彈流潤滑摩擦因數(shù)計(jì)算公式為[20]

式中:SR為接觸齒面的滑滾比；Ph為齒面最大接觸應(yīng)力；Ra為表面粗糙度的均方根值；b1～b9取值參考陸鳳霞等的研究，具體數(shù)值如表2所示。

表2 參數(shù)取值Tab.2 Parameters value

由于摩擦副的載荷集中作用，接觸區(qū)內(nèi)的壓力很高，且人字齒輪用于高速重載的場合，齒面摩擦導(dǎo)致齒面溫升較高，因而在潤滑模型中潤滑油的黏壓黏溫效應(yīng)

式中:η0為環(huán)境溫度下潤滑油動(dòng)力黏度，Pa·s；T0為環(huán)境溫度；z0，s0為無量綱常數(shù)，它們與常用的Barus黏壓系數(shù)ξ及黏溫系數(shù)ζ的關(guān)系為

2.2 斜齒輪副嚙合模型

圖3所示為一對(duì)漸開線斜齒輪副的嚙合過程[21]。r1，r2分別為兩齒輪的節(jié)圓半徑，ω1，ω2分別為兩齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，αn為分度圓壓力角，嚙合點(diǎn)距節(jié)點(diǎn)的距離為s。嚙合點(diǎn)以絕對(duì)速度ω1rb1沿嚙合線作勻速運(yùn)動(dòng)，任意時(shí)刻t有:s=ω1rb1t。

圖3 齒輪傳動(dòng)副嚙合過程Fig.3 Meshing model of gear transmission

設(shè)接觸線與齒面前端面的交點(diǎn)為K點(diǎn)，K點(diǎn)處的曲率半徑分別為R1和R2。

根據(jù)漸開線齒輪的幾何特點(diǎn)可知，在K點(diǎn)處，兩齒面的法向曲率半徑為

式中，s為嚙合線上嚙合點(diǎn)至節(jié)點(diǎn)的距離。

對(duì)任意時(shí)刻，兩齒面相對(duì)嚙合點(diǎn)的油膜速度及卷吸速度為

齒面間的相對(duì)滑動(dòng)速度vs及滑滾比SR表示為

嚙合點(diǎn)的Hertz接觸最大應(yīng)力為

如圖4所示，任何摩擦表面都是由許多不同形狀的微凸峰和凹谷組成。表面幾何特征通常采用形貌參數(shù)來描述，其中輪廓的均方根值Ra為

圖4 表面形貌輪廓曲線Fig.4 Surface topography profile curve

式中:z（x）為各點(diǎn)輪廓高度；LR為測量長度；zi為各測量點(diǎn)的輪廓高度。

2.3 齒面接觸Block閃溫

齒面接觸溫度ΔB由本體溫度ΔM和齒面瞬時(shí)閃溫Δf兩部分組成[22]

式中:本體溫度ΔM在系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定工作狀態(tài)后不再變化，此時(shí)兩齒輪本體溫度相同；齒面閃溫Δf是由兩齒面相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，摩擦消耗的能量轉(zhuǎn)化的熱量導(dǎo)致齒面局部瞬時(shí)溫度升高。根據(jù)Block閃溫理論，可得齒面瞬時(shí)閃溫Δf的表達(dá)式。

式中:κ為斜齒輪溫升系數(shù)；fe為單位齒寬上的齒面法向載荷；vi（i=1，2） 為兩齒面上的切向速度；gi（i=1，2） 為兩齒面的熱傳導(dǎo)系數(shù)；ρi（i=1，2）為兩齒面的材料密度；ci（i=1，2）為比熱容。 主、從動(dòng)輪齒寬相等，由Hertz接觸理論可得主、從動(dòng)輪的接觸帶半寬B（t）表達(dá)式

式中:v為泊松比；b為主、從動(dòng)輪齒寬，mm。

3 動(dòng)力學(xué)模型和潤滑模型耦合計(jì)算

在獲得齒輪系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)、材料參數(shù)和工況參數(shù)的基礎(chǔ)上，對(duì)齒輪系統(tǒng)進(jìn)行嚙合分析和內(nèi)部激勵(lì)計(jì)算，計(jì)算齒輪嚙合剛度以及卷吸速度、滑滾比等參數(shù)。在建立考慮齒面摩擦的齒輪系統(tǒng)多自由度動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上計(jì)算得到動(dòng)載荷。將嚙合模型計(jì)算出的結(jié)果和動(dòng)載荷結(jié)合可以得到混合彈流潤滑摩擦因數(shù)模型，其中還考慮了齒面溫升對(duì)齒輪系統(tǒng)和潤滑模型的影響，采取平均溫升和上一次迭代的平均溫升的絕對(duì)差值來判斷系統(tǒng)是否收斂，計(jì)算流程如圖5所示。

圖5 技術(shù)路線Fig.5 Solution flow chart

4 結(jié)果分析和討論

圖6（a）為赫茲接觸應(yīng)力和綜合曲率半徑隨嚙合線的變化情況。齒輪由嚙入到嚙出的過程中赫茲接觸應(yīng)力逐漸增加，嚙合點(diǎn)的綜合曲率半徑逐漸減小。如圖6（b）所示，隨著齒輪的嚙入到嚙出的過程中，滑滾比和齒面摩擦產(chǎn)生的閃溫先減小后增大，在節(jié)點(diǎn)處滑滾比和齒面摩擦產(chǎn)生的溫升為0，這是因?yàn)樵诠?jié)點(diǎn)處，兩齒輪的相對(duì)滑動(dòng)速度為0。圖6（c）、圖6（d）分別為彈流潤滑摩擦因數(shù)、混合彈流潤滑各嚙合位置摩擦因數(shù)隨負(fù)載轉(zhuǎn)矩的變化情況，彈流潤滑摩擦因數(shù)在嚙合節(jié)點(diǎn)處最小，離嚙合節(jié)點(diǎn)越遠(yuǎn)，摩擦因數(shù)越大。隨著負(fù)載轉(zhuǎn)矩的增大而增大，最大摩擦因數(shù)處于離節(jié)點(diǎn)最遠(yuǎn)處為0.065，混合彈流潤滑摩擦因數(shù)也隨著負(fù)載轉(zhuǎn)矩的增大而增大，但是隨著嚙合線先緩慢增加，通過節(jié)點(diǎn)位置之后快速增加，其最大摩擦因數(shù)仍處于離節(jié)點(diǎn)最遠(yuǎn)處為0.165，大于彈流潤滑摩擦因數(shù)。

圖6（e）、圖6（f）所示為彈流潤滑摩擦因數(shù)、混合彈流潤滑各嚙合位置摩擦因數(shù)隨齒面粗糙度的變化情況。兩種摩擦因數(shù)的變化趨勢一致，都是在嚙合節(jié)點(diǎn)處最小，離嚙合節(jié)點(diǎn)越遠(yuǎn)，摩擦因數(shù)越大，隨著齒面粗糙度的增加而增加。圖6（g）、圖6（h）為不同嚙合位置摩擦因數(shù)隨齒面閃溫的變化情況。齒輪在嚙入到嚙出的過程中，彈流潤滑摩擦因數(shù)先減小后增大，隨著齒面閃溫的增加而減小。這是因?yàn)闈櫥偷酿匦?yīng)導(dǎo)致的；不同齒面溫升對(duì)應(yīng)不同的混合彈流潤滑摩擦因數(shù)隨嚙合線的變化趨勢。不考慮齒面溫升和齒面溫升為5℃時(shí)，混合彈流潤滑摩擦因數(shù)隨嚙合線先緩慢增加，通過節(jié)點(diǎn)后快速增加，摩擦因數(shù)隨著齒面閃溫的增加而降低；當(dāng)齒面溫升為15℃和20℃時(shí)，齒輪在嚙入到嚙出的過程中，混合彈流摩擦因數(shù)逐漸減小。由圖6（h）可知，混合彈流潤滑摩擦因數(shù)隨著齒面溫度的升高而下降，當(dāng)齒面溫度升高到一定值時(shí)，摩擦因數(shù)隨著齒面溫度的升高而升高，這是因?yàn)辇X輪嚙合處于邊界潤滑和彈流潤滑的混合潤滑，溫度越高導(dǎo)致油膜黏度下降，油膜厚度變薄。

圖6 穩(wěn)態(tài)載荷下各參數(shù)的變化情況Fig.6 Changes of various parameters under steady-state load

如圖7（a）、圖7（b）所示為基于動(dòng)態(tài)嚙合力的膜厚分布規(guī)律，膜厚隨著時(shí)間先經(jīng)歷一個(gè)小的波谷到波峰，然后經(jīng)歷一個(gè)大的波谷到波峰。圖7（c）為齒面溫升的分布規(guī)律，齒面溫升沿嚙合線先減小再增大，最小值處于嚙合節(jié)點(diǎn)位置，這是由于離嚙合節(jié)點(diǎn)越遠(yuǎn)，兩齒輪相對(duì)滑動(dòng)速度越大，齒面溫升就越高。如圖7（d）、圖7（e）所示為彈流潤滑摩擦因數(shù)和混合潤滑摩擦因數(shù)分布，它們的變化趨勢一致，隨時(shí)間先減小然后保持平穩(wěn)，這是因?yàn)辇X輪系統(tǒng)初始的振動(dòng)不平穩(wěn)導(dǎo)致動(dòng)態(tài)嚙合力增大，沿嚙合線先快速降低然后緩慢增加。

圖7 基于動(dòng)態(tài)嚙合力的膜厚、溫升和摩擦因數(shù)分布Fig.7 Distribution of film thickness，temperature rise and friction coefficient based on dynamic meshing force

從圖8～圖11可以看出，耦合計(jì)算和非耦合計(jì)算得出的振動(dòng)位移與振動(dòng)速度的變化趨勢是一致的，耦合計(jì)算得到的主、從動(dòng)輪x，y方向以及繞z軸扭轉(zhuǎn)的振動(dòng)位移和速度都高于非耦合計(jì)算結(jié)果，沿嚙合線方向的振動(dòng)位移、速度以及動(dòng)態(tài)嚙合力耦合計(jì)算結(jié)果略高于非耦合計(jì)算結(jié)果。表明齒面摩擦對(duì)齒輪系統(tǒng)各個(gè)方向的振動(dòng)速度和振動(dòng)位移都有一定程度的影響，同時(shí)也會(huì)影響齒輪系統(tǒng)沿嚙合線方向的振動(dòng)位移、振動(dòng)速度以及增大動(dòng)態(tài)嚙合力。

圖8 主動(dòng)輪振動(dòng)位移和振動(dòng)速度Fig.8 Vibration displacement and speed of driving gear

圖11 動(dòng)態(tài)嚙合力Fig.11 Dynamic force

圖9 從動(dòng)輪振動(dòng)位移和振動(dòng)速度Fig.9 Vibration displacement and speed of driven gear

圖10 沿嚙合線振動(dòng)位移和振動(dòng)速度Fig.10 Vibration displacement and speed along meshing line

5 結(jié) 論

綜合考慮時(shí)變嚙合剛度、靜態(tài)傳遞誤差、齒面摩擦力和人字齒輪副嚙合過程中的齒面溫升效應(yīng)，建立了人字齒輪多自由度動(dòng)力學(xué)模型，利用混合彈流潤滑摩擦因數(shù)計(jì)算模型，得到了齒面摩擦因數(shù)和齒面粗糙度、載荷的變化關(guān)系，研究了人字齒輪在耦合和非耦合狀態(tài)下的振動(dòng)特性，得到以下結(jié)論:

（1）通過人字齒輪副的嚙合特性分析，得到了嚙合過程中的等效曲率半徑、赫茲接觸應(yīng)力、滑滾比等潤滑參數(shù)變化規(guī)律。結(jié)果表明，齒輪在嚙入到嚙出過程中，赫茲接觸應(yīng)力逐漸增加，嚙合點(diǎn)的綜合曲率半徑逐漸減小，滑滾比先減小后增大。

（2）嚙合過程中，油膜厚度隨時(shí)間呈現(xiàn)增大減小再增大減小的循環(huán)變化。齒輪副由嚙入到嚙出的過程中，膜厚逐漸增大；齒面溫升先減小再增大，最小值處于嚙合節(jié)點(diǎn)位置。摩擦因數(shù)隨時(shí)間先減小然后保持平穩(wěn)，齒輪由嚙入到嚙出過程中，摩擦因數(shù)先快速減小再緩慢增加。

（3）齒面摩擦?xí)龃簖X輪系統(tǒng)各個(gè)方向的振動(dòng)速度和振動(dòng)位移，同時(shí)也會(huì)增大齒輪的動(dòng)態(tài)嚙合力。