問(wèn)題與改進(jìn)：小學(xué)生“面積”概念形成的過(guò)程研究

脫中菲，周麗娜

（1.東北師范大學(xué)附屬小學(xué),吉林長(zhǎng)春130021；2.長(zhǎng)春東師中信實(shí)驗(yàn)學(xué)校，吉林長(zhǎng)春130117）

一、研究背景

小學(xué)數(shù)學(xué)階段，“圖形與幾何”領(lǐng)域里兩個(gè)重要的核心概念是“空間觀念”和“幾何直觀”。其中，空間觀念是指對(duì)空間中物體的位置以及位置之間關(guān)系的感性認(rèn)識(shí)［1］。長(zhǎng)度、面積和體積都體現(xiàn)了對(duì)圖形的度量。面積是促使學(xué)生從一維空間向二維空間轉(zhuǎn)化的核心內(nèi)容，對(duì)于學(xué)生空間觀念的形成具有重要價(jià)值。

筆者在長(zhǎng)期的教學(xué)研究中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)面積概念的理解存在一定的困惑。針對(duì)剛剛學(xué)習(xí)完“面積”單元的學(xué)生進(jìn)行訪談，通過(guò)“提到面積，你首先想到的是什么？”這樣的一個(gè)問(wèn)題來(lái)考察學(xué)生面積概念的表象。數(shù)學(xué)概念表象在數(shù)學(xué)概念形成、理解、運(yùn)用中都具有重要地位，它構(gòu)成了數(shù)學(xué)概念的關(guān)鍵部分。學(xué)生在記憶、表征、運(yùn)用數(shù)學(xué)概念時(shí)，多是與概念表象相聯(lián)系，而較少使用概念定義［2］。多數(shù)學(xué)生的回答都是：長(zhǎng)方形的面積公式“長(zhǎng)×寬=面積”，說(shuō)明在學(xué)習(xí)過(guò)程中，公式學(xué)習(xí)的影響容易讓學(xué)生忽視對(duì)面積概念本質(zhì)的理解。學(xué)生僅關(guān)注面積求解的過(guò)程。但是，當(dāng)筆者要求學(xué)生解釋長(zhǎng)方形面積公式為什么是“長(zhǎng)×寬”的時(shí)候，多數(shù)學(xué)生認(rèn)為這是一種“規(guī)定”，是由長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬決定的，而沒(méi)有將長(zhǎng)方形面積與面積概念、面積單位進(jìn)行關(guān)聯(lián)。對(duì)于圖形大小的描述就是看這個(gè)圖形中包含了多少個(gè)面積單位，而公式就是快速數(shù)出有多少個(gè)面積單位的簡(jiǎn)便方法，可是真正理解公式這層含義并記住的學(xué)生很少。這也說(shuō)明了平時(shí)的練習(xí)只是在強(qiáng)化學(xué)生對(duì)公式的記憶，而不是加深學(xué)生對(duì)公式的理解。

很多有經(jīng)驗(yàn)的教師也試圖通過(guò)調(diào)整教學(xué)設(shè)計(jì)來(lái)解決這樣的困惑。最為重要的是要清楚“面積”作為一種通過(guò)觀察和測(cè)量進(jìn)而辨識(shí)其性質(zhì)的量，要使學(xué)生形成對(duì)面積的概念需要從哪些方面著手，在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該設(shè)計(jì)什么教學(xué)活動(dòng)來(lái)促進(jìn)學(xué)生面積概念的形成，這也是本研究重點(diǎn)關(guān)注的問(wèn)題。

二、研究設(shè)計(jì)與方法

（一）研究設(shè)計(jì)

本研究整體采用基于問(wèn)題改進(jìn)的行動(dòng)研究的思路。通過(guò)問(wèn)卷測(cè)驗(yàn)的方式了解已經(jīng)學(xué)習(xí)完面積單元的學(xué)生（對(duì)比班120 名學(xué)生）面積量感的水平，進(jìn)而確定研究的問(wèn)題，在此基礎(chǔ)上通過(guò)文獻(xiàn)研究、教材比較研究，結(jié)合國(guó)標(biāo)版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)面積單元的教材內(nèi)容，進(jìn)行了單元內(nèi)容的重新編排，并先后進(jìn)行了兩輪實(shí)施過(guò)程。第一輪主要解決的是單元框架的合理性問(wèn)題，針對(duì)實(shí)施過(guò)程中的問(wèn)題，對(duì)于單元內(nèi)容的難度、容量進(jìn)行了調(diào)整，形成新的單元內(nèi)容框架。第二輪主要解決的是教學(xué)策略、方式的優(yōu)化，以達(dá)到良好的教學(xué)效果。教學(xué)結(jié)束后，研究者以第二輪實(shí)施過(guò)程中的學(xué)習(xí)者為研究對(duì)象（實(shí)驗(yàn)班共124 名），通過(guò)問(wèn)卷測(cè)驗(yàn)和課堂觀察相結(jié)合的方法對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程和結(jié)果進(jìn)行了分析與研究。

（二）研究方法

本研究整體上屬于行動(dòng)研究，在具體的研究過(guò)程中主要采用問(wèn)卷測(cè)驗(yàn)、課堂觀察等方法收集獲取關(guān)于學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果和過(guò)程的數(shù)據(jù)和信息。問(wèn)卷測(cè)驗(yàn)首先用于發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)過(guò)該單元的學(xué)生（對(duì)比班）的面積概念的理解水平，從而進(jìn)一步明確在行動(dòng)過(guò)程中需要解決的問(wèn)題；其二是用于測(cè)查實(shí)驗(yàn)班學(xué)生在單元學(xué)習(xí)后的學(xué)習(xí)效果，目的是為了評(píng)價(jià)單元設(shè)計(jì)與實(shí)施的效果。課堂觀察的目的在于描述并記錄學(xué)生真實(shí)的學(xué)習(xí)狀態(tài)，從而刻畫(huà)實(shí)驗(yàn)班學(xué)生面積概念形成的過(guò)程。

（三）研究工具

測(cè)驗(yàn)問(wèn)卷是以臺(tái)灣學(xué)者高敬文、黃金鐘提出的面積概念形成的三個(gè)重要維度：面積單位理解與運(yùn)用、面積的保留概念、面積公式的應(yīng)用為框架設(shè)計(jì)編制的，分為4個(gè)難度層次。共16道題。

層次0：①知道什么是面積；②能夠辨別不同測(cè)量的量的單位；③等積變形，能判斷形狀不同但面積相同的圖形；④能根據(jù)給出條件應(yīng)用面積公式求出面積。

層次1：①能用數(shù)單位的方法求解圖形的面積；②具有面積保留概念，知道一個(gè)圖形分成三份，拼成一個(gè)圖形后，面積不變；③能夠通過(guò)數(shù)面積單位的方法求得圖形面積；

層次2：①具有面積的保留概念，能夠理解相同的兩個(gè)面積，去掉相同數(shù)量的小正方形，面積依舊相等；②知道面積單位越小測(cè)得的面積單位數(shù)量越多；③能用面積公式解決變式問(wèn)題。

層次3：①能理解面積和周長(zhǎng)的關(guān)系；②能理解并解釋面積公式。

在課堂觀察方面，為了更好地了解學(xué)生每一課的學(xué)習(xí)目標(biāo)達(dá)成情況，研究團(tuán)隊(duì)采用了課堂觀察的方式，選擇焦點(diǎn)小組做重點(diǎn)觀察，并在班級(jí)選擇A、B、C（高、中、低）三種不同學(xué)習(xí)水平的學(xué)生作為觀察對(duì)象，了解這些學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的具體表現(xiàn)和實(shí)際困難。

筆者將每節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行了細(xì)化與分解，分解成學(xué)生在課堂上的具體行為。將每節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)作為一級(jí)指標(biāo)，再進(jìn)一步將一級(jí)指標(biāo)進(jìn)行分解，分解為可以觀測(cè)的二級(jí)指標(biāo)。在課堂教學(xué)的過(guò)程中，觀察者以記錄二級(jí)指標(biāo)中具體行為的發(fā)生時(shí)間作為采集數(shù)據(jù)，同時(shí)配以課堂觀察質(zhì)性觀察單對(duì)學(xué)生的具體行為做簡(jiǎn)單的描述，以確認(rèn)行為是否發(fā)生。把整個(gè)大單元教學(xué)過(guò)程作為一個(gè)長(zhǎng)的時(shí)間連續(xù)體，就可以清晰地看到在整個(gè)單元實(shí)施的過(guò)程中每一個(gè)具體的行為指標(biāo)在典型學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程中是如何發(fā)生的，這樣就可以刻畫(huà)學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程。本研究選擇了單元教學(xué)中的4 個(gè)核心課時(shí)（共160 分鐘），對(duì)所分解出10 個(gè)一級(jí)指標(biāo)，33 個(gè)二級(jí)指標(biāo)所對(duì)應(yīng)的學(xué)生行為進(jìn)行觀察、判斷并標(biāo)注發(fā)生的時(shí)間、順序，再換算成整個(gè)單元完成時(shí)間，順次標(biāo)注指標(biāo)發(fā)生的時(shí)間點(diǎn)，就可以了解不同水平學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的目標(biāo)達(dá)成情況以及困難點(diǎn)、差異點(diǎn)，描述不同學(xué)習(xí)水平學(xué)生的面積概念形成過(guò)程，發(fā)現(xiàn)面積形成過(guò)程的規(guī)律和特點(diǎn)。

三、研究過(guò)程

（一）雙螺旋上升構(gòu)建單元，實(shí)現(xiàn)過(guò)程與方法的遷移

在比較中外教材的基礎(chǔ)上，“面積”單元的設(shè)計(jì)整體上突出強(qiáng)調(diào)核心內(nèi)容的學(xué)習(xí)，在新增學(xué)習(xí)內(nèi)容的前提下，對(duì)單元教學(xué)內(nèi)容順序進(jìn)行了調(diào)整。將3個(gè)面積單位1 平方厘米、1 平方米、1 平方分米作為整個(gè)單元設(shè)計(jì)的主線，突出1平方厘米的學(xué)習(xí)，并以此作為面積概念形成的基礎(chǔ)和核心，放大、放長(zhǎng)學(xué)習(xí)過(guò)程。將平方分米、平方米的學(xué)習(xí)作為面積概念形成過(guò)程的提升和延展，增強(qiáng)這兩個(gè)面積單位對(duì)于面積概念形成過(guò)程的遷移和轉(zhuǎn)化作用。基于此，課題組將面積單元進(jìn)行了調(diào)整，如表1。

表1 國(guó)標(biāo)教材內(nèi)容與調(diào)適后的單元內(nèi)容編排對(duì)比

（二）在比較和測(cè)量活動(dòng)中，促進(jìn)“單位”概念的形成

作為一個(gè)“量”的概念，面積概念的形成始終要伴隨測(cè)量活動(dòng)而展開(kāi)。測(cè)量活動(dòng)可以是觀察，也可以是使用工具，可以是粗略的比較，也可以比較測(cè)量單位的數(shù)量等。因此在教學(xué)過(guò)程中，教師設(shè)計(jì)了直觀比較、直接比較、間接比較、個(gè)別單位比較、公用單位比較的學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生在測(cè)量中發(fā)現(xiàn)面積公式，讓學(xué)生在測(cè)量、操作、體驗(yàn)的活動(dòng)中理解什么是面積，從直觀逐漸走向抽象。另一方面學(xué)生逐漸感受測(cè)量的本質(zhì)——即用不同大小的“面”來(lái)測(cè)量面積的大小。

在教學(xué)過(guò)程中，教師要努力做到以下兩點(diǎn)。首先是引導(dǎo)學(xué)生逐漸發(fā)現(xiàn)測(cè)量物體的面積要盡量“量盡”，這就需要媒介物之間減少空隙，甚至不能有空隙，使學(xué)生逐漸形成“用形狀規(guī)則的物體去測(cè)量面積，減少空隙”的概念，為形成單位的概念打下基礎(chǔ)。其次，要讓學(xué)生經(jīng)歷面積產(chǎn)生的過(guò)程，感受面積產(chǎn)生的必要性。這個(gè)面積單位的產(chǎn)生是在不斷優(yōu)化和比較測(cè)量工具的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的，也是學(xué)生在不斷“數(shù)面積單位求得面積”的過(guò)程中感受到的，體現(xiàn)了對(duì)度量思想的感悟。

（三）優(yōu)化面積測(cè)量結(jié)果，在測(cè)量活動(dòng)中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)面積公式

封閉圖形的大小就是這個(gè)圖形的面積，對(duì)于圖形大小的描述就是看這個(gè)圖形中包含有多少個(gè)面積單位，面積計(jì)算公式只是一種快速而簡(jiǎn)便地求解面積的方法，是求解面積方法的優(yōu)化?！皵?shù)”面積和“計(jì)算”面積的過(guò)程都是促進(jìn)學(xué)生形成“面積是幾倍單位量的數(shù)值化表示”這一觀念的途徑。如果說(shuō)，產(chǎn)生面積測(cè)量的單位對(duì)于面積概念的形成打下了基礎(chǔ)，那么在測(cè)量活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)面積計(jì)算的方法，則促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步深化和拓展了對(duì)于面積的理解。而教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵在于如何促進(jìn)這兩種途徑的融會(huì)貫通，而并非將二者割裂開(kāi)來(lái)。因此，研究者認(rèn)為應(yīng)該在測(cè)量活動(dòng)中引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)面積公式，為學(xué)生構(gòu)建長(zhǎng)方形面積與長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬之間的支架。

學(xué)生基本上可以理解第一種方法，用學(xué)具鋪滿長(zhǎng)方形。第二種方法，只鋪滿長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，是將長(zhǎng)方形面積與長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬構(gòu)建聯(lián)系的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，其實(shí)質(zhì)是在用1 平方厘米的正方形的邊長(zhǎng)去測(cè)量長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，用1 平方厘米的邊長(zhǎng)測(cè)量長(zhǎng)方形的寬，這種方法是對(duì)一種方法的簡(jiǎn)化，同時(shí)也是面積求解方法由測(cè)量向計(jì)算的過(guò)渡。第三種方法，將面積的測(cè)量過(guò)程進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度的測(cè)量過(guò)程，主要體現(xiàn)將面積單位直接轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度單位，可以直接抽象出面積計(jì)算的公式。經(jīng)歷了這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程，學(xué)生才能進(jìn)一步體會(huì)到面積計(jì)算的公式是對(duì)面積測(cè)量結(jié)果的優(yōu)化過(guò)程，其本質(zhì)上是對(duì)“面積是幾倍單位量的數(shù)值化表示”這一觀念的延伸與拓展。

四、研究發(fā)現(xiàn)

（一）學(xué)生面積概念的形成過(guò)程

課題組對(duì)于三個(gè)不同學(xué)習(xí)水平學(xué)生的所有教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成情況的時(shí)間記錄，配合質(zhì)性觀察單的描述與確認(rèn)，基本上記錄了不同水平學(xué)生（學(xué)生A、B、C 分別代表高、中、低三種學(xué)習(xí)水平）面積單元學(xué)習(xí)過(guò)程中的學(xué)習(xí)情況。

不同水平學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)達(dá)成在程度上和時(shí)間先后中存在差異。A水平學(xué)生達(dá)成的指標(biāo)最多，且達(dá)成各項(xiàng)指標(biāo)的時(shí)間最早。A 水平學(xué)生逐一連續(xù)地完成了每一級(jí)指標(biāo)。B 水平學(xué)生有1 處一級(jí)指標(biāo)沒(méi)能達(dá)成，C水平學(xué)生有3處一級(jí)指標(biāo)沒(méi)有達(dá)成。

不同水平的學(xué)生學(xué)習(xí)情況不同。課題組發(fā)現(xiàn)，對(duì)于指標(biāo)“選擇面積大的圖形進(jìn)行涂色”和“能用動(dòng)作表達(dá)面積的含義”、指標(biāo)“知道1平方厘米的大小”和指標(biāo)“能對(duì)長(zhǎng)方形面積公式進(jìn)行解釋說(shuō)明”，三種水平的學(xué)生在目標(biāo)達(dá)成的時(shí)間上相差不多，說(shuō)明這些指標(biāo)對(duì)于三種水平的學(xué)生來(lái)說(shuō)難度不大。而在指標(biāo)“能借助學(xué)具進(jìn)行面積的間接比較”“能借助學(xué)具測(cè)量面積大小”“能對(duì)長(zhǎng)方形面積公式進(jìn)行解釋說(shuō)明”“能運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算”上，學(xué)生的學(xué)習(xí)水平呈現(xiàn)了較大的差異。特別是“能根據(jù)長(zhǎng)方形面積公式得出正方形面積公式”這個(gè)指標(biāo)，對(duì)于B水平和C水平的學(xué)生來(lái)說(shuō)，都較難達(dá)成。課題組將這些指標(biāo)對(duì)應(yīng)到教學(xué)目標(biāo)體系中的“1 平方厘米的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用”和“長(zhǎng)方形面積公式的探索”。這也是該單元在課程與教學(xué)設(shè)計(jì)上突破最大的兩節(jié)課，可以說(shuō)明這兩節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)是成功的。而學(xué)生出現(xiàn)發(fā)展困難和差距是在面積大小的比較、理解統(tǒng)一單位的必要性、解釋說(shuō)明長(zhǎng)方形面積公式以及探索正方形面積公式等方面。

（二）單元學(xué)習(xí)結(jié)果的分析

實(shí)驗(yàn)班和對(duì)比班在對(duì)面積概念理解方面有明顯的提升，實(shí)驗(yàn)班的學(xué)生對(duì)于“面積”一詞的理解不再只是“長(zhǎng)乘寬”這個(gè)計(jì)算公式，而是有更多的學(xué)生想到了對(duì)“面積”這個(gè)量的感受。

在面積單元教學(xué)過(guò)程中，教師要力爭(zhēng)體現(xiàn)面積作為一個(gè)量的本質(zhì)。如下面的兩個(gè)圖形，正是考察學(xué)生對(duì)測(cè)量本質(zhì)的理解——通過(guò)點(diǎn)數(shù)面積單位求得面積（表2）。在長(zhǎng)方形中，只給出橫縱方向的刻度劃分，而沒(méi)有直接畫(huà)出長(zhǎng)方形具體包括多少個(gè)面積單位。這個(gè)情境看似具有一種“未完成性”，但實(shí)際是在考察學(xué)生對(duì)面積概念的理解。在調(diào)查過(guò)程中，有些學(xué)生問(wèn)老師：沒(méi)有給出長(zhǎng)和寬（高）的長(zhǎng)度，怎么求得面積呢？出現(xiàn)這個(gè)問(wèn)題的原因是學(xué)生在學(xué)習(xí)面積時(shí)還是更多地關(guān)注了通過(guò)“算”得出結(jié)果，而忽視了對(duì)面積概念本質(zhì)的思考，即數(shù)出圖形中面積單位的個(gè)數(shù)就可以表示圖形的面積。從數(shù)據(jù)上可以看出，實(shí)驗(yàn)班對(duì)于測(cè)量本質(zhì)的理解要明顯好于對(duì)比班。學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方形面積的理解要總體好于三角形，學(xué)生對(duì)面積以及面積單位的理解可以遷移到具體情境中解決問(wèn)題。

表2 學(xué)生對(duì)測(cè)量本質(zhì)的理解情況的測(cè)驗(yàn)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)班學(xué)生對(duì)面積單位的理解及應(yīng)用也明顯要好于對(duì)比班。在回答“用面積是1 平方厘米和1 平方分米的正方形測(cè)量課桌面，哪一種正方形需要的數(shù)量多，為什么？”這個(gè)問(wèn)題時(shí)，實(shí)驗(yàn)班的正確率為97.5%，明顯高于對(duì)比班的正確率69.1%。這說(shuō)明教學(xué)促進(jìn)了學(xué)生對(duì)單位及面積之間關(guān)系的理解，學(xué)生理解了測(cè)量單位與單位個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。再如：“亮亮家有一塊邊長(zhǎng)為1 米的正方形地面損壞了，需要多少塊面積是1 平方分米的方磚才能修補(bǔ)好？”實(shí)驗(yàn)班的正確率為81.3%，對(duì)比班的正確率為39.2%，這說(shuō)明學(xué)生已經(jīng)將面積單位與測(cè)量個(gè)數(shù)之間的關(guān)系的理解轉(zhuǎn)變?yōu)榻鉀Q問(wèn)題的能力。

課題組還通過(guò)考察長(zhǎng)方形面積公式的理解進(jìn)而了解學(xué)生面積概念的理解情況。在要求學(xué)生“說(shuō)明一下長(zhǎng)方形的面積為什么等于長(zhǎng)×寬”這個(gè)問(wèn)題的結(jié)果上，實(shí)驗(yàn)班學(xué)生對(duì)于為什么長(zhǎng)方形面積等于長(zhǎng)×寬這一問(wèn)題的解釋更加合理，學(xué)生能夠自動(dòng)調(diào)取學(xué)習(xí)過(guò)程中的策略進(jìn)行解釋。

對(duì)于面積概念的深入理解也直接提高了學(xué)生解決具體問(wèn)題的能力。從統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來(lái)看，實(shí)驗(yàn)班學(xué)生解決問(wèn)題的能力（88.1%）好于對(duì)比班（76.9%），并且在運(yùn)用公式解決問(wèn)題過(guò)程中，極少出現(xiàn)周長(zhǎng)與面積公式相混淆的情況。

關(guān)于面積的保留概念，課題組通過(guò)“把一個(gè)正方形分割成三等份，拼成一個(gè)圖形會(huì)怎樣？”“從面積是8 平方厘米的兩個(gè)圖形中，各挖去一個(gè)同樣大小的正方形，剩余部分會(huì)怎樣？”兩個(gè)問(wèn)題來(lái)考察，考察結(jié)果發(fā)現(xiàn)：實(shí)驗(yàn)班學(xué)生的正確率達(dá)90%，高于對(duì)比班。而在“從面積是8 厘米的圖形中，各挖去一個(gè)同樣大小的正方形，剩余面積是多少”這樣的問(wèn)題上，兩類(lèi)調(diào)研對(duì)象的正確率分別為85.6% 和86.4%?？梢钥闯觯ㄟ^(guò)本單元內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)面積的保留概念有了很好的理解。

五、研究結(jié)論與反思

（一）單元內(nèi)容螺旋上升式的安排能促進(jìn)學(xué)生形成面積概念

面積作為一個(gè)測(cè)量的“量”，具有較強(qiáng)的抽象性，對(duì)其理解需要更加具體化。單元內(nèi)容的重新調(diào)整就是突出了以1平方厘米作為學(xué)生理解面積的載體，圍繞面積單位的產(chǎn)生、面積單位的大小建立面積概念的直觀，從而為概念的形成搭建梯子。用1平方厘米為單位，引導(dǎo)學(xué)生在探究活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形、正方形面積的公式，一方面降低了學(xué)習(xí)難度，同時(shí)也便于學(xué)生夯實(shí)1 平方厘米的空間觀念。而這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程將通過(guò)1 平方分米、平方米的學(xué)習(xí)再次學(xué)習(xí)和應(yīng)用，體現(xiàn)了已有測(cè)量經(jīng)驗(yàn)、概念在新的問(wèn)題情境中的遷移和運(yùn)用，這樣的學(xué)習(xí)，學(xué)生頭腦中的1 平方厘米、1 平方分米、1 平方米的空間觀念的建立都是真實(shí)的、具體的，這對(duì)于學(xué)生理解什么是面積、什么是面積的測(cè)量都具有重要的意義價(jià)值。

（二）有質(zhì)量的測(cè)量活動(dòng)是形成面積概念的基礎(chǔ)

面積概念的形成必然要伴隨大量的測(cè)量活動(dòng)。有質(zhì)量的測(cè)量活動(dòng)的基本特征在于：1.有大量可選擇的材料支持測(cè)量活動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)不同材料測(cè)量的過(guò)程和結(jié)果；2.設(shè)計(jì)多個(gè)層次的面積比較活動(dòng)，還原問(wèn)題情境，讓學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)的過(guò)程；3.關(guān)注從操作經(jīng)驗(yàn)向思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的轉(zhuǎn)化，也就是從單純動(dòng)手操作走向動(dòng)腦思考。比如本單元的面積公式的探索與發(fā)現(xiàn)，學(xué)生如何從單位面積的點(diǎn)數(shù)過(guò)程走向?qū)﹂L(zhǎng)方形長(zhǎng)、寬的關(guān)注，從面返回到長(zhǎng)度，這是抽象的過(guò)程，也是測(cè)量?jī)?yōu)化的過(guò)程。

（三）發(fā)現(xiàn)了面積概念形成的學(xué)習(xí)困境和教學(xué)難點(diǎn)

從對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程和學(xué)習(xí)結(jié)果的分析來(lái)看，學(xué)生掌握1 平方厘米、1 平方分米、1 平方米的空間觀念并不困難，但是在理解面積單位產(chǎn)生必要性，解釋長(zhǎng)方形面積公式等內(nèi)容上仍然存在困難。筆者認(rèn)為面積概念的形成需要一定的抽象思維能力作為基礎(chǔ)，特別是在一定空間觀念形成的基礎(chǔ)上，抽象出概念與概念之間關(guān)系等，對(duì)于三年級(jí)正處于形象思維向抽象思維過(guò)渡階段的學(xué)生來(lái)說(shuō)，還存在一定的困難，需要教師在教學(xué)中予以關(guān)注。