高中數(shù)學(xué)外接球內(nèi)切球教學(xué)分析

朱艷鳴

摘要：通過分析外接球內(nèi)切球的性質(zhì)、題型，學(xué)生學(xué)習(xí)情況，研究這部分知識(shí)的教學(xué)策略。并結(jié)合各類題型具體講解解題思路，教學(xué)思路。

關(guān)鍵詞：外接球內(nèi)切球;教學(xué)分析

外接球和內(nèi)切球的問題相對(duì)比較難，需要學(xué)生有較好的分析能力，并且深刻的理解外接球和內(nèi)切球的各種性質(zhì)，理解各種解題方法，才能在考試中將這類題目快速正確的解答出來。

因此在教學(xué)中要著重講解外接球內(nèi)切球的性質(zhì)特點(diǎn)，并讓學(xué)生先理解，然后進(jìn)行背誦。課下可以讓學(xué)生們自己制作一些紙片模型來提高其空間想象能力。在分析了近幾年的高考題后發(fā)現(xiàn)目前這類題目，發(fā)現(xiàn)大題比較少，選擇填空題較多。

一、外接球和內(nèi)切球的定義與突破點(diǎn)

外接球是指當(dāng)一個(gè)多面體的頂點(diǎn)全部在一個(gè)球的球面上時(shí)，我們就稱這個(gè)球是此多面體的外接球。內(nèi)切球是指當(dāng)一個(gè)球與一個(gè)多面體的所有面都相切時(shí)，我們就稱此球即為這個(gè)多面體的內(nèi)切球。

外接球的性質(zhì)與解題突破點(diǎn)：當(dāng)一個(gè)多面體為長(zhǎng)方體時(shí)，它的外接球的球心就是此多面體體對(duì)角線的交點(diǎn)。當(dāng)一個(gè)多面體為圓柱體時(shí)，它的外接球心與這個(gè)圓柱體上下兩底面圓心的中點(diǎn)相重合。

內(nèi)切球的性質(zhì)與解題突破點(diǎn)：如果一個(gè)球與一個(gè)多面體的平面相切，那么這個(gè)球的球心和切點(diǎn)的連線與這個(gè)球的切面垂直。當(dāng)一個(gè)多面體為正多面體時(shí)，這個(gè)多面體的內(nèi)切球與外接球的球心在同一位置。

二、高考中外接球內(nèi)切球的常見題型

1.正方體和球相組合

解決這類問題，我們通常用截面的方法來解答不同的組合去尋找?guī)缀误w的軸截面將兩個(gè)截面的關(guān)系進(jìn)行分析，然后得出多面體的棱和半徑之間的關(guān)系，然后把他們之間的空間關(guān)系轉(zhuǎn)化為平面之間的關(guān)系。

例 1 棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的8個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，E，F(xiàn)分別是棱AA1，DD1的中點(diǎn)，則直線EF被球O截得的線段長(zhǎng)為（ ）

這個(gè)球的截面圓的直徑即為，EF被球O截得的線段。

這個(gè)圓的半徑為那么這個(gè)圓的直徑為.

解題核心：分析截面圓直徑與截面之間的關(guān)系。

2.長(zhǎng)方體和球相結(jié)合

例 2 從半徑為R的球面上一點(diǎn)M，引出球的三條兩兩垂直的弦MA，MB，MC，求MA2+MB2+MC2的值.

解題核心：建立一個(gè)與球有關(guān)的多面體，利用多面體與球之間的關(guān)系解答題目

3.球與錐體的切接

當(dāng)球與規(guī)則椎體相切接時(shí)。通常考察椎體的表面積和體積這類問題。這時(shí)候椎體的棱與高通常與球體會(huì)產(chǎn)生一定的聯(lián)系。結(jié)合他們的關(guān)系，便可以將問題解答出來。

解題核心：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，高為h;球的半徑為R，這時(shí)有;（可用正四面體高h(yuǎn)減去內(nèi)切球的半徑得到）

4.對(duì)棱相等模型（補(bǔ)形為長(zhǎng)方體）

題目設(shè)定：一個(gè)三棱錐（即四面體）中，如果三組對(duì)棱分別相等，那么它的外接球半徑為多少（AB=CD，AD=BC，AC=BD）

首先建立出一個(gè)長(zhǎng)方體，得出幾條為異面直線的幾個(gè)棱;

這類題目相對(duì)比較抽象，學(xué)生在學(xué)習(xí)的時(shí)候心理上會(huì)產(chǎn)生畏懼心理，更導(dǎo)致學(xué)生不愿意學(xué)習(xí)這類題目，因此在講解這類題目的時(shí)候最好制作相關(guān)的模型，來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在講解中先講解簡(jiǎn)單知識(shí)和題目，由易到難給學(xué)生學(xué)習(xí)的信心多鼓勵(lì)他們。讓他們逐步的掌握這類知識(shí)和題目。

參考文獻(xiàn)：

[1]朱晶. “外接球”與”內(nèi)切球”[J]. 數(shù)理天地：高中版. 2017（2）：10-10.

[2]楊子林. 簡(jiǎn)單多面體的內(nèi)切球與外接球問題解題基本方法[J]. 高中數(shù)理化（20）：1.