巖體結(jié)構(gòu)面空間可視化
——結(jié)構(gòu)面發(fā)育特征的數(shù)學(xué)表征

宋振江

（甘肅省建筑設(shè)計(jì)研究院有限公司，甘肅蘭州 730030）

0 引言

不連續(xù)面在巖體中的空間特征描述（包括不連續(xù)面的產(chǎn)狀、幾何形態(tài)、間距、規(guī)模、密度及其空間組合形式）是對(duì)各類巖體結(jié)構(gòu)地質(zhì)作用進(jìn)行正確分析與評(píng)價(jià)的主要手段[1]。

在當(dāng)今的地質(zhì)應(yīng)用技術(shù)中，計(jì)算機(jī)屏幕所顯示的圖形、圖像是一種描述巖體結(jié)構(gòu)信息的有效手段，通過(guò)結(jié)構(gòu)面三維可視化圖形，使地質(zhì)工程師直觀地看到巖體結(jié)構(gòu)面空間的幾何形態(tài)、相互關(guān)系和分布，準(zhǔn)確地進(jìn)行科學(xué)分析。本文以研究結(jié)構(gòu)面發(fā)育特征及數(shù)學(xué)表征為重點(diǎn)，內(nèi)容包括：①研究結(jié)構(gòu)面的發(fā)育特征，包括產(chǎn)狀、間距、延續(xù)性等，根據(jù)結(jié)構(gòu)面的張開度推測(cè)結(jié)構(gòu)面的發(fā)育程度；②研究地理坐標(biāo)與數(shù)學(xué)坐標(biāo)之間的關(guān)系，在三維坐標(biāo)中得到它們的轉(zhuǎn)換關(guān)系；③以若干條結(jié)構(gòu)面為例，在得到結(jié)構(gòu)面上一點(diǎn)坐標(biāo)及其產(chǎn)狀的前提下，利用數(shù)學(xué)技巧算出結(jié)構(gòu)面在三維坐標(biāo)中的方程；或通過(guò)結(jié)構(gòu)面上不在同一直線上的三點(diǎn)坐標(biāo)得到結(jié)構(gòu)面在三維坐標(biāo)中的方程。通過(guò)結(jié)構(gòu)面方程研究它們的交切關(guān)系。

1 結(jié)構(gòu)面發(fā)育特征

結(jié)構(gòu)面是巖體內(nèi)開裂的和易開裂的地質(zhì)界面，包括物質(zhì)分異面和不連續(xù)面，如層理、片理、沉積間斷面、斷層、節(jié)理、劈理等。在地質(zhì)體上，結(jié)構(gòu)面是一定物質(zhì)組成的，如斷層由上下兩個(gè)面與充填于其間斷層巖和水組成，節(jié)理和裂隙也是由兩個(gè)面和面間的水和氣組成。

1.1 發(fā)育特征

結(jié)構(gòu)面成因不同，加之經(jīng)歷過(guò)不同時(shí)期構(gòu)造運(yùn)動(dòng)改造，造成巖體結(jié)構(gòu)特征千差萬(wàn)別。結(jié)構(gòu)面的自然特性決定著巖體的物理、力學(xué)性質(zhì)，對(duì)其進(jìn)行定量描述或研究是工程巖體力學(xué)的基礎(chǔ)工作，是使工程地質(zhì)研究進(jìn)入定量化的基礎(chǔ)工作。

1.1.1 產(chǎn)狀

結(jié)構(gòu)面產(chǎn)狀即它在空間的分布狀態(tài)。在工程地質(zhì)研究中，應(yīng)特別注意對(duì)結(jié)構(gòu)面產(chǎn)狀與工程建筑物方位間關(guān)系的研究，它往往對(duì)巖體穩(wěn)定性和建筑物安危起重要作用。

1.1.2 間距

結(jié)構(gòu)面間距指同組結(jié)構(gòu)面法線方向上該組結(jié)構(gòu)面間的平均距離，來(lái)表征巖體內(nèi)結(jié)構(gòu)面發(fā)育密集程度，也反映了巖體的完整程度和大小，通常按表1 進(jìn)行分級(jí)描述。

表1 結(jié)構(gòu)面間距的描述

1.1.3 延續(xù)性

延續(xù)性又稱延展性或連續(xù)性，指單個(gè)暴露面見(jiàn)到的結(jié)構(gòu)面跡線的長(zhǎng)度。表征有關(guān)結(jié)構(gòu)面面積延伸或貫穿長(zhǎng)度的粗略數(shù)值范圍。其測(cè)量應(yīng)直接在露頭上進(jìn)行，對(duì)走向和傾向方向分別進(jìn)行測(cè)量?？蓞⒄毡? 對(duì)其延續(xù)性進(jìn)行描述。

表2 結(jié)構(gòu)面延續(xù)性的描述

1.1.4 張開度

張開度是指結(jié)構(gòu)面兩壁間的垂直距離，除水和空氣之外，壁間無(wú)充填物。張開度對(duì)巖石的變形和水力學(xué)性質(zhì)影響很大，對(duì)巖石的強(qiáng)度也有一定的影響。

結(jié)構(gòu)面張開度通常不大，一般<1mm。但某些情況下產(chǎn)生的裂隙，可能有較大的張開度，如發(fā)生過(guò)剪切位移和波狀和粗糙結(jié)構(gòu)面；河谷侵蝕或冰川后退而發(fā)生拉伸作用形成的張性裂隙等。

1.1.5 組數(shù)

結(jié)構(gòu)面組數(shù)是指巖體中交叉分布的結(jié)構(gòu)面的組數(shù)。組數(shù)的多少是決定被切割塊體形狀的主要因素，它與間距一起決定了塊體的大小，從而決定了巖體的結(jié)構(gòu)類型，進(jìn)而控制著巖體的力學(xué)性質(zhì)和工程的穩(wěn)定性。

1.1.6 塊體尺寸

巖體中被交叉結(jié)構(gòu)面分割的巖石塊體的大小稱塊體尺寸，與結(jié)構(gòu)面間距、組數(shù)和延續(xù)性存在函數(shù)關(guān)系。嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，它不屬結(jié)構(gòu)面的特征，而是由結(jié)構(gòu)面上述特征所決定的結(jié)構(gòu)體的特征之一。根據(jù)單位體積巖體中通過(guò)的結(jié)構(gòu)面數(shù)量（即體積裂隙系數(shù)）來(lái)表示（見(jiàn)表3）。

表3 塊體尺寸描述

2 結(jié)構(gòu)面的數(shù)學(xué)表征

結(jié)構(gòu)面的各種信息，如走向、傾向、傾角是建立結(jié)構(gòu)面數(shù)學(xué)模型最基礎(chǔ)的實(shí)測(cè)資料。根據(jù)這些資料，可以確定結(jié)構(gòu)面在空間坐標(biāo)中的位置以及它的數(shù)學(xué)方程。結(jié)構(gòu)面在空間域中可分為平面、單值曲面和多值曲面，用不同的擬合函數(shù)來(lái)反映。只探討平面方程的形式。

2.1 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

通常，地質(zhì)坐標(biāo)以北軸為0 度，以順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正方向；數(shù)學(xué)坐標(biāo)是以x 軸為0 度，以逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正方向。在數(shù)學(xué)坐標(biāo)中，規(guī)定 y 軸正方向?yàn)榈刭|(zhì)坐標(biāo)中的北（N），x 軸正方向?yàn)闁|（E），具體情況如圖1 所示。

圖1 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

設(shè)一結(jié)構(gòu)面走向?yàn)棣?，則它在數(shù)學(xué)坐標(biāo)中的角度是“450°-α”，若這個(gè)值大于 360°，再減去 360°，若小于 360°，即為此值。

如，一結(jié)構(gòu)面走向?yàn)镹E72°，則它在數(shù)學(xué)坐標(biāo)中的角度為450°-72°-360°=18°；再如，一結(jié)構(gòu)面走向?yàn)?NW350°，則它在數(shù)學(xué)坐標(biāo)中的角度為 450°-350°=100°。

2.2 結(jié)構(gòu)面方程

為了方便研究，本文中涉及的結(jié)構(gòu)面都認(rèn)為是平面型式。下面給出兩種計(jì)算結(jié)構(gòu)面方程的方法。

2.2.1 點(diǎn)法式

點(diǎn)法式是確定平面方程常用的數(shù)學(xué)方法。其原理是過(guò)空間一點(diǎn)可以作而且只能作一平面垂直于一已知直線。所以當(dāng)知道平面上一點(diǎn)的坐標(biāo)以及它的一個(gè)法向量，根據(jù)它們數(shù)量積為零，便可確定平面方程。

根據(jù)實(shí)測(cè)資料可以知道結(jié)構(gòu)面上任意一點(diǎn)的空間坐標(biāo)，以及結(jié)構(gòu)面的傾角和傾向。設(shè)結(jié)構(gòu)面上有一點(diǎn)M0，其坐標(biāo)為（x0， y0，z0），結(jié)構(gòu)面傾角為 α，傾向轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)坐標(biāo)的角度為 β。有一單位法向量n 垂直于結(jié)構(gòu)面（見(jiàn)圖2），那么，這個(gè)單位法向量在 x、y、z 軸上的投影可根據(jù)傾角、傾向算出，其值為（sinαcosβ，sinβsinα，cos）。結(jié)構(gòu)面上有一任意點(diǎn) M（x，y，z），它們的數(shù)量積等于零：

圖2 結(jié)構(gòu)面產(chǎn)狀

這就是該結(jié)構(gòu)面的平面方程。

2.2.2 三點(diǎn)確定平面方程

此方法原理于點(diǎn)法式相同，只是求法向量的方法和前提不同。利用三點(diǎn)確定平面方程需要在實(shí)測(cè)時(shí)得到在結(jié)構(gòu)面上不在同一直線上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，如圖3 所示。

圖3 三點(diǎn)確定平面

2.3 頂點(diǎn)坐標(biāo)的確定

在結(jié)構(gòu)面成圖時(shí)，需要確定結(jié)構(gòu)面的范圍，這時(shí)候利用頂點(diǎn)坐標(biāo)確定圖形的范圍是比較容易實(shí)現(xiàn)的。實(shí)際測(cè)量結(jié)構(gòu)面時(shí)，可測(cè)得結(jié)構(gòu)面出露兩點(diǎn)的坐標(biāo)以及結(jié)構(gòu)面的層內(nèi)錯(cuò)動(dòng)帶的厚度。我們可以根據(jù)層內(nèi)錯(cuò)動(dòng)帶厚度與結(jié)構(gòu)面發(fā)育程度的公式（這是一個(gè)理論公式，實(shí)際情況也許與計(jì)算不同）推知其在走向方向上的發(fā)育范圍，公式如下：

式中：L中、L上分別為層內(nèi)錯(cuò)動(dòng)帶點(diǎn)群長(zhǎng)度中值和上限值，m；T-層內(nèi)錯(cuò)動(dòng)帶實(shí)測(cè)厚度，cm。

根據(jù)露頭兩點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)構(gòu)面發(fā)育的長(zhǎng)度，以及走向可以確定結(jié)構(gòu)面在巖體內(nèi)另兩點(diǎn)的坐標(biāo)。因?yàn)閿?shù)學(xué)模型為長(zhǎng)方形，所以z 軸數(shù)值不變，只需計(jì)算 x、y 值。

計(jì)算方法：設(shè)出露點(diǎn)M 的坐標(biāo)為（x，y），其走向轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)坐標(biāo)的角度為α，結(jié)構(gòu)面發(fā)育長(zhǎng)度為h，求點(diǎn)M1的坐標(biāo)。如圖4所示。

圖4 結(jié)構(gòu)面頂點(diǎn)坐標(biāo)求解

那么，所求點(diǎn)的坐標(biāo)為（x+hcosα，y+hsinα）。

2.4 交點(diǎn)、交線

結(jié)構(gòu)面相互之間相交，必定會(huì)有交線，兩個(gè)以上的結(jié)構(gòu)面相交有可能產(chǎn)生交點(diǎn)。交線、交點(diǎn)的算法是我們熟悉的聯(lián)立方程。只要知道結(jié)構(gòu)面的數(shù)學(xué)方程，這一部自然沒(méi)有什么難度。在求交點(diǎn)時(shí)，有時(shí)會(huì)有很多方程聯(lián)立，為了計(jì)算方便，可以把它們寫成矩陣形式，然后根據(jù)矩陣的初等變換進(jìn)行計(jì)算。

3 結(jié)論與展望

巖體結(jié)構(gòu)三維可視化將是今后巖體結(jié)構(gòu)研究的一個(gè)重要方向，對(duì)巖土工程穩(wěn)定性具有重要影響。巖體結(jié)構(gòu)復(fù)雜，難以利用單一的構(gòu)模方法來(lái)進(jìn)行描述。本文從數(shù)學(xué)角度淺顯地研究結(jié)構(gòu)面三維可視化中坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換、數(shù)學(xué)方程的建立。巖體結(jié)構(gòu)三維可視化研究與開發(fā)目前仍在進(jìn)一步研究和開發(fā)，將要成為地質(zhì)工作者研究巖體的重要手段。