數(shù)學建模思想在常微分方程教學中的應用

【摘要】? ? 常微分方程是一門重要的數(shù)學基礎(chǔ)課程，它在數(shù)學、自然科學與工程技術(shù)中的應用是十分廣泛的，但是常微分方程課程的學習是十分枯燥困難的，因此教師在進行常微分方程課程授課過程中需結(jié)合物理背景，并滲透數(shù)學建模思想，這樣不僅能夠激發(fā)學生對教學內(nèi)容的興趣，還能提高教師的教學質(zhì)量。本文結(jié)合人口模型闡述了數(shù)學建模思想在常微分方程教學中的必要性及基本思路，并進一步分析了其優(yōu)點，希望能在教學多元化方面作進一步提升。

【關(guān)鍵詞】? ? 常微分方程? ? 數(shù)學建模? ? 教學? ? 人口模型? ? 應用

引言：

17世紀，牛頓和萊布尼茨共同研究出了微積分這門學科，而后科學家們在利用微積分處理實際問題的過程中進一步給出了微分方程概念、相關(guān)性質(zhì)及應用。隨后，萊布尼茨、雅克比·伯努利、惠更斯、歐拉等科學家們對微分方程的解進行深入研究，將微分方程提升到更高的理論水平。微分方程經(jīng)過不斷發(fā)展，目前已經(jīng)有很多領(lǐng)域開始結(jié)合微分方程思想解決相關(guān)問題，如：與流體力學結(jié)合研究牛頓流、非牛頓流的特性，與空氣和動力結(jié)合研究原子彈、炸藥爆炸后，激波在介質(zhì)中的傳播規(guī)律，與化學結(jié)合研究物質(zhì)反應的平衡關(guān)系等。至今，常微分方程已經(jīng)發(fā)展為各個領(lǐng)域中解決問題的重要工具，更是數(shù)學領(lǐng)域中的一門核心課程。

而常微分方程課程是比較抽象、枯燥且不易理解的，教學過程中需要探索更多學生容易接受的方法，便于學生理解，激發(fā)學生學習興趣。另一方面，近年來數(shù)學建模在國際數(shù)學教育大會中占有很重要的地位，且在美國、英國等一些西方國家是一類非常熱門的話題。1991年起，中國逐步開展數(shù)學建模競賽活動，隨著國內(nèi)競賽體系不斷發(fā)展，帶動了大學課程體系的不斷完善，使得數(shù)學建模課程稱為大學數(shù)學教學中必不可少的部分，也成為其他課程的必備工具。

一、常微分方程教學中滲透數(shù)學建模思想的必要性

常微分方程課程主要是讓學生掌握相關(guān)的概念、原理和方法[1]，為后續(xù)的課程打下基礎(chǔ)，比如偏微分方程、泛函分析等，更重要的是，通過常微分方程課程的學習，使學生們能用微積分思想來解決實際生活、工作中存在的問題。數(shù)學建模是利用事物變化的因果關(guān)系形成系統(tǒng)，分析系統(tǒng)中各個變量對整體產(chǎn)生的影響[2]。教師在教學的過程中把相關(guān)的教學課題轉(zhuǎn)換成數(shù)學模型就是一種將抽象問題轉(zhuǎn)換為具體問題的一種重要方式，這種方式對于學生分析問題、解決問題來說有很大幫助[3，4]。因此雖然常微分方程學習起來較為枯燥困難，但若在知識講授過程中引入實際模型案例，便可加深學生對知識的理解和掌握，課后引導學生在知識的應用中進一步結(jié)合數(shù)學建模思想，從而達到知識的鞏固和應用。

二、數(shù)學建模在常微分方程教學中的實際應用

2.1 知識講授過程中滲透數(shù)學建模思想

常微分方程學習的初始階段，多數(shù)學生在知識的學習中暫時處于被動接受的過程，沒有探索知識的主觀能動性，對常微分方程的解法，如分離變量法、常數(shù)變易法等，及解的相關(guān)問題，如求邊界值、初值等概念模糊，相關(guān)方法掌握不透徹，教學過程中如果單純的從理論出發(fā)給學生講授求解常微分方程，學生無法形成系統(tǒng)的認識，此時若引入生活中實際的案例便可幫助學生理解概念，例如：教師在講授常微分方程的初等解法之“分離變量法”內(nèi)容時，首先講授分離變量法的基本理論，然后循序漸進引入人口發(fā)展模型。

具體地，首先我們以第七次全國人口普查（2020年開展的全國人口普查）引入人口預測問題。事實上，人口普查只能為我們提供部分時間點的橫截面數(shù)值，但往往在現(xiàn)實生活中，我們可能需要其他時間點的人口構(gòu)成及總數(shù)，于是我們的目標就是如何利用已知的部分時間點的信息盡可能準確的預測出其他時間點的人口數(shù)據(jù)。為了更好的讓學生理解人口預測模型，教師在案例教學的過程中首先分析引入馬爾薩斯人口模型[5]：

（1）

其中x（t）表示t時刻的人口數(shù)量，r表示人口增長率。我們發(fā)現(xiàn)（1）式為常微分方程且能夠進行分離變量，若令x（0）=x0，可解得：

（2）

通過上式我們就能發(fā)現(xiàn)馬爾薩斯人口模型的一個顯著特點是種群數(shù)量以指數(shù)形式增長，這顯然不符合人口實際發(fā)展態(tài)勢，其原因是該模型中假定人口增長率是穩(wěn)定的。事實上，人口的增長率受到很多因素的影響，如：經(jīng)濟因素、醫(yī)療衛(wèi)生因素、文化因素等。接下來教師便可引入Verhulst-Pearl改進后的模型。

假設(shè)目前地球的飽和人口數(shù)量為K，則人口增長率為，此時

（3）

上式便是Verhulst-Pearl于1938年提出的Logistic人口模型[5]。觀察發(fā)現(xiàn)（3）式是一個可分離變量的方程，再次利用本節(jié)課學習的分離變量法解該方程，其解為：

（4）

通過對本方程各變量的分析，發(fā)現(xiàn)Logistic人口模型更符合人口發(fā)展規(guī)律，之后有許多對人口模型作出了改進[6]，而且有效地預測我們所需要的人口數(shù)據(jù)。

通過引入人口模型讓學生們意識到知識是需要不斷探索的，它來源于生活又應用于生活，也能夠讓學生提前對數(shù)學建模有一定的認知，為以后的數(shù)學建模課程打下扎實的基礎(chǔ)，所以將數(shù)學建模思想應用于課程講授中是大有裨益的。

2.2在知識應用中滲透數(shù)學建模思想

常微分方程的應用領(lǐng)域非常廣泛，在很多學科都可以找到常微分方程的影子。該課程教學目的是培養(yǎng)學生利用常微分方程解決生活中的實際問題能力。因此課后的知識應用尤為重要。我們在課后可以引導學生運用數(shù)學建模解決實際問題。例如，學習一階微分方程的初等解法后，教師可以引導學生思考：通過數(shù)據(jù)得搜集和統(tǒng)計，建立一個能真正預測某傳染病的發(fā)展的合理的數(shù)學模型，并且以此模型為依據(jù)從而為某傳染病預防和控制工作給出合理的建議。

2.2.1 建模思路

事實上，建立一個合理準確的模型對于某傳染病的防控極其重要，我們知道，logistic模型對傳染病的發(fā)展趨勢能夠進行合理的模擬。假設(shè)沒有境外輸入和人員的大量流竄，logistic曲線的S型能夠很好的模擬某傳染病的發(fā)展，從而對某傳染病進行預測，并與實際數(shù)據(jù)進行對比，可以得出較為準確的預測值。在本模型中我們使用增長率r（x）為病例數(shù)x（t）的線性減函數(shù)來模擬政府、醫(yī)療機構(gòu)的措施抑制病情的發(fā)展。并對病例數(shù)x（t）求一階導數(shù)和二階導數(shù)研究某傳染病的發(fā)展狀態(tài)，即可對某傳染病的預測和估計。

2.2.2 模型的建立

要對若干天的傳染病感染人數(shù)進行預測和評估，最重要的影響因素是初始時刻的確診人數(shù)x0和在若干天后確診人數(shù)的增長率r（r>0）。t天后的確診人數(shù)x（t）可表示為：

（5）

將離散型（5）式連續(xù)化，得到指數(shù)增長模型：

（6）

隨著確診人數(shù)的增加和擴散，政府、醫(yī)療部門會采取有效措施預防和控制疾病的迅速蔓延，確診人數(shù)的增長率會隨著確診人數(shù)的增加而逐漸減少最終為零。可用增長率表示確診人數(shù)x（t）的減函數(shù)r（x），假設(shè)r（x）與x（t）呈線形關(guān)系：

（7）

顯然，當確診人數(shù)達到最大值時會出現(xiàn)零增長現(xiàn)象。于是令xm為最大傳染病例數(shù)，當x=xm時，增長率為零，即r（xm）=0代入（7）式得到，所以確診人數(shù)的增長率r（x）可表示為：

（8）

將（8）代入（6）中得：

（9）

解上述非線性微分方程得：

（10）

（10）式即為關(guān)于某傳染病的logistic數(shù)學模型。

logistic曲線的特點是初期增長緩慢，而在以后某一時間范圍內(nèi)迅速增長，達到某一限度后，增長又緩慢下來直至零增長，曲線略呈S型。下面對logistic函數(shù)作進一步的研究，進而了解某傳染病的傳播規(guī)律。

首先求函數(shù)的一階導數(shù)得到傳染過程中的速度函數(shù)：

（11）

然后求（11）速度函數(shù)的一階導數(shù)，并令其等于0，解得：

此時某傳染病傳播速度最快，即為高峰期。

其次求（11）生長速度函數(shù)的二階導數(shù)，并令其的等于0，解得：

這是速度函數(shù)得兩個拐點，加上高峰點，這樣logistic曲線有三個關(guān)鍵點。這三個點對應著傳染病傳染過程的三個關(guān)鍵時期：始盛期，高峰期，消退期，利用速度函數(shù)的兩個拐點將logistic曲線的生長過程分為漸增期0→t1，快增期t1→t2，緩增期t2→tm。學生可搜索相關(guān)數(shù)據(jù)進行模型求解，從而可進一步預測某傳染病的傳播和發(fā)展趨勢。

這些問題能夠讓學生在研究的過程中更加理解常微分方程相關(guān)知識，還能提高學生學習的積極性和學生對知識的求知欲望，同時也感受到團隊的力量，培養(yǎng)學生的團結(jié)協(xié)作能力。另外，教師在對學生授課時也融入了課程思政理念，讓學生間接體會抗疫者的偉大，體會國家的偉大，不僅達到提高教師教學質(zhì)量的目的，也響應了教育部的號召。

三、結(jié)束語

綜上所述，通過在常微分方程教學中融入數(shù)學建模思想，使實際問題具象化、符號化，首先，引入模型思想與傳統(tǒng)教學模式相比，更易理解，且利于提升學生的分析問題解決問題能力;讓學生在應用中學習，感受到知識來源于生活、回歸于生活，這樣既能提高學生學習的興趣，培養(yǎng)學生將抽象問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力，使之對數(shù)學學科有更深刻的理解和認識，為學生后續(xù)的發(fā)展打下基礎(chǔ)，也為以后的科研方向起引導作用。

作者簡介：王金妮（1991-），女，漢族，陜西志丹，碩士研究生，助教，偏微分方程

參? 考? 文? 獻

[1] 王高雄，周之銘，朱思銘，等.常微分方程（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2] 姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學模型（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2018.

[3] 刁光成. 常微分方程在數(shù)學建模中的應用[J]. 開封教育學院學報， 2018， 38（01）：137-138.

[4] 湯衛(wèi)，陳玉玲，楊赟.大學生數(shù)學建模思維的培養(yǎng)模式分析[J].貴州廣播電視大學學報，2020，28（04）：60-65.

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