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    一元二次方程壓軸題解題技巧

    2021-10-08 08:26:48李祥
    初中生世界·九年級 2021年9期
    關(guān)鍵詞:堂食門票價格小面

    李祥

    對一元二次方程在中考壓軸題中的考查主要體現(xiàn)在兩個方面,一是對根與系數(shù)關(guān)系的考查,二是結(jié)合一元一次方程(不等式)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等知識點在實際問題中的綜合運(yùn)用,對能力要求較高?,F(xiàn)結(jié)合2021年各地中考題進(jìn)行解讀,希望能幫助同學(xué)們更好地解決一元二次方程的壓軸題。

    例1 (2021·四川瀘州)關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m=0的兩實數(shù)根x1、x2滿足x1x2=2,則(x12+2)(x22+2)的值是()。

    A.8B.16C.32D.16或40

    【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,解得m=2或m=-1,再分別代入一元二次方程中,利用完全平方公式變形解題即可。

    解:由一元二次方程x2+2mx+m2-m=0知a=1,b=2m,c=m2-m,

    ∴x1x2=[ca]=m2-m=2,即m2-m-2=0,

    ∴(m-2)(m+1)=0,

    ∴m=2或m=-1。

    當(dāng)m=2時,原一元二次方程為x2+4x+2=0,∴x1+x2=[-ba]=-4。

    ∵x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2,

    ∴(x12+2)(x22+2)=(x1x2)2+2(x12+x22)+4=(x1x2)2+2(x1+x2)2-4x1x2+4=22+2×(-4)2-4×2+4=32。

    當(dāng)m=-1時,原一元二次方程為x2-2x+2=0,∵Δ=(-2)2-4×1×2=-4<0,原方程無解,不符合題意,故舍去。故選C。

    利用韋達(dá)定理解出m的值是基本要求,而用韋達(dá)定理的前提是此一元二次方程有根,這才是考查的難點。因此,把m的值代入方程,驗證根的判別式,才能真正確定符合題意的m的值。

    例2 (2021·重慶)重慶小面是重慶美食的名片之一,深受外地游客和本地民眾歡迎。某面館向食客推出經(jīng)典特色重慶小面,顧客可到店食用(簡稱“堂食”小面),也可購買搭配佐料的袋裝生面(簡稱“生食”小面)。已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的總售價為31元,4份“堂食”小面和1份“生食”小面的總售價為33元。

    (1)求每份“堂食”小面和“生食”小面的價格分別是多少元?

    (2)該面館在4月共賣出“堂食”小面4500份,“生食”小面2500份。為回饋廣大食客,該面館從5月1日起每份“堂食”小面的價格保持不變,每份“生食”小面的價格降低[34a]%。統(tǒng)計5月的銷量和銷售額發(fā)現(xiàn):“堂食”小面的銷量與4月相同,“生食”小面的銷量在4月的基礎(chǔ)上增加[52a]%,這兩種小面的總銷售額在4月的基礎(chǔ)上增加[511a]%。求a的值。

    【分析】(1)設(shè)每份“堂食”小面和“生食”小面的價格分別是x元、y元,根據(jù)題意列出二元一次方程組,解方程組即可;(2)根據(jù)題意列出一元二次方程,解方程即可。

    解:(1)設(shè)每份“堂食”小面和“生食”小面的價格分別是x元、y元。根據(jù)題意列方程組,得[3x+2y=31,4x+y=33,]解得[x=7,y=5。]

    答:每份“堂食”小面的價格是7元,“生食”小面的價格是5元。

    (2)根據(jù)題意,得4500×7+2500(1+[52a]%)

    ×5(1[-34a]%)=(4500×7+2500×5)(1+[511a]%),

    解得a1=0(舍去),a2=8。

    答:a的值為8。

    本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用和一元二次方程的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)題目中的等量關(guān)系,列出方程,再運(yùn)用相關(guān)知識解方程。本題的難點是面對眾多數(shù)量,如何將等量關(guān)系可視化。我們可以通過列表將數(shù)據(jù)整合,然后根據(jù)各個數(shù)量的含義,列出文字表達(dá)式,進(jìn)而列出方程。我們在解方程(組)時要膽大心細(xì),不要被復(fù)雜的方程(組)嚇倒,堅定地按照解法步驟解下去。一般來講,應(yīng)用題的答案是需要驗證的,如果都不符合題意,則要重新回到題目,看是否漏了條件。

    例3 (2021·浙江湖州)今年以來,我市接待的游客人數(shù)逐月增加,據(jù)統(tǒng)計,游玩某景區(qū)的游客人數(shù)三月份為4萬人,五月份為5.76萬人。

    (1)求四月和五月這兩個月中,該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長百分之幾;

    (2)若該景區(qū)僅有A、B兩個景點,售票處出示的三種購票方式如表所示:

    [購票方式 甲 乙 丙 可游玩影點 A B A和B 門票價格 100元/人 80元/人 160元/人 ]

    據(jù)預(yù)測,六月份選擇甲、乙、丙三種購票方式的人數(shù)分別有2萬、3萬和2萬。并且當(dāng)甲、乙兩種門票價格不變時,丙種門票價格每下降1元,將有600名原計劃購買甲種門票的游客和400名原計劃購買乙種門票的游客改為購買丙種門票。

    ①若丙種門票價格下降10元,求景區(qū)六月份的門票總收入;

    ②問:將丙種門票價格下降多少元時,景區(qū)六月份的門票總收入有最大值?最大值是多少萬元?

    【分析】(1)設(shè)四月和五月這兩個月中,該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為x,則四月份的游客為4(1+x)萬人,五月份的游客為4(1+x)2萬人,再列方程,解方程可得答案。

    (2)①先分別計算購買甲、乙、丙種門票的人數(shù),再計算門票收入即可得到答案;②設(shè)丙種門票價格降低m元,景區(qū)六月份的門票總收入為W萬元,再列出W與m的關(guān)系式,利用配方法求最大利潤即可得到答案。

    解:(1)設(shè)四月和五月這兩個月中,該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為x。

    根據(jù)題意,得4(1+x)2=5.76。解這個方程,得x1=0.2,x2=-2.2(舍去)。

    答:四月和五月這兩個月中,該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長20%。

    (2)①丙種門票價格下降10元,則購買丙種門票的人數(shù)增加0.6+0.4=1(萬人),購買甲種門票的人數(shù)為2-0.6=1.4(萬人),購買乙種門票的人數(shù)為3-0.4=2.6(萬人),所以門票收入為100×1.4+80×2.6+(160-10)×(2+1)=798(萬元)。

    答:景區(qū)六月份的門票總收入為798萬元。

    ②設(shè)丙種門票價格降低m元,景區(qū)六月份的門票總收入為W萬元。

    根據(jù)題意,得W=100(2-0.06m)+80(3-0.04m)+(160-m)(2+0.06m+0.04m),

    化簡,得W=-0.1(m-24)2+817.6。

    ∵-0.1<0,∴當(dāng)m=24時,W取最大值,為817.6萬元。

    答:當(dāng)丙種門票價格降低24元時,景區(qū)六月份的門票總收入有最大值,為817.6萬元。

    本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用,配方法是解決利潤最大值題型的關(guān)鍵。當(dāng)然,在學(xué)習(xí)了后面的知識之后,我們還可以用新知識再次認(rèn)識這道題。

    (作者單位:江蘇省無錫市新安中學(xué))

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