“解三角形”基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的列舉與描述

李永革

摘要：對(duì)數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行列舉與描述是數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)外顯化的標(biāo)志。對(duì)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的描述可以從形成背景、內(nèi)容界定、類(lèi)型劃分、價(jià)值分析方面展開(kāi)。高中“解三角形”模塊包括“借助向量運(yùn)算，探索邊角關(guān)系”“合理選擇正、余弦定理”“代數(shù)視角下研究最值與范圍”等基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

關(guān)鍵詞：解三角形 數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn) 列舉與描述

數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)具有較強(qiáng)的內(nèi)隱性，屬于緘默性知識(shí)。研究表明，它和數(shù)學(xué)中其他“三基”一樣，同樣可以列舉與描述。對(duì)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的描述可以從形成背景、內(nèi)容界定、類(lèi)型劃分、價(jià)值分析方面展開(kāi)。列舉與描述的過(guò)程，可以將內(nèi)隱的經(jīng)驗(yàn)外顯化。實(shí)現(xiàn)從自然狀態(tài)向教育形態(tài)的轉(zhuǎn)變，有助于一線教師更好地落實(shí)“四基”課程目標(biāo)?！敖馊切巍笔歉咧袛?shù)學(xué)重要的知識(shí)模塊，依據(jù)上述研究思路，本文對(duì)該模塊部分基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行列舉與描述。

一、數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的理解

數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，是指在數(shù)學(xué)目標(biāo)的指引下，對(duì)具體事物進(jìn)行觀察、操作、思考，由感性認(rèn)識(shí)向理性認(rèn)識(shí)飛躍時(shí)所形成的觀念、體驗(yàn)與認(rèn)識(shí)。它本質(zhì)上是形成一定的思維模式，建立一種數(shù)學(xué)直觀。

可從三個(gè)方面加深對(duì)數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的理解。首先，它具有較高的應(yīng)用價(jià)值。它能有效地指導(dǎo)相關(guān)數(shù)學(xué)活動(dòng)、促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展。其次，它不是高難度的，是全體學(xué)生應(yīng)該達(dá)到的共同必備基礎(chǔ)。最后，與形式化的數(shù)學(xué)知識(shí)相比，它相對(duì)比較模糊，沒(méi)有明確的邏輯起點(diǎn)，也沒(méi)有清晰的邏輯結(jié)構(gòu)。

二、數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的類(lèi)型劃分

標(biāo)準(zhǔn)不同，數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)可以劃分為不同的類(lèi)型。本文根據(jù)數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)所包含的成分將其劃分為體驗(yàn)性、認(rèn)知性、技能性、觀念性四種基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

三、經(jīng)驗(yàn)的列舉與描述

（一）“借助向量運(yùn)算，探索三角形邊角關(guān)系”的經(jīng)驗(yàn)

1.形成背景

“借助向量運(yùn)算，探索三角形邊角關(guān)系”的經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生在人教A版《數(shù)學(xué)5》第1節(jié)“正、余弦定理的證明過(guò)程”中獲得的。正余弦定理的向量證法，首先從三角形中構(gòu)造出向量等式實(shí)現(xiàn)幾何條件向量化;然后通過(guò)點(diǎn)乘單位向量、向量等式兩邊平方等方法實(shí)現(xiàn)向量等式的數(shù)量化，最后推導(dǎo)出三角形的邊角關(guān)系，實(shí)現(xiàn)對(duì)三角形邊角關(guān)系的定量刻畫(huà)。事實(shí)上，學(xué)生在“平面向量”一章已積累了一定的向量法研究幾何圖形性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)。例如利用向量的數(shù)乘運(yùn)算證明平面內(nèi)兩直線平行或重合，證明平面內(nèi)三點(diǎn)共線，證明線段的倍分關(guān)系;利用向量的數(shù)量積運(yùn)算證明平面內(nèi)兩直線垂直或求距離;利用向量的夾角公式求兩直線夾角。以上活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為本經(jīng)驗(yàn)的獲得奠定了基礎(chǔ)。

2.經(jīng)驗(yàn)名稱(chēng)

“借助向量運(yùn)算，探索三角形邊角關(guān)系”的經(jīng)驗(yàn)。

3.內(nèi)容界定

該經(jīng)驗(yàn)一般先在三角形中建立某種向量等式，然后借助向量數(shù)量積運(yùn)算實(shí)現(xiàn)向量條件數(shù)量化，最后整理化簡(jiǎn)，推導(dǎo)出所需要的三角形邊角關(guān)系。

4.類(lèi)型劃分

由于該經(jīng)驗(yàn)反映的是運(yùn)用向量工具探尋三角形邊角關(guān)系的一種運(yùn)算方法與技巧，故將該經(jīng)驗(yàn)歸屬于技能性經(jīng)驗(yàn)。

5.價(jià)值分析

（1）有助于基礎(chǔ)知識(shí)的掌握。學(xué)生獲得該經(jīng)驗(yàn)后能更好地理解正余弦定理證明過(guò)程，從而更加深了對(duì)定理的理解。

（2）體現(xiàn)了課標(biāo)的教學(xué)要求。2017年版新課標(biāo)指出：向量是溝通代數(shù)與幾何聯(lián)系的橋梁，是學(xué)習(xí)研究數(shù)學(xué)其他領(lǐng)域問(wèn)題的基礎(chǔ)，它是貫穿在高中數(shù)學(xué)課程中的一條主線。

（3）體現(xiàn)了教材的編寫(xiě)意圖。正余弦定理的證明方法很多，教材有意識(shí)地安排向量法，體現(xiàn)了編者對(duì)向量工具性作用的重視。

（4）有利于完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。獲得該活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，可以更好地感受向量與三角學(xué)之間的聯(lián)系，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的整體性認(rèn)識(shí)。對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用也會(huì)有新的體會(huì)和認(rèn)識(shí)。

（5）體現(xiàn)高考的要求。通過(guò)數(shù)量積運(yùn)算實(shí)現(xiàn)向量條件數(shù)量化是高考的重要考點(diǎn)。

二、“合理選擇正、余弦定理”的經(jīng)驗(yàn)

（一）形成背景

是在學(xué)習(xí)“四種基本解三角形問(wèn)題”和“判定三角形形狀”中獲得的。

（二）經(jīng)驗(yàn)名稱(chēng)

“合理選擇正、余弦定理”的經(jīng)驗(yàn)。

（三）內(nèi)容界定

1.解三角形，若已知元素為“兩角一邊”或“兩邊和其中一邊對(duì)角”，一般先用正弦定理。

2.解三角形，若已知元素為“兩邊和夾角”或“三邊”，一般先用余弦定理。

3.“已知式中若含有邊的二次式或角的余弦”，常選擇余弦定理轉(zhuǎn)化邊角。

4.“已知式中若含有邊的齊次式或角的正弦”，常選擇正弦定理轉(zhuǎn)化邊角。

應(yīng)用數(shù)學(xué)公式建立等量關(guān)系，求出未知量，這是學(xué)生已有的解題經(jīng)驗(yàn)，但不同的數(shù)學(xué)公式所含的量的種類(lèi)不同，公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)也不同。這就對(duì)每一個(gè)公式的適應(yīng)范圍構(gòu)成影響。正弦定理和余弦定理都有多個(gè)表達(dá)式，每一個(gè)表達(dá)式中都含有三角形的四個(gè)基本元素，可以實(shí)現(xiàn)“知三求一”。但兩個(gè)定理中所含的邊角種類(lèi)不同，正弦定理每一個(gè)公式中含兩對(duì)邊角，而余弦定理每一個(gè)公式中含三條邊和一個(gè)角。正弦定理中邊是一次（齊次），而余弦定理中邊是二次（齊次）。正是上述結(jié)構(gòu)特征導(dǎo)致了兩個(gè)定理的應(yīng)用情境不同。

（四）類(lèi)型劃分

由于該經(jīng)驗(yàn)反映的是在運(yùn)用正、余弦定理求解三角形未知元素，判定三角形形狀過(guò)程中的運(yùn)算技巧，故將該經(jīng)驗(yàn)歸屬于技能性經(jīng)驗(yàn)。

（五）價(jià)值分析

1.有助于基本技能的形成

靈活運(yùn)用正、余弦定理解四種基本類(lèi)型的解三角形問(wèn)題和判斷三角形形狀是本單元的基本技能，獲得該經(jīng)驗(yàn)有助于這兩項(xiàng)技能的習(xí)得。

2.貫徹課標(biāo)的教學(xué)要求

新課標(biāo)明確要求，掌握正、余弦定理，能熟練運(yùn)用這兩個(gè)定理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。積累“合理選擇正、余弦定理”的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，可有效提高正、余弦定理的運(yùn)用水平。