“三招”筑牢歸總問(wèn)題的小學(xué)數(shù)學(xué)模型

鐘建萍

【摘要】上新課時(shí)學(xué)生都學(xué)得不錯(cuò)，過(guò)后準(zhǔn)確率卻斷崖式下跌，有些學(xué)生列式正確但不會(huì)畫線段圖，有些學(xué)生線段圖畫對(duì)了但列式是錯(cuò)誤的，甚至出現(xiàn)了不少亂湊算式的現(xiàn)象。教學(xué)中，應(yīng)關(guān)注數(shù)量關(guān)系的理解，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法幫助學(xué)生掌握好題型的特征。同時(shí)，在練習(xí)中應(yīng)重視有效的對(duì)比分析，筑牢“歸總”問(wèn)題的解題模型。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)關(guān)系;數(shù)形結(jié)合;對(duì)比分析;數(shù)學(xué)模型

在教學(xué)“歸總問(wèn)題”之后，很多教師和學(xué)生都有很疑惑，上新課時(shí)大家都學(xué)得不錯(cuò)，即使不采用圖示法也能解決問(wèn)題，而且從練習(xí)情況來(lái)看準(zhǔn)確率比較高。但在綜合性練習(xí)或測(cè)試中，準(zhǔn)確率卻斷崖式下跌，有些學(xué)生列式正確但不會(huì)畫線段圖，有些學(xué)生線段圖畫對(duì)了但列式是錯(cuò)誤的，甚至出現(xiàn)了不少亂湊算式的現(xiàn)象。

筆者通過(guò)調(diào)查訪談發(fā)現(xiàn)，主要原因是教師過(guò)分重視解題模型的教學(xué)，忽略了對(duì)數(shù)量之間的關(guān)系的深入分析。教學(xué)中，應(yīng)關(guān)注數(shù)量關(guān)系的理解，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法幫助學(xué)生掌握好題型的特征。同時(shí)，在練習(xí)中應(yīng)重視有效的對(duì)比分析，筑牢“歸總”問(wèn)題的解題模型。

一、抓住問(wèn)題，分析數(shù)量關(guān)系

分析數(shù)量關(guān)系的方法通常有綜合法和分析法兩種，在低年級(jí)時(shí)，已知信息較少，很少出現(xiàn)信息混淆亂用的問(wèn)題，解決問(wèn)題基本上采用綜合法為主。歸總問(wèn)題和歸一問(wèn)題一樣，至少有三個(gè)以上的信息，且有相同意義的信息，三年級(jí)的學(xué)生較難把握它們之間的聯(lián)系。因此，分析法的引入和應(yīng)用成為了一大必要，同時(shí)，緊緊抓住所求的問(wèn)題，很容易能把握中間問(wèn)題就是“總數(shù)量”，這對(duì)于學(xué)生把握題型特征也有很大的幫助。

在用分析法梳理解題思路時(shí)，可以繪制簡(jiǎn)單的“思路圖”，先確定要“解決的問(wèn)題是什么”，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)把握“需要哪兩個(gè)條件”，判斷哪個(gè)條件是已知的，哪個(gè)條件是未知的，這個(gè)未知的條件就是要解決的中間問(wèn)題，找到已知條件解決了中間問(wèn)題就能解決最終的問(wèn)題。

中低年級(jí)要解決的教學(xué)問(wèn)題，很多教師會(huì)忽略學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系能力的培養(yǎng)，這會(huì)導(dǎo)致當(dāng)問(wèn)題變得復(fù)雜的時(shí)候，學(xué)生無(wú)從下手。抓住所求問(wèn)題，分析數(shù)量關(guān)系、表達(dá)數(shù)量關(guān)系應(yīng)該是這節(jié)課首先要關(guān)注的問(wèn)題。

二、數(shù)形結(jié)合，幫助理解題意

在學(xué)習(xí)“歸總”問(wèn)題時(shí)，不少學(xué)生都覺(jué)得畫圖多此一舉，這種論斷完成違背了編者對(duì)本道題的設(shè)計(jì)意圖，也沒(méi)有考慮課標(biāo)對(duì)學(xué)生能力培養(yǎng)的要求。歸總問(wèn)題的學(xué)習(xí)不僅是兩步問(wèn)題數(shù)量關(guān)系建立和學(xué)習(xí)方法形成的關(guān)鍵，而且是畫圖意識(shí)和畫圖能力培養(yǎng)的關(guān)鍵。所以，這一節(jié)課的教學(xué)離不開(kāi)圖示這一幾何直觀手段的應(yīng)用。

在前一節(jié)課的歸一問(wèn)題中，教材主要采用實(shí)物圖來(lái)幫助理解題意，本節(jié)課學(xué)生很容易會(huì)延續(xù)上一節(jié)課的思維，用一個(gè)圈代替一個(gè)碗，畫6個(gè)圈表示6個(gè)碗，這樣的表示形象、清楚、明了，但是，學(xué)生發(fā)現(xiàn)接下來(lái)不會(huì)畫了，不知道怎么來(lái)表示最終的問(wèn)題，教師想要引入的線段圖教學(xué)也較難實(shí)現(xiàn)。如果采用分析法，從問(wèn)題出發(fā)，結(jié)合本題的數(shù)量關(guān)系來(lái)畫線段圖則會(huì)更加順暢。不管用哪種方法分析題意，都要加強(qiáng)畫圖能力的指導(dǎo)，堅(jiān)持?jǐn)?shù)形結(jié)合的原則，幫助學(xué)生厘清“畫什么”“怎么畫”兩個(gè)問(wèn)題。

例9中要解決問(wèn)題，一定要先知道“一共有多少錢”， 這里引導(dǎo)學(xué)生任意畫一條線段來(lái)表示總的錢數(shù)，再根據(jù)題意以數(shù)解形，學(xué)生很順利能畫出第一條線段圖。接下來(lái)，根據(jù)關(guān)鍵詞“用這些錢買……”讓學(xué)生明白“總的錢數(shù)”沒(méi)有變，還是用同樣長(zhǎng)的線段表示，但每個(gè)碗的價(jià)錢由“6元”變成“9元”則要用稍微長(zhǎng)一些的線段來(lái)表示，數(shù)感好的學(xué)生甚至知道要比原來(lái)的長(zhǎng)一半才準(zhǔn)確。畫圖時(shí)，學(xué)生可能會(huì)在原線段圖上接著畫，此時(shí)應(yīng)當(dāng)給予學(xué)生適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)和提示：為了更清楚地表示它們的數(shù)量關(guān)系，可以另畫一條“同樣長(zhǎng)”的線段來(lái)表示“總的錢數(shù)”，并在這條新線段上來(lái)表示新的購(gòu)買方法和問(wèn)題。

在學(xué)生的作業(yè)中，線段圖和算式脫節(jié)的現(xiàn)象還是比較嚴(yán)重，歸根結(jié)底是學(xué)生對(duì)題目的理解不夠到位。杜絕這種現(xiàn)象的做法還是在課堂教學(xué)中的關(guān)注，學(xué)生解答后一定要引導(dǎo)學(xué)生思考、反思：怎樣從圖中判斷答案4是正確的呢？將學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)再次引向線段圖：一方面，可以比較總數(shù)量，4個(gè)9和6個(gè)6的總數(shù)都是36，與題目中“用這些錢”意義一致;另一方面，可以比較每份數(shù)，“9”比“6”大，每一份需要畫得長(zhǎng)一點(diǎn);最后，還可以適當(dāng)滲透函數(shù)思想：當(dāng)總量相同時(shí)，每份數(shù)越多，份數(shù)就越少，計(jì)算的結(jié)果是“4”比“6”小也正符合這一要求。這樣進(jìn)行檢查回顧，溝通圖文之間的聯(lián)系幫助理解題意、驗(yàn)證了解答的正確性，也為反比例函數(shù)思想的滲透埋下伏筆。

三、對(duì)比分析，建立解題模型

從前面的分析中，我們已經(jīng)知道，脫離了對(duì)題意的理解，死記硬背的解題模型是沒(méi)有意義的，即使學(xué)生已記住解題的方法，但題型特征沒(méi)有真正掌握，遇到時(shí)識(shí)別不了，應(yīng)用也無(wú)從談起。如果說(shuō)數(shù)形結(jié)合幫助理解題意、分析數(shù)量關(guān)系，是建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)的話，對(duì)比分析就是強(qiáng)化模型的關(guān)鍵。具體可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行：

1.數(shù)量大小之間的對(duì)比

例題中的數(shù)據(jù)比較小，學(xué)生容易理解數(shù)量關(guān)系，畫線段圖也容易，從而會(huì)讓學(xué)生覺(jué)得已完全掌握了歸總問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型的印象，在練習(xí)中，我們可以改變數(shù)量的大小測(cè)試一下他們?nèi)缦骂}：

李阿姨去商店買奶粉，如果買288元一瓶的奶粉，她帶的錢正好夠買6瓶。如果用這些錢買432元一瓶的奶粉，可以買幾瓶？（列綜合算式，不計(jì)算）

讓學(xué)生讀題后獨(dú)立思考會(huì)不會(huì)解答，并特別強(qiáng)調(diào)只需要列算式，不需要計(jì)算。如果學(xué)生不去分析數(shù)量關(guān)系，看到數(shù)據(jù)就有不少學(xué)生放棄了這道題的解答。教師可以讓會(huì)做的學(xué)生說(shuō)說(shuō)自己的想法和做法，但不急于判斷，而是再次出示例9，讓他們對(duì)比一下，再說(shuō)說(shuō)想法。通過(guò)對(duì)比，讓學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，第一題數(shù)量較大，感覺(jué)很復(fù)雜，但兩道題的情境和數(shù)量關(guān)系特點(diǎn)都是相同的：都是要先求出總數(shù)，而且，兩次購(gòu)物的“總錢數(shù)”也都是相同，再嘗試畫一畫線段圖，學(xué)生會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn)，線段圖是完全一樣的，所以，解題方法也一樣，都是先求出總數(shù)，再求份數(shù)。題目的難易關(guān)鍵不在于數(shù)量的大小，而在于有沒(méi)有厘清數(shù)量之間的關(guān)系，以后，還會(huì)遇到更大的數(shù)量，甚至是小數(shù)、分?jǐn)?shù)，只要抓住數(shù)量之間的關(guān)系，掌握好數(shù)學(xué)模型， 就能應(yīng)用相關(guān)的模型順利解題。

2.“歸一”“歸總”問(wèn)題的對(duì)比

前面說(shuō)過(guò)，根據(jù)調(diào)查，很多學(xué)生初學(xué)新課時(shí)學(xué)得不錯(cuò)，過(guò)段時(shí)間就忘記了，歸總問(wèn)題如此，歸一問(wèn)題也是如此。那么，把歸一問(wèn)題和歸總問(wèn)題兩道題放在一起，又會(huì)怎樣呢？如下面兩題：

（1）為民招待所新來(lái)一批客人，每間房住4人，需要20間房。如果每間房住2人，需要幾間房？

（2）為民招待還有8間房，最多能住進(jìn)32個(gè)人。照這樣算，如果有24人，需要幾間房？

這兩道題情境相同、問(wèn)題相同，數(shù)據(jù)也很有迷惑性，對(duì)掌握不好的學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定的難度，如果沒(méi)有讀懂其中的數(shù)量關(guān)系，就沒(méi)有辦法應(yīng)用解題模型進(jìn)行正確解答。教學(xué)中要引導(dǎo)他們對(duì)比分析，理解各個(gè)數(shù)量的含義，問(wèn)題雖然相同，但是第一題知道總?cè)藬?shù)才能解決問(wèn)題，所以是歸總問(wèn)題;而第二題要知道每間房能住的人數(shù)，所以要先求每份數(shù)，屬于歸一問(wèn)題。通過(guò)比較，讓學(xué)生們知道不能只看數(shù)據(jù)簡(jiǎn)單的湊算式，一定要從問(wèn)題出發(fā)，找到中間問(wèn)題，才能最終解決問(wèn)題。

3.圖文之間的對(duì)比和聯(lián)系

教學(xué)時(shí)要注重?cái)?shù)形結(jié)合，題目中“用同樣多的錢”在線段圖中表現(xiàn)為兩條同樣長(zhǎng)度的線段。問(wèn)題實(shí)際上就是求有“幾個(gè)9”，解題的關(guān)鍵是先算出總數(shù)是多少，即先算“6個(gè)6”是多少，要引導(dǎo)學(xué)生從文到圖，再?gòu)膱D到文，圖文結(jié)合來(lái)理解題題。新授課后還可以在練習(xí)中出示歸總問(wèn)題的線段圖讓學(xué)生用語(yǔ)言表達(dá)圖意，進(jìn)一步溝通圖文之間的聯(lián)系，能將圖變成文字，也能把文字轉(zhuǎn)化成線段圖，并能從圖文中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)——已知每份數(shù)求份數(shù)需要先求出總數(shù)。

4.不同情境的對(duì)比分析

研究表明，由于小學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知特征使得他們對(duì)不同的情境的理解有一定的障礙，如，常見(jiàn)的生活情境類的題目學(xué)生的理解會(huì)比較到位，而比較抽象的情境，學(xué)生的理解會(huì)比較困難，但我們的數(shù)學(xué)教學(xué)要與生活聯(lián)系起來(lái)，要承載更多的生活元素，就可能會(huì)出現(xiàn)很多不同情境的問(wèn)題，如購(gòu)物問(wèn)題、時(shí)間問(wèn)題、行程問(wèn)題、排隊(duì)問(wèn)題或其它的情境，如何通過(guò)不同的情境來(lái)把握歸總問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型呢，可以這樣設(shè)置題目：

（1）同學(xué)們排隊(duì)做操，如果每排12人，剛好可以站3排。如果每排9人，能站幾排？

（2）王叔叔要做一批零件，如果每小時(shí)做12個(gè)，3小時(shí)可以做完。如果每小時(shí)做9個(gè)，幾小時(shí)能做完？

（3）工人要修一條路，每天修12米，3天修完。如果每天修9米，幾天可以修完？

（4）面粉廠運(yùn)一批面粉，原計(jì)劃每次運(yùn)12袋，3次可以運(yùn)完。實(shí)際每次運(yùn)9貸，幾次可以運(yùn)完？

以上幾道題都是情境不同但是數(shù)據(jù)相同的歸總問(wèn)題，讓學(xué)生嘗試用線段圖將圖意表示出來(lái)，他們會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn)，情境雖然不同，但線段圖完全相同，解答方法也相同，由此讓學(xué)生感知圖形結(jié)合的重要性，情境變了，但問(wèn)題不變，都是求“份數(shù)”，數(shù)量關(guān)系也不變，四道題都是要先用乘法求出“總數(shù)”，再根據(jù)“總數(shù)÷份數(shù)=每份數(shù)”，從而更好地鞏固歸總問(wèn)題先求總數(shù)的數(shù)學(xué)思路。

數(shù)學(xué)模型固然好用，它有化繁為簡(jiǎn)的魔力。但是，過(guò)度重視數(shù)學(xué)模型、解題模型套路化限制了學(xué)生思維的發(fā)展。當(dāng)解題特征不明顯時(shí)，“套路”就失去了作用。解決問(wèn)題的教學(xué)要關(guān)注數(shù)形結(jié)合，加強(qiáng)畫圖方法的指導(dǎo)、讀圖能力的培養(yǎng)，在幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的同時(shí)培養(yǎng)幾何直觀能力。

參考文獻(xiàn)：

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責(zé)任編輯? 溫鐵雄