一題一課 生長(zhǎng)思維

戴承惠

[摘? 要] 選好初始問(wèn)題，借助“一題一課”的形式逐次展開(kāi)內(nèi)容，整體設(shè)計(jì)優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，注重變式拓展強(qiáng)化知識(shí)關(guān)聯(lián)，建構(gòu)解決一類問(wèn)題的方法體系;問(wèn)題呈現(xiàn)上從封閉到開(kāi)放，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，幫助學(xué)生積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，撬動(dòng)深度學(xué)習(xí)，使核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落地生根.

[關(guān)鍵詞] 一題一課;最值問(wèn)題;轉(zhuǎn)化思想;深度學(xué)習(xí)

學(xué)情分析

最短路徑問(wèn)題是中考的熱點(diǎn)試題，這類試題形式多樣，涉及面廣，是學(xué)生不容易突破的難點(diǎn). 雖然平時(shí)練習(xí)、考試中經(jīng)常出現(xiàn)，但鑒于教材呈現(xiàn)的知識(shí)時(shí)段不一致（軸對(duì)稱最值問(wèn)題、翻折最值問(wèn)題等），因此相關(guān)知識(shí)與方法的呈現(xiàn)是零散、孤立的，導(dǎo)致學(xué)生不能深入掌握知識(shí)的本質(zhì). 為此，本專題適合在中考第二輪復(fù)習(xí)時(shí)使用，內(nèi)容聚焦且有層次，幫助學(xué)生完善知識(shí)網(wǎng)絡(luò)、掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)、感悟數(shù)學(xué)思想和方法，實(shí)現(xiàn)由“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”的轉(zhuǎn)變.

復(fù)習(xí)目標(biāo)

筆者采用“一題一課”的復(fù)習(xí)模式，運(yùn)用聯(lián)系的、整體的視角將與線段最值有關(guān)的典型習(xí)題融于一題之中，幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系，促使深度學(xué)習(xí)的真正發(fā)生. 具體目標(biāo)如下：

（1）熟悉最短路徑問(wèn)題的幾種模型，掌握問(wèn)題解決的方法.

（2）體會(huì)轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想和方法，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

（3）幫助學(xué)生歸納問(wèn)題解決的模型，體驗(yàn)成功的喜悅，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.

教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 初始問(wèn)題，蓄勢(shì)待發(fā)

引例：如圖1，在Rt△ABC中，AB=6，∠C=30°，∠A=90°，P是斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AP的最小值.

變式1：如圖2，由點(diǎn)P作PU⊥AB于U，作PV⊥AC于V，求UV的最小值.

功能分析：立足學(xué)情，挖掘和整合初始問(wèn)題，是“一題一課”數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的起點(diǎn)，也是知識(shí)、方法和思維的生長(zhǎng)點(diǎn). 引例主要喚醒學(xué)生用“垂線段最短”求最值的方法，變式1的設(shè)置讓學(xué)生感悟幾何動(dòng)態(tài)圖形的“變”中有“不變”，復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，滲透轉(zhuǎn)化思想. 低起點(diǎn)的問(wèn)題引入，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也為深度學(xué)習(xí)的發(fā)生積蓄能量.

教學(xué)示范：引例問(wèn)題難度不大，給學(xué)生適當(dāng)?shù)臅r(shí)間，學(xué)生容易回答：當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP的值最小. 結(jié)合變式1，教師以問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生：（1）當(dāng)AP⊥BC時(shí)，如何求AP的值，你有什么方法？（2）四邊形AUPV是什么圖形？（3）根據(jù)四邊形AUPV是矩形，你會(huì)聯(lián)想到什么？（根據(jù)矩形的性質(zhì)，比較容易想到轉(zhuǎn)化求AP的最小值）（4）你能概括這兩個(gè)模型的特征嗎？引導(dǎo)學(xué)生概括本質(zhì)特征——“一動(dòng)一定型”，動(dòng)點(diǎn)在直線上，解決策略是垂線段最短.

2. 螺旋變式，高歌猛進(jìn)

變式2：如圖3，已知AN=3，Q是AB上的動(dòng)點(diǎn)，△AQN沿QN翻折，點(diǎn)A與A′對(duì)應(yīng)，求BA′的最小值.

變式3：如圖4，點(diǎn)M是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足∠M=90°，求CM的最小值.

功能分析：“隱圓”問(wèn)題對(duì)學(xué)生而言是比較難掌握的問(wèn)題，往往學(xué)生看不到滿足動(dòng)點(diǎn)軌跡的直接條件，解決這類問(wèn)題需要學(xué)生自主探索并發(fā)現(xiàn)軌跡，能靈活地用軌跡實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化. 兩個(gè)變式，讓學(xué)生從簡(jiǎn)單的圖形中發(fā)現(xiàn)特征，如在變式2、變式3中抓住“AN=A′N”“∠M=90°”始終不變，提煉基本模型，根據(jù)“定點(diǎn)定長(zhǎng)或定弦定角必有‘隱圓”，聯(lián)想到此動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓，讓學(xué)生體驗(yàn)“尋特征—顯隱圓—明路徑—解最值”的過(guò)程.

教學(xué)示范：解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于，引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中抓住“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)探索動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，進(jìn)而讓“隱圓”現(xiàn)身，幫助學(xué)生形成對(duì)這類問(wèn)題研究方法的整體認(rèn)識(shí). 教師以問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生：（1）上述“隱圓”模型是怎么形成的？你知道依據(jù)嗎？（2）兩個(gè)模型之間有沒(méi)有聯(lián)系？能否進(jìn)行歸納總結(jié)？（3）你們能概括此類問(wèn)題的特征嗎？通過(guò)這三個(gè)問(wèn)題，總結(jié)“隱圓”的特征（如圖5），提煉問(wèn)題的本質(zhì)變式;此類問(wèn)題也是“一動(dòng)一定型”，動(dòng)點(diǎn)在弧上，解決策略是把線段的最值轉(zhuǎn)化到“圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)”的最值問(wèn)題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力.

變式4：如圖6，S為AB的中點(diǎn)，R是BG上的動(dòng)點(diǎn)，求SR+AR的最小值.

變式5：如圖7，BG是∠ABC的平分線，H，L是邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，求△HLG的周長(zhǎng)的最小值.

功能分析：變式4主要考查“馬飲水”模型，此問(wèn)題是利用軸對(duì)稱求線段和最小值的經(jīng)典習(xí)題，主要是通過(guò)軸對(duì)稱變換，化同側(cè)為異側(cè)，實(shí)現(xiàn)“化折為直”. 變式5從變式4的“兩定一動(dòng)型”變成“兩動(dòng)一定型”，考查了化歸思想，屬于雙軸對(duì)稱模型，讓學(xué)生深刻體會(huì)軸對(duì)稱的“橋梁”作用，為探究問(wèn)題提供“腳手架”，從而實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的有的放矢.

教學(xué)示范：教學(xué)中先讓學(xué)生自主思考、分析條件，學(xué)生比較容易想到“馬飲水”問(wèn)題，以直線BG為對(duì)稱軸，S與S′關(guān)于BG對(duì)稱，則SR+AR=AR+S′R. 顯然，當(dāng)S′，R，A在同一直線上時(shí)，AR+RS′最短（如圖8）. 變式5是對(duì)變式4的拓展引申，引導(dǎo)學(xué)生把“兩定一動(dòng)型”轉(zhuǎn)化成“兩動(dòng)一定型”，鼓勵(lì)學(xué)生思考怎么把三條動(dòng)線段轉(zhuǎn)化到一條線段上，這類問(wèn)題最終往往會(huì)化歸到“兩點(diǎn)之間，線段最短”（如圖9）.

3. 深度探究，挖掘本質(zhì)

變式6：如圖10，H，G，L是△ABC上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若∠A=60°，∠B=75°，AC=6，求△HLG的周長(zhǎng)的最小值.

功能分析：通過(guò)有層次性的問(wèn)題變式，讓學(xué)生體會(huì)一個(gè)簡(jiǎn)單圖形中問(wèn)題的不斷生長(zhǎng)，適時(shí)將問(wèn)題一般化，從“兩動(dòng)一定型”拓展到“三動(dòng)點(diǎn)型”，尋找知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)、整體化的建構(gòu)聯(lián)系，抓住問(wèn)題本質(zhì)進(jìn)行變式，引發(fā)學(xué)生深度思考，讓學(xué)生領(lǐng)悟解決線段和最小值問(wèn)題模型的一般思維模式，真正發(fā)揮數(shù)學(xué)課堂的育人價(jià)值.

教學(xué)示范：教學(xué)過(guò)程中，留給學(xué)生充足的時(shí)間思考，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生思考如下幾個(gè)問(wèn)題：（1）題目要求什么？（2）三條折線段求最值問(wèn)題，你會(huì)聯(lián)想到什么？這兩個(gè)問(wèn)題的目的是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“三動(dòng)點(diǎn)型”，問(wèn)題的本質(zhì)還是轉(zhuǎn)化成“馬飲水”問(wèn)題：DH=HL，LG=GE，則D，H，G，E四點(diǎn)共線時(shí)，ADE為頂角120°的等腰三角形，即當(dāng)AL⊥BC時(shí)，△HLG的周長(zhǎng)最短（如圖11）.

4. 自主編題，創(chuàng)新思維

遷移提升：如圖12，在Rt△OAB中，點(diǎn)A在直線y=2上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)中始終保持∠B=30°不變，請(qǐng)你提一個(gè)關(guān)于線段和最小值的問(wèn)題.

學(xué)生經(jīng)過(guò)小組合作交流，教師總結(jié)，最終展示三個(gè)拓展.

拓展1：如圖12，點(diǎn)A在直線y=2上運(yùn)動(dòng)，求OB的最小值.

拓展2：如圖13，若D為（0，3），求DB的最小值.

拓展3：如圖13，若D為（0，3），求DB+OB的最小值.

功能分析：開(kāi)放性地設(shè)計(jì)問(wèn)題，為學(xué)生創(chuàng)造條件和機(jī)會(huì)，讓他們自己構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)參與、積極編題，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)“再發(fā)現(xiàn)”的過(guò)程，增強(qiáng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力;同時(shí)關(guān)注學(xué)情，把握動(dòng)態(tài)生成，讓學(xué)生學(xué)得數(shù)學(xué)本質(zhì)，又學(xué)得興趣盎然，使課堂更加自然、簡(jiǎn)約、深刻.

教學(xué)示范：對(duì)于開(kāi)放性問(wèn)題，教學(xué)時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，然后小組合作討論，派代表分享小組的編題想法. 教師在過(guò)程中要關(guān)注學(xué)生的問(wèn)題探究，對(duì)于學(xué)生所提問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)分類，抓住關(guān)鍵、凸顯本質(zhì)的問(wèn)題，從而做到收放自如，提高課堂效率. 拓展1中，求OB的最小值，本質(zhì)上可以轉(zhuǎn)化成OA的最小值，讓學(xué)生感悟轉(zhuǎn)化思想的巧妙. 拓展2、拓展3中，要去挖掘點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡，引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想，畫圖找特殊的三個(gè)點(diǎn)，大致判定軌跡是弧或直線，再用參數(shù)法確定點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線，進(jìn)而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為垂線段最短與“馬飲水”問(wèn)題.

5. 歸納小結(jié)，升華主旨

通過(guò)本節(jié)課學(xué)習(xí)，值得我們思考的幾個(gè)問(wèn)題：（1）同學(xué)們，你明白了最短路徑問(wèn)題有哪幾種基本模型嗎？（2）解決這類問(wèn)題用到了什么知識(shí)，你都清楚了嗎？對(duì)此你還有什么想法？

功能分析：通過(guò)學(xué)生回顧總結(jié)，梳理解決“最短路徑問(wèn)題”的本質(zhì)性思路，將解題的經(jīng)歷轉(zhuǎn)化為思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而遷移應(yīng)用的其他“相關(guān)”類型問(wèn)題的解題模式，淡化解題技巧，注重知識(shí)本質(zhì)，優(yōu)化思維品質(zhì)，發(fā)展核心素養(yǎng)，這應(yīng)該是深度學(xué)習(xí)價(jià)值之所在.

教學(xué)示范：在教學(xué)過(guò)程中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)“最短路徑問(wèn)題”的基本特征，提煉基本方法，感悟數(shù)學(xué)思想和方法，積極的評(píng)價(jià)促進(jìn)學(xué)生的思維習(xí)慣在反思中不斷矯正與提升，實(shí)現(xiàn)低階思維走向高階思維，形成學(xué)生思維發(fā)展的深刻性.

設(shè)計(jì)說(shuō)明

1. 立足深度的“學(xué)”，挖掘初始問(wèn)題

“初始問(wèn)題”的發(fā)掘和整合，要從學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，分析學(xué)生的知識(shí)薄弱點(diǎn)，重新組合教材的典型例題、習(xí)題作為“一題”的主要素材，由一個(gè)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)生成一節(jié)課的全部知識(shí)，建構(gòu)完整的知識(shí)和方法體系. 本課以引例出發(fā)，用一道題貫穿始終，走出“題海戰(zhàn)術(shù)”的陰影，追求簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單的思維課堂.

2. 立足深度的“教”，注重問(wèn)題設(shè)計(jì)

基于一個(gè)初始問(wèn)題，認(rèn)真研究并琢磨其本質(zhì)，通過(guò)縱橫聯(lián)系，改變問(wèn)題條件或結(jié)論，置換問(wèn)題背景，以轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想為主線把孤立的問(wèn)題串聯(lián)起來(lái)，形成一個(gè)有機(jī)整體. 通過(guò)對(duì)一類問(wèn)題的變式訓(xùn)練，增強(qiáng)學(xué)生面對(duì)新問(wèn)題敢于聯(lián)想已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)解決新問(wèn)題的意識(shí)，以及解決一類問(wèn)題的通性通法[1].

3. 立足深度的“思”，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

以開(kāi)放問(wèn)題為載體，讓學(xué)生通過(guò)深入思考，將積累的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)遷移到新的問(wèn)題情境中獨(dú)立思考，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題和解決問(wèn)題，達(dá)成對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)、思想、方法的領(lǐng)悟，促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造性和發(fā)散性思維的發(fā)展，促進(jìn)深度學(xué)習(xí).

參考文獻(xiàn)：

[1]張文海. “一題一課”：讓高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)走向素養(yǎng)落實(shí)[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2020（07）.