數(shù)學(xué)概念圖視野下高中習(xí)題教學(xué)實(shí)踐探索*

☉江蘇省南京市雨花臺(tái)中學(xué) 劉 恒

☉江蘇省南京市雨花臺(tái)中學(xué) 劉進(jìn)全

圖1

習(xí)題課在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中占有重要的份額，其教學(xué)目的在于通過(guò)習(xí)題讓學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行鞏固，并形成一定的解題技能和數(shù)學(xué)思維.教師利用概念圖進(jìn)行習(xí)題教學(xué)以及教學(xué)設(shè)計(jì)，清晰把握教學(xué)中的關(guān)鍵概念，分析教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)，設(shè)計(jì)更加貼近學(xué)生學(xué)習(xí)實(shí)際的教學(xué)情境，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，以下教學(xué)實(shí)踐或許會(huì)對(duì)大家有所啟發(fā).

一、小題適當(dāng)前置，回顧知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

在很多習(xí)題課中，往往是先進(jìn)行基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)，然后是例題、練習(xí)、檢測(cè).但實(shí)踐證明，學(xué)生對(duì)這種模式的習(xí)題課“興趣不高”.為了提升習(xí)題課的教學(xué)效率，結(jié)合所教學(xué)生的特點(diǎn)，我們應(yīng)選出那些具有代表性的書(shū)本習(xí)題或是根據(jù)所教的內(nèi)容自編的一些小題，形成一組從易到難、層層遞進(jìn)的小題題組，習(xí)題課前就交給學(xué)生解答，從基礎(chǔ)題的訓(xùn)練著手，小步驟、低起點(diǎn)，通過(guò)事先練習(xí)來(lái)重溫舊知，上課前，教師先進(jìn)行批閱，掌握學(xué)生的做題情況，課堂上，通過(guò)概念圖對(duì)知識(shí)進(jìn)行整合，梳理概念間的關(guān)系，以掌握不同內(nèi)容之間的聯(lián)系，使學(xué)生從本質(zhì)上認(rèn)識(shí)所學(xué)的概念.教師在教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生分析概念本身的特征，尋求相關(guān)概念的關(guān)系，探索表達(dá)這種關(guān)系的方式，并進(jìn)行有序編碼，構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，以便用時(shí)檢索并提取所需的信息，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，這樣，學(xué)生往往“較有興趣”.教師選編的題組既要注意本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)的覆蓋，又要滲透常用的數(shù)學(xué)思想方法，這也促使教師需要進(jìn)一步思考如何能更好的編制好小題題組，同時(shí)，教師在編制題組的過(guò)程中，進(jìn)一步熟悉了教材，從而促使教師進(jìn)一步深入研究教材.

案例1函數(shù)的極值與最值復(fù)習(xí)課中的“小題前置”

1.如圖2是y=f（x）導(dǎo)數(shù)的圖像，對(duì)于下列四個(gè)判斷：

①f（x）在［-2，-1］上是增函數(shù)

圖2

②x=-1是f（x）的極小值點(diǎn)；

③f（x）在［-1，2］上是增函數(shù)，在［2，4］上是減函數(shù)；

④x=3是f（x）的極小值點(diǎn).

其中判斷正確的是______.

2.函數(shù)f（x）=x3-3x2+7的極大值為_(kāi)_____.

4.若函數(shù)f（x）=x2+3ax2+3（a+2）x+3既有極大值又有極小值，則a的取值范圍為_(kāi)_____.

圖3

(3)成都平原城市群各經(jīng)濟(jì)類(lèi)型數(shù)目呈波動(dòng)性變化，經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)型分布在以成都市為核心的縣域，經(jīng)濟(jì)較發(fā)達(dá)型分布在成都市區(qū)的外圍，大部分區(qū)域?qū)儆诮?jīng)濟(jì)中等型和經(jīng)濟(jì)滯后型，主要分布在研究區(qū)邊緣地帶，但研究區(qū)整體經(jīng)濟(jì)空間發(fā)展格局逐步趨于穩(wěn)定，呈“凸”字型空間分異格局.從經(jīng)濟(jì)實(shí)力結(jié)構(gòu)看，從2000年的“金字塔型”逐步轉(zhuǎn)變?yōu)椤伴蠙煨汀苯Y(jié)構(gòu).

點(diǎn)評(píng)：五個(gè)小題難度不大，可以讓學(xué)生獨(dú)立完成.在完成的過(guò)程中，學(xué)生不僅了解了本節(jié)課所涉及的主要知識(shí)點(diǎn)和基本題型，還掌握了基本概念及概念間的聯(lián)系（圖3），從而為本節(jié)課的進(jìn)一步探究創(chuàng)造了條件.

二、精做典型習(xí)題，避免錯(cuò)誤陷阱

充分認(rèn)識(shí)書(shū)本習(xí)題和典型習(xí)題本身所蘊(yùn)含的價(jià)值，并高度重視這些習(xí)題的質(zhì)量，課堂上，精選習(xí)題，克服貪多、貪全，在此過(guò)程中，借助學(xué)生的講解，將學(xué)生解題的過(guò)程，甚至是發(fā)生“花樣繁多”的錯(cuò)誤解法暴露給學(xué)生，讓學(xué)生共享“錯(cuò)誤資源”，在剖析錯(cuò)誤解法的過(guò)程中，掌握其中的共性通法，并達(dá)到熟練程度，經(jīng)歷由“誤”到“悟”的思維過(guò)程，掌握數(shù)學(xué)思想方法的精髓，從而達(dá)到更深層次地理解、感悟真知、培養(yǎng)思維嚴(yán)謹(jǐn)性的目的.在此過(guò)程中，正因?yàn)榭赡艹霈F(xiàn)“花樣繁多”的錯(cuò)誤解法，這就促使我們教師要認(rèn)真?zhèn)湔n，精心預(yù)設(shè)，充分認(rèn)識(shí)到課堂上可能出現(xiàn)的情況，并不拘于預(yù)設(shè)，靈活處理課堂的生成.

案例2數(shù)列復(fù)習(xí)中的易錯(cuò)分析

1.已知數(shù)列{an}滿足a1a2a3…an=n3（n∈N*），則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=______.

易錯(cuò)點(diǎn)分析：a1a2a3…an-1=（n-1）3僅適用于n∈N*且n≥2時(shí)的情況，故不能就此斷定就是數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.才是正確答案.

2.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公差為d，且滿足a1＞0，S11=S18，則當(dāng)Sn最大時(shí)，n=______.

易錯(cuò)點(diǎn)分析：由于a15=0，所以S14=S15，當(dāng)n=14或n=15時(shí)Sn最大，解答時(shí)容易忽視數(shù)列中為0的項(xiàng).

易錯(cuò)點(diǎn)分析：解答本題容易忽略在等比數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同這一隱含條件.

而得到a1a9=±5的錯(cuò)解.正確答案是5.

點(diǎn)評(píng)：本案例中的3個(gè)問(wèn)題極具典型性，看似不難，其實(shí)是學(xué)生的“死穴”.在復(fù)習(xí)中讓老題發(fā)揮新的功能，理解數(shù)列與一般函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系（圖4）.

圖4

三、注重變式思考，設(shè)置開(kāi)放試題

注重通過(guò)變式訓(xùn)練加強(qiáng)知識(shí)的橫向聯(lián)系，達(dá)到優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)、開(kāi)闊眼界、拓展思維的目的，變式可將問(wèn)題的本質(zhì)特征暴露出來(lái)，而且可以對(duì)解題方法有全面且深入地理解，找到學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，消除數(shù)學(xué)的神秘感，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力.如條件與結(jié)論互換命題能否成立；加強(qiáng)或削弱命題的條件或結(jié)論能否得到正確的命題等.上好習(xí)題課很關(guān)鍵的因素就在于例題的變式處理水平.在此過(guò)程中，要注重題后的反思，在習(xí)題解答后，鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)做過(guò)的習(xí)題編寫(xiě)新題，并盡可能編寫(xiě)開(kāi)放性試題，這樣可以激發(fā)學(xué)生的自主意識(shí)、探究意識(shí)，并達(dá)到舉一反三的效果.

案例3直線與圓位置關(guān)系開(kāi)放性試題探索

依據(jù)概念圖5，我們可以設(shè)計(jì)如下開(kāi)放性習(xí)題：若已知一條直線與圓C：（x-3）2+y2=1，我們可以求解哪些問(wèn)題？學(xué)生可以從位置、距離、切線、向量、最值等角度提出問(wèn)題，進(jìn)而學(xué)會(huì)如何思考，讓學(xué)生以命題者的身份來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，多方位、多角度地分析問(wèn)題，從提出問(wèn)題到解決問(wèn)題，彰顯充滿活力的課堂.

圖5

總之，數(shù)學(xué)概念圖視野下的習(xí)題教學(xué)，要求教師要抓住知識(shí)的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，并啟發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生在掌握所學(xué)知識(shí)技能的同時(shí)，感悟知識(shí)的本質(zhì)，積累思維和實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，形成和發(fā)展核心素養(yǎng)在構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中把握數(shù)學(xué)的整體性.而數(shù)學(xué)概念圖作為教學(xué)工具，能夠在整體構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展，把學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)滲透到日常教學(xué)中，最終落實(shí)到課堂上，落實(shí)到學(xué)生頭腦中，這就需要我們做好以下幾點(diǎn)：（1）習(xí)題課前布置學(xué)習(xí)材料，先做后講.而且上課之前，教師要先了解學(xué)生的做題情況，摸清學(xué)生哪些題目會(huì)做，哪些題目不會(huì)做，哪些題目易錯(cuò)，由此決定課堂上應(yīng)重點(diǎn)講解的題目.（2）習(xí)題課要做到“一講重難點(diǎn)，二講易錯(cuò)點(diǎn)，三講易混點(diǎn)，四講易漏點(diǎn)；不講太難的，不講太易的，不講學(xué)生已經(jīng)熟練掌握的，不講學(xué)生自學(xué)能學(xué)會(huì)的”.（3）習(xí)題課切忌貪圖大容量，導(dǎo)致每道題都講，但沒(méi)講解透徹，更不能只有分析，沒(méi)有規(guī)范完整的板書(shū)，給學(xué)生留下的都是“半成品”題.課上應(yīng)集中于某幾個(gè)題目，從容不迫并徹底地解決它們.要想讓學(xué)生跳出題海，教師就要跳進(jìn)題海去選題，選那些真正有意義的、高質(zhì)量的、難度適宜的，并可以進(jìn)行適當(dāng)變式處理的題.習(xí)題課中，我們同樣要處理好學(xué)生的主體地位和教師的主導(dǎo)作用的關(guān)系，不能一講到底，也不能放任不管，要做到放中有收、收中有放、收放有度.從教學(xué)理念、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)過(guò)程及教學(xué)方法等方面，全面進(jìn)行開(kāi)放性的教學(xué)探究與實(shí)踐.從思想上要相信學(xué)生，從行動(dòng)上要放手學(xué)生，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極主動(dòng)且愉快有效地學(xué)習(xí)，這樣才能收到較好的效果.