航天飛行器在共面多軌道間的機動規(guī)劃方法研究

劉冰雁 于鴻源 馬心意 房瑩 張頌

（1.軍事科學院，北京100091）（2.解放軍32032部隊，北京100094）

引言

航天飛行器在太空軌道間快速開展維護、補給、移除和再利用等在軌服務，都需要在所帶燃料支撐能力下依一定順序訪問各目標軌道.太空軌道是當飛行產生的離心力相當于地球地心引力而在一定高度繞地球做圓周運動的運行軌跡.當這些運行軌跡均位于同一軌道平面內時，為共面軌道.地球周圍太空按高度分高、中、低軌道，范圍可達幾萬公里，飛行器在多軌道間機動，為了節(jié)省燃料通常遵循開普勒定律，多采用雙脈沖、多脈沖的機動形式.但在緊急情況下，飛行器需要以任務為重心，在最短時間內執(zhí)行所有在軌服務，多軌道間的機動時間便成了任務成敗的關鍵.因此，面對相距較遠的多條軌道，需結合飛行器所帶燃料選擇變軌方式，規(guī)劃出用時最短、科學合理的機動方案.

有關軌道機動規(guī)劃，Zaborsky［1］、Pontan［2］和謝成清［3］研究了兩軌道間的轉移軌道設計問題，對分析不同方式下的軌道間機動效果具有借鑒意義.袁建平［4］、李俊峰［5］和孫沖［6］關于非開普勒軌道機動方面進行了探索研究，對軌道間采取非開普勒徑向機動方式的提出具有啟示作用.歐陽琦［7，8］、余婧［9］和朱嘯宇［10］針對在軌服務進行了任務規(guī)劃研究，以燃料消耗最小為出發(fā)點簡化機動過程，重點研究了任務分配和資源調度問題，但較少考慮多軌道間的機動規(guī)劃問題.

本文將根據(jù)航天飛行器的變軌機動需求，考慮開普勒的霍曼、高斯以及非開普勒徑向三種典型變軌機動方式，構建共面多軌道間的機動規(guī)劃模型，針對有限時間及燃料通過機動策略尋優(yōu)算法解算，以獲得最短機動時間和最優(yōu)機動方案.

1 軌道間機動方式分析

太空軌道是空間任務中的基本要素，是航天飛行器僅受引力作用的穩(wěn)態(tài)飛行路徑.軌道間機動是靠動力裝置改變飛行軌道的行為，是以初始軌道為起點通過轉移軌道抵達目標軌道的過程.共面軌道間機動方式的選取需要考慮初始軌道與目標軌道的共面性、切向速度沖量與轉移軌道形態(tài)的約束性及開普勒機動與非開普勒機動的相異性.

1.1 共面霍曼變軌機動

在一定離心力下，航天飛行器只受地球引力和軌道攝動影響，將沿著一定軌道飛行.若想從當前軌道跨越到同一軌道平面內的另一軌道，就需要飛行器自身動力系統(tǒng)提供外力改變原有飛行速度或方向.以最省燃料為出發(fā)點，遵循開普勒運動，只需給予飛行器一個速度增量改變運行軌道使其沿轉移軌道飛行，當此轉移軌道正好與目標軌道相切即可完成軌道間的機動，這就是共面霍曼變軌機動的基本原理.

共面霍曼變軌機動過程如圖1所示，在半徑為r1的初始軌道C1的任意點P產生第一個速度沖量Δv，改變其原有軌道飛至轉移軌道E，E的近拱點為P、遠拱點為A.經過半個轉移周期達到遠拱點為A，遠拱點正好與半徑為r2的目標軌道C2相切.一般軌道轉移問題在考慮近拱點速度沖量vhm改變原來軌位的同時，還需要考慮到遠拱點順利進入目標軌道問題.但我們研究的軌道間機動任務中，到達目標軌位附近后不一定采取入軌行為，有可能根據(jù)操控任務需要采取伴飛、繞飛和懸停等動作.因此，在軌道間機動過程中論文主要考慮初始變軌過程中的速度沖量、燃料損耗和轉移軌道周期問題.

圖1 共面軌道間機動方式示意Fig.1 A schematic illustration for maneuver mode between coplanar orbits

設vc1和vc2分別為初始軌道C1和目標軌道C2的速度，橢圓轉移軌道與初始軌道相切的近拱點P的速度為vEP，μ為天體引力常數(shù).共面霍曼變軌機動方式中：轉移軌道的遠拱點正好與目標軌道相切，據(jù)此可以構建軌道速度與軌道半徑的關系模型［11］：

由此可知，軌道速度主要跟地球引力常數(shù)、軌道半徑相關，軌道轉移速度可以根據(jù)初始軌道速度、半徑以及目標軌道半徑確定.再根據(jù)開普勒方程，可以證明橢圓軌道的運行周期只與長半軸a有關，而與軌道形狀（偏心率）無關.基于以上分析，可推導出共面霍曼速度沖量模型、長半軸模型以及轉移軌道周期模型：

1.2 共面高斯變軌機動

通過對軌道動力學和開普勒運動分析可知，速度沖量Δv在一定范圍內遞增，如圖2所示轉移軌道形態(tài)將由橢圓經長橢圓向拋物線演化，變軌機動時間t也將由半個轉移周期T逐漸縮短.在開普勒定律下，只需知道初始軌道與目標軌道位置以及可提供的速度沖量，便可估算變軌機動時間和各軌道參數(shù)的方法均屬于共面高斯變軌機動方式，霍曼變軌機動可視為高斯方式的一種特例.由速度沖量改變產生的各種共面高斯軌道機動方式，與共面霍曼變軌機動相比，能有效縮減軌道間機動時間，但需以增大速度沖量為代價，這對航天飛行器的動力裝置和燃料儲備提出了更高要求.

圖2 不同速度下的轉移軌道形態(tài)圖Fig.2 Transition orbit morphologies at different velocities

由此，共面高斯變軌機動方式中的速度沖量Δv是一個不確定量，需根據(jù)動力裝置及燃料儲備提前確定 .可依據(jù)開普勒運動［11，12］建立以速度沖量為變量的轉移軌道近拱點與初始軌道的速度關系模型：

接著，根據(jù)活力公式可計算求得轉移軌道的各軌道根數(shù)［11］.其中，依據(jù)開普勒定律和運動方程M=E-e?sinE，可構建出飛行器從初始軌道變軌機動至目標軌道的機動時間模型：

1.3 共面非開普勒徑向機動

目前太空中的飛行器絕大部分軌道運動都遵循1610年提出的開普勒定律，重點考慮地球中心引力場下的飛行器軌道運動.隨著航天技術的發(fā)展、太空在軌服務需求的不斷拓展，有越來越多緊急、復雜、大范圍和多作業(yè)形式的空間操控任務需要飛行器去完成.這樣，是否能夠依任務需要直接、快速機動至目標軌道便成為當前制約任務完成效率的關鍵因素.基于開普勒定律和開普勒空間軌道理論的機動模型具有機動軌道模式固定、運動時間長以及持續(xù)推力運動難描述等局限，難以適應直接、快速和持續(xù)推力下的空間機動行為.未來太空在軌服務不僅要求飛行器能夠順利抵達目標軌道，更加注重變軌機動的快速性、直接性、可控性和全域可達性，這致使整個運動不再完全滿足開普勒定律.我們定義一切不再符合理性開普勒運動的太空機動為非開普勒運動，即為不再符合開普勒三定律或二體問題解的太空運動.在動力裝置持續(xù)推力作用下，將改變飛行器質心運動的軌跡，即轉移軌道不再是開普勒軌道，而是受不同的瞬時加速度做螺旋、弧線或折線甚至直線軌跡［13，14］.本文將拋開開普勒定律限制，考慮軌道間最直接的機動方式，采取在徑向方向給予持續(xù)推力的方式使飛行器在徑向產生加速度，從而更快到達目標軌道.

設在地球引力場中不考慮攝動因素，飛行器在地球萬有引力下做圓周運動，即只受法向方向的引力FG.現(xiàn)依據(jù)目標軌道方位通過動力系統(tǒng)產生一個持續(xù)發(fā)動機推力F，該F可分解為徑向分力Fh和切向分力 Fs，由此可求得飛行器的合加速度［15，16］：

式中，m為飛行器質量，rd為法向（徑向）單位矢量，sd為切向單位矢量.設M為地球質量、G為引力常量、r為飛行器初始軌道半徑，把μ=GM、FG=GMm r2［17］代入式（7），得到徑向方向的瞬時加速度模型：

2 共面多軌道間的機動規(guī)劃方法

飛行器為完成共面多軌道間機動任務需結合動力系統(tǒng)特性和攜帶燃料量選取合適的變軌機動方式，以最短時間機動到目標軌道.其中，軌道高度不同則速度不同，相互間變軌機動所需的速度沖量也就不同，速度沖量的增加雖可有效縮短機動時間，但卻會消耗更多燃料.因此，飛行器在軌道間采取各變軌機動行為之前，需要將各方面因素統(tǒng)籌考慮，構建規(guī)劃模型，設計適用、高效的尋優(yōu)算法.

2.1 目標優(yōu)化函數(shù)模型

面對任務執(zhí)行度、飛行裝置動能轉換率和攜帶燃料量等多優(yōu)化需求，從緊急機動角度選取最重要因素作為優(yōu)化目標.據(jù)上文分析可知，緊急在軌服務任務的完成度主要還是受整個軌道間機動時間影響，時間就是生命，只有在機動上節(jié)省更多的時間才能在每個任務點上留有更充分的操控時間.因此，在共面多軌道間的機動規(guī)劃問題上，選取整個機動時間為優(yōu)化目標并構建目標優(yōu)化函數(shù)：

式中：tij為從i軌道機動至j軌道的時間，單位為s；xij為i軌道與j軌道間轉移軌道的選取情況，為無量綱量；N為需訪問的軌道總數(shù)，單位為條.

2.2 變軌機動約束模型

變軌機動前需選定變軌方式，依上文分析可大致分為開普勒運動和非開普勒運動，具體選取依動力裝置性能、任務緊急程度和燃料儲量而定.根據(jù)開普勒運動的軌道根數(shù)、速度沖量、軌道轉移周期以及機動時間的動力學關系，建立開普勒高斯變軌機動約束模型：

式中，aij為從i軌道機動至j軌道的轉移軌道長半軸，單位為km；Eij為ij軌道間轉移軌道的偏近點角，單位為度；eij為ij軌道間轉移軌道的偏心率，為無量綱量；vij為i軌道機動至j軌道的轉移軌道近拱點速度，單位為k∕ms；Δvij為i軌道機動至j軌道的速度沖量，單位為k∕ms；Δυ為基于共面霍曼速度沖量的速度增量，單位為k∕ms.

非開普勒運動軌跡主要由飛行器在徑向及切向方向上的瞬時加速度共同決定，軌道間機動時間主要受徑向方向的加速度控制.由此，重點考慮徑向方向機動情況，選取均變速徑向機動這一特殊情況建立非開普勒變軌約束模型：

式中，αij為從i軌道機動至j軌道的徑向合加速度，單位為km∕s2；rij為從i軌道機動至j軌道過程中距地心的徑向距離，單位為km；為i軌道機動至j軌道過程中的徑向發(fā)動機推力，單位為N；vi0為i軌道機動至 j軌道的徑向初始速度，單位為 k∕ms；vij為i軌道機動至 j軌道的機動速度，單位為 k∕ms；sij為i、j軌道間機動的徑向累計路程，單位為km；tij為從i軌道機動至j軌道的時間，單位為s.

2.3 變軌路徑約束模型

飛行器面對共面多軌道，需事先明確訪問各軌道的先后順序且每個軌道只訪問一次.這是一類組合優(yōu)化的問題約束，即針對每一目標軌道需明確：僅經由一條轉移軌道進入和一條轉移軌道離開，整個轉移軌道構成一個轉移鏈，中間沒有任何子回路的產生.由此，構建整個變軌機動的路徑約束模型：

式中，當xij=1時，選取ij軌道之間的轉移軌道，其他則不選取.

2.4 變軌燃料約束模型

有的太空軌道間距較遠，航天飛行器自身燃料補給困難，機動過程中必須考慮燃料的消耗情況.可將每次變軌機動前后速度矢量改變量的模，即速度增量的大小作為軌道控制所付出能量代價的一種間接度量.基于動量守恒原理齊奧爾科夫斯基給出了速度與燃料損耗的關系理論［18，19］，即航天飛行器通過一個消耗自身燃料質量的反方向推進系統(tǒng)，可以在原有運行速度上產生并獲得加速度.由此，構建軌道間機動燃料約束模型：

式中，vij為i軌道機動至j軌道開普勒運動的近拱點速度或非開普勒運動的機動速度，單位為km∕s2；β為從i軌道機動至j軌道過程中燃料轉換率，是由動力系統(tǒng)決定的常量；λ為i軌道機動至j軌道過程中燃料燃燒后噴出的能量相對火箭的速率，單位為km∕s；mq為飛行器本體的質量，單位為kg；mr為飛行器所攜帶的燃料總量，單位為kg；mij為從i軌道機動至j軌道所消耗的燃料，單位為kg.

2.5 機動策略尋優(yōu)算法

根據(jù)所建立的機動規(guī)劃模型，設計基于改進蟻群算法的機動策略尋優(yōu)算法.算法中根據(jù)要訪問的軌道數(shù)量設計螞蟻數(shù)，其中每只螞蟻具有特征：根據(jù)以每次變軌機動時間和轉移軌道上外激素的數(shù)量為變量的概率函數(shù)，選定下一個訪問軌位；強制螞蟻遵循合法路徑搜索，不重復訪問、不走小環(huán)路，并由禁忌表進行控制；完整一次搜尋后，在曾經訪問的每一條轉移軌道用外激素標記.算法起始時刻，設各軌道間轉移軌道所攜帶的信息素相等，各螞蟻在搜索中根據(jù)轉移軌道上的所需的機動時間決定轉移方向，并按轉移概率模型機動至下一軌道.遍歷完所有軌道后，螞蟻完成一次循環(huán)，根據(jù)外激素更新模型［20］修改軌跡強度，并以燃料消耗情況審查進行約束.整個解算流程如圖3所示.

圖3 基于改進蟻群算法的機動策略尋優(yōu)算法流程圖Fig.3 Flow chart of maneuver strategy optimization algorithm based on improved ant colony algorithm

3 算例求解與分析

算例是以航天飛行器在赤道面上的七條軌道間往返執(zhí)行在軌服務任務為背景，將七條軌道簡化為圓形軌道，各軌道的距地球面高度集為：｛r1=36300；r2=36700；r3=37200；r4=37800；r5=38500；r6=39300｝，單位為km.航天飛行器本體質量mq=1× 103kg，攜帶燃料 mr=4×103kg，裝備最大推力為Fmax=39.3kN的肼燃料改進型火箭發(fā)動機，動力系統(tǒng)噴口速率λ=3km∕s，采取非開普勒徑向機動方式時徑向方向最大合加速度αmax=6×10-3km∕s2，地球引力常數(shù) μ =398600.4km3∕s2，地球半徑rε=6378.14km.現(xiàn)需此飛行器在這七條軌道依序開展緊急在軌服務任務，其中預留的軌道間總機動時間只有2.5小時，且要求燃料最少結余50公斤以保障在軌操控任務的順利開展.

3.1 兩類變軌方式的機動時長及燃料消耗情況

軌道間采取高斯機動過程中，增大速度沖量將有效提升機動時效性，但燃料消耗也有所增加.圖4仿真展現(xiàn)了r0機動至r1時長隨速度沖量增大呈非線性遞減的情況，及兩軌道間燃料消耗隨速度沖量增大呈非線性遞增的情況.

圖4 高斯機動中時間、燃料變化情況Fig.4 Time and fuel variations in Gauss maneuver

當軌道間采取非開普勒徑向機動時，使航天飛行器在徑向方向保持不同合加速度，其機動時間和燃料消耗情況均有所不同.圖5展現(xiàn)了初始軌道r0在徑向方向采取不同合加速度機動至r1軌道的機動時間、燃料消耗情況.其中，機動時長隨徑向合加速度增大呈非線性遞減趨勢，燃料消耗量隨徑向合加速度增大呈非線性遞增趨勢.

圖5 非開普勒徑向機動中時間、燃料變化情況Fig.5 Time and fuel variations in non-Keplerian radial maneuver

3.2 四種特殊情況的最優(yōu)機動方案

如表1所示，為四種特殊變軌機動方式下的最優(yōu)機動方案.其中，采取開普勒霍曼機動時，各軌道間的轉移軌道均為與目標軌道相切的橢圓軌道，例如r3至r4的轉移軌道形態(tài)為長半軸為41.178×103km、短半軸為41.177×103km的橢圓.通過規(guī)劃方法得到時間最優(yōu)的機動策略，整個機動過程所需時間為136.5小時，燃料消耗量為243.77公斤.

表1 考慮不同變軌方式的最優(yōu)機動方案Table 1 Optimal maneuver scheme for different ways of orbit shifting

軌道間的速度沖量受初始軌道高度限制，由此可以確定各速度沖量的極限值.當采取極限速度下的高斯機動時，各軌道間的轉移軌道都是在不同程度上與目標軌道相交的橢圓軌道，例如r3至r4的轉移軌道形態(tài)為長半軸為4513.0×103km、短半軸為1920.9×103km的長條形橢圓.由于軌道間機動時間受初始軌道高度、速度沖量影響，當速度沖量改變則軌道間的機動比較優(yōu)勢將可能有所變化.通過規(guī)劃方法可以得到當前環(huán)境下的最優(yōu)機動策略，即由2號軌道經1號、0號、3號、4號和5號機動至6號軌道.整個機動過程所需時間為8.8小時，燃料消耗量為3701.35公斤.

將軌道間機動分解為徑向運動跟切向運動，只有當徑向方向運動率先與目標軌道交會才能將整個機動時間以徑向時間計算.由此，徑向機動存在一個最低合加速度，只有當大于等于此臨界值時整個機動時間才能以徑向機動時間計算.根據(jù)軌道間切向運動的特性，結合軌道幾何關系及各初始軌道速度，可確定徑向合加速度的最小值.根據(jù)本算例軌道條件，計算得到徑向最低合加速度為αmin=0.25×10-3km∕s2.基于此，軌道間的徑向機動累計路程為兩軌道的軌道高度差，例如r3至r4的機動路程為600km.通過規(guī)劃方法計算得到時間最優(yōu)的機動策略，即由3號軌道經2號、1號、0號、4號和5號機動至6號軌道.整個機動過程所需時間為8.61小時，燃料消耗量為2703.94千克.

根據(jù)算例所給條件，當在徑向方向保持最大合加速度αmax=6×10-3km∕s2機動時，兩軌道間的徑向機動累計路程為兩軌道的軌道高度差，例如r3至r4的機動路程為600km.通過規(guī)劃方法計算得到時間最優(yōu)的機動策略，即由2號軌道經1號、0號、3號、4號和5號機動至6號軌道.整個機動過程所需時間為1.76小時，燃料消耗量為3983.99千克.

3.3 時間及燃料約束給定的最優(yōu)機動方案

根據(jù)算例對機動總時長控制在2.5小時內、燃料結余50公斤的要求，通過本文方法計算，最終得到了如表2所示的最優(yōu)機動方案.軌道間在徑向保持合加速度做徑向均變速機動，采取由2號軌道經1號、0號、3號、4號和5號機動至6號軌道的最優(yōu)訪問策略；整個機動時間為2.22小時，滿足2.5小時內完成軌道間機動的任務要求；燃料消耗3949.12公斤，滿足結余50公斤燃料的在軌服務任務要求.

表2 時間及燃料限制條件下的最優(yōu)機動方案Table 2 Optimal maneuver scheme under time and fuel constraints

從整個計算過程知：開普勒機動過程中，速度沖量決定了轉移軌道形態(tài)，速度沖量的增加能縮短軌道間機動時間；通過在各初始軌道增加其速度沖量至極限值，可壓縮93.6%的機動時間，但需多消耗15倍的燃料.非開普勒徑向機動中，在徑向保持最低加速度進行機動，機動時間跟極速高斯相近，由于其機動方式直接且所需速度相對較小，從而整體能夠節(jié)省1000kg燃料；提升徑向加速度至算例所給極值，可有效壓縮79.6%機動時長，但需再多消耗3.9倍燃料.針對機動時間2.5小時內及燃料結余50公斤的條件限制，綜合考慮不同機動方式，本文給出了采取非開普勒徑向機動方式的最優(yōu)方案.

由此，多軌道間機動采取開普勒方式，整體相對節(jié)省燃料，但所需的機動時間較長，適用于攜帶燃料量有限或任務時間較寬松的情況.采取非開普勒機動方式，可進一步縮減機動時間，適用于燃料充足或任務緊急的情況.從應急角度看，是需要飛行器以這類方式按最優(yōu)機動策略，在最短時間內直接完成多軌道間機動的.但非開普勒運動中，合加速度的提升、推力大小的維持及飛行方向的控制均對飛行器的動力系統(tǒng)、燃料儲備和飛行控制提出了更高的要求，這急需航天技術進一步發(fā)展以提升空間全域快速機動能力.

4 結論

（1）提出了共面多軌道間機動規(guī)劃方法，能夠根據(jù)具體需求給出最優(yōu)機動策略.

（2）研究了兩類變軌機動方式四種特殊情況的邊界問題，有助于受時間及燃料限制機動問題的變軌方式選取.

（3）提出了非開普勒徑向機動方式，能夠有效縮減軌道間機動時間，滿足高時效性要求.

綜上，本文方法能夠為受時間及燃料條件限制的共面多軌道間機動問題，提出一個綜合考量不同變軌方式的最優(yōu)機動方案.