在數(shù)學建模中突破 在連續(xù)探索中飛躍

高麗君

[摘 要]全面分析教學內容、學情及不同版本教材，深入挖掘周期現(xiàn)象規(guī)律背后的數(shù)學本質，以學生為主體，從生活環(huán)境出發(fā)，通過一系列趣味性、實踐性、開放性的教學活動，讓學生親歷解決問題的全過程。學生在學習中能夠認識到周期現(xiàn)象背后是除法這一數(shù)學本質，習得思想方法，形成數(shù)學眼光。

[關鍵詞]周期現(xiàn)象;建模;除法;學生視角

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）23-0014-04

【教學內容】北京版教材二年級下冊第6～7頁“探索規(guī)律”。

【教材分析】

課程標準要求本節(jié)課能引導學生探索簡單情境下的變化規(guī)律，希望學生感悟到“對于有規(guī)律性的事物，無論是用數(shù)字還是用字母或圖形都可以反映相同的規(guī)律，只是表達形式不同”。周期現(xiàn)象的教育價值在于讓學生通過自主探究，形成發(fā)現(xiàn)規(guī)律、遵循規(guī)律、使用規(guī)律的習慣，并能通過眼前現(xiàn)象判斷后續(xù)發(fā)展情況，通過局部規(guī)律把握整體結構，通過有限想象發(fā)展數(shù)感和符號感，進而在探索中獲取解決簡單周期現(xiàn)象問題的方法。

【學情分析】

學生的知識和技能基礎是有余數(shù)的除法，以及一年級的“找規(guī)律”;學生的生活經(jīng)驗和情感基礎是能夠對生活中重復出現(xiàn)的一些周期現(xiàn)象進行調查、觀察和記錄，對規(guī)律的存在和應用的普遍性、廣泛性已有初步的認知，產(chǎn)生了一定的好奇心和探究的內驅力。這節(jié)課的內容既是對有余數(shù)除法的鞏固和應用，同時也是學生下一步研究較復雜的周期規(guī)律和進一步用數(shù)學表達規(guī)律的基礎。

【教材對比】

人教版教材的“找規(guī)律”是“有余數(shù)除法”單元的最后一個內容，這一點與北京版教材一致，教材設計思路是讓學生通過分析已知條件發(fā)現(xiàn)規(guī)律的存在，并明確問題;在解決問題時提供了接著畫和除法兩種解決方案，及余數(shù)在解決周期現(xiàn)象問題時的用法。

而北師大版教材的“找規(guī)律”是“數(shù)學好玩”板塊的第二個探究問題，它的設計特色是呈現(xiàn)包含了多種規(guī)律現(xiàn)象的情境圖，讓學生發(fā)現(xiàn)周期現(xiàn)象的存在，并給予多元表征方案。

北京版教材的“找規(guī)律”是以棋子作為探索素材，外部特點比較鮮明，探究步驟明確，循序漸進，能夠引發(fā)學生操作的欲望。該內容包括例題、1題“試一試”和3題“練一練”。例題由四幅情景圖構成，第一幅圖是讓學生擺，在擺的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律;第二幅圖是在第一個圖的基礎上讓學生圈一圈，每組都是三個，這里滲透了平均分，其中“最后一個是本組的第幾個”這個問題已經(jīng)與除法發(fā)生聯(lián)系;緊跟著的兩幅圖與上面例題對應，得出兩種分組方案。再往下面分，出現(xiàn)了“一白兩黑”為一組的周期現(xiàn)象，補充了兩種顏色的周期現(xiàn)象。通過這樣的三道例題探索規(guī)律，基本符合完全歸納法的要求——通過三個實例概括出一個規(guī)律。

筆者對教材的改造：第一幅圖和后面棋子的例子是雷同的，都是3個一組，除以3。對此，改成3個一組的例子、4個一組的例子和7個一組的例子，提供的素材更豐富。

對于練習題，“試一試”部分是第三個情境圖的延伸，是讓學生體會余2和沒有余數(shù)情況下怎么判斷;“練一練”部分，第一題是生活中的排隊，第二題是圖形的排列，第三題是操場旗子的排列，分別彌補了4個一組、5個一組的周期現(xiàn)象，都是對前面例題的鞏固和加強。

【教學目標】

（1）通過觀察、操作等方式，讓學生初步感悟和認識到周期現(xiàn)象背后就是平均分，發(fā)現(xiàn)帶有周期性規(guī)律實際問題里的除法關系（包括有余數(shù)和無余數(shù)兩種情況），親歷解決問題的全過程。

（2）能用自己的發(fā)現(xiàn)解決生活中相應的、簡單的實際問題，豐富學生對除法學習價值的認識，讓學生初步認識到周期現(xiàn)象的一般特征“幾個一組，重復出現(xiàn)，每組出現(xiàn)的因子順序不變”，進一步培養(yǎng)學生的“數(shù)學眼光”。

（3）讓學生認識到有余數(shù)的除法在周期現(xiàn)象中的使用價值，在自主解決問題的過程中，從多種解決問題的方法中尋求最佳方案，為未來的探索規(guī)律提供一些初步的活動經(jīng)驗，進一步地激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。

【教學重難點】

（1）認識周期現(xiàn)象的規(guī)律特征。

（2）認識到周期現(xiàn)象背后是除法這一數(shù)學本質。

【設計理念】

（1）以學生為主體，捕捉學生提出的有價值信息，并提升和增強學生學習的信心;

（2）讓學生在自主活動中發(fā)現(xiàn)規(guī)律;

（3）注重學生對于思想和方法的學習;

（4）設置一系列操作性活動，讓學生通過體驗獲得更深刻的感悟。

【重難點突破的策略】

（1）大量調查和研究能讓學生得到充分的課前感知，熟悉規(guī)律;

（2）適當布置學習環(huán)境，讓學生耳濡目染，長期浸潤;

（3）讓學生動手操作，畫一畫、圈一圈，在這個過程中感悟到周期現(xiàn)象和平均分有關，繼而感受到周期和除法有關;

（4）采取指果索因的辦法，讓學生看一道題的結果想如何用除法證明答案是對的。

【教學過程】

1.游戲導入，發(fā)現(xiàn)周期現(xiàn)象

師：看到我的卡片盒了嗎？對于會思考、會傾聽的學生，我會毫不吝嗇地發(fā)放手里的卡片。今天干什么呢？第一個環(huán)節(jié)，教你用電腦打字，打什么字？打一個學生名字。那打誰的名字？為了公平起見，抽簽決定。誰來抽簽？挑一個今天早上進步最大的學生——孫焱淳！

（打出“孫焱淳”后，由孫焱淳抽簽，她抽到“范婧瑄”，于是用拼音打出“范婧瑄”。）

師：我非常喜歡范婧瑄，所以我想做一個長長的紙條，上面寫滿“范婧瑄”，然后繞地球一圈，讓全世界都知道她的名字。為了簡便，我就要選中前面的，先復制，再粘貼。這樣一組一組地粘貼，是不是快了很多啊，后面寫不下的，我用省略號表示。

【設計意圖：以游戲的形式吸引學生快速進入學習狀態(tài)，并給予學生正面鼓勵;任務中的不斷重復，向學生傳輸簡便做事的方法和思想?！?/p>

師：這一行字有什么特點？

生1：永遠3個字一組，“范婧瑄”三個字重復出現(xiàn)，而且3個字永遠都是“范”第一、“婧”第二、“瑄”第三，每組字的順序不變。

師（在課件上一組一組地圈出來）：這種3個一組、順序不變、重復出現(xiàn)的現(xiàn)象就是周期現(xiàn)象。

師：世界那么大，只有這一種周期現(xiàn)象嗎？在生活中、數(shù)學中、自然中，你見過這種幾個一組、重復出現(xiàn)、順序不變的現(xiàn)象嗎？

生2：一周有7天，不斷重復;春夏秋冬，四季輪回，不斷重復。

2.層層深入，探尋“規(guī)律”本質

（1）第一次找規(guī)律

師：我們在這些周期現(xiàn)象中找一找規(guī)律。2個花字和1個福字是一組，如果這樣子一直排列下去，第19個是什么呢？你能確定嗎？把你的想法寫在本子上。

（教師巡視，引導學生回憶一年級找規(guī)律時學到的“萬物皆數(shù)”思想——以簡潔的字母、符號、數(shù)字等來表示同一種規(guī)律。）

師：有同學想把花畫下來，這樣有必要嗎？怎么做更簡便？

生3：數(shù)學是追求簡潔的，我們可以用符號來研究——□□△□□△□□△……

師（展示學生的方法：掰手指數(shù)數(shù)，畫圖一個一個地數(shù)，三個三個地數(shù)）：總不能遇見這種找規(guī)律的問題就畫出來吧，如果找第1000個是什么，也是畫和掰手指數(shù)嗎？有沒有別的辦法？

生4：列算式。

師：我這樣三個三個地圈，其實就是把19個字怎么分，隨便分還是平均分？

生5：平均分。

師：平均分的話，你能想到哪個算式？

生6：19÷3=6……1。

師：怎么解釋呢？這個算式?jīng)]寫第19個字是什么字?。磕阍趺醋屵@個算式會說話？

生7：19代表這一行有19個字，3代表一組有3個字，6代表三個三個地圈，可以圈出6組，余數(shù)1代表這樣圈完6組還剩1個字沒圈。

師：三個一組，所以我一組一組圈的話，一個圈里圈幾個？

（學生繼續(xù)圈，圈出5組，最后剩余1個字，與上面解釋的除法算式中的每一個數(shù)字的含義相吻合。）

師：余數(shù)是1是什么意思，對解決問題有什么幫助？

生8：余數(shù)1就是代表最后一個字是這一組的第一個，每一組三個字的排列都是“花，花，?！?，這一組的第一個是“花”，所以第19個字就是“花”。這是二年級的學習方法。

（2）第二次找規(guī)律

師：第20個字是什么？

生9：列算式，20÷3=6……2，所以第20個字是福字。

師：把20個符號三個三個地分，可以分成6組，剩余2個，也就是這一組字的第二個，即“?！弊?。

師（PPT展示提示語“（）個掛飾，（）個（）個地分，可以分成（）組，最后剩（）個，所以它是一組“花，花，?！弊值牡诙€字，猜“花”。）：請根據(jù)提示語完整地表達出來。

師：三個三個地圈，在第20個字上做標記，以驗證猜測。

師：余數(shù)是幾，就是第幾個。

（3）第三次找規(guī)律

師：繼續(xù)猜，第21個字是什么？

生10：列算式：21÷3=7。

師：余數(shù)是0，代表什么？

生11：代表剛好夠分成7組，沒有剩余，最后一個掛飾就是這一組字“花，花，福”字的最后一個。

師：最后余數(shù)是幾就是第幾個，沒有余數(shù)就是最后一個。

師：再用列算式的方法直接判斷第26個、第27個分別是什么，不用畫圖驗證。

【設計意圖：用一組素材研究透三個一組的所有可能，創(chuàng)新點是第一次找規(guī)律是看圖列算式，并講解含義，習得新的找規(guī)律的方法，后兩次是反過來，先根據(jù)問題列算式，再以圖驗證用算式找到的答案。兩種解決問題的思路給予學生更深刻的解決問題體驗，學生能夠獲取解決問題的成就感?！?/p>

（4）第四次找規(guī)律

師：上面是3個一組的，誰可以舉一個4個一組的例子？

師（出示“春夏秋冬”四個字）：這是幾個幾個地分？

師：首先，第17個字是什么？列算式判斷。圈一圈，找到第17個字，用箭頭標識出來。

師：第18個字是什么？列算式判斷。圈一圈，找到第18個字，用箭頭標識出來。

師：第19個字是什么？列算式判斷。圈一圈，找到第19個字，用箭頭標識出來。

師：第20個字是什么？列算式判斷。圈一圈，找到第20個字，用箭頭標識出來。

【設計意圖：區(qū)別3個一組的模式，用前面研究出來的方法探索4個一組的周期現(xiàn)象，鞏固方法。】

（5）第五次找規(guī)律

師（出示2018年4月份的日歷）：這個日歷是按什么編排的？

生12：按周，一周7天，不斷重復。

師：這個日歷還有一個特點，認真觀察一下。

生13：1號是周一，以此類推，7號是周日。

師：如果我把上面的周幾擦掉，你能不能直接判斷是周幾？

師（蓋住最上面的“周幾”）：列算式計算30號、21號、19號分別是周幾。

【設計意圖：補充了與學生聯(lián)系緊密的“一周7天”的例子，涵蓋了有余數(shù)和沒有余數(shù)兩種情況。學生用前面研究出來的方法繼續(xù)探索，解決生活中的問題，課程好玩又有趣?！?/p>

3.課堂小結

師：利用表格對前面的規(guī)律進行總結：

[3個一組

重復出現(xiàn) 除以3 余數(shù)是幾就是

第幾個 沒有余數(shù)就是

最后一個 4個一組

重復出現(xiàn) 除以4 余數(shù)是幾就是

第幾個 沒有余數(shù)就是

最后一個 7個一組

重復出現(xiàn) 除以7 余數(shù)是幾就是

第幾個 沒有余數(shù)就是

最后一個 17個一組

重復出現(xiàn) 除以17 余數(shù)是幾就是

第幾個 沒有余數(shù)就是

最后一個 …… …… …… …… ]

師：從前有座山，山上有座廟，廟里有個小和尚……如果問你第50個字是什么，該除以幾呢？怎么判斷呢？

生14：現(xiàn)在我不會算，但是我知道方法。除以17，余數(shù)是幾就是第幾個。

師：也就是說幾個一組，就是除以幾。判斷方法都是余數(shù)是幾就是第幾個，沒有余數(shù)就是最后一個。

【設計意圖：表格的引入更有利于學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律的共同之處和不同之處，學生能夠進行橫向和縱向的對比，體會到規(guī)律背后的數(shù)學本質?！?/p>

4.閱讀教材

師：自學教材第6頁，分析教材上的三道例題是幾個一組出現(xiàn)的，應該除以幾，講清楚每一個數(shù)字和符號的含義。

【教學反思】

學生前期已經(jīng)對周期性現(xiàn)象有一個多樣的、整體性的、豐富的、生活化的感知，能夠體會到研究周期的價值。要在不同素材的基礎上探尋共同的規(guī)律，用不完全歸納法來推出數(shù)學知識的話，必須有一定數(shù)量的樣本。本課至少用了四五種樣本，不像教材只提供一種素材，那是不符合不完全歸納法找規(guī)律的方法的。

這節(jié)課緊扣數(shù)學本質，致力于研究周期現(xiàn)象與除法之間的關系，從而促使學生認識到周期現(xiàn)象的背后是數(shù)學上的除法。這節(jié)課從傳統(tǒng)的注重猜的設計中跳出來，讓學生用可見的事實探索規(guī)律，尋找結果背后的原因，更加直接、高效。綜上，這節(jié)課設計了大量的動手操作和練習，是樸實無華，且深刻、高效、扎實的一節(jié)課。

【本文系北京市大興區(qū)教育科學“十三五”規(guī)劃課題“小學數(shù)學長線融合項目的實踐研究”階段性成果（課題批準文號：19GHX002）。】

（責編 金 鈴）