具有黏滯性的相互作用Sharma-Mittal全息暗能量模型的宇宙學(xué)演化

吳亞波， 徐東方， 陳博海,3， 董 微

(1.遼寧師范大學(xué) 物理與電子技術(shù)學(xué)院，遼寧 大連 116029；2.廈門外國語學(xué)校 高中物理組，福建 廈門 361012； 3.北華航天工業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)科學(xué)部，河北 廊坊 065000)

天文觀測數(shù)據(jù)表明[1-2]，宇宙目前正處于加速膨脹階段.對此，國際上提出各種具有負(fù)壓強的暗能量模型來解釋宇宙晚期加速膨脹[3-5]，其中，宇宙學(xué)常數(shù)是最簡單的暗能量模型[6-8]，該模型的態(tài)參數(shù)方程(EoS)為wde=-1.雖然宇宙學(xué)常數(shù)模型成功解釋了一些宇宙演化現(xiàn)象，但其仍無法解決巧合性問題和精調(diào)問題[7,9-11].于是，人們又陸續(xù)提出并研究了諸如Quintessence[12-13]、Phantom[14]、K-essence[15-17]和 Chaplygin gas[18]等暗能量模型.此外，受全息原理[19-21]啟發(fā)而提出的暗能量模型也被用來解釋宇宙的加速膨脹.此類暗能量模型有全息暗能量模型[22](HDE)、Agegraphic暗能量(ADE)模型[23]和Ricci暗能量模型[24]等.

近年來在宇宙學(xué)的研究中，還通過使用不同的熵以及全息原理提出了一些新形式的全息暗能量模型，如Renyi全息暗能量(RHDE)模型[25]、Tsallis全息暗能量(THDE)模型[26]和Sharma-Mittal全息暗能量(SMHDE)模型[27].目前RHDE模型和THDE模型已被廣泛討論[28]，但對于SMHDE模型，有關(guān)它的黏滯性對宇宙學(xué)量演化影響以及幾何診斷方法等相關(guān)性質(zhì)目前尚沒有討論過，這正是本文的研究動機和研究內(nèi)容.

1 Sharma-Mittal全息暗能量模型

Jahromi和Moosavi等通過結(jié)合Sharma-Mittal熵和全息原理，提出了一種新形式的全息暗能量模型，稱為Sharma-Mittal全息暗能量模型[27].

Sharma-Mittal熵由Sharma和Mittal引入[29]，它是一個雙參數(shù)熵，定義為

(1)

其中，A=4πL2，L是事件視界，R和δ是兩個自由參數(shù).通過對Sharma-Mittal熵的參數(shù)R加以適當(dāng)?shù)南拗疲篟→0及R→1-δ，就可以重新得到Renyi熵和Tsallis熵.當(dāng)考慮UV截斷和IR截斷時，可得到暗能量密度為

(2)

因哈勃視界L=1/H，則Sharma-Mittal全息暗能量模型(SMHDE)的暗能量密度可表示為

(3)

其中，c2是常數(shù)，R與δ稱為模型參數(shù).在本文的討論中，將模型參數(shù)取為R=3 300和δ=-165時，SMHDE模型可以表現(xiàn)出較好的宇宙學(xué)行為.

在均勻且各向同性的FRW宇宙中，度規(guī)表示為

ds2=-dt2+a2(t)(dr2+r2dΩ2).

(4)

在Sharma-Mittal全息暗能量模型中忽略重子及輻射成分，宇宙僅由暗能量(de)和暗物質(zhì)(dm)構(gòu)成.則此模型的Friedmann方程可寫為

(5)

(6)

利用方程(6)，可將方程(5)重新表示為

Ωde+Ωdm=1.

(7)

當(dāng)Sharma-Mittal全息暗能量模型的暗能量和暗物質(zhì)之間存在相互作用，且不考慮黏滯性(ζ=0)時，它們的能量守恒方程為

(8)

(9)

其中，“.”表示對時間t求導(dǎo)，Qi是暗能量和暗物質(zhì)之間的相互作用項.相互作用項的選取有多種形式，本文選取Q1=3b2Hρde和Q2=3b2Hρdeρdm/(ρde+ρdm)這兩種形式，式中b2是耦合參數(shù).可以注意到，當(dāng)b2=0時可以退回到無相互作用的情況.用wde=pde/ρde來表示SMHDE模型的態(tài)參數(shù)(EoS).將方程(5)左右兩邊對時間t求導(dǎo)，并將結(jié)果代入方程(9)中，可以得到

(10)

為使其形式更為簡潔，在這里定義Ξ=Gπc2H2(πδ/H2+1)R/δ-(2Ωde-1)(πδ+H2).利用上述方程，減速參數(shù)q可寫為

(11)

將Sharma-Mittal全息暗能量模型的暗能量密度對時間t求導(dǎo)，從而得到

(12)

聯(lián)立方程(8)、方程(10)和方程(12)，無相互作用時Sharma-Mittal全息暗能量模型的態(tài)參數(shù)可表示為

(13)

此外，由方程(10)和方程(12)，其能量密度參數(shù)Ωde對lna導(dǎo)數(shù)可寫為

(14)

其中，“′”表示對lna的導(dǎo)數(shù)，i=1,2.

(1)當(dāng)i=1，即相互作用項為Q1=3b2Hρde時

(15)

(16)

(17)

(2)當(dāng)i=2，即相互作用項為Q2=3b2Hρdeρdm/(ρde+ρdm)時

(18)

(19)

(20)

根據(jù)SN397、BAO以及宇宙微波背景輻射(CMB)等觀測數(shù)據(jù)的限制[30]，本文取Ωde0=0.73，H0=67.此外，值得強調(diào)不失一般性，在本文下面的討論中，將模型參數(shù)R和δ取為R=3 300，δ=-165.根據(jù)以上各表達(dá)式，能描繪出Sharma-Mittal全息暗能量模型中黏滯系數(shù)和耦合參數(shù)對各宇宙學(xué)量(如能量密度參數(shù)Ω、減速參數(shù)q及態(tài)參數(shù)wde)演化規(guī)律的影響.

圖1描述了無黏滯性，且相互作用項分別取Q1=3b2Hρde和Q2=3b2Hρdeρdm/(ρde+ρdm)時，SMHDE模型中耦合參數(shù)b2對各宇宙學(xué)量演化的影響.從圖中可以看出，耦合參數(shù)b2對該模型各宇宙學(xué)量的影響隨相互作用項的不同而不同.在未來(z<0)Q2條件下的各宇宙學(xué)量均發(fā)生了高度簡并，這說明與Q2相比，耦合參數(shù)b2對Q1條件下的宇宙學(xué)量影響更大些.兩種不同相互作用形式下SMHDE模型的密度參數(shù)的演化圖像都表明，暗能量的占比在逐漸增大，這與目前天文觀測相符合.而從兩者的態(tài)參數(shù)隨紅移z的演化曲線可以得出：Q2條件下SMHDE模型的態(tài)參數(shù)在未來(z<0)的演化會趨近于ΛCDM模型；兩種不同相互作用下的態(tài)參數(shù)均實現(xiàn)了對Phantom界限(wde=-1)的穿越，且耦合參數(shù)b2取值越大，越早實現(xiàn)穿越.從態(tài)參數(shù)的演化圖像也可以看出，兩種不同相互作用下的SMHDE模型在未來均不會發(fā)生大劈裂.進(jìn)一步，再縱向?qū)Ρ萉1和Q2條件下SMHDE模型減速參數(shù)q演化曲線的特點.由圖不難看出，兩種不同相互作用下的減速參數(shù)q都隨著耦合參數(shù)b2的增大而減小，且宇宙是由減速膨脹(q>0)演變?yōu)榧铀倥蛎?q<0)，但兩種不同相互作用下的減速參數(shù)q在未來都發(fā)生了高度簡并，這說明了在未來(z<0)兩種不同相互作用形式下的SMHDE模型都對耦合參數(shù)b2不敏感.

圖1 當(dāng)無黏滯性時，耦合參數(shù)b2對Ω、wde以及q演化軌跡的影響

2 具有黏滯性的Sharma-Mittal全息暗能量模型

Khalatnikov和Befinsky最早將黏滯性與宇宙學(xué)相結(jié)合，并由此提出了具有黏滯性的宇宙學(xué)[31].當(dāng)考慮黏滯性時，宇宙的有效壓強將變?yōu)?/p>

(21)

其中,pde表示無黏滯性時的壓強，ζ表示體黏滯系數(shù).不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)ζ=0時就可退回到無黏滯性的情況.

2.1 僅暗能量具有黏滯性的SMHDE模型的宇宙學(xué)演化

當(dāng)僅考慮暗能量具有黏滯性時，選取

(22)

其中,ν稱為黏滯系數(shù).于是方程(9)變?yōu)?/p>

(23)

可得到

(24)

(25)

(26)

其中，“′”代表對lna的導(dǎo)數(shù)，Ξ依舊定義為Ξ=Gπc2H2(πδ/H2+1)R/δ-(2Ωde-1)(πδ+H2).容易發(fā)現(xiàn)僅當(dāng)暗能量具有黏滯性時，體黏滯系數(shù)ζ并不會影響減速參數(shù)和密度參數(shù)的演化，而只會影響態(tài)參數(shù)的演化.所以本節(jié)不再贅述減速參數(shù)和密度參數(shù)的演化特點，而只專注于態(tài)參數(shù)的演化.具體地

(1)當(dāng)i=1，即相互作用項為Q1=3b2Hρde時

(27)

(2)當(dāng)i=2，即相互作用項為Q2=3b2Hρdeρdm/(ρde+ρdm)時

(28)

圖2描述僅考慮暗能量具有黏滯性，且相互作用項取為Q1=3b2Hρde及Q2=3b2Hρdeρdm/(ρde+ρdm)時，黏滯系數(shù)ν對SMHDE模型態(tài)參數(shù)演化軌跡的影響.由圖可以看到，只有當(dāng)黏滯系數(shù)ν=0和ν=0.06時，SMHDE模型的態(tài)參數(shù)在兩種不同相互作用形式下才均可實現(xiàn)Phantom界限的穿越，且黏滯系數(shù)ν的數(shù)值越大，越晚實現(xiàn)穿越.而黏滯系數(shù)值為ν=0.12時，只有Q1下的wde才能穿越-1，但當(dāng)取黏滯系數(shù)為ν=0.18時，兩種不同相互作用形式下的wde均無法穿越Phantom界限.當(dāng)耦合參數(shù)b2=0.15、黏滯系數(shù)ν=0且相互作用項為Q1=3b2Hρde時的wde最早穿越Phantom界限，此時的穿越紅移為zc=0.83；當(dāng)耦合參數(shù)b2=0.15、黏滯系數(shù)ν=0.12且相互作用項為Q1=3b2Hρde時的wde最晚穿越-1，此時的穿越紅移為zc=0.31.

圖2 僅考慮暗能量具有黏滯性，且固定耦合參數(shù)b2=0.15時，黏滯系數(shù)ν對wde演化軌跡的影響

2.2 僅暗物質(zhì)具有黏滯性的SMHDE模型的宇宙學(xué)演化

當(dāng)僅考慮暗物質(zhì)具有黏滯性時，其Friedmann方程并不會改變，但其連續(xù)性方程變?yōu)?/p>

(29)

(30)

此時密度參數(shù)、態(tài)參數(shù)和減速參數(shù)可分別表示為

(31)

(32)

(33)

不難看出，僅暗物質(zhì)具有黏滯性時，相互作用項Qi以及體黏滯系數(shù)ζ則會影響到相互作用的SMHDE模型的宇宙學(xué)演化.根據(jù)Hernandez-Almada等人的研究[32]，此時假設(shè)

(34)

為與上述區(qū)別起見，這里用μ代表此情況下的黏滯系數(shù).

(1)當(dāng)i=1，即相互作用項為Q1=3b2Hρde時

(35)

(36)

(37)

(2)當(dāng)i=2，即相互作用項為Q2=3b2Hρdeρdm/(ρde+ρdm)時

(38)

(39)

(40)

圖3為僅考慮暗物質(zhì)具有黏滯性,且相互作用項取為Q1=3b2Hρde和Q2=3b2Hρdeρdm/(ρde+ρdm)時，SMHDE模型中黏滯系數(shù)μ對各宇宙學(xué)量演化軌跡的影響.兩種不同相互作用形式下的SMHDE模型密度參數(shù)演化圖像均顯示出：在高紅移區(qū)域，暗能量密度參數(shù)隨著黏滯系數(shù)μ的增大而減小；在低紅移區(qū)域，暗能量密度參數(shù)卻隨著黏滯系數(shù)μ的增大而增大.從過去(z>0)到未來(z<0)，暗能量密度參數(shù)在逐漸變大，這說明宇宙正逐漸演變?yōu)橛砂的芰恐鲗?dǎo).從兩種不同相互作用形式下SMHDE模型的態(tài)參數(shù)wde圖像中可以看到，不同黏滯系數(shù)μ的值對這兩種相互作用形式下的態(tài)參數(shù)wde都表現(xiàn)為在過去影響較大、在未來影響較小的特點，且它們都可以穿越Phantom界限.從態(tài)參數(shù)演化圖像可以得出，宇宙在未來不會發(fā)生大劈裂.從圖中也可以看出，黏滯系數(shù)μ對Q2條件下減速參數(shù)q的影響，要明顯比Q1的小.但兩種情況下的減速參數(shù)q都隨著紅移z單調(diào)遞增，這顯示出宇宙是從減速膨脹轉(zhuǎn)變?yōu)榧铀倥蛎洠矣蓤D可知，黏滯系數(shù)μ越大便越早實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)變.

圖3 僅考慮暗物質(zhì)有黏滯性，且b2=0.15時，黏滯系數(shù)μ對Ω、wde以及q演化規(guī)律的影響

表1還列出了無黏滯性和僅考慮暗物質(zhì)具有黏滯性時，相互作用SMHDE模型在Q1和Q2條件下的轉(zhuǎn)換紅移zT.因僅考慮暗能量具有黏滯性時，黏滯系數(shù)并不影響減速參數(shù)q的演化，所以表格中無此情況下的轉(zhuǎn)換紅移.由表中數(shù)據(jù)不難得到，當(dāng)不考慮黏滯性且暗能量和暗物質(zhì)之間無相互作用(b2=0)時，宇宙最晚實現(xiàn)從減速膨脹到加速膨脹的轉(zhuǎn)變，此時的轉(zhuǎn)換紅移為zT=0.57.當(dāng)僅考慮暗物質(zhì)具有黏滯性且參數(shù)b2=0.15、μ=6時，Q1條件下的SMHDE模型最早轉(zhuǎn)變?yōu)榧铀倥蛎洜顟B(tài)，此時的轉(zhuǎn)換紅移為zT=1.57.

表1 當(dāng)無黏滯性和僅考慮暗物質(zhì)具有黏滯性(取b2=0.15)時，相互作用SMHDE模型的不同轉(zhuǎn)換紅移

3 幾何診斷

3.1 Statefinder幾何診斷

為了區(qū)分不同的暗能量模型，Sahni曾提出一種模型獨立的幾何診斷方法，稱為Statefinder診斷[33].在平直的FRW宇宙下，Statefinder幾何診斷的參數(shù)定義如下

(41)

(42)

(43)

(44)

于是，能導(dǎo)出不同情況下參數(shù)r和s的表達(dá)式如下：

不考慮黏滯性：

(1)當(dāng)i=1，即相互作用項為Q1=3b2Hρde時

(45)

(46)

(2)當(dāng)i=2，即相互作用項為Q2=3b2Hρdeρdm/(ρde+ρdm)時

(47)

(48)

僅考慮暗能量具有黏滯性:

(1)當(dāng)i=1，即相互作用項為Q1=3b2Hρde時

(49)

(50)

(2)當(dāng)i=2，即相互作用項為Q2=3b2Hρdeρdm/(ρde+ρdm)時

(51)

(52)

僅考慮暗物質(zhì)具有黏滯性:

(1)當(dāng)i=1，即相互作用項為Q1=3b2Hρde時

(53)

(54)

(2)當(dāng)i=2，即相互作用項為Q2=3b2Hρdeρdm/(ρde+ρdm)時

(55)

(56)

在圖4中，分別畫出了在兩種不同相互作用形式下，不考慮黏滯性、僅暗能量具有黏滯性和僅暗物質(zhì)具有黏滯性時，Statefinder幾何診斷參數(shù)r和s的演化圖像.圖中紅點表示它們的今天值，紅色箭頭代表演化的方向，黑色星星表示的是ΛCDM模型的固定點(r=1，s=0).具體地，當(dāng)無黏滯性時，探究了耦合參數(shù)b2的值對Statefinder幾何診斷的影響；當(dāng)考慮黏滯性時，固定耦合參數(shù)b2=0.15，分別畫出了相對應(yīng)的黏滯系數(shù)對Statefinder幾何診斷的影響.從圖像中我們可以看到，取不同黏滯系數(shù)值時Statefinder幾何診斷的演化曲線有明顯差異，這表明該模型對黏滯系數(shù)很敏感，并且所有的Statefinder幾何診斷演化軌跡都經(jīng)過了ΛCDM模型固定點(r=1，s=0).可見，Statefinder幾何診斷能很好地將SMHDE模型與ΛCDM模型區(qū)分開來.

3.2 Om幾何診斷

除了Statefinder幾何診斷之外，還存在一種不依賴物質(zhì)的密度而只依賴膨脹率的幾何診斷方法——Om診斷[34].Om診斷的定義為

(57)

其中，h(x)=H(x)/H0，x=1+z.H(x)是哈勃參數(shù)，H0表示哈勃參數(shù)的今天值.對于ΛCDM模型來說，Om(x)=Ωdm0，它是一個不隨時間變化的常數(shù)，故可以利用這種方法把不同的暗能量模型區(qū)分開來.

圖5中，分別畫出了在兩種不同相互作用形式下，無黏滯性、僅暗能量具有黏滯性和僅暗物質(zhì)具有黏滯性時，Om幾何診斷的演化圖像.在無黏滯性時，描繪出耦合參數(shù)b2對Om幾何診斷演化軌跡的影響；當(dāng)考慮黏滯性時，固定耦合參數(shù)b2=0.15，分別畫出了不同黏滯系數(shù)的值對Om幾何診斷演化圖像的影響.由圖可以明顯看到，當(dāng)無黏滯性時，兩種不同相互作用形式下的Om值都隨耦合參數(shù)b2的增大而減小.而僅考慮暗能量具有黏滯性時，兩種不同相互作用形式下的Om值都隨耦合參數(shù)b2的增大而增大.當(dāng)僅考慮暗物質(zhì)具有黏滯性時，黏滯系數(shù)對Om幾何診斷演化圖像的影響，要明顯比不考慮黏滯性以及僅考慮暗能量具有黏滯性的小.

圖5 在無黏滯性、僅暗能量具有黏滯性和僅暗物質(zhì)具有黏滯性3種情況下Om幾何診斷的演化軌跡

4 結(jié) 論

本文深入研究了具有黏滯性的相互作用Sharma-Mittal全息暗能量(SMHDE)模型的相關(guān)問題.具體地，空間均勻且各向同性的平直宇宙僅由Sharma-Mittal全息暗能量和暗物質(zhì)構(gòu)成，且它們之間存在相互作用.本文選取它們之間的相互作用項為Q1=3b2Hρde和Q2=3b2Hρdeρdm/(ρde+ρdm).在此基礎(chǔ)上，首先討論了無黏滯性、僅暗能量具有黏滯性和僅暗物質(zhì)具有黏滯性三種情況下，各宇宙學(xué)量的演化.研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)無黏滯性時，耦合參數(shù)b2對各宇宙學(xué)量演化的影響在Q2條件下比Q1的小，其具體表現(xiàn)為在未來(z<0)Q2條件下的各宇宙學(xué)量均對耦合參數(shù)不敏感.當(dāng)僅考慮暗能量具有黏滯性時，通過固定耦合參數(shù)b2=0.15，發(fā)現(xiàn)黏滯系數(shù)ν并不會影響密度參數(shù)和減速參數(shù)，而只會影響態(tài)參數(shù)wde的演化，且wde的值隨著黏滯系數(shù)ν的增大而增大.當(dāng)僅考慮暗物質(zhì)具有黏滯性時，同樣固定耦合參數(shù)b2=0.15，然而此時的黏滯系數(shù)μ對密度參數(shù)、減速參數(shù)和態(tài)參數(shù)的演化都會產(chǎn)生影響.進(jìn)一步，對具有黏滯性的相互作用SMHDE模型進(jìn)行了Statefinder幾何診斷和Om幾何診斷.從它們各自的演化圖像可以看到，這兩種診斷方法不僅能很好地將SMHDE模型與ΛCDM模型區(qū)分開，而且可以明顯看到耦合參數(shù)和黏滯系數(shù)對此模型的影響.