從符號(hào)表征入手

尹力 郭修瑾

摘要：培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)是一項(xiàng)系統(tǒng)工程，教師要幫助學(xué)生感悟符號(hào)表征可以讓數(shù)學(xué)表達(dá)更簡(jiǎn)潔、讓數(shù)學(xué)思維更簡(jiǎn)化、讓數(shù)學(xué)結(jié)論更一般化等價(jià)值，明確符號(hào)表征的時(shí)機(jī)有理解概念時(shí)、表達(dá)規(guī)律時(shí)、解決問(wèn)題時(shí)等，經(jīng)歷從通俗的自然語(yǔ)言到規(guī)范的統(tǒng)一語(yǔ)言的符號(hào)表征過(guò)程。

關(guān)鍵詞：符號(hào)表征;符號(hào)意識(shí);數(shù)學(xué)表達(dá);數(shù)學(xué)思維

著名數(shù)學(xué)家羅素曾說(shuō)：“什么是數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)就是符號(hào)加邏輯。”《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》也將“符號(hào)意識(shí)”列為十大核心概念之一，并指出：“建立符號(hào)意識(shí)有助于學(xué)生理解符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式?！迸囵B(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)是一項(xiàng)系統(tǒng)工程，符號(hào)表征是一個(gè)重要著力點(diǎn)。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可幫助學(xué)生感悟符號(hào)表征的價(jià)值，明確符號(hào)表征的時(shí)機(jī)，經(jīng)歷符號(hào)表征的過(guò)程。

一、感悟符號(hào)表征的價(jià)值

培養(yǎng)符號(hào)意識(shí)的首要任務(wù)是啟發(fā)學(xué)生對(duì)符號(hào)建立意義認(rèn)同，使學(xué)生感受到符號(hào)的價(jià)值，從而能夠自覺運(yùn)用符號(hào)表達(dá)數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)教育家豪森指出：“沒有必要引入任何符號(hào)或縮寫，除非學(xué)生自己已經(jīng)深深感到了這樣做的必要性，以至于他們自己提出這方面的建議。或者至少，當(dāng)教師提供給他們時(shí)，他們能夠充分體會(huì)到它的優(yōu)越性?！币话愣裕?hào)表征具有如下價(jià)值：

（一）讓數(shù)學(xué)表達(dá)更簡(jiǎn)潔

一方面，人們選擇或創(chuàng)造一些形式非常簡(jiǎn)潔的符號(hào)表示數(shù)學(xué)內(nèi)容，將這些符號(hào)根據(jù)數(shù)學(xué)規(guī)則組合獲得的符號(hào)式也是簡(jiǎn)潔的。比如，乘法分配律可以概括為：一個(gè)數(shù)乘以兩個(gè)數(shù)的和，可以用這個(gè)數(shù)分別和這兩個(gè)加數(shù)相乘，再把它們的積相加，結(jié)果不變。用符號(hào)表征為：（a+b）×c=a×c+b×c。顯然，直觀上后者比前者看起來(lái)更方便，人們?cè)谡莆崭鞣?hào)意義的基礎(chǔ)上，解讀符號(hào)表達(dá)式也更加快速。

另一方面，通過(guò)數(shù)學(xué)抽象，我們可以舍棄與數(shù)學(xué)無(wú)關(guān)的物理屬性，只保留數(shù)與形的特點(diǎn)，這也是符號(hào)表征更加簡(jiǎn)潔的重要原因。比如，要求學(xué)生表示圖1所蘊(yùn)含的規(guī)律，學(xué)生有這樣幾種表達(dá)方式：從“畫圖并涂色表示”（如圖2）到“用漢字表示顏色”（如圖3）再到“用簡(jiǎn)潔圖形表示”（如圖4），學(xué)生逐漸認(rèn)識(shí)到“是什么物體”或“是什么顏色”與排列的規(guī)律無(wú)關(guān)，抽象概括了周期規(guī)律的本質(zhì)特點(diǎn)，最終發(fā)展為用最簡(jiǎn)潔的符號(hào)表示周期規(guī)律。

（二）讓數(shù)學(xué)思維更簡(jiǎn)化

數(shù)學(xué)家萊布尼茨曾說(shuō)：“符號(hào)的巧妙和符號(hào)的藝術(shù)，是人們絕妙的助手，因?yàn)樗鼈兪顾伎脊ぷ鞯玫焦?jié)約，它以驚人的形式節(jié)省了思維。”也就是說(shuō)，形式簡(jiǎn)潔的符號(hào)不僅看起來(lái)具有美感，對(duì)人們思考數(shù)學(xué)也有促進(jìn)作用。

符號(hào)表征讓思維簡(jiǎn)化的原因在于，符號(hào)具有壓縮信息的功能，其中蘊(yùn)含大量信息，從而有利于人們快速獲取信息、有效分析與解決問(wèn)題。

比如，猜數(shù)游戲：“心里想一個(gè)兩位數(shù)，將數(shù)的十位數(shù)字乘5，加7，再2倍之，個(gè)位數(shù)字不變，告訴我最后結(jié)果，我就能知道你心里想的那個(gè)數(shù)?！辈唤柚魏畏?hào)，學(xué)生基本無(wú)從思考。而有了符號(hào)，問(wèn)題就變得非常簡(jiǎn)單，兩位數(shù)可以用10a+b表示，根據(jù)問(wèn)題中的運(yùn)算得2（5a+7）+b=（10a+b）+14，可見原數(shù)就是用結(jié)果減去14得到的差。

（三）讓數(shù)學(xué)結(jié)論更一般化

符號(hào)更重要的價(jià)值在于符號(hào)能參與運(yùn)算和推理過(guò)程，從而使獲得的結(jié)論具有一般性。理解符號(hào)表示任意數(shù)，學(xué)生才能根據(jù)數(shù)量關(guān)系用符號(hào)建立代數(shù)式，表示數(shù)學(xué)公式、運(yùn)算律和數(shù)學(xué)模型等，從而一般化地表示數(shù)學(xué)。

實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，學(xué)生習(xí)慣將符號(hào)或字母看作某個(gè)未知數(shù)，一方面是受認(rèn)知水平的限制，另一方面是學(xué)習(xí)中缺少恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境來(lái)激發(fā)學(xué)生運(yùn)用符號(hào)表示一般數(shù)的內(nèi)需。因?yàn)閷W(xué)生接觸的都是具體問(wèn)題，利用具體數(shù)字通過(guò)運(yùn)算推理解決問(wèn)題后，學(xué)生不會(huì)再深入思考，“符號(hào)表示數(shù)”的行為便無(wú)從產(chǎn)生。所以，教師要善于將具體問(wèn)題拓展為一般問(wèn)題，驅(qū)動(dòng)學(xué)生將具體數(shù)類推為任意數(shù)。

比如，“把25乘2，再加上2，把結(jié)果乘5，再減10，再除以10，結(jié)果得到什么數(shù)？再換一個(gè)數(shù)試試，你發(fā)現(xiàn)了什么？”顯然，就該道題而言，學(xué)生只需要舉幾個(gè)數(shù)算一算就能輕松解決，無(wú)須符號(hào)表示。而將問(wèn)題拓展為“任意寫一個(gè)數(shù)，把這個(gè)數(shù)乘2，再加上2，把結(jié)果乘5，再減10，再除以10，結(jié)果得到什么數(shù)？再換一個(gè)數(shù)試試，你發(fā)現(xiàn)了什么，你能發(fā)現(xiàn)其中的奧秘嗎？”教師便可以引導(dǎo)學(xué)生深入思考：①我們還可以選哪些數(shù)去計(jì)算？②這樣的數(shù)多嗎？怎么將所有的數(shù)都表示出來(lái)？問(wèn)題①主要讓學(xué)生體會(huì)可選的數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)，問(wèn)題②則激發(fā)學(xué)生用符號(hào)概括所有數(shù)，使得到的數(shù)學(xué)結(jié)論一般化。

二、明確符號(hào)表征的時(shí)機(jī)

符號(hào)意識(shí)是一種主動(dòng)使用符號(hào)的心理傾向，需要在廣泛的運(yùn)用中養(yǎng)成。因而，教師需抓住并讓學(xué)生明確可以進(jìn)行符號(hào)表征的時(shí)機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生用符號(hào)表示數(shù)學(xué)內(nèi)容。

（一）理解概念時(shí)

概念是抽象的，小學(xué)數(shù)學(xué)概念一般借助文字語(yǔ)言以描述性方式表達(dá)，不易理解。將文字概念轉(zhuǎn)化為符號(hào)表征，借助圖形或字母等符號(hào)簡(jiǎn)潔表示概念，能使抽象的概念變得形象直觀，便于學(xué)生理解與記憶。

比如，質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材指出：“2、3、5這幾個(gè)數(shù)只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，像這樣的數(shù)叫作質(zhì)數(shù)（或素?cái)?shù)）。6、8、9這幾個(gè)數(shù)除了1和它本身還有別的因數(shù)，像這樣的數(shù)叫作合數(shù)?！苯虒W(xué)時(shí)，教師可以創(chuàng)設(shè)拼長(zhǎng)方形的活動(dòng)，將上述概念轉(zhuǎn)化為符號(hào)表征?！坝萌舾擅娣e為1的正方形拼長(zhǎng)方形，面積為5的長(zhǎng)方形有幾種拼法？面積為6的呢？”這引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：質(zhì)數(shù)只能拼出一種，合數(shù)能拼出兩種及以上。抽象的概念由此被賦予了形象直觀的符號(hào)意義。

（二）表達(dá)規(guī)律時(shí)

數(shù)學(xué)規(guī)律概括了一類問(wèn)題中普遍存在的數(shù)的變化特點(diǎn)。掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué)規(guī)律，能減輕思維負(fù)擔(dān)，提高解決問(wèn)題的效率。數(shù)學(xué)規(guī)律具有概括性和普適性，往往需要借助符號(hào)表達(dá)才能清晰體現(xiàn)出這一特點(diǎn)。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的運(yùn)算律、商不變的規(guī)律、積的變化規(guī)律等均屬于數(shù)學(xué)規(guī)律，教師一般會(huì)引導(dǎo)學(xué)生用符號(hào)表示，這是培養(yǎng)學(xué)生符號(hào)意識(shí)的好機(jī)會(huì)。但遇到非教材內(nèi)容時(shí)，教師容易簡(jiǎn)單處理，錯(cuò)失培養(yǎng)學(xué)生符號(hào)意識(shí)的契機(jī)。

比如，在圖5中任意框出“十字架”形的5個(gè)數(shù)，說(shuō)出5個(gè)數(shù)的和與中間的數(shù)有什么關(guān)系，我們不難通過(guò)舉例解決問(wèn)題。但若是引導(dǎo)學(xué)生深入思考，“框出其他5個(gè)數(shù)是不是也有這樣的規(guī)律”“是不是框出任意5個(gè)數(shù)都有這樣的規(guī)律”等，就能激發(fā)學(xué)生進(jìn)行符號(hào)表征的內(nèi)需。在這些問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生能夠意識(shí)到僅舉一個(gè)或幾個(gè)例子是不夠的，需要想辦法表示所有的情況，即用a表示中間數(shù)，用“a-5”“a+5”“a-1”“a+1”分別表示上下左右四個(gè)數(shù)，5個(gè)數(shù)相加的和為5a。

（三）解決問(wèn)題時(shí)

解決問(wèn)題與符號(hào)意識(shí)密切相關(guān)。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)需要培養(yǎng)學(xué)生“四能”。某種程度來(lái)說(shuō)，“提出問(wèn)題”是用符號(hào)抽象和表達(dá)問(wèn)題，“分析問(wèn)題”要借助符號(hào)運(yùn)算和推理，“解決問(wèn)題”更是要通過(guò)符號(hào)建立數(shù)學(xué)模型，形成解決一類問(wèn)題的一般方法。

比如，對(duì)于“搭1個(gè)正方形需要4根小棒，搭2個(gè)正方形需要幾根小棒？搭3個(gè)正方形呢？搭100個(gè)這樣的正方形呢？”這一問(wèn)題，搭2個(gè)、3個(gè)正方形時(shí)，學(xué)生可以用畫一畫、數(shù)一數(shù)解決問(wèn)題，但搭100個(gè)時(shí)，學(xué)生就需要探索正方形個(gè)數(shù)與小棒根數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)關(guān)系解決問(wèn)題。顯然，這樣的問(wèn)題無(wú)窮無(wú)盡，所以要啟發(fā)學(xué)生用符號(hào)表示正方形個(gè)數(shù)與小棒根數(shù)，從而一般化地解決問(wèn)題。

總之，遇到需要簡(jiǎn)潔表示或一般化表達(dá)數(shù)學(xué)的情況，都可以引入符號(hào)，讓學(xué)生結(jié)合當(dāng)下的具體情境，理解運(yùn)用符號(hào)表征的緣由和符號(hào)含義，促使學(xué)生今后遇到類似情況時(shí)自覺運(yùn)用符號(hào)。

三、經(jīng)歷符號(hào)表征的過(guò)程

符號(hào)意識(shí)培養(yǎng)的重要手段是帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷用符號(hào)表征的過(guò)程。我們可引導(dǎo)學(xué)生在參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，建構(gòu)數(shù)學(xué)意義的基礎(chǔ)上，依次用“通俗的自然語(yǔ)言”“簡(jiǎn)潔的個(gè)體語(yǔ)言”“規(guī)范的統(tǒng)一語(yǔ)言”進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)，有序經(jīng)歷用符號(hào)表征的過(guò)程。

（一）用自然語(yǔ)言通俗表達(dá)

教師需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，在活動(dòng)中理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，形成內(nèi)部語(yǔ)言。以此為基礎(chǔ)，教師驅(qū)動(dòng)學(xué)生出聲表達(dá)所建構(gòu)的數(shù)學(xué)意義。該階段的表達(dá)，學(xué)生主要借助自然語(yǔ)言（文字）進(jìn)行，教師主要的關(guān)注點(diǎn)是學(xué)生是否形成了正確的理解。

比如，教學(xué)“乘法分配律”時(shí)，教師先讓學(xué)生列式解決圖6中的問(wèn)題，學(xué)生將兩種方法列成等式（6+4）×24=6×24+4×24。然后，讓學(xué)生比一比，尋找等號(hào)兩邊算式的聯(lián)系。接著，讓學(xué)生寫幾組這樣的算式，算一算是否相等。最后，讓學(xué)生觀察這幾組算式，得出發(fā)現(xiàn)。這最后一步就是引導(dǎo)學(xué)生用自然語(yǔ)言表達(dá)乘法分配律。值得注意的是，在表達(dá)規(guī)律前，學(xué)生要經(jīng)歷理解規(guī)律、建構(gòu)意義的過(guò)程，即經(jīng)歷前面的步驟，這是不可或缺的認(rèn)知過(guò)程。

（二）用個(gè)體語(yǔ)言簡(jiǎn)潔表達(dá)

在學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)意義，能用自然語(yǔ)言表達(dá)的基礎(chǔ)上，教師要激發(fā)其簡(jiǎn)潔表達(dá)的內(nèi)需，驅(qū)動(dòng)學(xué)生借助漢字、圖形、字母等符號(hào)簡(jiǎn)化自然語(yǔ)言。顯然，該階段學(xué)生會(huì)出現(xiàn)多樣化的表達(dá)，是個(gè)體相對(duì)簡(jiǎn)潔的表示，其重要性不言而喻。正如史寧中教授指出的，“應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生用自己獨(dú)特的方式表示具體情境中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，這是發(fā)展學(xué)生符號(hào)意識(shí)的決定性因素”。

比如，教學(xué)“乘法分配律”時(shí)，在學(xué)生已經(jīng)會(huì)用自然語(yǔ)言表達(dá)規(guī)律的基礎(chǔ)上，教師繼續(xù)啟發(fā)學(xué)生思考：符合這一規(guī)律的算式多嗎？能寫得完嗎？能不能用一道簡(jiǎn)潔的算式將符合規(guī)律的所有算式都包括進(jìn)去。實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，學(xué)生能想出用含有文字、圖形、字母等符號(hào)的算式，如（甲+乙）×丙=甲×丙+乙×丙，來(lái)表達(dá)規(guī)律。但不難預(yù)見，多樣化表示又會(huì)帶來(lái)交流的不便，需要進(jìn)一步改進(jìn)表達(dá)方式。

（三）用統(tǒng)一語(yǔ)言規(guī)范表達(dá)

教師需要在個(gè)體多樣化表達(dá)的基礎(chǔ)上激發(fā)統(tǒng)一表達(dá)的內(nèi)需，再引出規(guī)范的符號(hào)表達(dá)，幫助學(xué)生理解意義。該過(guò)程也可以看作數(shù)學(xué)表達(dá)從多樣化到優(yōu)化的發(fā)展。

比如，教學(xué)“乘法分配律”時(shí)，在學(xué)生的多樣化表達(dá)基礎(chǔ)上，教師進(jìn)一步引發(fā)學(xué)生思考：大家想出的方法看起來(lái)不一樣，但其實(shí)都是表示乘法分配律，為了交流更加方便，我們將規(guī)律統(tǒng)一表示為（a+b）×c=a×c+b×c。

參考文獻(xiàn)：

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*本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度課題“小學(xué)數(shù)學(xué)高段教學(xué)實(shí)施數(shù)學(xué)抽象研究”（編號(hào)：Cb/2020/02/63）的階段性研究成果。