兼具高自由度低互耦的間距約束稀疏陣列設(shè)計(jì)

岳世杰, 胡國平, 師俊朋, 周 豪, 占成宏

(1.空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院，西安，710051；2.國防科技大學(xué)電子對抗學(xué)院，合肥，230000)

陣列信號處理因其優(yōu)異的波束控制和空間分辨能力而在通信、雷達(dá)、聲吶、導(dǎo)航等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[1-5]。由于存在測向模糊，傳統(tǒng)陣列信號處理主要關(guān)注陣元間距小于λ/2的均勻線陣(uniform linear array，ULA)，N個(gè)陣元的均勻線陣?yán)碚撋献疃嗫晒烙?jì)N-1個(gè)信源[6]，隨著信源數(shù)的增多，通常需要增加陣元數(shù)來滿足測向需求，這就會(huì)相應(yīng)增加硬件成本和計(jì)算復(fù)雜度。此外，傳統(tǒng)均勻線陣由于陣元間距較小，陣元間存在較大的互耦，嚴(yán)重影響信源估計(jì)精度[7]。

稀疏陣列通過向量化協(xié)方差矩陣形成差聯(lián)合陣列進(jìn)而擴(kuò)展孔徑[8]，這為提高自由度、減小陣元間互耦提供了新的思路。早在1968年Moffet就提出了最小冗余陣[9](minimum-redundancy array，MRA)，雖然MRA能夠提供最大連續(xù)差聯(lián)合陣列，但由于這種陣型結(jié)構(gòu)不存在閉式表達(dá)式，隨著陣元數(shù)增多，需要大量計(jì)算來確定陣元位置，限制了MRA的應(yīng)用。近年來提出的嵌套陣[10]和互質(zhì)陣[11]因具有較大的孔徑以及自由度的閉式解而引起學(xué)者的廣泛研究。嵌套陣?yán)肗個(gè)陣元得到O(N2)個(gè)虛擬自由度[10]，極大提高了測量精度和可估計(jì)信源數(shù)?；ベ|(zhì)陣陣元間互耦小，但是其差聯(lián)合陣列形成的虛擬陣元不連續(xù)，因此得到的自由度往往不能充分利用。

在嵌套陣和互質(zhì)陣的基礎(chǔ)上學(xué)者們提出了改進(jìn)陣列以進(jìn)一步擴(kuò)大孔徑，減少互耦。文獻(xiàn)[12]提出了陣元間距壓縮互質(zhì)陣(co-prime array with compressed inter-element spacing, CACIS)和子陣級聯(lián)互質(zhì)陣(co-prime array with displaced subarrays, CADiS)，CACIS壓縮互質(zhì)陣中一段子陣的陣元間距，雖然能夠得到更大的連續(xù)虛擬陣列，但是CACIS中的最小間距元素間仍存在較大互耦，為克服互耦進(jìn)而提出了CADiS，將一個(gè)子陣移到另一段陣列中，雖能減少互耦，但是其連續(xù)虛擬陣元要小于CACIS。文獻(xiàn)[13]提出了將傳統(tǒng)互質(zhì)陣中一段均勻線陣的陣元數(shù)提升一倍的改進(jìn)型互質(zhì)陣，進(jìn)一步提升了差聯(lián)合陣列的自由度。文獻(xiàn)[14]提出了改進(jìn)嵌套陣(improved nested array)將傳統(tǒng)嵌套陣的密集陣元的第1個(gè)陣元放到稀疏陣元之后，提升了嵌套陣的自由度，但是陣元間有著嚴(yán)重的互耦。文獻(xiàn)[15]提出了二階超級嵌套陣(second-order super nested arrays)，將嵌套陣的密集分布陣元放置在間距較大的陣元之間，在確保自由度的同時(shí)，減少了互耦。文獻(xiàn)[16]在此基礎(chǔ)上提出了Q階超級嵌套陣(qth-order super nested arrays)進(jìn)一步減少了陣元間的互耦。文獻(xiàn)[17]將傳統(tǒng)嵌套陣密集子陣分為4個(gè)部分，將其放置到均勻線陣的兩側(cè)，提出了增強(qiáng)嵌套陣，根據(jù)陣元分集的方式不同，提出了ANAI-1、ANAI-2、ANAII-1和ANAII-2。ANAI-1和ANAI-2雖能提升陣元自由度，但是無法顯著降低陣元間互耦。

針對無法同時(shí)優(yōu)化虛擬陣元孔徑和陣元間互耦的問題，本文提出了一種間距約束稀疏陣列(inter-element spacing restriction array，ISRA)，該陣列基于約束陣元間距設(shè)計(jì)進(jìn)而得到陣元位置，形成了4段以一定間隔首尾相連的均勻線陣。ISRA有自由度閉式表達(dá)式，且同時(shí)做到了自由度與互耦的同步優(yōu)化，與相同陣元數(shù)的互質(zhì)陣、嵌套陣、二階超級嵌套陣等稀疏陣列相比，使用該陣列進(jìn)行DOA估計(jì)效果更好，最后通過計(jì)算仿真驗(yàn)證了使用ISRA估計(jì)的有效性。

1 稀疏陣列回波信號模型

設(shè)有K個(gè)窄帶遠(yuǎn)場不相干信號入射到由N個(gè)陣元構(gòu)成的非均勻線陣，陣元位置分布在nid，其中ni∈Z，且S={ni,i=1,2,…,N}，d=λ/2，其中λ為信號波長。設(shè)K個(gè)信源入射角度為θ={θk,k=1,2,…,K}，則陣列回波信號模型為：

x(t)=As(t)+N(t)

(1)

由x(t)可計(jì)算回波協(xié)方差矩陣為：

(2)

對回波信號協(xié)方差矩陣RXX向量化可得：

(3)

由A*°A得到稀疏陣列虛擬陣元位置是實(shí)際陣元位置的差聯(lián)合陣列[18]。

2 間距約束稀疏陣列結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

二階超級嵌套陣是在嵌套陣的基礎(chǔ)上將密布的子陣分解為六段盡可能稀疏的子陣，進(jìn)而減少陣元間的互耦。ISRA設(shè)計(jì)借鑒二階超級嵌套陣的設(shè)計(jì)思想，將陣列分為4段盡可能稀疏的子陣，并加入間距約束的思想，即除必須的一對陣元間距為d外，約束其他所有的陣元間距至少為2d并盡可能增大間距大于2d的陣元的數(shù)量。

如圖1所示，給出ISRA結(jié)構(gòu)，基于給定陣元數(shù)S，限制物理陣元之間的間距，進(jìn)而確定物理陣元的位置?？傟囋獢?shù)為S=N1+N2+1，N1≥4且N1為偶數(shù)，N2∈Z+。該陣列由X1,X2,X3,X4這4段均勻線陣拼接而成。為減少陣元間互耦，則至少需要陣元間距為2d，因此約束兩段均勻線陣的間距為2d，即陣元間距為2d，陣元數(shù)目為N1/2-1的均勻線陣構(gòu)成的第一部分X1和陣元間距為2d，陣元數(shù)為N1/2-2的均勻線陣構(gòu)成的第2部分X2；為進(jìn)一步擴(kuò)展陣列孔徑，約束一段間距較大的均勻線陣，即由陣元間距為N1d，陣元數(shù)為N2的均勻線陣組成第3部分X3，N2≥1；為形成密布虛擬陣元，則至少需要有一段陣元間距為d，因此約束第四部分由陣元間距為d的2個(gè)陣元構(gòu)成。約束X1,X2,X3,X4這4段均勻線陣之間的間距大于2d并通過調(diào)試得到這4段均勻線陣之間的間距分別為3d,N1d,(N1-3)d。通過約束各段均勻線陣陣元間距以及各段線陣之間的間距組成的ISRA能夠形成連續(xù)的密布虛擬陣。

圖1 ISRA陣元結(jié)構(gòu)配置

令A(yù)表示為相鄰陣元間距的集合，即A中第k個(gè)元素為第k個(gè)物理陣元和第k+1個(gè)物理陣元之間的間距。式(10)給出了陣元間距設(shè)置。假設(shè)參考陣元位于坐標(biāo)軸0處，由相鄰陣元間距確定陣元位置S。

(4)

(5)

ISRA陣元位置是由N1，N2共同決定的，且總陣元數(shù)S=N1+N2+1，當(dāng)給出S、N1、N2任意2個(gè)變量的值都能唯一確定集合A的值，進(jìn)而確定陣元位置S。

3 間距約束稀疏陣列自由度

定理：ISRA的差聯(lián)合陣列是密布均勻線性陣列，且該陣列的自由度為：

(6)

證明：

令X+={0,1,2,…,(N2+3)N1-6,(N2+3)N1-5}，為集合X中大于等于0的部分，令D+為差聯(lián)合陣列D中大于等于0的部分，D代表ISRA陣元位置S的差聯(lián)合陣列。則只需要證明ISRA的差聯(lián)合陣列D=X。由權(quán)重函數(shù)[15]知X、D中元素關(guān)于0對稱分布，則只需要證明D+=X+。

將差聯(lián)合陣列的正向部分X+分為4個(gè)子集，分別為φ1={0,1,2,…,N1-1}、

φ2={N1,N1+1,N1+2,…,N1(N2+1)-2}、

φ3={N1(N2+1)-1,N1(N2+1),…,N1(N2+2)-5}

φ4={N1(N2+2)-4,N1(N2+2)-3,…N1(N2+3)-5}

定義集合和數(shù)字加減運(yùn)算：

A±c={a±c|?a∈A}

(7)

定義集合和集合的運(yùn)算：

diff(A,B)={a-b|?a∈A,?b∈B,a>b}

(8)

設(shè)：

(9)

情形1：證明φ1?D+

顯然{0,1}?D+

(10)

因?yàn)閧N1-2,X1,N1+1}?S，則：

P1=

diff(N1-2,X1)={0,2,4,…,N1-2}?D+

(11)

P2=

diff(N1+1,X1)={3,5,7,…,N1+1}?D+

(12)

P1∪P2=

{0,2,3,4,…,N1-2,N1-1,N1+1}?D+

(13)

由式(10)～(13)得：φ1?D+。

情形2：證明φ2?D+

由{X1,X2,X3,2N1-3,(3+N2)N1-5}?S，

X3∪{2N1-3}={(2N1-3)+qN1|0≤q≤N2,q∈Z+}?D+，

P3=diff(X3∪{2N1-3},X1)=

diff(2N1-3,X1)+qN1=

{N1-1,N1+1,N1+3,…,2N1-3}+qN1?

{N1-1,N1+1,N1+3,…,2N1-3}+mN1

(14)

P4=diff(X3∪{2N1-3},X2)=

{0,2,4,…,N1-4}+qN1?

{N1,N1+2,N1+4,…,2N1-4}+mN1

(15)

P5=diff((3+N2)N1-5,{2N1-3}∪X3)=

diff((1+N2)N1-2,qN1)=

{N1-2,2N1-2,3N1-2,…,(1+N2)N1-2}?

{2N1-2}+mN1

(16)

其中：

0≤q≤N2,q∈Z+；0≤m≤N2-1,m∈Z+。

得P3?D+，P4?D+，P5?D+，P3∪P4∪P5?D+

又φ2?P3∪P4∪P5，則φ2?D+

同理可得φ3?D+,φ4=?D+。

綜上可得：

X+=φ1∪φ2∪φ3∪φ4?D+

(17)

且max (D+)=max (S)-min (S)=(N2+3)N1-5，min (D+)=0。則：

D+?{0,1,2,…,(N2+3)N1-5}=X+

(18)

由式(17)、(18)得D+=X+。

證畢。

由定理知，ISRA的自由度是由N1和N2共同決定的，下面引理給出如何確定N1和N2的值才能獲得最大的自由度。

證明：

由定理知ISRA虛擬陣列滿足X，且X中元素遍歷所有在min (X)和max (X)之間的整數(shù)，則虛擬陣列自由度為DOF=max (X)-min (X)+1

設(shè)N1=2k，k∈Z+

DOF=2(N1(N2+3)-5)+1=

-8k2+4(S+2)k-9

(31)

表1給出了在已知陣元總數(shù)S的情況下ISRA的差聯(lián)合陣列自由度。由表可以看出ISRA利用4r個(gè)陣元可以實(shí)現(xiàn)O(8r2)數(shù)量級的虛擬陣列自由度。

表1 ISRA配置

4 仿真實(shí)驗(yàn)

本節(jié)將通過仿真驗(yàn)證ISRA在減少互耦以及提高DOA估計(jì)精度方面的優(yōu)勢。仿真實(shí)驗(yàn)的計(jì)算機(jī)平臺為Intel(R)Core(TM)i7-9750H CPU @ 2.60 GHz 2.59 GHz, RAM 8.00 GB，軟件為Matlab(R2020a)。首先對比各稀疏陣列權(quán)重以及互耦率[15]，隨后對比無互耦條件下DOA估計(jì)的均方值誤差，最后分析陣元間存在耦合條件下不同陣列DOA估計(jì)的均方值誤差。對于稀疏陣列，采用MUSIC算法[21]進(jìn)行DOA估計(jì)。假設(shè)所有信源的功率相當(dāng)且信源數(shù)一定，為了定量評價(jià)DOA估計(jì)結(jié)果，將歸一化DOA估計(jì)均方根誤差(共進(jìn)行500次蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn))定義為：

(20)

4.1 權(quán)重及互耦矩陣

比較不同稀疏陣列與ISRA在陣列設(shè)計(jì)上的性能，表2給出了在不同陣元數(shù)情況下五種稀疏陣列的權(quán)重及互耦率。在表2給出的10陣元、15陣元、20陣元的情況下，嵌套陣和增強(qiáng)嵌套陣的權(quán)重ω(1)較大，而互質(zhì)陣、二階超級嵌套陣和ISRA保持著較低的ω(1)，且ISRA的權(quán)重ω(1)始終保持最低，為1，這反映了ISRA在這5種陣列中始終保持著較低數(shù)量的密布陣元?；ベ|(zhì)陣、二階超級嵌套陣以及ISRA都保持著較低的互耦率，而嵌套陣和增強(qiáng)嵌套陣由于密布陣元較多而有著較高的互耦率。二階超級嵌套陣和相同陣元數(shù)的嵌套陣擁有相同的虛擬孔徑，但其互耦率要低于嵌套陣，這其中一部分原因是二階超級嵌套陣在嵌套陣的基礎(chǔ)上將密布子陣放置到稀疏的位置。ISRA的互耦率低于二階超級嵌套陣，一方面是因?yàn)橄嗤囋獢?shù)的ISRA自由度要大于二階超級嵌套陣，另一方面ISRA通過間距約束使得權(quán)重ω(1)=1，減少了密布陣元的數(shù)量。

表2 5種稀疏陣列權(quán)重及互耦率對比

4.2 不考慮陣元耦合DOA估計(jì)

本節(jié)比較在無互耦的情況下，最小冗余陣、嵌套陣、互質(zhì)陣、二階超級嵌套陣、增強(qiáng)嵌套陣以及ISRA的DOA估計(jì)性能。設(shè)定陣元數(shù)為14，最小冗余陣陣元位置設(shè)定為[20]：

SMRA=

{0, 1, 2, 8, 15, 16, 26, 36, 46, 56, 59, 63, 65, 68}

(33)

對于嵌套陣以及二階超級嵌套陣，設(shè)定N1=N2=7，互質(zhì)陣按照文獻(xiàn)[13]設(shè)定為M=4,N=7。

4.2.1 MUSIC空間譜

圖2給出了不同稀疏陣列的MUSIC算法的空間譜，設(shè)共有50個(gè)信源均勻分布在[-80°,80°]，第k個(gè)信源的角度為：θk=-80°+160°(k-1)/49，其中1≤k≤50。設(shè)定信噪比為0 dB,快拍數(shù)為1 000。可以看出由于互質(zhì)陣列的差聯(lián)合陣列密布的陣元數(shù)目較少，不能有效分辨出50個(gè)信源。其余陣列均能有效分辨出50個(gè)信源，且可觀察到最小冗余陣、增強(qiáng)嵌套陣以及ISRA的譜峰明顯高于嵌套陣以及二階超級嵌套的譜峰，這反映了最小冗余陣、增強(qiáng)嵌套陣以及ISRA在孔徑上的優(yōu)勢使得角度估計(jì)的精度更高。

圖2 不同陣列無互耦空間譜估計(jì)譜峰圖

4.2.2 均方根誤差

假設(shè)3個(gè)信源分布在-5°、0°、5°的位置。圖3給出了均方根誤差隨信噪比增大的變化曲線，設(shè)定快拍數(shù)為1 000，信噪比從-30 dB以5 dB的步長增加到30 dB。從橫坐標(biāo)來看：信噪比小于-20 dB時(shí)所有陣列的均方根誤差均較大，隨著信噪比的增大均方根誤差減小且最小冗余陣減小的速度最大，當(dāng)信噪比大于10 dB時(shí)均方根誤差趨于穩(wěn)定。從縱坐標(biāo)來看，當(dāng)均方根誤差趨于穩(wěn)定時(shí)最小冗余陣均方根誤差最小，互質(zhì)陣的均方根誤差最大，這是因?yàn)樽钚∪哂嚓囉凶畲髷?shù)目的連續(xù)虛擬陣元，而互質(zhì)陣連續(xù)的虛擬陣元數(shù)目最小。ISRA和增強(qiáng)嵌套陣的估計(jì)效果略好于嵌套陣和二階超級嵌套陣。

圖3 歸一化均方根誤差隨信噪比變化曲線

圖4給出了均方根誤差隨快拍數(shù)的變化曲線，設(shè)定信噪比為0 dB，快拍數(shù)從10以300為步長增加到3 010。從橫坐標(biāo)來看，當(dāng)快拍數(shù)小于310時(shí)所有陣列的均方根誤差較大。隨著快拍數(shù)的增大，均方根誤差減小，在快拍數(shù)小于310時(shí)均方根誤差減小的趨勢最大，之后均方根誤差減小的趨勢減緩。從縱坐標(biāo)來看，均方根誤差趨于穩(wěn)定后，最小冗余陣有著最小均方根誤差，互質(zhì)陣的均方根誤差最大。ISRA和增強(qiáng)嵌套陣均方根誤差相差較小，且略大于嵌套陣和二階超級嵌套陣，這是由于ISRA和增強(qiáng)嵌套陣擁有相同大小的連續(xù)虛擬陣元，且ISRA和增強(qiáng)嵌套陣的虛擬陣元數(shù)目大于嵌套陣和二階嵌套陣的虛擬陣元的數(shù)目。

圖4 歸一化均方根誤差隨快拍數(shù)變化曲線

4.3 考慮陣元耦合DOA估計(jì)

本節(jié)考慮互耦對信源角度估計(jì)的影響，對比最小冗余陣、嵌套陣、互質(zhì)陣、二階超級嵌套陣、增強(qiáng)嵌套陣、ISRA的DOA估計(jì)性能。設(shè)定陣元數(shù)為14，陣元位置分布同4.2節(jié)。

4.3.1 MUSIC空間譜

設(shè)共有30個(gè)信源θk=-80°+160°(k-1)/29，其中1≤k≤30，信噪比為0 dB，快拍數(shù)為1 000，圖5給出了有互耦影響下不同陣列譜峰圖?？梢钥闯鏊嘘嚵械目臻g譜的譜峰由于互耦影響都出現(xiàn)不同程度的削弱，但是ISRA仍能有效檢測到30個(gè)信源；最小冗余陣、嵌套陣以及增強(qiáng)嵌套陣由于互耦在一個(gè)角度區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)多個(gè)譜峰；其余陣列則缺失譜峰或者譜峰偏離真實(shí)信源角度過遠(yuǎn)。

圖5 不同陣列互耦影響下空間譜估計(jì)譜峰圖

4.3.2 均方根誤差

假設(shè)3個(gè)信源分布在-5°、0°、5°的位置。設(shè)定快拍數(shù)為1 000，信噪比從-30 dB以5 dB的步長增加到30 dB。圖6給出了歸一化均方根誤差隨信噪比變化曲線。從橫坐標(biāo)來看，當(dāng)信噪比小于-20 dB時(shí)，陣列的均方根誤差較大，隨著信噪比的增大均方根誤差減小，并在大于0 dB之后趨于穩(wěn)定。均方根誤差隨信噪比減緩的速度在小于-20 dB時(shí)最大。從縱坐標(biāo)來看，當(dāng)均方根誤差趨于穩(wěn)定后嵌套陣的均方根誤差最大，這是密集子陣互耦帶來的影響。ISRA均方根誤差最小，與最小冗余陣相比，雖然ISRA的自由度要小于最小冗余陣，但是ISRA受互耦影響更小，這就使得ISRA的估計(jì)效果要好于最小冗余陣。

圖6 歸一化均方根誤差隨信噪比變化曲線

圖7給出了均方根誤差隨快拍數(shù)的變化曲線，設(shè)定信噪比為0 dB，快拍數(shù)從10以300為步長增加到3 010。從橫坐標(biāo)來看，在快拍數(shù)較小時(shí)，陣列的均方根誤差較大，隨著快拍數(shù)的增大均方根誤差趨于穩(wěn)定。從縱坐標(biāo)來看，均方根誤差趨于穩(wěn)定后，ISRA的均方根誤差最小，嵌套陣的均方根誤差最大。其余陣列的均方根誤差由小到大依次是二階超級嵌套陣、互質(zhì)陣、最小冗余陣和增強(qiáng)嵌套陣。可得最小冗余陣和增強(qiáng)嵌套陣雖然有著大的連續(xù)虛擬陣元數(shù)目，但是互耦的影響使得他們的估計(jì)效果仍不理想。

圖7 歸一化均方根誤差隨快拍數(shù)變化

5 結(jié)語

本文設(shè)計(jì)了一種兼具高自由度與低互耦率的間距約束稀疏陣列，該陣列給定陣元數(shù)量后即可唯一確定陣元分布位置以及差聯(lián)合陣列的自由度。理論分析表明，該陣列的差聯(lián)合陣列是無孔陣列，與嵌套陣、超級嵌套陣相比擁有更大的自由度；與互質(zhì)陣、最小冗余陣和增強(qiáng)嵌套陣相比擁有更小的互耦。最后通過仿真驗(yàn)證了該新型陣列在測向方面的優(yōu)越性。