數(shù)學(xué)運算視角下的解析幾何復(fù)習(xí)教學(xué)

摘? 要：以數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)為主要視角，在剖析解析幾何學(xué)科特點、分析學(xué)生認知基礎(chǔ)的基礎(chǔ)上，確定解析幾何復(fù)習(xí)教學(xué)的目標，構(gòu)建解析幾何復(fù)習(xí)教學(xué)的思路與框架.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)運算;解析幾何;復(fù)習(xí)教學(xué)

運算既是數(shù)學(xué)的基本特征，也是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段. 解析幾何與數(shù)學(xué)運算具有天然的聯(lián)系. 一方面，解析幾何是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的良好載體;另一方面，解析幾何問題往往需要借助數(shù)學(xué)運算來解決. 與新課教學(xué)相比，復(fù)習(xí)教學(xué)不僅涉及面廣、內(nèi)容多，而且處于學(xué)生學(xué)習(xí)“總—分—總”中第二個“總”的階段，更需要強化知識的整體性與聯(lián)系性，需要從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)視角加以審視和設(shè)計.

一、數(shù)學(xué)運算視角下的解析幾何學(xué)科特點

數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)具有思想性、概念性、綜合性、技能性與層次性;數(shù)學(xué)運算過程可分為理解運算對象、明確運算目標、分析運算條件、探尋運算思路、設(shè)計運算程序、求得運算結(jié)果、檢驗運算結(jié)果七個環(huán)節(jié).

解析幾何中的數(shù)學(xué)運算與其他數(shù)學(xué)運算相比，既有共性，也有差異. 解析幾何中，運算對象通常是點和曲線所對應(yīng)的坐標與方程，以及長度、角度、面積等幾何量. 運算目標是弄清楚曲線的大小、形狀與位置關(guān)系，證明幾何結(jié)論或求得幾何結(jié)果. 運算條件是點、直線、圓錐曲線及其形狀、大小和位置關(guān)系. 運算思路：一是坐標化，把幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，通過方程運算來解決問題;二是數(shù)形互助，即由“形”啟“數(shù)”、尋找運算的目標、思路與方法，再借助“數(shù)”對“形”進行定量研究和精準分析. 運算方法通常是解方程或方程組，并對刻畫幾何對象的代數(shù)表示式進行變形. 運算結(jié)果是得到相應(yīng)的代數(shù)結(jié)論. 運算結(jié)果檢驗是指檢查方程的適用條件與適用范圍、方程與曲線的等價性，給出代數(shù)結(jié)論的幾何解釋.

解析幾何中的運算是借助幾何條件與圖形性質(zhì)，為解決幾何問題而進行的運算，不是純代數(shù)運算. 這在很大程度上決定了解析幾何中的運算應(yīng)充分發(fā)揮“數(shù)”與“形”兩方面的特點與優(yōu)勢，尤其是應(yīng)充分利用圖形的性質(zhì)來發(fā)現(xiàn)運算思路、簡化運算程序.

二、數(shù)學(xué)運算視角下的學(xué)生解析幾何認知基礎(chǔ)

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了高考所要求的高中解析幾何全部內(nèi)容，對直線方程、圓的方程、圓錐曲線方程已經(jīng)有基本的了解或理解，也能借助方程進行求解或證明，但他們對解析幾何基本思想的理解還很膚淺，解題往往停留在通過機械訓(xùn)練獲得的條件反射水平，對解題思維的自然性、合理性缺乏應(yīng)有的理解. 在數(shù)學(xué)運算方面，學(xué)生通常有較強的運算技能，但缺少運算思想、運算策略的指引，運算過程往往是“摸著石頭過河”，比較盲目，數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)并不高.

學(xué)生解決解析幾何問題的難點往往不在于解析幾何知識本身，而在于解析幾何與其他知識的綜合;不在于運算技巧與方法，而在于思維，在于如何尋找合理的運算思路與方法;不在于運算的難與繁，而在于心理上怕難、怕繁. 為此，在復(fù)習(xí)教學(xué)時，教師應(yīng)該加強解析幾何知識與其他相關(guān)數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系，尤其應(yīng)建立非人為的、實質(zhì)性的聯(lián)系;應(yīng)在運算思路與方法的尋找、運算思維的自然性與合理性上下功夫;應(yīng)把作為知識和技能的運算教學(xué)與作為習(xí)慣和品性的運算教學(xué)有機結(jié)合起來.

三、數(shù)學(xué)運算視角下的解析幾何復(fù)習(xí)教學(xué)目標

數(shù)學(xué)運算視角下的解析幾何復(fù)習(xí)教學(xué)目標是學(xué)生能深化對解析幾何基本思想與基本方法、曲線與方程關(guān)系的理解，能用代數(shù)語言把幾何條件和幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)條件和代數(shù)問題;能根據(jù)具體問題的情境與特點，建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，并自覺通過建立方程、求解方程解決有關(guān)幾何問題;能自覺按數(shù)學(xué)運算的基本步驟（理解運算對象、明確運算目標、分析運算條件、探尋運算思路、設(shè)計運算程序、求得運算結(jié)果、檢驗運算結(jié)果）求解，能通過數(shù)學(xué)運算促進規(guī)范化思考問題的習(xí)慣、一絲不茍的科學(xué)精神和工作不怕繁難的個性品質(zhì)的養(yǎng)成.

四、數(shù)學(xué)運算視角下的解析幾何復(fù)習(xí)教學(xué)指導(dǎo)思想

數(shù)學(xué)運算視角下的解析幾何復(fù)習(xí)教學(xué)指導(dǎo)思想是強化數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)教學(xué)與坐標法思想教學(xué)的融合、智力因素與非智力因素的融合、探究運算主導(dǎo)思想與突破運算特定難點的融合;強化把幾何條件、幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)條件、代數(shù)問題的思路與方法，強化運算思路、運算方法形成的緣由、依據(jù)、過程與方法，并讓學(xué)生經(jīng)歷包括理解運算對象、探索運算思路、檢驗運算結(jié)果等在內(nèi)的完整運算過程.

五、數(shù)學(xué)運算視角下的解析幾何復(fù)習(xí)教學(xué)框架

1. 解析幾何中數(shù)學(xué)運算的背景與緣由

數(shù)與形是同一數(shù)學(xué)對象的兩個不同方面. 數(shù)具有精確、便于計算的優(yōu)勢;形具有形象、直觀的優(yōu)勢. 正所謂“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”. 數(shù)與形的優(yōu)勢互補是解決數(shù)學(xué)問題的制勝法寶. 例如，借助圖形，我們可以猜想圖1中點A，B，C很可能共線，圖2中點D，E，F(xiàn)，G很可能共圓，圖3中直線l與圓[O]很可能相切，但很難準確判定.

運算是數(shù)學(xué)的“基本功”，對以上問題的定量研究、精確刻畫離不開數(shù)學(xué)運算. 在解析幾何中，我們把曲線看作是點按一定條件運動所成的軌跡，把方程看作是點的坐標按一定條件變化所成的關(guān)系式. 由于點與有序數(shù)對之間存在一一對應(yīng)關(guān)系，因此點的坐標與方程的解之間也存在一一對應(yīng)關(guān)系，我們可以通過方程來研究曲線，進而解決圖形的“計算”問題.

【設(shè)計說明】深化學(xué)生對解析幾何產(chǎn)生背景與緣由、坐標法的理解，幫助學(xué)生學(xué)會判斷在怎樣的情形下該用坐標法，促進學(xué)生自覺運用坐標法解決相關(guān)幾何問題. 因為解析幾何的核心不在于求解方程，而在于面對沒有坐標系和方程的幾何問題，怎樣想到借助曲線的方程來解決. 另外，明確解析幾何中數(shù)學(xué)運算的背景與緣由，有助于增強數(shù)學(xué)運算的思想性，進而更好地用運算的“道”引領(lǐng)運算的“術(shù)”.

2. 解析幾何中數(shù)學(xué)運算的條件與目標

明確幾何條件的含義與特征是把幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)條件的前提和基礎(chǔ). 例如，我們基于直線的“直”及圓上的點到定點的距離等于定長，建立直線和圓的方程;基于點在曲線上，得到點的坐標滿足該曲線的方程. 在把幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)條件的過程中，應(yīng)把優(yōu)化曲線的方程作為優(yōu)化運算的一部分. 為了使曲線的方程更簡潔、更便于研究曲線的性質(zhì)，受直線方程[y=kx，] 圓的方程[x2+y2=r2，] 關(guān)于原點和坐標軸對稱的兩個點的坐標關(guān)系的啟發(fā)，通常以曲線的中心為原點、對稱軸為坐標軸建立平面直角坐標系.

除了明確如何把幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)條件外，還需要明確如何把幾何目標轉(zhuǎn)化為代數(shù)目標. 例如，要判斷曲線的類型和形狀，只需要弄清楚相應(yīng)方程的特征;求證兩直線平行或垂直只要證明它們的斜率相等或互為負倒數(shù);求證曲線關(guān)于某點或某直線對稱只要證明該曲線上任一點關(guān)于某點或某直線的對稱點也在該曲線上，即該曲線上任一點關(guān)于某點或某直線的對稱點的坐標滿足該曲線的方程;要求某幾何量的最值或取值范圍需要建立該幾何量與另一個幾何量的聯(lián)系，用代數(shù)表達式刻畫這種聯(lián)系，再利用函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)工具等求出.

【設(shè)計說明】揭示將幾何條件、幾何目標轉(zhuǎn)化為代數(shù)條件、代數(shù)目標的策略與方法;明確方程的本質(zhì)是曲線幾何特征的代數(shù)表示，弄清楚建立曲線方程的策略、方法與注意點;促進學(xué)生自覺、自然地把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.

3. 解析幾何中數(shù)學(xué)運算的思路與方法

解析幾何中數(shù)學(xué)運算的思路與方法首推坐標法. 即借助坐標系和方程，把幾何條件、幾何目標“翻譯”成代數(shù)條件、代數(shù)目標.

例1 （2019年浙江卷·15）已知橢圓[x29+y25=1]的左焦點為[F，] 點[P]在橢圓上且在[x]軸的上方，若線段[PF]的中點在以原點[O]為圓心，[OF]為半徑的圓上，則直線[PF]的斜率是? ? ? .

分析：（1）觀察已知條件，并把它們轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式. 由點F為橢圓[x29+y25=1]的左焦點知，點F的坐標為[-2，0.] 點[P]在橢圓上且在[x]軸的上方，即點[P]的坐標[x，y]滿足[x29+y25=1 y>0.] 以原點[O]為圓心，[OF]為半徑的圓用方程表示即[x2+y2=4]. 線段[PF]的中點即[x-22， y2.] 此中點在圓[x2+y2=4]上，即[x-222+][y22=4.]（2）觀察目標，并明晰達成此目標所需要解決的代數(shù)問題. 要求直線[PF]的斜率，由于點F的坐標可知，因此只要求點P的坐標[x，y，] 這樣只需解方程組[x29+y25=1 y>0，x-222+y22=4.]

解析幾何中的數(shù)學(xué)運算應(yīng)充分利用幾何圖形內(nèi)在的性質(zhì). 因為解析幾何要解決的是幾何問題，解析幾何最大的特點與優(yōu)勢就是數(shù)與形的融合. 在例1的解決中，如果能意識到圓的直徑所對的圓周角是直角，并由“中點 + 直角”想到△EFF2是等腰三角形（如圖4），再利用橢圓的定義求解，則運算量會減少很多.

例2 （2020年浙江卷·15）直線[y=kx+b k>0]同時與圓[x2+y2=1]和[x-42+y2=1]相切，則k的值為? ? ? ?，b的值為? ? ? ?.

分析：此題如果直接把幾何條件“翻譯”成代數(shù)條件[bk2+1=1， 4k+bk2+1=1，] 則運算量相對大一些. 如果畫出圖形（如圖5），并注意到這兩個圓關(guān)于切線對稱，則能快速求得結(jié)果. 為了能有效發(fā)現(xiàn)和利用圖形的幾何性質(zhì)，審題和解題時不僅需要細致地觀察，也需要在觀察的基礎(chǔ)上展開想象，尤其是從運動變化的視角進行想象.

例3 （2020年全國Ⅰ卷·理20）已知點A，B分別是橢圓[E： x2a2+y2=1 a>1]的左、右頂點，點G為橢圓E的上頂點，[AG ? GB=8.] 點P為直線[x=6]上的動點，PA與橢圓E的另一個交點為點C，PB與橢圓E的另一個交點為點D.

（1）求橢圓E的方程;

（2）證明：直線CD過定點.

分析：易求橢圓E的方程為[x29+y2=1]. 要證明直線CD過定點，不僅需要通過觀察圖形弄清楚點與點、點與直線、直線與橢圓的關(guān)系，還需要借助想象弄清楚直線CD是由哪個量決定的，甚至猜想定點是什么. 由橢圓關(guān)于x軸對稱和點P關(guān)于x軸的對稱點也符合條件可知，定點必在x軸上（如圖6）.

解析幾何中的數(shù)學(xué)運算應(yīng)充分挖掘和利用曲線及其方程中所蘊含的條件. 例如，橢圓[x2a2+y2b2=1]中不僅蘊含著它上面任一點到兩焦點的距離之和為2a，也蘊含著條件[b2+c2=a2.] 因此，求橢圓的離心率只需要再找一個關(guān)于a，b，c的方程，求橢圓離心率的取值范圍只需要再找一個關(guān)于a，b，c的不等式.

解析幾何中的數(shù)學(xué)運算應(yīng)注意借助方程思想和函數(shù)思想. 所謂方程思想，就是考慮問題中含有幾個未知量，為了求出這些未知量能列出幾個關(guān)系式（即方程），然后借助方程求解. 解析幾何中，不僅求點的坐標、曲線方程，以及橢圓、雙曲線的離心率經(jīng)常用到方程思想，消去眾多關(guān)系式中的參數(shù)也經(jīng)常用到方程思想. 由于解析幾何問題中的幾何量是相互聯(lián)系的，一個量的變化會引起并決定另一個量的變化，因此許多解析幾何問題需要利用函數(shù)思想、函數(shù)方法來解決. 例如，解析幾何中的最值問題、一個量的取值范圍問題實際上往往是以解析幾何知識為背景的函數(shù)問題. 這些問題需要在列出相關(guān)函數(shù)關(guān)系式的基礎(chǔ)上，利用函數(shù)性質(zhì)和函數(shù)工具求解.

解析幾何中的數(shù)學(xué)運算應(yīng)避免不必要的繁雜計算和討論. 有時可以對一些在解題過程中出現(xiàn)的中間量“設(shè)而不求”. 例如，對含有字母的直線方程與圓錐曲線方程，如果已知它們的一個交點或易求它們的一個交點，那么利用根與系數(shù)關(guān)系求解另一個交點的坐標，往往可以避免在后續(xù)運算中出現(xiàn)根號;再如，例3中，設(shè)點P坐標為[6，t，] 由于點A，B是直線與橢圓的公共點，因此點C，D的坐標宜借助根與系數(shù)關(guān)系得到. 有時為了避免討論直線的斜率是否存在，會設(shè)與x軸相交的直線的方程為x = my + n;設(shè)焦點在哪條坐標軸上不確定的橢圓的標準方程為[x2m2+][y2n2=1 m>0，n>0，m≠n.]

4. 解析幾何中數(shù)學(xué)運算經(jīng)驗的積累與優(yōu)化

解析幾何中的數(shù)學(xué)運算應(yīng)在弄清楚運算對象、運算條件、運算目標、運算思路的基礎(chǔ)上，形成清晰的解題主導(dǎo)思想和思維框架，然后實施具體運算. 例如，要想證明例3中的直線CD過定點，可以先明晰如下解題主導(dǎo)思想.

（1）基本方法：坐標法，即通過求出直線CD的方程來證明.

（2）要證直線過定點，只要證明它的方程中只含有一個參數(shù). 因為不含參數(shù)的直線方程表示特定的直線，含有兩個參數(shù)的直線方程幾乎可以表示平面內(nèi)的任意直線.

（3）為了得到只含有一個參數(shù)的直線CD的方程，可以設(shè)法用點P的坐標[6，t]表示點C，D的坐標，也可以設(shè)直線CD的方程為[y=kx+b，] 然后利用題設(shè)建立關(guān)于k，b的關(guān)系式，再消去它們中的一個.

當然，例3也可以先探求得到定點[32，0，] 然后證明這個定點在直線CD上. 但是無論怎樣，具體運算前應(yīng)盡可能明晰解題的主導(dǎo)思想，應(yīng)有意識地培養(yǎng)學(xué)生三思而后行的運算習(xí)慣，并鼓勵學(xué)生在堅定信念的支撐下完成繁難運算.

解析幾何中數(shù)學(xué)運算的核心在于運算思維，而不是運算技巧. 教學(xué)時，教師要引導(dǎo)學(xué)生在運算對象、運算條件、運算目標的分析上多花時間，在運算思路與方法的探索和尋找上多花時間，在運算難點的突破上多花時間. 應(yīng)該鼓勵學(xué)生通過對解題思路與方法的反思，有意識地積累運算經(jīng)驗、優(yōu)化運算方法、提升運算素養(yǎng). 真正做到為遷移而教、為遷移而學(xué).

5. 解析幾何中數(shù)學(xué)運算心理和習(xí)慣的優(yōu)化

任何問題的解決都離不開認知與情感兩個方面. 針對學(xué)生普遍存在的運算怕難、怕繁心理，教師應(yīng)做好運算不怕難、不怕繁的示范和表率，并通過具體運算案例破除學(xué)生運算怕難、怕繁的心理. 針對學(xué)生運算粗心大意、低級錯誤經(jīng)常發(fā)生的現(xiàn)象，教師不僅要培養(yǎng)學(xué)生一絲不茍、嚴謹細致的運算習(xí)慣，還要控制作業(yè)總量，為學(xué)生養(yǎng)成良好的運算習(xí)慣提供時間上的保障. 應(yīng)通過具體的運算案例和解題感悟，有意識地培養(yǎng)學(xué)生運算的信心、細心、耐心，培養(yǎng)學(xué)生有條理、程序化地解決問題，以及檢查與復(fù)核的習(xí)慣.

六、結(jié)束語

六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是一個既相對獨立、又相互交融的整體，教師應(yīng)該清楚地看到數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)背后蘊涵的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模，應(yīng)清醒地意識到解析幾何教學(xué)需要培養(yǎng)學(xué)生包括數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)在內(nèi)的六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 為了使六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)都能落到實處，數(shù)學(xué)教學(xué)宜統(tǒng)籌規(guī)劃、整體安排，根據(jù)不同內(nèi)容中所蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法，系統(tǒng)地、各有側(cè)重地對學(xué)生加以培養(yǎng).

參考文獻：

[1]李昌官. 數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)及其培養(yǎng)[J]. 數(shù)學(xué)通訊（下半月），2019（9）：1-5.