錨拉板索梁錨固系統(tǒng)幾何參數(shù)精確求解方法

李淵，詹璐，張銘

(湖北省交通規(guī)劃設(shè)計院股份有限公司，湖北 武漢 430051)

1 概述

在大跨徑斜拉橋中，斜拉索作為聯(lián)系橋塔和主梁的重要受力構(gòu)件，其錨點坐標(biāo)、無應(yīng)力索長、安裝角度等參數(shù)對斜拉橋的設(shè)計和施工至關(guān)重要。關(guān)于拉索無應(yīng)力索長、傾角等參數(shù)的近似求解法、高精度近似求解法、精確求解法，許多文獻已有充分研究，但都是基于拉索梁端及塔端錨點坐標(biāo)已知的前提。對于如圖1所示采用錨拉板索梁錨固系統(tǒng)的斜拉索，為使結(jié)構(gòu)受力合理，需要保證錨拉板軸線方向與斜拉索梁端錨點受力切線方向一致，然而此二者相互影響，事先卻僅能確定拉索塔端錨點、錨拉板軸線與主梁交點、拉索錨點距主梁高度d等參數(shù)，拉索梁端錨點坐標(biāo)無從得知，更無法得到拉索無應(yīng)力索長等參數(shù)。

圖1 錨拉板索梁錨固系統(tǒng)

針對采用錨拉板索梁錨固系統(tǒng)且斜拉索塔端張拉力已知的斜拉橋，該文基于精確懸鏈線索形理論，采用改進的牛頓下山法，通過建立內(nèi)外雙重循環(huán)迭代模型，在確保錨拉板軸線方向與斜拉索梁端受力切線方向一致(Δ=0)的前提下，求解得到斜拉索梁端錨點坐標(biāo)及無應(yīng)力索長、塔端傾角、梁端傾角等參數(shù)的精確解，其結(jié)果有助于判斷近似解的合理性及精度。

2 求解懸鏈線索形方程

假定拉索為理想柔性，且橫截面保持不變，對于如圖2所示的拉索，由微元體平衡條件可得：

(1)

式中：q為拉索的重力集度；H為索端的水平分力；y為拉索各點的豎向坐標(biāo)值；x為拉索水平方向上各點的坐標(biāo)。由式(1)，可求得懸鏈線索形方程:

(2)

圖2 拉索計算簡圖

拉索各點切線方向與水平方向的夾角可通過對懸鏈線索形方程求導(dǎo)得到：

(3)

則各點處的張力：

(4)

其中，坐標(biāo)原點處即橋塔處的拉索張力：

(5)

該公式可進一步改寫為：

(6)

針對塔端(即坐標(biāo)原點處)拉索張拉力Tt已知的情況，對方程：

(7)

進行求解，得到滿足f(b)=0時b的值，將該值代入式(2)即可求得拉索的懸鏈線方程。

式(7)是關(guān)于b的超越方程，其值一般需要通過迭代方法求解。通過塔端張拉力在拉索弦線水平方向的分力H確定初值b0，則：

(8)

對式(7)求導(dǎo)得到：

(9)

通過改進的牛頓下山法迭代求解方程f(b)，具體流程如下：

(1)選取b0為初始值。

(2)取下山因子λ0=1。

(4)計算f(bn+1)，并比較|f(bn+1)|與|f(bn)|的大小，分以下兩種情況：

① 若|f(bn+1)|<|f(bn)|，則當(dāng)|bn+1-bn|<μ2時(μ2為適當(dāng)小的正數(shù))，取b≈bn+1，計算過程結(jié)束；當(dāng)|bn+1-bn|≥μ2時，把bn+1作為新的bn值，并重復(fù)回到(3)。

3 求解拉索各關(guān)鍵參數(shù)

將求解所得的b值代入式(3)可分別得到拉索在塔、梁錨固點處的切線角，其中梁端拉索切線方向與水平方向的夾角為:

θl=y′l=sh(a-2b)

(10)

塔端拉索切線方向與水平方向的夾角為:

θ0=y′0=sha

(11)

拉索的懸鏈線索長、彈性伸長量及無應(yīng)力索長可由下列公式求得：

懸鏈線索長：

(12)

拉索彈性伸長：

(13)

從而拉索無應(yīng)力索長：

S0=S-ΔS

(14)

對于圖3所示的拉索空間角度，可通過C、B兩點(圖1)坐標(biāo)求得αH，根據(jù)空間角度之間的關(guān)系可得：

(15)

cosα=cosαH·cosγ0=cosβ0·cosαV

(16)

cosβ=cosβH·cosγ0

(17)

cosγ=cosα0·cosγW

(18)

則：

(19)

(20)

其中γ0=θl。對于拉索在塔端的錨固點，上述公式同樣適用，只需注意塔端錨固處γ0=θ0。

圖3 拉索空間角度示意圖

4 求解錨拉板安裝角度

對于主梁采用錨拉板索梁錨固形式的情況，一般情況下，錨拉板上拉索錨固點相對主梁的高度d是固定值，但拉索所在平面內(nèi)，錨拉板與水平方向的夾角并不明確，要使錨拉板安裝角度與拉索在主梁錨點切線角度一致，可通過迭代求解，具體做法如下：

(1)取錨拉板安裝角度初值η0為錨拉板軸線與主梁交點C和拉索在橋塔錨點B連線與水平面的夾角，該值也是合理范圍內(nèi)錨拉板安裝角度所能取得的最大值。

(2)通過ηn、αH、d，即可求得拉索在錨拉板上的錨點(xn,yn,zn)，結(jié)合拉索在塔端錨點(xt,yt,zt)，可求得拉索在豎直和水平方向投影的初值hn和ln，將該值代入式(7)～(9)，采用改進的牛頓下山法迭代求解拉索的懸鏈線索形方程，進而求得拉索在錨拉板處錨點的切線角度θln，此時求得的θln即是合理范圍內(nèi)拉索梁端最小的切線角。

(4)用步驟(3)中求得的η求解拉索在錨拉板上的錨點(xl,yl,zl)，并基于該錨點求解拉索懸鏈線索形方程，進而求解拉索各相關(guān)參數(shù)。

計算流程如圖4所示。

圖4 計算流程圖

5 工程算例

以湖北香溪河大橋為例，運用該文提出的方法對該斜拉橋中跨組合梁斜拉索EC01和EC17進行計算分析。香溪河大橋為主跨470 m的雙塔組合梁斜拉橋，跨徑布置為(48+48+78+470+78+48+48)m，其中，邊跨100.75 m范圍內(nèi)為Π形混凝土邊主梁，其余為Π形工字鋼組合梁，索塔橫橋向為鉆石形，全橋采用17對空間斜拉索，拉索和組合梁之間采用錨拉板式索梁錨固形式，斜拉索與主塔之間采用鋼錨梁錨固形式，橋型布置如圖5所示。

坐標(biāo)系統(tǒng)以順橋向中心線為x軸(里程增加方向為正向)，以豎直方向為z軸(向上為正向)，橋塔橫橋向中心線為y軸(按右手螺旋法則確定正向)。拉索計算所用參數(shù)如表1所示，其中拉索彈性模量取1.95×105MPa，采用該文計算方法，得到斜拉索各參數(shù)如表2、3所示。求解主梁-錨拉板交點坐標(biāo)和拉索梁端錨點坐標(biāo)所連直線的空間角度，可知該錨拉板軸線傾角與拉索的梁端傾角是一致的，這一點在實橋中也得以印證。

工程實踐并不嚴(yán)格要求采用精確解，但如果不知道精確解，近似解的合理性及精度也就無從得知。實際應(yīng)用中存在直接連接拉索的塔端錨點B、錨拉板軸線與主梁的交點C(圖1)得到直線，并基于該直線與xy平面的夾角計算錨拉板軸線角度，進而求解拉索梁端錨點坐標(biāo)和其他參數(shù)的做法。采用該近似法求解得拉索梁端相關(guān)參數(shù)如表4所示。對比兩種計算方法，得到拉索梁端關(guān)鍵參數(shù)計算差值如表5所示。

圖5 香溪河大橋橋型布置圖 (單位：cm)

表1 拉索參數(shù)

表2 拉索空間角度

表3 拉索無應(yīng)力索長及錨點坐標(biāo)

表4 近似法計算結(jié)果

表5 計算差值對比

由表5可知：對于短索，估算方法與精確解相對接近，但對于長索，估算方法誤差較大，難以滿足工程要求。

6 結(jié)論

(1)采用改進的牛頓下山法，建立內(nèi)外雙重循環(huán)迭代模型求解懸鏈線索形方程，得到錨拉板索梁錨固系統(tǒng)下斜拉索梁端錨點坐標(biāo)及其他幾何參數(shù)的精確解。

(2)通過對比發(fā)現(xiàn)，拉索較長的情況下，采用直線假定得到的近似解與精確解的差距較大。因此對于采用錨拉板索梁錨固系統(tǒng)的大跨徑斜拉橋，采用精確求解方法是非常必要的。