高等數(shù)學教學中逆向思維的運用

溫愛周

摘? 要：高等數(shù)學的知識大多晦澀難懂，蘊含著較為復雜的邏輯性關系，因此在高等數(shù)學解題過程中，需要運用逆向思維。逆向思維也被稱為求異思維，指的是在進行數(shù)學問題分析的過程中，通過反向思考的方式從不同的角度尋求問題的答案。逆向思維打破了傳統(tǒng)的思維限制，高等數(shù)學中的許多知識點具有突變性和關聯(lián)性，在進行數(shù)學問題解答的過程中，需要合理地運用逆向思維尋求全新的解題途徑。該文主要探討了高等數(shù)學教學中逆向思維的運用，希望能夠全面提高課堂教學成效，助力學生開放性思維發(fā)展。

關鍵詞：高等數(shù)學教學? 逆向思維? 運用分析? 開放性思維

中圖分類號：G64? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A文章編號：1672-3791（2021）05（b）-0186-03

Abstract： Most of the knowledge of advanced mathematics is obscure and contains complex logical relationship. Therefore， in the process of solving problems in advanced mathematics， we need to use reverse thinking. Reverse thinking is also known as difference thinking， which refers to seeking answers from different angles through reverse thinking in the process of analyzing mathematical problems. Reverse thinking breaks the limitation of traditional thinking. Many knowledge points in advanced mathematics have mutation and relevance. In the process of solving mathematical problems， we need to use reverse thinking reasonably to find a new way to solve problems. This paper mainly discusses the application of reverse thinking in advanced mathematics teaching， hoping to improve the effectiveness of classroom teaching and help students to think openly we need to maintain development.

Key Words： advanced mathematics teaching; Reverse thinking; Application analysis; Open mind

1? 培養(yǎng)學生逆向思維意識

逆向思維在在小學數(shù)學中就開始使用，實際上就是逆推法，高等數(shù)學中也經(jīng)常使用，要樹立逆向思維的意識[1]。逆向思維在解題過程中的有效應用，首先通過需要論證的結論，逐漸向問題起始條件進行分析，是一種逆向分析推敲的方式，通過逆向思維，能夠形成全新的解題思路，在高等數(shù)學證明題中得到了廣泛應用。逆向思維能夠讓學生在問題解答的過程中，從毫無關聯(lián)的問題條件中找出解題突破口，在高等數(shù)學教學中運用逆向思維，可以提升學生的解題能力，幫助教師順利完成教學任務，培養(yǎng)學生在高等數(shù)學學習中主動探究的意識。正向思維是常規(guī)的思維方法，會運用到基本概念和數(shù)學公式，由已知到結論，逆向思維則是通過反向推理的方式，學生不習慣使用，也不知道該在什么情況下使用，教師要培養(yǎng)學生的逆向思維意識，歸納總結一些用到逆向思維的類型題，尋找問題的突破口。例如：證明某一個數(shù)是無理數(shù)就是通過逆向反證法得到的數(shù)學知識，從中可以看出逆向思維在數(shù)學發(fā)展中的重要性。

2? 提高學生逆向思維能力

2.1 改變學習方式

學生在高等數(shù)學學習的過程中，首先要弄清楚問題中所含有的條件、需要求的結論，進而判斷論證結論與解題條件之間的關系，當學生采用正向分析方法無法得到解題思路時，就需要考慮逆向思維是否可以解決，針對問題條件進行反向思考。學生在問題解答的過程中遇到困難時，也可以通過逆向思維的方式反推解題條件，找出問題解答的突破口。在高等數(shù)學學習中，若想有效應用逆向思維模式，需要改變學生傳統(tǒng)的思維定式，學生也應該在課堂上記錄教師的解題過程，通過反向思考加深對問題的理解，從而達到培養(yǎng)自身逆向思維能力的目的。

2.2 創(chuàng)新教學模式

在高等數(shù)學問題解答的過程中，需要分析現(xiàn)有的問題條件，了解問題產(chǎn)生的因果關系，培養(yǎng)學生的審題能力，當正向思維不能解答問題時，要運用逆向思維，讓學生學會從不同的角度進行問題分析。例如：在進行函數(shù)極限與連續(xù)問題求解的過程中，通過教師的教學引導，讓學生明確函數(shù)在某一點連續(xù)的定義，從得到的問題結論入手進行思考方式的選擇，通過逆向思維讓學生明確：函數(shù)在這一點極限是存在且等于該點的函數(shù)值，極限存在又說明了什么。通過逆向思維可以說明函數(shù)在這一點左右極限是存在且相等的，所以證明函數(shù)在某一點連續(xù)這一類問題，要從求這一點的左右極限開始。引導學生觀察分析的整個過程，厘清逆向思維的主要特點，加深學生對函數(shù)連續(xù)性的認識，培養(yǎng)學生的逆向思維能力。

2.3 改變思維習慣

隨著教育改革的不斷深入，高等數(shù)學教學需要堅持以學生為主體，充分考慮學生的認知水平、接受能力，教師積極引導，讓學生多角度進行問題思考，逐步培養(yǎng)學生的思維能力。要培養(yǎng)學生的逆向思維能力，就需要改變學生傳統(tǒng)的思維習慣。在進行高等數(shù)學選擇題教學的過程中發(fā)現(xiàn)，有些選擇題是有解題技巧的，有的學生缺乏解題思路無從下手，而好多學生會通過復雜的演算對問題結論進行證明找出正確答案，耗費了大量的解題時間，而且難以保證演算結果的準確性，這種古板的解題方式體現(xiàn)出了其思維習慣的不足。實際上，學生可以通過逆向思維的方式，將選擇題中給出的特殊值帶入到問題中求解，同樣能夠得到想要的驗證結果，節(jié)約復雜論證步驟推演的時間;而有些選擇題可以通過排除法得到正確答案，這里面也需要逆向思維。因此，教師需要改變學生的思維習慣，引導其靈活地運用多樣化思維模式進行問題探究，并適應逆向思維這一獨特的求解方式。

2.4 加強解題訓練

教師在教學講解過程中，需要結合學生的學習水平，選擇一些具有啟發(fā)性和探究性的逆向思考問題，幫助學生養(yǎng)成逆向思維的習慣。在課堂上，為學生選擇一些典型逆向思維例題，教會其一些常用的方法，幫助其積累一定經(jīng)驗，通過適當?shù)慕虒W引導，讓學生分別采用正面分析和逆向分析兩種思維方式進行問題求解。當學生在正向分析過程中遇到困難時，教師要提出問題引發(fā)學生思考：正向分析解題方式存在哪些弊端？為什么這個問題運用逆向思維更容易求出結果？學生們踴躍發(fā)言，了解逆向思維的重要性，學會用已知結論反推問題條件得出正確答案，通過逆向思維解題法的有效應用，讓學生將兩種解題思路進行對比分析，看到用逆向思維解題的優(yōu)勢，從而提升學生的解題能力。

3? 教學中滲透逆向思維

在教學中，教師需要仔細分析高等數(shù)學知識結構之間的關系，并將其作為教學內(nèi)容設計的主要依據(jù)[2]。高等數(shù)學微積分知識結構中的主要分析對象是初等函數(shù)，學習過程中需要運用極限知識探索微分學和積分學領域，為了全面提高課堂教學成效，學生要熟練函數(shù)極限、連續(xù)等有關知識，教師的教學設計要圍繞學生的學習思維方式展開，分析微積分整體知識結構與思維方式之間的互逆關系，為日常的知識學習帶來突破口[3]。例如：微積分知識中的導數(shù)和積分之間存在互逆關系，兩者作為微積分知識的重點內(nèi)容，學生在計算分析的過程中，通過逆運算的形式求出函數(shù)導數(shù)與定積分的問題結論。再例如：一元函數(shù)知識學習過程中，通過導數(shù)公式和定義的運用進行逆運算，得到原函數(shù)和不定積分，從中可以看出導數(shù)與積分的知識計算呈現(xiàn)出互逆性和相對性的特點。高等數(shù)學中的辯證關系多種多樣，教師在進行學生逆向思維培養(yǎng)的過程中，可以合理運用多樣性的數(shù)學知識結構，采用多元化的思維分析方式進行問題解答，教師在教學過程中也要有意識地滲透倒推法，特別是當正向思維解決出現(xiàn)困難時，就需要變換思路，從結論出發(fā)往回倒推，明確需要證什么，又需要證什么，一環(huán)扣一環(huán)，直至推到已知條件上，問題就可以得到解決，從而幫助學生深刻地了解反證法，提高解題能力。

4? 高等數(shù)學教學中逆向思維的運用

4.1 基礎知識中的逆向思維

要想在高等數(shù)學教學中合理運用逆向思維解答數(shù)學問題，就需要教師通過潛移默化的引導，全面提高學生的逆向思維能力，在高等數(shù)學基礎知識中運用逆向思維更利于學生接受。教師在數(shù)學公式、數(shù)學定義、定理等知識講解的過程中，要培養(yǎng)學生逆向思維應用意識，從不同的角度分析數(shù)學定義，判斷數(shù)學公式、數(shù)學定理中的可逆性，不定積分、導數(shù)等高等數(shù)學知識中逆向思維的運用更加簡便[4]。求函數(shù)的導數(shù)相對容易些，求不定積分對學生來說難度大些，求不定積分時將逆向思維和導數(shù)聯(lián)系起來就容易解決。受傳統(tǒng)思維定式的影響，學生在高等數(shù)學問題解題的過程中，會通過論證和計算等數(shù)學方法驗證數(shù)學公式，忽視了逆向思維的重要性，教師需要培養(yǎng)學生的逆向思維運用能力，開展具有針對性的逆向思維解題訓練，在幫助學生掌握基礎知識的同時，通過反正法的運用分析基礎知識中的可逆性[5]。高等數(shù)學公式計算，學生會按照從左到右的驗證順序進行，對教師提出的逆向公式不了解，但逆向思維往往能夠取得良好的解題效果，因此要培養(yǎng)學生逆向思維分析習慣，節(jié)約解題時間、減少計算流程。高等數(shù)學教材中的一部分定理給出了逆定理，教師在教學講解的過程中，要向?qū)W生傳達逆向性分析的主要思路，引導學生形成逆向思維。例如：真假命題教學過程中，教師需要引導學生論證命題為何是假命題？真假命題的判別條件是什么？問題的提出是為了讓學生主動思考命題求證的過程中，讓學生通過逆向思維的方式進行高等數(shù)學知識的思考。再如：在進行多項式乘法運算時，按照正向思維的模式，可以得出兩個多項式中其中一個為零，最終乘積為零的結論，學生在思考過程中運用逆向思維的方式，可以得出兩個多項式積為零，則至少有一個多項式為零的結論，簡化結論證明步驟，保證求證結果的準確性。

4.2 論證方法中的逆向思維運用

在進行高等數(shù)學問題求解的過程中，會運用多種論證方式，一元函數(shù)不等式證明的過程中，學生大多會采用微分算法進行證明，但其他數(shù)學問題求解同樣可以采用積分論證方法證明。學生在解題過程中遇到困難時，分別運用多種思維方式進行探究，提高論證方法的靈活性，就需要通過逆向思維的運用，讓學生掌握逆向求解的解題技巧。解題過程中需要注重問題證明的可逆性，在正面思維求解過程中受阻后，學生可以嘗試逆向思維的運用。高等數(shù)學證明題中大多采用綜合論證法，從題中給出的已知條件中找出符合高等數(shù)學論證公式和定義的內(nèi)容，判斷問題是否具有可逆性。例如：在進行微分中值定理相關的命題證明過程中，就可以通過逆向思維的方式構造輔助函數(shù)。

4.3 轉換證明中的逆向思維運用

高等數(shù)學中的許多問題，想要通過直接證明方式或者正向思維論證，得到想要的證明結果十分困難，因此教師需要幫助學生養(yǎng)成良好的學習習慣，能夠自主的變換角度進行問題思考，嘗試采用間接證明法中的分析法、反推法進行問題解答，很可能發(fā)現(xiàn)忽略的問題條件[6]。反推法在進行命題真假判斷的過程中，需要先提出結論反面成立的假設，以此為基礎進行問題引導，分析題中給出的已知條件，運用高等數(shù)學的公式、定理和定義，導出與之矛盾的結論內(nèi)容推翻假設結論，運用全新的證明方法簡化高等數(shù)學問題處理過程;分析法的應用需要先證明結果成立，從問題中找出符合結果成立的條件。

4? 結語

綜上所述，該文從基礎知識、論證方法、轉換證明這3個角度分析了高等數(shù)學教學中逆向思維的運用。教師需要引導學生明確高等數(shù)學教學中逆向思維運用的重要性，培養(yǎng)學生的逆向思維能力，使其了解高等數(shù)學知識結構與思維方式之間存在的互逆關系。

參考文獻

[1] 熊淑艷.高等數(shù)學教學中培養(yǎng)大學生逆向思維能力的探討[J].科教文匯，2019（18）：66-67.

[2] 吳娟，崔艷.高等數(shù)學中的思維定勢[J].牡丹江教育學院學報，2018（7）：45-46.

[3] 楊莉.淺談數(shù)形結合在高等數(shù)學教學中的應用[J].福建茶葉，2020，42（2）：225.

[4] 周艷麗，李想，侯麗英.基于PBL教學模式的案例教學法和數(shù)學實驗在醫(yī)用高等數(shù)學中的應用[J].上海理工大學學報：社會科學版，2019，41（3）：292-295.

[5] 梁華棟.增強高等數(shù)學課堂教學的趣味性——曲邊梯形的面積教學初探[J].山西財經(jīng)大學學報，2020，42（S1）：98-100.

[6] 張迪，周艷紅.解析參與式教學法在高等數(shù)學教學中的應用[J].教育研究， 2020，3（4）：136.