論普通債券的價值評估

【摘要】資產(chǎn)價值是金融研究的核心， 普通債券是金融中最簡單的資產(chǎn)或證券。 然而長期以來， 在金融理論與實(shí)踐越來越復(fù)雜和高深的同時， 普通債券的價值計算問題其實(shí)并沒有得到正確解決。 本文通過理清相關(guān)概念和邏輯， 更正目前流行模型在考慮付息頻率和應(yīng)計利息方面的錯誤， 得出正確的債券總價和凈價模型。 該模型是基于嚴(yán)謹(jǐn)邏輯的封閉解模型， 而且可以通過實(shí)例計算驗證模型的正確性， 即在平價情況下， 計算出的債券凈價在各個日期都等于面值。

【關(guān)鍵詞】普通債券;債券價值;付息頻率;應(yīng)計利息

【中圖分類號】F230.9? ? ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A? ? ? 【文章編號】1004-0994（2021）18-0029-6

一、普通債券的要素

未來收益折現(xiàn)是金融中計算價值的通行方法。 可以說， 所有資產(chǎn)或證券的價值都是其未來（期望）收益的總現(xiàn)值。 因此， 未來收益的確定性也就在一定程度上決定了相應(yīng)資產(chǎn)價值評估的難度。 與其他資產(chǎn)和證券相比， 普通債券的未來收益即是其利息和本金， 由于在歸還或利益次序上在先， 且利率和本金固定， 其確定性最大， 價值評估也就最簡單。 因此， 普通債券價值往往是財務(wù)、金融課本和教學(xué)中探討資產(chǎn)價值的起點(diǎn)。 所謂普通債券， 是指不含有特殊條款的固定利率債券。 特殊條款是指“可轉(zhuǎn)換”“可贖回”等帶期權(quán)特性的條款。 加入這類條款后， 債券未來收益的不確定性和評估難度大大增加。 可見， 普通債券價值評估是各種復(fù)雜債券價值評估的基礎(chǔ)。 本文專注于普通債券的價值評估。 為簡化稱謂， 以下如果沒有特別說明， 債券就指普通債券。

如同其他資產(chǎn)和證券的價值一樣， 債券的價值也取決于其風(fēng)險和收益。 在運(yùn)用未來收益折現(xiàn)的方法計算債券價值時， 債券的風(fēng)險決定了計算中所用的貼現(xiàn)率， 而債券的收益取決于債券的面值、利率、期限和付息頻率這四大要素： （1）債券面值M， 指債券所標(biāo)明的票面價值， 是發(fā)行方承諾在債券到期時應(yīng)償還的本金， 也是計算債券每年利息的依據(jù)。 （2）票面利率r， 也稱為息票利率， 是債券年利息與面值的比率， 發(fā)行方在債券有效期內(nèi)按照這個利率支付債券利息， 即： 每年利息I=rM。 （3）債券期限n， 也稱為債券的有效期， 是發(fā)行方償還債券本金的期限。 具體有兩個含義： 一是債券規(guī)定的有效期; 二是債券的剩余有效期。 在債券的有效期內(nèi)， 債券的面值和利率會保持不變， 但債券的剩余期限會隨著時間的推移逐漸縮短。 （4）付息頻率m， 指每年支付債券利息的次數(shù)。 每年付息多次意味著投資者可以獲得更多的利息增值收益或貨幣時間價值， 因此實(shí)際收益會有所增加。 每年付息一次或兩次是現(xiàn)實(shí)中常見的情況。

上述四個要素決定了債券的收益， 并與風(fēng)險一起決定了債券的價值。 按照金融計算的慣例， 以貼現(xiàn)率的大小反映風(fēng)險的高低， 用貼現(xiàn)率對未來的收益進(jìn)行折現(xiàn)并加總得出債券的價值（這也是綜合考慮風(fēng)險與收益的最佳方式）。 貼現(xiàn)率也可稱為市場或投資者對該債券合理要求的收益率， 即與市場上無風(fēng)險利率以及該債券的風(fēng)險相匹配的收益率①。

二、常用計算模型

根據(jù)前面的分析， 按照未來收益折現(xiàn)計算價值的方式， 債券的價值等于債券所有利息流量（后付年金）的總現(xiàn)值加上到期本金（面值）流量的現(xiàn)值。

以k表示貼現(xiàn)率， I表示每年的利息， 債券的價值或合理價格B為：

B=[t=1nI（1+k） t+M（1+k） n]? ? ? ? ?（1）

公式（1）是一年付息一次情況下債券價值的模型， 代表最簡單情況下的債券價值， 可稱為基本模型。 在此基礎(chǔ)上， 有必要考慮一年付息兩次或多次情況下債券價值的模型。

債券的利息發(fā)放有一個慣例： 無論一年付息幾次， 各次利息數(shù)額都相等， 時間上都是等距離間隔。 比如， n年中每年發(fā)放利息I的債券， 在一年付息兩次的情況下， 就相當(dāng)于是在2n個半年中， 每半年發(fā)放利息I/2。 于是， 目前業(yè)內(nèi)流行的模型這樣考慮付息頻率的影響： 將每年利息除以2得出每半年利息， 同時將年貼現(xiàn)率除以2得出半年的貼現(xiàn)率， 將到期年數(shù)乘以2得出債券的持續(xù)期數(shù)即以半年為一期的期數(shù)。 這樣調(diào)整后， 債券價值模型變?yōu)椋?/p>

B=[t=12nI/2（1+k/2） t+M（1+k/2） 2n] ? ? ?（2）

當(dāng)然， 如果一年付息m次， 那么債券價值模型變?yōu)椋?/p>

B=[t=1mnI/m（1+k/m） t+M（1+k/m） mn] ? ? ?（3）

然而， 公式（1） ～ 公式（3）中的t只能取整數(shù)， 根據(jù)這些模型只能計算債券在有限個時點(diǎn)的價值， 即在每年年初或每期期初的價值， 而不能計算任意時點(diǎn)的債券價值。 因此， 對于評估債券價值而言， 僅掌握這些模型是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。

按照業(yè)內(nèi)認(rèn)可的理解， 債券在任意時點(diǎn)的價值不但包含未來所有整數(shù)期的本息， 還包含目前非整數(shù)期的應(yīng)計利息。 應(yīng)計利息是從上一利息支付日到交易日產(chǎn)生的利息收入， 其只是賬面收入， 不是實(shí)際收入， 因為還沒有到利息發(fā)放日。 不包含應(yīng)計利息的債券價值稱為債券凈價（clean price）; 包含應(yīng)計利息的債券價值稱為債券總價或全價（dirty price or total price）。 目前世界上多數(shù)債券市場都按照凈價報價， 按照總價交易或結(jié)算。 凈價能真實(shí)反映債券價值的變動情況， 有利于投資者分析和判斷債券價格或價值走勢。 在債券風(fēng)險和收益不變的情況下， 債券真實(shí)價值也不應(yīng)發(fā)生改變， 但隨著下次利息支付日期的臨近， 債券總價自然會上升。 因此， 只看總價容易使人產(chǎn)生債券升值的錯覺; 只有凈價變動， 才表明債券真實(shí)價值發(fā)生了變化。

為方便思考和說明， 設(shè)想一個基準(zhǔn)案例： 某公司在2021年1月1日發(fā)行債券， 面值為100元， 期限為5年（2026年1月1日到期）， 票面利率為6%， 從2022年開始， 每年1月1日發(fā)放一次利息（6元）。 假設(shè)合適的貼現(xiàn)率為6%， 則債券為平價發(fā)行， 發(fā)行當(dāng)天價值和市場價格都為100元。 假設(shè)包括貼現(xiàn)率在內(nèi)的所有條件都保持不變， 則在不考慮年內(nèi)貨幣時間價值的情況下， 該債券在2021年6月30日的價值應(yīng)該為103元， 在2021年12月31日的價值應(yīng)該為106元。 當(dāng)然， 到2022年1月1日， 因為剛剛發(fā)放過6元利息， 下次利息還要等一年， 價值應(yīng)該為100元。 同樣， 在2022年6月30日、2022年12月31日以及2023年1月1日債券的價值也應(yīng)該分別為103元、106元和100元。

此處6月30日的3元和12月31日的6元都是債券的應(yīng)計利息。 在市場上無風(fēng)險利率和公司自身風(fēng)險收益不變的情況下， 債券價值在一年中從100元逐漸上升到106元， 完全是應(yīng)計利息的影響， 并不代表其真實(shí)價值的變動或走勢。 那么， 如何計算應(yīng)計利息呢？ 業(yè)內(nèi)同樣有流行的計算公式（這也是全世界流行的公式）[1] ， 即：

應(yīng)計利息=債券面值×票面利率÷365天×計息天數(shù)? ? ? ?（4）

上例中， 到2022年6月30日， 如果按具體債券持有天數(shù)計算， 應(yīng)計利息并不是正好為3元。 已計息天數(shù)=30+28+31+30+31+30=180（天）②， 因此債券應(yīng)計利息=100×6%÷365×180=2.96（元）。

三、關(guān)于付息頻率和應(yīng)計利息的考慮

由上文的分析可知， 上述業(yè)內(nèi)流行的考慮付息頻率和應(yīng)計利息的公式都不完全正確。

1. 關(guān)于付息頻率的考慮。 在付息頻率方面， 將每次付息換算為I/m和將付息期數(shù)改為mn期都沒有問題， 因為這符合實(shí)際也符合國際慣例。 但是， 不能將每期貼現(xiàn)率改為k/m， 因為（1+k/m）m?1+k， 這意味著年貼現(xiàn)率不是k了。 換句話說， 公式（2）和公式（3）中每期的貼現(xiàn)率是錯誤的。 在其他因素不變的情況下， 一年中付息頻率的增加并不影響年貼現(xiàn)率。

模型的錯誤當(dāng)然會導(dǎo)致計算結(jié)果的錯誤。 在上述例子中， 如果其他條件不變， 而將付息頻率改為一年付息兩次， 即每半年付息一次， 按照公式（2）， 計算結(jié)果仍然是100元。 但是， 改為一年付息兩次， 投資者每年可以額外獲得3元錢半年的利息。 顯然， 債券價值應(yīng)該有所上升。 因此， 上述模型的錯誤即便不能通過分析發(fā)現(xiàn)， 也很容易在使用中發(fā)現(xiàn)。 事實(shí)上， 按照公式（2）和公式（3）的計算， 原來折價的債券會因為增加付息頻率而降低價值， 這顯然非?；奶?。

那么， 如何改正模型的錯誤呢？ 也就是說， 如何正確進(jìn)行折現(xiàn)呢？ 以p表示每期的貼現(xiàn)率， 一年付息m次意味著一年有m期。 貼現(xiàn)率不變意味著年終值系數(shù)不變， 即（1+p）m=（1+k）， 因此（1+p）= （1+k）1/m， 則（1+p）t=（1+k）t/m。 從而， 正確考慮付息頻率的債券價值模型為：

B=[t=1mnI/m（1+k） t/m+M（1+k） n]? ? ? ? ?（5）

顯然， 這個錯誤不但容易發(fā)現(xiàn)， 也容易更正。 問題是， 為什么犯了如此低級錯誤的模型在課本、課堂和實(shí)務(wù)中長期沿用而得不到更正呢？ 隨著財務(wù)電算化的發(fā)展， 這種錯誤的模型又被內(nèi)置到各種財務(wù)、金融計算軟件和網(wǎng)絡(luò)平臺中。 可以說， 這種錯誤隨著有關(guān)軟件和系統(tǒng)的推廣得到了進(jìn)一步的隱藏、傳播與鞏固。

其實(shí)， 更奇怪的是， 早在20世紀(jì)80年代， 就有學(xué)者指出了這個錯誤， 并且推導(dǎo)出了正確的模型[2] ， 為方便理解， 此處按照公式（5）替換了原模型中的字母符號：

B=（I/m）×[1- （1+k） -n（1+k） 1/m-1+M（1+k） n]? ? ? （6）

通過計算可知， 公式（5）和公式（6）是完全相同的模型③， 只是表達(dá)形式有所不同。 比較而言， 公式（5）形式簡潔、應(yīng)用方便， 更適合在如今電腦普及的情況下應(yīng)用， 如在Excel中計算; 而公式（6）更適合于手工計算， 即更適合上述論文發(fā)表的年代。

無論如何， 已有學(xué)者推導(dǎo)出了正確的模型， 但30多年以來該模型得不到采用。 與此同時， 金融理論和實(shí)踐， 包括債券的相關(guān)分析越來越復(fù)雜， 動用的計算機(jī)軟硬件技術(shù)越來越高級， 最終卻是基于錯誤的模型得出錯誤的結(jié)果， 這實(shí)在值得反思。

2. 關(guān)于應(yīng)計利息的考慮。 類似地， 關(guān)于應(yīng)計利息的考慮也不正確， 這個錯誤甚至更容易發(fā)現(xiàn)也更容易更正。 不難理解， 債券的付息日是事先規(guī)定也是經(jīng)過買賣雙方認(rèn)可的， 無論誰持有債券， 都無權(quán)要求在付息日之前得到利息。 所以， 公式（4）所計算的應(yīng)計利息是賬面數(shù)字， 是債券賣方在付息日可以得到的利息， 而不是在交易日可以得到的利息。 因此， 應(yīng)計利息對債券價值的影響應(yīng)當(dāng)按照其在交易日的“現(xiàn)值”計算， 而不是應(yīng)計利息本身。

以本文的基準(zhǔn)案例為例， 某公司在2021年1月1日發(fā)行債券， 面值為100元， 期限為5年， 票面利率為6%， 每年1月1日發(fā)放一次利息（6元）， 假設(shè)合適的貼現(xiàn)率為6%。 列表計算2021年每月月末的應(yīng)計利息、債券總價和債券凈價， 如表1所示。

由表1可知， 在每期期初， 計息天數(shù)和應(yīng)計利息都為0， 債券總價等于債券凈價; 在每期期末， 計息天數(shù)和應(yīng)計利息都達(dá)到最大， 分別為364天和5.98元， 債券總價與債券凈價達(dá)到最大差異， 即5.98元。 值得一提的是， 如果利息不是按天計算， 而是可以無限細(xì)分， 按分秒甚至無限短的瞬間計息， 則計息時間和應(yīng)計利息都達(dá)到最大時， 分別為無限接近365天和6元， 而債券總價與債券凈價的最大差異也就是6元。

同時可以看到， 在如本例債券接近平價發(fā)行或交易的情況下， 債券總價超出面值的部分與應(yīng)計利息的數(shù)額相當(dāng)。 大致來說， 接近年中（6月30日）時， 其折現(xiàn)值在3元左右， 接近年末（12月31日）時， 其折現(xiàn)值在6元左右。 無論如何， 這個應(yīng)計利息對債券價值的影響容易造成誤解， 因為與債券相關(guān)的風(fēng)險和收益沒有發(fā)生變化， 按理價值就不應(yīng)該發(fā)生變化。 要排除其影響， 就要從債券總價中扣除這部分價值， 得出債券凈價。 從表1可以看出， 扣除應(yīng)計利息或其現(xiàn)值后， 分別得到略小于100元和略大于100元的債券凈價。

當(dāng)然， 在任何一個時點(diǎn)， 同一債券的凈價如果計算出多個， 最多只有一個可能正確。 那么， 究竟哪個可能正確呢？ 可以理解， 不折現(xiàn)其實(shí)意味著是相應(yīng)的應(yīng)計利息在下個年度1月1日的價值， 即利息發(fā)放日的價值， 而計算所得的債券總價是交易日的價值， 這樣兩個不同時點(diǎn)的價值不能直接進(jìn)行加減運(yùn)算; 只有將應(yīng)計利息折現(xiàn)到交易日才能與總價相減。 因此， 表1中， 債券凈價1不可能正確; 債券凈價2有可能正確。

四、正確的評估模型

正確考慮付息頻率以及每期利息、到期本金和應(yīng)計利息的折現(xiàn)， 才能建立正確的債券價值模型， 下面就總價模型和凈價模型分別進(jìn)行討論。

1. 總價模型。 如前所述， 債券總價包含應(yīng)計利息， 即為買方所得債券的所有未來利息和本金的總現(xiàn)值， 其中的利息既包含所有整數(shù)期的利息， 也包括本期即非整數(shù)期的利息。 債券的總價可以看作是本次利息將發(fā)未發(fā)時的價值折現(xiàn)到交易日的價值。 因此， 可以分兩步進(jìn)行計算， 首先計算本次利息將發(fā)未發(fā)時的價值， 然后考慮如何將這個價值進(jìn)行折現(xiàn)。

假設(shè)票面利率為r， 面值為M， 一年內(nèi)付息次數(shù)為m， 剩余x個整數(shù)期， 則每次利息數(shù)額為rM/m， 在本次利息將發(fā)未發(fā)時， 債券價值中還包含x+1次利息。 其中， 本次利息即將發(fā)放， 不需要進(jìn)行折現(xiàn)， 其余x次利息依次按1，2，…，x整數(shù)期進(jìn)行折現(xiàn)， 再加上本金即面值的現(xiàn)值， 就能夠得到本次利息將發(fā)未發(fā)時的債券總價， 即：

B=[t=1xrM/m（1+k） tm+M（1+k） xm]+ rM/m? （7）

一個利息周期為365/m天， 其終值系數(shù)為（1+k）1/m， 即利率為（1+k）1/m -1。 假設(shè)在交易日， 距離本次利息發(fā)放的剩余天數(shù)為D， 則需要折現(xiàn)的天數(shù)占該周期比例=D/（365/m）=mD/365。 因此， 按照單利計算， 此期間的利率為[（1+k）1/m -1]（mD/365）。

綜上， 考慮本期即非整數(shù)期的折現(xiàn)后， 債券總價為：

[B=t=1xrM/m（1+k） t/m+M（1+k） x/m+rM/m1+ （1+k） 1/m-1 （mD/365）]? ?（8）

公式（8）即為可以評估任意時點(diǎn)債券價值的通用總價模型， 對應(yīng)于公式（6）的考慮付息頻率模型， 也可寫成如公式（9）所示的債券總價模型。

（9）

需要注意的是， 在公式（8）和公式（9）中， 對非整數(shù)期的折現(xiàn)是按照單利考慮的， 此非整數(shù)期即剩余D天的貼現(xiàn)率為[（1+k）1/m -1]（mD/365）， 或者說現(xiàn)值系數(shù)為1/{1+[（1+k）1/m -1]（mD/365）}。 那么， 是否也可以按照復(fù)利折現(xiàn)， 即按天計息考慮呢？ 相應(yīng)地， 在按天進(jìn)行復(fù)利折現(xiàn)的情況下， 每期貼現(xiàn)率為（1+k）1/m-1， 本期剩余D天的現(xiàn)值系數(shù)為1/{1+[（1+k）1/m-1]}（mD/365）。 顯然， 這兩種計算方式得到的結(jié)果會略有不同。

著名的計算債券凈價的華爾街模型（Standard Wall Street Model）就是按照復(fù)利方式來計算期內(nèi)即剩余D天的折現(xiàn)， 如公式（10）所示。

[V=（CP/2） ×1- （1+kn/2） -2Nkn/2+? ? P/ （1+kn/2） 2N+CP/2（1+kn/2） D/182.5- （CP/2） ×]

（1-D/182.5） （10）

顯然， 這是一年付息兩次情況下的債券凈價模型。 為保持模型原貌， 這里保留了該模型原本的變量符號。 其中， 與本文不同的符號包括： V=債券價值; C=票面利率; P=債券面值; kn=貼現(xiàn)率; N=到期年數(shù)④。

華爾街模型的總體結(jié)構(gòu)是債券總價減應(yīng)計利息。 經(jīng)過前面的分析， 很容易發(fā)現(xiàn)該模型至少存在兩個錯誤： 其一， 在計算債券總價時， 關(guān)于債券付息頻率的考慮不正確， 確切地說是對于每期貼現(xiàn)率的計算有誤。 模型中是kn/2， 但正確的應(yīng)該是（1+kn）1/m-1。 其二， 模型對于債券應(yīng)計利息的考慮也不正確， 其錯誤在于忽略了應(yīng)計利息的折現(xiàn)。 換句話說， 應(yīng)計利息作為減項， 應(yīng)該放到折現(xiàn)計算的分子上。

此外， 華爾街模型在期內(nèi)即剩余D天的折現(xiàn)計算上也不正確。 這個問題也不難理解， 無論誰持有債券， 利息期內(nèi)是不能拿到利息的， 即應(yīng)計利息無法獲得復(fù)利效果， 不能利滾利。 因此， 本期期內(nèi)的折現(xiàn)應(yīng)該按照單利處理。 也就是說， 對于折現(xiàn)計算， 本文的總價模型[公式（8）和公式（9）]是正確的， 而華爾街模型是錯誤的。

2. 凈價模型。 在正確的總價模型基礎(chǔ)上， 從總價中扣除應(yīng)計利息的現(xiàn)值就能得到正確的凈價模型， 而不是像華爾街模型那樣扣除應(yīng)計利息本身。 根據(jù)前面的分析， 應(yīng)計利息應(yīng)該與本利息期結(jié)束時債券的價值一起計算折現(xiàn)值， 并從總價中扣除; 當(dāng)然也可以理解為先從本利息期結(jié)束時債券的總價中扣除應(yīng)計利息， 再進(jìn)行折現(xiàn)， 即在公式（8）或公式（9）的基礎(chǔ)上， 從分子中的本期利息rM/m中扣除應(yīng)計利息。 因為距離本期利息的剩余天數(shù)為D， 意味著計息天數(shù)為（365/m）-D， 計息天數(shù)占該利息周期的比例=[（365/m）-D]/（365/m）=1-mD/365， 而一期利息為rM/m， 因此應(yīng)計利息=（rM/m）（1-mD/365）=rM/m-rMD/365。 從一期利息中扣除應(yīng)計利息后的金額=（rM/m）-[（rM/m）-（rMD/365）]=rMD/365。 綜上， 正確的債券凈價模型如公式（11）和公式（12）所示。

[B=t=1xrM/m（1+k） t/m+M（1+k） x/m+rMD/3651+ （1+k） 1/m-1 （mD/365）]? ?（11）

[B=rMm×1- （1+k） -x/m（1+k）1/m-1+M（1+k） x/m+rMD3651+ （1+k） 1/m-1 （mD/365）] （12）

至此， 本文分別得出了正確的債券總價和凈價模型。 可以看出， 流行模型（如華爾街模型）存在的錯誤并非難以更正; 從最終結(jié)果來看， 本文的債券總價和凈價模型[公式（8）或公式（9）以及公式（11）和公式（12）]也并不比流行的方法或模型更復(fù)雜。

不妨通過應(yīng)用測試一下本文所建立的債券總價和凈價模型的效果。 繼續(xù)以基準(zhǔn)案例為例， 已知債券面值為100元， 期限為5年。 票面利率和合適的貼現(xiàn)率都等于市場對該債券的期望收益率， 即為6%并保持不變。 表1中進(jìn)行折現(xiàn)時使用的是正確的貼現(xiàn)率， 但期內(nèi)采用的是復(fù)利折現(xiàn)。 下面根據(jù)上述債券總價和凈價模型， 重新計算在每年付息一次的情況下， 發(fā)行之初（2021年1月1日）以及2021年每月月末的債券總價和凈價， 結(jié)果如表2所示。

基準(zhǔn)案例中債券票面利率等于貼現(xiàn)率， 基于業(yè)內(nèi)常識可知， 在一年付息一次的情況下這是標(biāo)準(zhǔn)的平價債券; 排除應(yīng)計利息的影響后債券價值應(yīng)該正好等于100元。 在表2中， 債券凈價2是應(yīng)用本文凈價模型即公式（11）或公式（12）計算出來的， 結(jié)果確實(shí)都為100元整。 由此說明， 本文的凈價模型可以從總價中完全排除應(yīng)計利息的影響， 這直接證實(shí)了總價模型和凈價模型的正確性。 如此說來， 本文的債券凈價模型是“真正的凈價模型”， 對于應(yīng)計利息的處理比流行模型（如華爾街模型）更“干凈”。

當(dāng)然， 表2中的債券還是一年付息一次， 即模型中m=1。 假設(shè)其他條件不變， 現(xiàn)在改為一年付息兩次， 即模型中m=2。 根據(jù)本文的債券總價和凈價模型， 計算2021年每月月末的債券總價和凈價， 結(jié)果如表3所示。

由表3可以看出， 債券總價隨著本期內(nèi)時間的推移而上升， 由于債券的收益和風(fēng)險以及市場無風(fēng)險利率并無變化， 因此這種價值的變化完全是由債券中的應(yīng)計利息變化引起的， 計算得出的債券凈價則消除了這種趨勢變化。 可以看出， 與表2中債券凈價嚴(yán)格等于平價即100元不同， 表3中債券凈價略微超出平價水平。 原因是債券的付息頻率增加到一年兩次， 則當(dāng)票面利率等于貼現(xiàn)率即投資者要求的收益率時， 債券的實(shí)際票面利率相當(dāng)于略有提高， 即略高于貼現(xiàn)率， 從而不再是平價水平⑤。 也就是說， 如果正確考慮付息頻率的影響， 那么計算得出的債券凈價應(yīng)該略高于面值。 而且， 這種微小的“溢價”是由于利息的發(fā)放引起的， 隨著時間的推移， 特別是隨著利息的發(fā)放或剩余利息次數(shù)的減少， 其影響應(yīng)該逐漸減弱， 即債券的凈價應(yīng)該趨向于面值， 表3中的計算結(jié)果確實(shí)反映出了這樣的趨勢， 由此進(jìn)一步證實(shí)了本文債券總價和凈價模型的合理性。

五、研究結(jié)論

普通債券是最簡單的證券， 但這種最簡單的證券至今沒有正確的價值評估模型， 其直接原因是目前的流行模型沒有正確地考慮付息頻率和應(yīng)計利息對債券價值的影響。

在考慮付息頻率時， 可以通過調(diào)整債券價值基本模型， 按照每期利息折現(xiàn)加總并加上本金現(xiàn)值進(jìn)行計算。 需要注意的是， 每期的貼現(xiàn)率不是原來的年貼現(xiàn)率除以付息頻率， 因為簡單地根據(jù)原來的年貼現(xiàn)率除以付息頻率得出每期貼現(xiàn)率實(shí)際上是改變了年貼現(xiàn)率， 而債券付息頻率變化不影響年貼現(xiàn)率以及相關(guān)的終值和現(xiàn)值系數(shù)。 在保持原來的年貼現(xiàn)率以及相關(guān)終值和現(xiàn)值系數(shù)不變的情況下， 本文得出了考慮付息頻率情況下的正確模型。

在正確考慮付息頻率的基礎(chǔ)上， 扣除和不扣除應(yīng)計利息分別可以計算債券的凈價和總價。 目前的流行模型（如華爾街模型）， 在考慮各期利息和應(yīng)計利息的折現(xiàn)方面存在兩個錯誤： 一是忽略了應(yīng)計利息的折現(xiàn); 二是對非整數(shù)期的折現(xiàn)計算采用了復(fù)利方式， 但債券在付息期內(nèi)無法獲得復(fù)利增長。 本文更正了這兩個錯誤， 得到了正確的債券總價和凈價模型。

本文的債券總價和凈價模型都是封閉解模型， 便于使用。 同時， 應(yīng)用數(shù)字實(shí)例測算， 對于平價債券， 可以明確得到各個日期凈價都等于面值的結(jié)果， 由此直接證實(shí)了本文凈價模型的正確性。 因為凈價模型是在總價模型的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來的， 當(dāng)然也就證實(shí)了本文總價模型的正確性。

【 注 釋 】

① 無風(fēng)險利率通常依據(jù)同樣期限的政府債券（國債）的到期收益率確定;債券的風(fēng)險主要指其違約風(fēng)險。因此，在可以正確計算債券違約風(fēng)險補(bǔ)償率的情況下，債券合適的貼現(xiàn)率就等于對應(yīng)期限的無風(fēng)險利率加該債券的違約風(fēng)險補(bǔ)償率。由此可知，特定債券有其特定合適的貼現(xiàn)率，這個貼現(xiàn)率有客觀正確的標(biāo)準(zhǔn)，與投資者個人的風(fēng)險偏好無關(guān)，不是因人而異。這個客觀的違約風(fēng)險補(bǔ)償率如何確定，又是一個復(fù)雜的問題，這里不做展開討論?？蓞⒁姀堉緩?qiáng)的《貸款定價的基本模型》，《中國資產(chǎn)評估》2017年第4期，第26 ～ 29頁。

② 如果是閏年，2月的29號不計息。

③ 證明過程詳見張志強(qiáng)的《高級財務(wù)：理論創(chuàng)新與決策應(yīng)用》，北京大學(xué)出版社，2012年，第72 ～ 73頁。

④ 可以看出，N可以取小數(shù)，但前提條件是2N必須為整數(shù)。

⑤ 這種情況下要實(shí)現(xiàn)債券的平價發(fā)行，應(yīng)該如何計算票面利率，可參見張志強(qiáng)的《高級財務(wù)：理論創(chuàng)新與決策應(yīng)用》，北京大學(xué)出版社，2012年，第78 ～ 83頁。

【 主 要 參 考 文 獻(xiàn) 】

[1] 財政部，中國人民銀行，中國證券監(jiān)督管理委員會.關(guān)于試行國債凈價交易有關(guān)事宜的通知.財庫[2001]12號，2002-03-18.

[2] I. Keong Chew， Ronnie J. Clayton. Bond valuation： A clarification[ J].The Financial Review，1983（2）：234 ～ 236.