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    曲柄搖桿機(jī)構(gòu)預(yù)定軌跡的優(yōu)化設(shè)計(jì)與仿真

    2021-09-18 05:28:32孫道賓李元皓
    關(guān)鍵詞:足端搖桿曲柄

    孫道賓,李元皓

    (沈陽理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,遼寧 沈陽 110159)

    曲柄搖桿機(jī)構(gòu)是一種較為常見的傳動(dòng)機(jī)構(gòu),在多個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用,許多研究者曾致力于其結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。俄羅斯數(shù)學(xué)家切貝雪夫?yàn)榇私⒘私馕龇?。這種解析法綜合運(yùn)用逼近論、數(shù)學(xué)矩陣、復(fù)數(shù)等知識(shí),能對(duì)二次線性方程或者超越方程進(jìn)行求解,但求解過程相當(dāng)麻煩。解析法最多只能按照9個(gè)點(diǎn)進(jìn)行求解設(shè)計(jì),求解精度有待提高,且最后得到的只有一組可行解。美國的F·Ferudesnetin通過設(shè)置精確點(diǎn),首次使用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)了四桿機(jī)構(gòu)再現(xiàn)函數(shù)的最優(yōu)綜合。從此,人們開始了采用計(jì)算機(jī)對(duì)連桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行綜合分析設(shè)計(jì)的進(jìn)程。R·L·Fox和K·D·Willmert于1967年,J·Tomas于1968年,先后把優(yōu)化方法與計(jì)算機(jī)技術(shù)結(jié)合起來,進(jìn)行機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)(稱作機(jī)構(gòu)最優(yōu)化設(shè)計(jì)),從而開始了機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的新進(jìn)程,推動(dòng)了優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的應(yīng)用[1]。

    本文針對(duì)機(jī)器人足端軌跡,在橢圓軌跡的基礎(chǔ)上重新規(guī)劃,以期獲得具有更強(qiáng)穩(wěn)定性的機(jī)器人足端新規(guī)劃軌跡,并通過Matlab編程實(shí)現(xiàn)新規(guī)劃軌跡的曲柄搖桿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì),進(jìn)而設(shè)計(jì)機(jī)器人的單條腿部機(jī)構(gòu)。

    1 機(jī)器人足端軌跡的確定

    曲柄搖桿機(jī)構(gòu)經(jīng)常被用作機(jī)器人的行走機(jī)構(gòu)。本文將曲柄搖桿機(jī)構(gòu)作為機(jī)器人的腿部機(jī)構(gòu)。機(jī)器人足端軌跡如圖1所示。采用這種橢圓軌跡的優(yōu)點(diǎn)是能夠保證機(jī)器人足端與地面接觸時(shí)的速度和加速度都為零,從一定程度上減輕機(jī)器人足端與地面碰撞的強(qiáng)度,提高機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)的使用壽命。若地面為非理想狀態(tài),機(jī)器人足端在著地瞬間的速度和加速度都為零,只能向上抬腿,則機(jī)體的傾斜或者擺動(dòng)腿落地位置的地面下陷,都會(huì)導(dǎo)致在機(jī)器人的擺動(dòng)腿還未落地時(shí)其著地腿就已經(jīng)抬了起來,使機(jī)體的穩(wěn)定性大為降低。換句話說,這種機(jī)器人足端軌跡(圖1(a))根本無法滿足機(jī)器人實(shí)際行走穩(wěn)定性的要求,因此需要在橢圓軌跡的基礎(chǔ)上重新規(guī)劃機(jī)器人足端軌跡。

    (a) 橢圓軌跡

    (b) 新規(guī)劃軌跡圖1 機(jī)器人足端軌跡

    1.1 建立足端軌跡方程

    根據(jù)圖1中新規(guī)劃軌跡可建立對(duì)應(yīng)的機(jī)器人足端軌跡方程。

    (1)

    (2)

    (3)

    對(duì)應(yīng)直線MN的軌跡方程為:

    (4)

    1.2 確定足端軌跡上若干點(diǎn)的坐標(biāo)

    本文首先在機(jī)器人足端軌跡上取12個(gè)點(diǎn),然后根據(jù)足端軌跡方程,計(jì)算這12個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值(表1)。

    表1 足端軌跡上12個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值

    2 曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析

    基于坐標(biāo)系Oxy,可對(duì)曲柄搖桿機(jī)構(gòu)(圖2)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析。

    圖2 曲柄搖桿機(jī)構(gòu)

    本文參考相關(guān)文獻(xiàn)[2-4],針對(duì)曲柄搖桿機(jī)構(gòu)OAABOB,設(shè)OAOB=L0、OAA=L1、AB=L2、BOB=L3、APj=L4,且令A(yù)Pj與AB為固聯(lián)。通過矢量分析,有:

    (5)

    由式(5)消去θj可得:

    (6)

    E1j=L0cosα-L1cosφj,

    E2j=L0sinα-L1sinφj,

    E3j=[(L0cosα-L1cosφj)2+(L0sinα-

    E1jcosΨj+E2jsinΨj+E3j=0

    (7)

    根據(jù)三角函數(shù)知識(shí)可列出:

    cosΨj=[1-tan2(Ψj/2)]/[1+tan2(Ψj/2)]

    (8)

    sinΨj=2tan(Ψj/2)/[1+tan2(Ψj/2)]

    (9)

    把式(8)和式(9)代入式(7)中,得到關(guān)于tan(Ψj/2)的一元二次方程式后求解,可得:

    (10)

    將式(10)代入式(5),可得:

    θj=tan-1[(E2j+L3sinΨj)/(E1j+L3cosΨj)]

    (11)

    設(shè)OA點(diǎn)的坐標(biāo)為(OA,x,OA,y), 實(shí)際軌跡上Pj點(diǎn)的坐標(biāo)為(Pj,x,Pj,y);則

    (12)

    為了讓曲柄搖桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)時(shí)靈活輕便、傳動(dòng)時(shí)節(jié)省動(dòng)力,設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)使其最小傳動(dòng)角γ大于等于其許用傳動(dòng)角[γ]。由機(jī)械原理可知,曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的最小傳動(dòng)角γ和桿AB桿BOB的夾角δ有關(guān),當(dāng)δ≤90°時(shí),γ=δ;當(dāng)δ>90°時(shí),γ=180°-δ。由此推算出:

    [γ] ≤δ≤ 180° - [γ]

    (13)

    令δmin= [γ],δmax=180° - [γ];則

    δmin≤δ≤δmax

    (14)

    cosδmin≥ cosδ≥ cosδmax

    (15)

    在機(jī)構(gòu)運(yùn)轉(zhuǎn)過程中δ是不斷變化的,當(dāng)曲柄OAA與機(jī)架OAOB重合共線時(shí),δ為最小值。此時(shí)有:

    (16)

    當(dāng)曲柄OAA與機(jī)架OAOB拉直共線時(shí),δ為最大值。此時(shí)有:

    (17)

    通過運(yùn)動(dòng)分析可知,曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)應(yīng)滿足式(15)成立的條件。

    3 數(shù)學(xué)模型的建立

    3.1 建立目標(biāo)函數(shù)

    為了盡可能地讓曲柄搖桿機(jī)構(gòu)上點(diǎn)的實(shí)際軌跡與預(yù)定軌跡重合,可根據(jù)機(jī)構(gòu)實(shí)際軌跡上的點(diǎn)坐標(biāo)與預(yù)定軌跡上的點(diǎn)坐標(biāo)差值的最小平方和來建立下列目標(biāo)函數(shù)[5]:

    (18)

    式中:(Pj,xPj,y)為機(jī)構(gòu)實(shí)際軌跡上一系列點(diǎn)的坐標(biāo);(P′j,xP′j,y)為預(yù)定軌跡上一系列點(diǎn)的坐標(biāo)。

    假設(shè)曲柄OAA起始位置與機(jī)架OAOB之間的夾角為φ1, 若給定一系列預(yù)定軌跡點(diǎn)P′的坐標(biāo)(P′j,x,P′j,y)以及對(duì)應(yīng)的曲柄OAA轉(zhuǎn)角(相對(duì)于曲柄OAA起始位置的夾角)φj,1, 則圖2中的φj可表示為:

    φj=α+φ1+φj,1;j= 1,2,…,n

    (19)

    綜合式(12)和(19),可得:

    (20)

    3.2 設(shè)定設(shè)計(jì)變量

    分析可知,在已知一些有規(guī)律的預(yù)定軌跡上點(diǎn)P′的坐標(biāo)(P′j,x,P′j,y)以及對(duì)應(yīng)的曲柄OAA轉(zhuǎn)角φj,1時(shí),目標(biāo)函數(shù)F(X)與參數(shù)L0、L1、L2、L3、L4、α、β、φ1、OA,x、OA,y都有一定的關(guān)系。這些參數(shù)就是設(shè)計(jì)變量。為了讓設(shè)計(jì)變得簡單,可以在設(shè)計(jì)前預(yù)先給定OA,x、OA,y的值[6-7]。

    取(OA,x,OA,y)=(-75,-0),則設(shè)計(jì)變量可設(shè)定為:

    X=[x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8]T= [L0,L1,L2,L3,L4,α,β,φ1]T

    (21)

    3.3 設(shè)定約束條件

    本文所研究曲柄搖桿機(jī)構(gòu)在滿足曲柄存在的條件下,為了讓其運(yùn)動(dòng)順暢靈活、節(jié)省動(dòng)力,還應(yīng)該滿足傳動(dòng)角的約束條件。

    曲柄存在必須滿足下列條件:

    (22)

    根據(jù)式(22)可寫出曲柄存在的約束條件,即

    (23)

    根據(jù)文獻(xiàn)[8],結(jié)合式(15),可寫出傳動(dòng)角的約束條件,即

    (24)

    通常,許用傳動(dòng)角[γ] = 40°,故δmin=[γ]=40°,而δmax= 180° - [γ] = 140°。

    根據(jù)cos 40°=0.766 0,以及式(16)、式(17)、式(24)推導(dǎo),可得:

    (25)

    進(jìn)一步推導(dǎo)可知,傳動(dòng)角的約束條件為:

    (26)

    綜合式(23)和式(26)可知,目標(biāo)函數(shù)F(x)的約束條件為:

    (27)

    3.4 求解目標(biāo)函數(shù)

    對(duì)于多約束非線性優(yōu)化問題,可采用Matlab自身庫中fmincon函數(shù)來求解[9]。非線性約束優(yōu)化函數(shù)的數(shù)學(xué)模型為:

    [X*,fval]=fmincon(@objectf1,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@conf1,options)

    (28)

    式中:X*為設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化解;fval是對(duì)應(yīng)于該解的函數(shù)值;@objectf1為調(diào)用函數(shù)的文件名;x0為初始點(diǎn), 其取值必須滿足約束條件,本文取x0=[120,35,110,45,70,-30,10,30];A為線性不等式約束條件下的系數(shù)矩陣,且A(1,:)=[1,1,-1,-1,0,0,0,0],A(2,:)=[-1,1,1,-1,0,0,0,0],A(3,:)=[-1,1,-1,1,0,0,0,0],A(4,:)=[0,-1,0,0,0,0,0,0];b為線性不等式的常數(shù)向量,b=[0;0;0];因本文的x0、A、b中不存在線性等式約束,所以Aeq和beq皆為空陣;lb為設(shè)計(jì)變量的下界,本文中l(wèi)b=[0,0,0,0,0,-180,0,0];ub為設(shè)計(jì)變量的上界,本文中ub=[],即空陣;@conf1為根據(jù)非線性約束條件所寫約束程序的函數(shù)名。本文中只有傳動(dòng)角約束為非線性約束,可針對(duì)它編寫相關(guān)的約束函數(shù)[10]。其程序格式為:

    function[c,ceq]=conf1(x);

    c(1)=cos δmin-cos(40pi/180);

    c(2)=cos(140pi/180)-cos δmax;

    ceq=[]。

    這里ceq為空陣,表示不存在非線性等式約束。 限于篇幅,本文的主程序和目標(biāo)函數(shù)程序不在此列出。

    經(jīng)過Matlab程序運(yùn)算,得到的設(shè)計(jì)變量優(yōu)化解為:

    X*=[x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8]T=

    [L0,L1,L2,L3,L4,α,β,φ1]T=

    [120.632 8,30.993 1,114.681 4,44.649 5,

    74.788 3,-20.319 6,5.809 2,26.602 3]T;

    目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化值為:F(X*)= 3.229 5。

    可見, 其實(shí)際軌跡點(diǎn)與預(yù)定軌跡點(diǎn)的點(diǎn)距誤差已相當(dāng)小。實(shí)際使用時(shí),還可通過改變收斂精度系數(shù)進(jìn)一步縮小點(diǎn)距誤差,使所設(shè)計(jì)機(jī)構(gòu)更好地滿足使用要求。

    4 機(jī)器人足端軌跡的仿真驗(yàn)證

    通過仿真可知,對(duì)應(yīng)于優(yōu)化設(shè)計(jì)的曲柄搖桿機(jī)構(gòu),機(jī)器人足端實(shí)際軌跡與新規(guī)劃軌跡已經(jīng)非常接近。利用UG NX軟件建立曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的三維模型,依據(jù)Matlab軟件求解的數(shù)據(jù),可進(jìn)行曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的軌跡追蹤,進(jìn)而比較實(shí)際軌跡與新規(guī)劃軌跡。

    按機(jī)器人足端預(yù)定軌跡仿真優(yōu)化后設(shè)計(jì)的機(jī)器人單條腿部機(jī)構(gòu)如圖3所示。仿真所得機(jī)器人足端軌跡如圖4所示。

    圖3 機(jī)器人的單條腿部機(jī)構(gòu)

    圖4 仿真所得機(jī)器人足端軌跡

    對(duì)比圖1和圖4可知,機(jī)器人足端仿真軌跡與新規(guī)劃軌跡基本一致。

    5 結(jié)束語

    本文以曲柄搖桿機(jī)構(gòu)為例,通過建立數(shù)學(xué)模型,進(jìn)行多約束條件下預(yù)定軌跡的優(yōu)化設(shè)計(jì);基于Matlab平臺(tái)對(duì)橢圓軌跡進(jìn)行再規(guī)劃,在一定程度上可以解決機(jī)器人足端橢圓軌跡在非理想地面穩(wěn)定性不足的問題。利用Matlab自身庫中fmincon函數(shù)對(duì)多約束條件下曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的優(yōu)化求解,實(shí)現(xiàn)了設(shè)計(jì)過程的簡化。通過UG NX動(dòng)力學(xué)模型驗(yàn)證可知,新規(guī)劃軌跡與仿真軌跡大致相同,機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)效果理想,所用設(shè)計(jì)方法能大大提高連桿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的效率和質(zhì)量。

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