2021年高考“函數(shù)與導數(shù)”專題解題分析

黃厚忠 陳桂明

摘? 要：針對2021年高考數(shù)學試卷中的函數(shù)與導數(shù)試題進行解法分析，并對本專題試題的基本類型和特色進行歸納總結，給出本專題的復習建議.

關鍵詞：函數(shù)與導數(shù);解題分析;數(shù)學思想

函數(shù)是高中數(shù)學中非常重要的內容，《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）把函數(shù)及其相關內容作為一條貫穿數(shù)學課程的主線，函數(shù)思想有助于學生理清中學數(shù)學的脈絡，學習、理解、應用函數(shù)主線是提升學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的基本載體. 因而，函數(shù)與導數(shù)試題在高考中一直占據(jù)著十分重要的地位. 綜觀2021年各份高考數(shù)學試卷，對函數(shù)與導數(shù)內容的考查符合《標準》的要求，并具有較好的區(qū)分度，便于考查不同層次學生的數(shù)學思維品質. 下面針對2021年各份高考數(shù)學試卷中的函數(shù)與導數(shù)試題進行解法分析，并對函數(shù)與導數(shù)試題的基本類型和特色進行歸納總結，給出復習建議.

一、試題分析

2021年各份高考數(shù)學試卷中對函數(shù)與導數(shù)內容的考查，均以基礎知識為載體，題型涉及選擇題、填空題和解答題，主要圍繞函數(shù)的概念、圖象、性質、函數(shù)與方程，以及導數(shù)在函數(shù)中的應用等進行命制，考查分類討論、數(shù)形結合、轉化與化歸、函數(shù)與方程等重要思想方法，突出考查學生的基礎知識和基本技能.

1. 函數(shù)的概念

例1 （上海卷·5）已知[fx=3x+2，] 則[f-11]的值為? ? ? ? ? .

解法1：由題意，得[f-1x=3x-2.] 所以[f-11=-3.]

解法2：令[3x+2=1，] 解得[x=-3.] 所以[f-11=-3.]

【評析】此題考查學生對反函數(shù)相關概念的理解與應用，主要有兩種解法：一是根據(jù)原函數(shù)求出其反函數(shù)的解析式，再代值求解;二是根據(jù)反函數(shù)與原函數(shù)的關系——反函數(shù)的值域就是原函數(shù)的定義域進行求解.

例2 （浙江卷·12）已知[a∈R，] 函數(shù)[fx=][x2-4，x>2，x-3+a，x≤2.] 若[ff6=3，] 則[a]的值為? ? ?.

解：因為[6>2，]

所以[f6=62-4=2.]

所以[ff6=f2=2-3+a=1+a=3.]

所以[a=2.]

【評析】處理分段函數(shù)求值問題，關鍵是分清自變量屬于哪個區(qū)間，以便確定其對應法則.

2. 函數(shù)的圖象

函數(shù)的圖象是高考?？純热葜?，主要考查學生作圖、識圖、用圖的能力，這類試題一般比較靈活，常常借助特殊點、函數(shù)的性質、極限等方法來解決，當然，也可以借助導數(shù)來判斷. 其中，給式繪圖是基礎，給圖識圖是能力，無圖想圖則是數(shù)形結合的一種境界.

例3 （天津卷·3）函數(shù)[y=ln xx2+2]的圖象大致為（? ? ）.

[1][0.15][x][y][O] [（A）] [1][0.15][x][y][O] [（B）]

[1][0.15][x][y][O] [（C）] [1][0.15][x][y][O] [（D）]

解：因為[fx=ln xx2+2，x∈-∞，0?0，+∞，]

[f-x=ln -x-x2+2=ln xx2+2=fx.]

所以[fx]為[-∞，0?0，+∞]上的偶函數(shù).

所以排除選項A和選項C.

因為[f1=0，] 且當[x>1]時，[fx>0，]

所以排除選項D.

故答案選B.

【評析】此題為給式識圖題，解決這類問題一般有兩種思考方式：一是由解析式得性質，由性質畫出函數(shù)的圖象，再找出正確的選項;二是由選項直觀感知要研究的函數(shù)性質，再結合解析式研究對應的性質，用排除法找出正確的選項. 此題考查了函數(shù)的圖象與性質，考查學生的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算等素養(yǎng).

3. 函數(shù)的性質

函數(shù)的性質是歷年高考必考且重點考查的內容，主要包括函數(shù)的單調性、奇偶性和周期性，及其簡單應用的考查.

例4 （全國新高考Ⅰ卷·13）已知函數(shù)[fx=][x3a ? 2x-2-x]是偶函數(shù)，則[a]的值為? ? ? ? .

解法1：由函數(shù)[fx]是偶函數(shù)，得

[-x3a ? 2-x-2x=x3a ? 2x-2-x.]

整理，得[a-12x+2-x=0.]

則[a-1=0.]

所以[a=1].

解法2：由函數(shù)[fx]是偶函數(shù)，得[f-1=f1，]

即[2-a2=2a-12.]

解得[a=1].

經(jīng)檢驗，[a=1]符合題意.

【評析】準確掌握函數(shù)的奇偶性是解決此題的核心. 作為填空題，也可以取特殊值來處理，但需要有檢驗意識.

例5 （全國甲卷·理12）設函數(shù)[fx]的定義域為[R，] [fx+1]為奇函數(shù)，[fx+2]為偶函數(shù)，當[x∈1，2]時，[fx=ax2+b，] 若[f0+f3=6，] 則[f92]的值為（? ? ）.

（A）[-94] （B）[-32]

（C）[74] （D）[52]

解：因為[fx+1]是奇函數(shù)，

所以[f-x+1=-fx+1.] ①

因為[fx+2]是偶函數(shù)，

所以[fx+2=f-x+2.] ②

令[x=1]，由①，得[f0=-f2=-4a+b];

由②，得[f3=f1=a+b.]

因為[f0+f3=6，]

所以[-4a+b+a+b=6.]

解得[a=-2.]

令[x=0]，由①，得[f1=-f1.]

則[f1=0.]

所以[b=2.]

所以[fx=-2x2+2.]

（方法1）從定義入手.

因為[f92=f52+2=f-52+2=f-12]，

[f-12=f-32+1=-f32+1=-f52]，

[-f52=-f12+2=-f-12+2=-f32]，

所以[f92=-f32=52.]

（方法2）從周期性入手.

由兩個對稱性可知，函數(shù)[fx]的周期[T=4].

所以[f92=f12=-f32=52.]

故答案選D.

【評析】此題涉及一個二級結論：如果一個函數(shù)既是中心對稱，又是軸對稱，那么該函數(shù)是周期函數(shù). 在解決與函數(shù)性質相關的問題時，我們通?？梢越柚恍┒壗Y論，進而達到簡化計算的效果. 有關函數(shù)奇偶性、對稱性、周期性的結論很多，不必死記，只需借助定義進行推導即可.

4. 函數(shù)與方程

函數(shù)與方程思想是高中數(shù)學中最重要的思想之一. 對函數(shù)與方程的考查，多以基本初等函數(shù)為載體，考查方程的根、圖象與x軸的交點、函數(shù)的零點三者之間的關系.

例6 （北京卷·15）已知函數(shù)[fx=lg x-kx-2，] 給出下列四個結論：

① 當[k=0]時，[fx]恰有2個零點;

② 存在負數(shù)[k]，使得[fx]有1個零點;

③ 存在負數(shù)[k]，使得[fx]有3個零點;

④ 存在正數(shù)[k]，使得[fx]有3個零點.

其中所有正確結論的序號是? ? ? ? ? .

解：令[fx=lg x-kx-2=0，] 則[fx]的零點問題可以轉化為函數(shù)[gx=lg x]與函數(shù)[hx=kx+2]的交點問題.

當[k=0]時，由[lg x-2=0，] 可得[x=1100]或[x=100，] 故結論①正確;

存在[k<0，] 使得[gx=lg x]與[hx=kx+2]相切，但[gx=lg x]與[hx=kx+2]最多有兩個交點，故結論②正確、結論③錯誤;

當[k>0]時，過點[0，2]存在函數(shù)[y=lg x x>1]的切線，此時共有兩個交點，當直線的斜率略小于相切時的斜率時，就會有三個交點，故結論④正確.

故正確答案為①②④.

【評析】在選擇題和填空題中求函數(shù)的零點個數(shù)，可以利用轉化思想將其轉化為求方程的解，也可以轉化為求圖象的交點個數(shù)，突出了數(shù)形結合、函數(shù)與方程、轉化與化歸的思想，但此方法不適合解答題的求解，對于解答題的處理后面將繼續(xù)說明.

5. 導數(shù)在函數(shù)中的應用

導數(shù)是探究函數(shù)問題的重要工具，可以利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值、最值、零點，以及函數(shù)圖象的切線問題.

例7 （全國乙卷·理10）設[a≠0，] 若[x=a]為函數(shù)[fx=ax-a2x-b]的極大值點，則（? ? ）.

（A）[a<b] （B）[a>b]

（C）[ab<a2] （D）[ab>a2]

解法1：若[a=b，] 則[fx=ax-a3]為單調函數(shù)，無極值點，不符合題意. 所以[a≠b.]

要使得[x=a]是三次函數(shù)[fx]的極大值點，可以畫出[fx]的草圖，有圖1和圖2兩種情形.

[b][x][y][O][a][圖1] [y][x][O][a][b][圖2]

考慮圖1，一定有[a>0，] 且[b>a.] 此時[ab-a2=][ab-a>0，] 則[ab>a2.]

考慮圖2，一定有[a<0，] 且[b<a.] 此時[ab-a2=][ab-a>0，] 則[ab>a2.]

綜上所述，[ab>a2]成立，

故答案選D.

解法2：因為[fx=ax-a3x-2b-a，]

所以要使得[x=a]是三次函數(shù)[fx]的極大值點，則[a>0，a<a+2b3] 或[a<0，a>a+2b3，]

即[a>0，a<b] 或[a<0，a>b.]

所以一定有[ab-a2=ab-a>0.]

故[ab>a2.]

故答案選D.

【評析】雖然導數(shù)是研究函數(shù)極值最有效的工具，但是對于一些常見的函數(shù)圖象和性質，學生仍然要熟練掌握. 此題考查的是三次函數(shù)極大值點的問題，對比上述兩種解法，發(fā)現(xiàn)若能根據(jù)題意畫出其圖象，通過數(shù)形結合即可快速求解.

例8 （全國乙卷·文21）已知函數(shù)[fx=x3-x2+][ax+1.]

（1）討論[fx]的單調性;

（2）求曲線[y=fx]過坐標原點的切線與曲線[y=fx]的公共點的坐標.

解：（1）由題意，得[fx=3x2-2x+a.]

若[Δ=4-12a≤0，] 解得[a≥13.]

此時[fx≥0]恒成立，則[fx]在R上單調遞增.

若[Δ=4-12a>0，] 解得[a<13.]

令[fx=0，]

解得[x1=1-1-3a3，x2=1+1-3a3.]

當[x∈-∞，x1， x2，+∞]時，[fx>0，] 此時[fx]單調遞增;

當[x∈x1，x2]時，[fx<0]，此時[fx]單調遞減.

綜上可得，當[a≥13]時，[fx]在R上單調遞增;當[a<13]時，[fx]在[-∞， 1-1-3a3， 1+1-3a3， +∞]上單調遞增，在[1-1-3a3， 1+1-3a3]上單調遞減.

（2）設切點為[x0，fx0，]

則[fx0=3x20-2x0+a.]

則切線方程為[y-x30-x20+ax0+1=3x20-2x0+a ·][x-x0.]

因為切線過坐標原點，

所以[0-x30-x20+ax0+1=3x20-2x0+a0-x0.]

整理，得[2x30-x20-1=0，]

即[x0-12x20+x0+1=0.]

解得[x0=1.]

即此時切點為[1，a+1.]

則[f1=1+a.]

故切線方程為[y=a+1x.]

聯(lián)立方程組[y=x3-x2+ax+1，y=a+1x，]

解得[x=1，y=1+a] 或[x=-1，y=-1-a.]

所以曲線[y=fx]過坐標原點的切線與曲線[y=][fx]的公共點的坐標為[1，1+a]和[-1，-1-a.]

【評析】注意在函數(shù)的單調性的研究中，對導函數(shù)要依據(jù)其零點的不同情況進行分類討論;在求切線與函數(shù)曲線的公共點坐標時，要注意除了已經(jīng)求出的切點，還可能有另外的公共點，要通過聯(lián)立方程求解. 其中，在三次方程求解時要注意其中有一個實數(shù)根是求出的切點的橫坐標，這樣就容易通過分解因式求另一個根. 三次方程是高考數(shù)學函數(shù)與導數(shù)壓軸題中的常見問題，這類問題一般都能先找到其中一個根，然后再通過分解因式求其余的根.

二、典型試題解法分析

1. 巧構造，比大小

比較函數(shù)的大小是高考中一種?？嫉念}型，多出現(xiàn)在選擇題的壓軸位置. 比較大小的常見方法有：特殊值法、比較法（作差、作商）、構造函數(shù)法、圖象法、基本不等式法等，涉及的知識點較多，能夠有效考查從一般到特殊、轉化與化歸、數(shù)形結合等數(shù)學思想，能有效凸顯不同層次學生的思維品質.

例9 （全國乙卷·理12）設[a=2ln 1.01，b=][ln 1.02，c=1.04-1，] 則（? ? ）.

（A）[a<b<c] （B）[b<c<a]

（C）[b<a<c] （D）[c<a<b]

解：因為[a=2ln 1.01=ln 1.012>ln 1.02，]

所以[a>b.]

易發(fā)現(xiàn)，[1.01=1+0.01，1.04=1+0.01×4.]

令[x=0.01，] 則[a=2ln 1+x，c=1+4x-1.]

所以[a-c=2ln 1+x-1+4x+1.]

構造函數(shù)[fx=2ln 1+x-1+4x+1，0<x<1，]

則[fx=21+x-21+4x.]

因為[1+x2-1+4x=xx-2<0，]

所以[1+x2<1+4x，]

即[1+x<1+4x.]

從而有[fx>0.]

所以[fx]在[0，1]上單調遞增，

故[f0.01>f0=0，]

即[a>c.]

令[x=0.01，] 則[b=ln 1+2x，c=1+4x-1.]

構造函數(shù)[gx=ln 1+2x-1+4x+1，0<x<1，]

則[gx=21+2x-21+4x.]

因為[1+2x2-1+4x=4x2>0，]

所以[1+2x2>1+4x，]

即[1+2x>1+4x.]

從而有[gx<0.]

所以[gx]在[0，1]上單調遞減，

故[g0.01<g0=0，]

即[b<c.]

綜上，有[b<c<a.]

故答案選B.

【評析】此題中的[a]與[b]都是同底的對數(shù)，只要計算1.01的平方，即可得到[a]與[b]的大小關系，考查了數(shù)學運算素養(yǎng). 對于[a]與[c，b]與[c，] 對比1.01，1.02，1.04三個數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)三者之間的聯(lián)系：[1.01=1+0.01]，[1.02=][1+0.01×2，1.04=1+0.01×4，] 這是數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的體現(xiàn)，這就是數(shù)學的眼光. 進一步抽象出[1+x，1+2x，][1+4x，] 繼而得到[a=2ln 1+x，b=ln 1+2x，c=1+4x-1，] 其中[x=0.01.] 這里體現(xiàn)了數(shù)學抽象的素養(yǎng)，這就是數(shù)學的思維，從而很自然地就能想到構造相關函數(shù)，最后借助導數(shù)研究函數(shù)的單調性，達到比較大小的目的，體現(xiàn)了數(shù)學建模、邏輯推理素養(yǎng).

2. 巧轉化，證不等

不等式證明是高考命題的熱點之一. 把不等式的證明轉化為函數(shù)問題，借助導數(shù)研究函數(shù)的單調性或最值，從而證明不等式.

例10 （全國乙卷·理20）設函數(shù)[fx=ln a-x，]已知[x=0]是函數(shù)[y=xfx]的極值點.

（1）求[a;]

（2）設函數(shù)[gx=x+fxxfx，] 證明：[gx<1.]

解：（1）由題意，得[y=xfx=xln a-x.]

則[y=ln a-x-xa-x x<a.]

因為[x=0]是函數(shù)[y=xfx]的極值點，

所以有[lna=0.]

解得[a=1.]

當[a=1]時，[y=ln 1-x-11-x+1]在[-∞，1]上單調遞減，

則當[x<0]時，[y>0，] 函數(shù)[y=xfx]在[-∞，0]上單調遞增;

當[0<x<1]時，[y<0]，函數(shù)[y=xfx]在[0，1]上單調遞減，

故[x=0]是函數(shù)[y=xfx]的極值點，

即[a=1]符合條件.

（2）由（1），得[fx=ln 1-x.]

則[gx=x+ln 1-xxln 1-x，] 其中[x∈-∞，0?0，1.]

當[x<0]時，[ln 1-x>0，] 則[xln 1-x<0;]

當[0<x<1]時，[ln 1-x<0，] 則[xln 1-x<0，]

故[xln 1-x<0]在[-∞，0?0，1]上恒成立.

（方法1）要證[gx<1，]

即證[x+ln 1-x>xln 1-x，]

即證[x+1-xln 1-x>0.]

令[hx=x+1-xln 1-x，]

則[hx=1-ln 1-x-1-x11-x=-ln 1-x.]

當[x<0]時，[hx<0，] [hx]在區(qū)間[-∞，0]上單調遞減;

當[0<x<1]時，[hx>0，] [hx]在區(qū)間[0，1]上單調遞增，

所以[hx>h0=0.]

故得證.

（方法2）要證[gx<1，]

即證[x+ln 1-x>xln 1-x，]

即證[x+1-xln 1-x>0.]

令[t=1-x，t∈0，1?1，+∞，]

記[φt=1-t+tlnt，]

則[φt=lnt.]

當[0<t<1]時，[φt<0，] [φt]在區(qū)間[0，1]上單調遞減;

當[t>1]時，[φt>0，] [φt]在區(qū)間[1，+∞]上單調遞增.

所以[φt>φ1=0.]

故得證.

（方法3）要證[gx<1，]

即證[x+ln 1-x>xln 1-x，]

即證[x1-x+ln 1-x>0.]

令[Fx=x1-x+ln 1-x，]

則[Fx=11-x2+-11-x=x1-x2.]

當[x<0]時，[Fx<0，] [Fx]在區(qū)間[-∞，0]上單調遞減;

當[0<x<1]時，[Fx>0，] [Fx]在區(qū)間[0，1]上單調遞增.

所以[Fx>F0=0.]

故得證.

【評析】此題若直接研究函數(shù)[gx，] [gx]比較復雜，必須要對所證的不等式進行等價轉化，最好轉化成一個易于研究的函數(shù)，而且轉化要巧. 方法1是將分式不等式等價轉化成整式不等式;方法2是在方法1的基礎上進行換元，得到一個較為簡潔的函數(shù);方法3考慮對數(shù)式[ln 1-x]前的系數(shù)為[x，] 求導起來比較麻煩，結合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的處理技巧，將對數(shù)式進行孤立，兩邊同除[1-x，] 繼而進行證明.

3. 巧取點，定零點

函數(shù)的零點問題，一直是高考的熱點和難點，常常處于各類題型的壓軸位置. 對于選擇題或填空題，鑒于不需要解答過程，往往可以采用數(shù)形結合的方法來求解，突出“形”的作用;對于解答題，尤其是證明題，若用“形”去求解有違嚴謹性，再加上高等數(shù)學中的洛必達法則在高中不作要求，所以函數(shù)的零點問題在解答題中更注重“數(shù)”的推理，需要用零點存在性定理證明（確定）函數(shù)的零點情況，其中區(qū)間中的“點”如何取是關鍵.

例11 （全國新高考Ⅱ卷·22）已知函數(shù)[fx=][x-1ex-ax2+b.]

（1）討論[fx]的單調性;

（2）從下面兩個條件中選一個作為已知條件，證明：[fx]有一個零點.

① [12<a≤e22，b>2a;]

②[0<a<12，b≤2a.]

解：（1）易知函數(shù)[fx]的定義域為[R，fx=] [xex-2a.]

當[a≤0]時，[ex-2a>0.]

易得[x>0]時，[fx>0;x<0]時，[fx<0，]

故[fx]在[-∞，0]上單調遞減，[0，+∞]上單調遞增.

當[a>0]時，當[ln 2a>0]，即[a>12]時，

若[x<0]或[x>ln 2a]時，[fx>0，]

則[fx]在[-∞，0]，[ln2a，+∞]上單調遞增;

若[ln 2a<x<0]時，[fx<0，]

則[fx]在[0，ln 2a]上單調遞減;

當[a=12]時，[fx]在[R]上單調遞增;

當[0<a<12]時，

當[x<ln 2a]或[x>0]時，[fx>0，]

則[fx]在[-∞，ln2a， 0，+∞]上單調遞增;

當[0<x<ln2a]時，[fx<0，]

則[fx]在[ln 2a，0]上單調遞減.

綜上，當[a≤0]時，[fx]在[-∞，0]上單調遞減，在[0，+∞]上單調遞增;

當[0<a<12]時，[fx]在[-∞，ln 2a， 0，+∞]上單調遞增，在[ln 2a，0]上單調遞減;

當[a=12]時，[fx]在[R]單調遞增;

當[a>12]時，[fx]在[-∞，0， ln 2a，+∞]上單調遞增，在[0，ln 2a]上單調遞減.

（2）選①.

若[12<a≤e22，b>2a，]

則有[0<ln 2a≤2.]

由（1），得當[a>12]時，[fx]在區(qū)間[-∞，0，][ln2a，+∞]上單調遞增，在[0，ln2a]上單調遞減.

則[fln 2a=ln 2a-1 ? 2a-aln 2a2+b>ln 2a-1 ?][2a-aln 2a2+2a，]

即[fln 2a>aln 2a2-ln 2a≥0.]

因為[f0=b-1>2a-1>0，]

[f-ba=-ba-1e-ba<0，]

所以[f0f-ba<0.]

故[fx]只有一個零點，且此零點為[-ba，0.]

選②.

若[0<a<12，b≤2a，]

則有[ln 2a<0.]

由（1），得當[0<a<12]時，[fx]在[-∞，ln 2a，][0，+∞]上單調遞增，在[ln 2a，0]上單調遞減.

則[fln 2a=ln 2a-1 ? 2a-aln 2a2+b≤ln2a-1 ?][2a-aln 2a2+2a，]

即[fln 2a≤aln 2a2-ln 2a<0.]

因為[f0=b-1≤2a-1<0，]

[f1-b1-a=1-b1-a-1e1-b1-a-a1-b1-a2+b，]

因為當[x>0]時，[ex>x+1，]

所以[e1-b1-a>1-b1-a+1.]

所以有[f1-b1-a>1-b1-a21-a+b-1=0.]

從而有[f0f1-b1-a<0，]

故[fx]只有一個零點，且此零點為[1-b1-a，0.]

【評析】此題利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和零點個數(shù)，屬于常規(guī)考法. 但從試題的呈現(xiàn)形式上看，這是一道結構不良試題，是高考中的一種新題型，在2020年高考山東卷中已經(jīng)出現(xiàn)過，但此題型出現(xiàn)在函數(shù)與導數(shù)解答題的壓軸位置還是第一次. 此題第（2）小題需要從兩個不同條件中選擇一個進行證明，事實上，它們的處理方法是類似的：結合第（1）小題中函數(shù)的單調性，借助零點存在性定理求解. 其難點在于取點. 一般取點采用的方法有兩種：一是猜點，如取端點、特殊點;二是放縮取點，包括丟項放縮取點、變量放縮取點、不等式放縮取點等.

若選①：由于[x<0]時，[x-1 ex]一定是負值，所以要找一個小于0的點，使得函數(shù)值為負，只需將項[x-1 ex]丟掉，令[-ax2+b=0，] 取[x=-ba]即可. 此方法可稱為“丟項放縮取點”.

若選②：當[x>0]時，要找一個大于0的點，使得函數(shù)值為正，借助不等式[ex>x+1 x>0，] 則有[fx=][x-1ex-ax2+b>x21-a+b-1.] 令[x21-a+b-1=0，]得[x=1-b1-a.] 所以取[x=1-b1-a.] 可以使得[f1-b1-a>0.] 此方法稱為“不等式放縮取點”.

此外，在放縮時可選擇的不等式不唯一，所以取點的方案也各不一樣，這里不再贅述.

三、試題解法賞析

例12 （全國新高考Ⅰ卷·15）函數(shù)[fx=2x-1-][2lnx]的最小值為? ? ? ? ?.

解法1：由題意，得[fx=2x-1-2lnx]的定義域為[0，+∞.]

當[0<x≤12]時，[fx=1-2x-2lnx，] 此時[fx]單調遞減;

當[12<x≤1]時，[fx=2x-1-2lnx，] 有[fx=][2-2x≤0，] 此時[fx]單調遞減;

當[x>1]時，[fx=2x-1-2lnx，] 有[fx=2-][2x>0，] 此時[fx]單調遞增;

因為[fx]在各分段的界點處連續(xù)，

所以當[0<x≤1]時，[fx]單調遞減;當[x>1]時，[fx]單調遞增.

所以[fx≥f1=1.]

故函數(shù)[fx]的最小值為1.

解法2：[fx=2x-1+1-2ln x≥2x-1+1-]

[2ln x，] 當且僅當[2x-1≥0]時取等號;

[fx=2x-1+1-2ln x≥2ln x+1-2ln x，] 當且僅當[x=1]時取等號.

故當[x=1]時，函數(shù)[fx]的最小值為1.

解法3：令[t=2x-1-2ln x，]

則[2x-1=t+2ln x，]

即曲線[y=2x-1]與曲線[y=t+2lnx]有交點.

考慮[y=2x-1]與曲線[y=t+2ln x]相切的情形：設切點為[m，ln m+t，]

則[2m=2，2lnm+t=2m-1，]

解得[m=1，t=1.]

所以曲線[y=2x-1]與曲線[y=t+2lnx]相切時，切點坐標為[1，1.]

當[t≥1]時，曲線[y=2x-1]與曲線[y=t+2lnx]有交點，

故函數(shù)[fx]的最小值為1.

例13 （全國新高考Ⅰ卷·7）若過點[a，b]可以作曲線[y=ex]的兩條切線，則（? ? ）.

（A）[eb<a] （B）[ea<b]

（C）[0<a<eb] （D）[0<b<ea]

解法1：畫出曲線[y=ex]的圖象如圖3所示，根據(jù)直觀即可判定.

當點[a，b]在曲線[y=ex]的上方時，不存在切線過點[a，b;]

當點[a，b]在曲線[y=ex]的上時，只存在一條切線過點[a，b;]

當點[a，b]在x軸上或在x軸下方時，只存在一條切線過點[a，b;]

只有當點[a，b]在曲線[y=ex]的下方，且點[a，b]在x軸上方時，才可以作出兩條切線過點[a，b.] 由此可知[0<b<ea].

故答案選D.

解法2：設切點為[x0，ex0，]

則切線斜率[k=ex0-bx0-a=ex0.]

則[ex0x0-a-1=-b.]

令[fx=exx-a-1，]

則[fx]與直線[y=-b]有兩個交點.

由[fx=x-aex，]

易知[fx]在[-∞，a]上單調遞減，在[a，+∞]上單調遞增，

所以[fxmin=fa=-ea.]

如圖4，結合[fx]的圖象，

則[-ea<-b<0，]

即有[0<b<ea.]

故答案選D.

四、備考建議

1. 強“基”課堂不惜時

數(shù)學的基本概念、定義、公式、公理，數(shù)學知識點的聯(lián)系，基本的數(shù)學解題思路與方法，是高考備考的重點. 在基礎知識與基本方法的梳理上，教師要舍得花時間，幫助學生掃清知識的盲區(qū)，形成函數(shù)主題的認知網(wǎng)絡，強化知識間的聯(lián)系與溝通，深刻理解知識的內涵.

2. 提“能”課堂不惜時

高考數(shù)學試題對學生的閱讀能力、作圖能力和運算能力提出了一定的要求，這些能力提升的空間應該在課堂上. 在課堂上，教師要少些包辦，要提供給學生充分的時間進行閱讀、作圖、計算，要讓審題形成一種規(guī)范，讓作圖成為學生的習慣，讓運算能夠進行到底，進而逐步提高學生解決問題的能力.

3. 促“悟”課堂不惜時

在高考復習中，往往會存在教師帶領學生“刷題”的現(xiàn)象，認為這樣能夠迅速提高學生的解題能力. 其實不然，盲目刷題，時間越久效果越差，甚至適得其反. 因此，在高考備考過程中，教師要增加學生“悟”的機會和時間，建議教師在課堂教學中適當留白、適當停頓，讓學生多些感悟、多些醒悟、多些頓悟.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]郭慧清. 2020年高考“函數(shù)與導數(shù)”專題命題分析[J]. 中國數(shù)學教育（高中版），2020（9）：28-38，64.

[3]張文濤. 2020年高考“函數(shù)與導數(shù)”專題解題分析[J]. 中國數(shù)學教育（高中版），2020（9）：39-47.