千以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)與表達(dá)

李織蘭 蔣曉云 秦云霞

【摘要】本文以“認(rèn)識(shí)296”教學(xué)片段為例，論述“千以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)與表達(dá)”教學(xué)策略，以數(shù)小棒、整理紀(jì)念幣、錢幣認(rèn)識(shí)數(shù)的組成，以十進(jìn)制象形計(jì)數(shù)法認(rèn)識(shí)數(shù)的簡化書寫，以算籌計(jì)數(shù)法認(rèn)識(shí)數(shù)的優(yōu)化表示，對比算籌和阿拉伯?dāng)?shù)字從而感知現(xiàn)代計(jì)數(shù)的形式，培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題時(shí)進(jìn)一步“優(yōu)化”“簡化”“美化”的良好習(xí)慣。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 數(shù)的認(rèn)識(shí) 十進(jìn)位值計(jì)數(shù)法

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）25-0060-03

在“千以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)與表達(dá)”的教學(xué)中，“會(huì)讀、寫千以內(nèi)的數(shù)”不是最主要的教學(xué)目標(biāo)，而應(yīng)著力通過生動(dòng)、豐富的素材，引導(dǎo)學(xué)生回溯計(jì)數(shù)的源頭理解十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)法，感受符號化思想和“十進(jìn)制位值”的文化價(jià)值。學(xué)生回顧對數(shù)的認(rèn)識(shí)的歷史，真切地感受到數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展是源于現(xiàn)實(shí)世界的各種需要，融入了人類的精神、思想、情感。在一次次追求“更簡、更優(yōu)”的過程中，學(xué)生受到數(shù)學(xué)文化的熏陶?，F(xiàn)將《千以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)》一課的“認(rèn)識(shí)296”教學(xué)片段分享如下。

一、認(rèn)識(shí)數(shù)的組成

（一）數(shù)小棒

師：請根據(jù)以前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，對小棒進(jìn)行整理，每10根捆成一捆。

（整理后的小捆數(shù)比較多，不能“一目了然”，需要再次整理——將10小捆捆成1大捆，引入單位“百”。）

師：這種整理辦法就是十進(jìn)制。滿十進(jìn)一：10個(gè)“一”是1個(gè)“十”，10個(gè)“十”是1個(gè)“百”。

（二）整理紀(jì)念幣

師：粗心的懶羊羊總數(shù)不清自己有多少球賽紀(jì)念幣，非常難過。聰明的同學(xué)們能幫他整理一下嗎？怎樣整理？

（10個(gè)一排，10排組成一方塊，學(xué)生能一目了然地知道有多少個(gè)紀(jì)念幣。）

（三）整理錢幣

師：上周，學(xué)校舉辦了“情系恭城瑤族紅領(lǐng)巾義賣活動(dòng)”，大家紛紛拿出自己的零花錢參與活動(dòng)，既向我們學(xué)校幫扶的恭城瑤族新街民族小學(xué)的小朋友獻(xiàn)了愛心，又買到了自己喜歡的物品。活動(dòng)結(jié)束了，這是我們班的義賣款。生活委員張磊要負(fù)責(zé)統(tǒng)計(jì)今天的營業(yè)額，看上去有點(diǎn)多，也有點(diǎn)亂，大家一起來給他出主意，如何整理一下？

（先分類，相同面額的鈔票放在一起。再一元一元地?cái)?shù)，十元十元地?cái)?shù)。）

師（出示整理后的圖片）：能一目了然嗎？張磊也覺得拿著這么多錢不方便，怎么辦呢？老師這里有好多10元、100元，誰來和我換一換？

（10張一元可兌換成1張十元，10張十元可兌換成1張百元。）

師：經(jīng)整理、兌換后，我們班的義賣款是：2張百元，9張十元，6張一元。

師：一而十，十而百，百而千，千而萬。“滿十進(jìn)一”的計(jì)數(shù)方法是數(shù)學(xué)發(fā)展史上一個(gè)了不起的進(jìn)步。有了“十進(jìn)制”，我們就能將較多物品的數(shù)量整理得“一目了然”。

【設(shè)計(jì)意圖】通過整理實(shí)物，能一目了然地知道物品的數(shù)量，讓學(xué)生經(jīng)歷多元表征理解296的組成是一個(gè)重要的過程性目標(biāo)，理解千以內(nèi)的數(shù)的組成，感悟計(jì)數(shù)單位“百”產(chǎn)生的必要性，“個(gè)”“十”與“百”之間的進(jìn)率是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。整理實(shí)物的過程中，學(xué)生體會(huì)十進(jìn)制計(jì)數(shù)法：滿十進(jìn)一，即10個(gè)“一”是1個(gè)“十”，10個(gè)“十”是1個(gè)“百”。

二、簡化數(shù)的書寫

師：上面的活動(dòng)都是由2個(gè)百、9個(gè)十和6個(gè)一組成，我們要畫實(shí)物圖表示數(shù)。桌子上有_____________根小棒。懶羊羊有____________個(gè)球賽紀(jì)念幣。我們班的義賣款有____________元。你對這幾句話的書寫有什么看法？

（學(xué)生認(rèn)為，畫實(shí)物圖很直觀，但也麻煩。）

師：5000年前古代埃及人就發(fā)明了“十進(jìn)制象形計(jì)數(shù)法”，用 表示“百”，用 表示“十”，用 表示“一”。2個(gè)百、9個(gè)十和6個(gè)一組成的數(shù)就可以統(tǒng)一表示成：

______________________________。

我們的桌子上有_______________根小棒。

懶羊羊有___________個(gè)球賽紀(jì)念幣。

我們班的義賣款有______________________元。

請同學(xué)們說一說古埃及發(fā)明的“十進(jìn)制象形計(jì)數(shù)法”的優(yōu)缺點(diǎn)。

（學(xué)生得出共識(shí)：古埃及“十進(jìn)制象形計(jì)數(shù)法”的可取之處是采用先進(jìn)的十進(jìn)制。但是，古埃及數(shù)字寫起來很麻煩，符號很多。）

【設(shè)計(jì)意圖】“十進(jìn)制象形計(jì)數(shù)法”用不同的符號代表不同的計(jì)數(shù)單位“個(gè)、十、百、千……”，人們只用有限的幾個(gè)符號就能表示一個(gè)較大的數(shù)。這樣教學(xué)展現(xiàn)了數(shù)學(xué)符號思想演變的脈絡(luò)，而且增強(qiáng)了學(xué)生對數(shù)學(xué)符號的感受性。“簡潔”和“優(yōu)化”是數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)家的一貫追求，并已上升為一種共同精神，成為數(shù)學(xué)文化的重要品格之一，“十進(jìn)制象形計(jì)數(shù)法”是人類的一種創(chuàng)造，因而是可以質(zhì)疑、可以被改造的。

三、優(yōu)化數(shù)的表示

師：2000多年前，中國古代發(fā)明了一種更加方便計(jì)數(shù)的工具——算籌。在算籌計(jì)數(shù)法中，以縱橫兩種排列方式表示單位數(shù)目。表示多位數(shù)時(shí)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，遇零則置空。這種計(jì)數(shù)法就是現(xiàn)代的“十進(jìn)制位值計(jì)數(shù)法”。

（教師演示算籌的使用方法。）

“算籌”放在不同的數(shù)位上，就表示不同單位的數(shù)。在個(gè)位上放一個(gè)__________表示6個(gè)“一”，在十位上放_(tái)_________________表示9個(gè)“十”，在百位上放一個(gè)_________表示2個(gè)“百”。用中國算籌計(jì)數(shù)法將“2個(gè)百、9個(gè)十和6個(gè)一組成的數(shù)”表示如下。

單獨(dú)采用縱式或橫式表示多位數(shù)，會(huì)產(chǎn)生“二義性”。如：單獨(dú)用縱式表示23時(shí)，有可能被看成5，也可能被看成32，數(shù)位與數(shù)位之間就可能無法分清。使學(xué)生切實(shí)理解為什么要用縱橫交錯(cuò)的方式，體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。

用算籌計(jì)算32+35的過程中，使用“對位相加”，讓學(xué)生體會(huì)到算籌計(jì)數(shù)比古代埃及的“十進(jìn)制象形計(jì)數(shù)法”方便。

師：算籌是世界上最早使用“十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)法”的，1000多年以后其他國家才開始使用“十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)法”。位值制的表示形式簡潔，而且方便運(yùn)算，形成了很多口訣和法則?？梢哉f算籌是計(jì)數(shù)歷史上的一個(gè)創(chuàng)造、一個(gè)奇跡。馬克思在《數(shù)學(xué)手稿》一書中稱十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)法為“最妙的發(fā)明之一”。

算籌難以固定，所以中國古人想到了用珠子代替竹子，穿在細(xì)棒上，固定在木框上，古代的“算籌”逐漸演變成了“算盤”。明代數(shù)學(xué)家吳敬所著的《九章算術(shù)比類算法大全》中，已正式有了“算盤”這一名稱。算盤的發(fā)明可與中國古代四大發(fā)明相媲美。它不僅是計(jì)數(shù)工具，也是當(dāng)時(shí)最先進(jìn)的計(jì)算工具。用算盤進(jìn)行計(jì)算叫做“珠算”，在計(jì)算過程中，形成了很多實(shí)用的珠算口訣。

我國第一顆原子彈的研制需要進(jìn)行大量的計(jì)算，當(dāng)時(shí)我國還沒有計(jì)算機(jī)，連電子計(jì)算器都沒有，靠的就是算盤。（播放電影《橫穿出世》的片段，展現(xiàn)算盤高手聚集在一起日夜計(jì)算的壯觀場面。）這些算盤高手不僅能夠迅速地計(jì)算，還要有嚴(yán)謹(jǐn)、認(rèn)真、一絲不茍的工作態(tài)度。

這個(gè)計(jì)數(shù)方法由繁到簡的演變過程中，使學(xué)生受到“求真、求簡、求優(yōu)”精神的熏陶。

【設(shè)計(jì)意圖】算籌計(jì)數(shù)法中的每個(gè)“數(shù)字”不僅有自身的值，還有一個(gè)位置，這種計(jì)數(shù)法使得人們可以用有限個(gè)符號表示一個(gè)任意大的數(shù)，在人類文化發(fā)展史上有偉大意義，通過介紹“算籌計(jì)數(shù)法”，弘揚(yáng)古代中國數(shù)學(xué)的輝煌成就。中國人靠算盤完成了研制原子彈過程中的量計(jì)算，分毫不差，說明算盤不僅在古代，而且在近代是世界最先進(jìn)的計(jì)算工具之一，進(jìn)行一次很好的愛國主義教育，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的科學(xué)精神，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科獨(dú)特的育人價(jià)值。

四、現(xiàn)代計(jì)數(shù)形式

師：中國古代的籌算和算盤是當(dāng)時(shí)最先進(jìn)的計(jì)數(shù)方法，也是最先進(jìn)的計(jì)算工具。1000多年后，印度人發(fā)明了數(shù)學(xué)符號和“十進(jìn)位值”體系，印度數(shù)字和印度計(jì)數(shù)法既簡單又方便。大約公元700年前后，阿拉伯人征服了旁遮普地區(qū)，他們吃驚地發(fā)現(xiàn)被征服地區(qū)的數(shù)學(xué)比他們先進(jìn)，阿拉伯的學(xué)者很愿意學(xué)習(xí)這些先進(jìn)知識(shí)，樂于采用這種計(jì)數(shù)方法。后來，阿拉伯人把這種數(shù)字傳入西班牙。公元10世紀(jì)，又傳到歐洲其他國家，公元15世紀(jì)，歐洲人普遍采用“阿拉伯?dāng)?shù)字”。那時(shí)的“阿拉伯?dāng)?shù)字”的形狀與現(xiàn)代的不完全相同，許多數(shù)學(xué)家花費(fèi)了大量心血去美化，最終演變?yōu)楝F(xiàn)代的1、2、3、4、5、6、7、8、9、0的書寫方式。

提問：算籌和阿拉伯?dāng)?shù)字，你更喜歡哪一種計(jì)數(shù)方式？為什么？

學(xué)生討論分析得出結(jié)論：阿拉伯?dāng)?shù)字用的符號個(gè)數(shù)少，只有10個(gè)符號：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。而算籌縱式符號9個(gè)，橫式符號9個(gè)，及表示“無”的“空位”，一共要用19個(gè)符號。用阿拉伯?dāng)?shù)字寫數(shù)，看起來比算籌寫數(shù)美觀，也容易書寫。

【設(shè)計(jì)意圖】反思為什么我國古代數(shù)學(xué)家發(fā)明的“算籌計(jì)數(shù)法”沒能成為現(xiàn)代計(jì)數(shù)方法，流傳甚廣的是“阿拉伯?dāng)?shù)字”，激勵(lì)學(xué)生養(yǎng)成解決問題后再進(jìn)一步“美化”和“簡化”的良好習(xí)慣和思維品質(zhì)。

數(shù)的認(rèn)識(shí)過程，是人類探索數(shù)學(xué)領(lǐng)域的具體表現(xiàn)，從5000多年以前的古埃及的十進(jìn)制象形計(jì)數(shù)法，到2000多年前中國古代的十進(jìn)制位值計(jì)數(shù)法（算籌計(jì)數(shù)法），再到現(xiàn)代十進(jìn)位值計(jì)數(shù)法（阿拉伯?dāng)?shù)字表示法），這種對數(shù)學(xué)的原味解讀，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的成長性、建構(gòu)性，對學(xué)生無疑是一次思維的歷練與智慧的啟迪?！昂啙崱焙汀皟?yōu)化”是數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)家的一貫追求，追求“更簡”“更美”已上升為一種數(shù)學(xué)精神，激勵(lì)學(xué)生養(yǎng)成解決問題后進(jìn)一步的“優(yōu)化”“簡化”“美化”等良好習(xí)慣，培養(yǎng)致善精神。

【參考文獻(xiàn)】

[1]蔣曉云.文化視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)課例研究[J].廣西教育，2018（1）.

基金項(xiàng)目：2020年度廣西基礎(chǔ)教育改革發(fā)展研究中心課題“基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)‘致善精神的培養(yǎng)策略研究”（課題編號：GSJJB202005）的研究成果。

【作者簡介】李織蘭（1967— ），女，漢族，廣西百色人，碩士研究生學(xué)歷，桂林師范高等?？茖W(xué)校副教授，主要從事數(shù)學(xué)教育和教育管理工作研究;蔣曉云（1963— ），本文通訊作者，男，漢族，廣西桂林市人，大學(xué)本科學(xué)歷，桂林師范高等專科學(xué)校教授，主要從事數(shù)學(xué)教育和基礎(chǔ)教育研究;秦云霞（2000— ），女，漢族，廣西靈川人，大學(xué)?？茖W(xué)歷，桂林師范高等專科學(xué)校小學(xué)教育專業(yè)在校全科師范生。

（責(zé)編 楊 春）