勾股定理不同證明方法的價值與思考

韓詩貴

摘? 要：在教學(xué)中，要實現(xiàn)勾股定理不同證明方法的教育價值，需要教師進行整體設(shè)計. 文章從初識定理證明、體會勾股定理證明方法的多樣性、后續(xù)教學(xué)中偶遇勾股定理證明等方面，分別闡述了勾股定理證明的價值與思考.

關(guān)鍵詞：勾股定理證明;數(shù)學(xué)文化;教育價值

從被發(fā)現(xiàn)至今，人類對勾股定理證明的探索從未間斷過. 人們曾先后對勾股定理給出了四百余種證明方法，這在數(shù)學(xué)史上是獨一無二的. 四百余種證明方法在數(shù)學(xué)史上形成了一道靚麗的風(fēng)景線，體現(xiàn)了勾股定理的與眾不同，也承載了豐富的數(shù)學(xué)文化與教育價值.

在當前使用的人教版、北師大版、華東師大版和蘇科版等初中數(shù)學(xué)教材中，都介紹了多種勾股定理的證明方法. 一般地，在首次介紹勾股定理的證明時，都選用了趙爽弦圖，隨后分別出現(xiàn)了外弦圖、加菲爾德的證法等常見的證明方法. 詳細情況如下表所示.

在教與學(xué)的過程中，教師應(yīng)該如何介紹勾股定理的證明才能傳承數(shù)學(xué)文化，實現(xiàn)數(shù)學(xué)的育人價值呢？筆者結(jié)合具體的教學(xué)實踐，談一些粗淺的思考，不足之處，敬請指正.

一、在初識勾股定理證明中傳承數(shù)學(xué)文化

趙爽弦圖是中國有記載的、最早的證明勾股定理的方法. 2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會便是將趙爽弦圖作為大會會標. 多數(shù)版本教材在介紹用趙爽弦圖證明勾股定理時，都是借助圖1利用代數(shù)式運算完

成的. 例如，[c2=4 ? 12ab+b-a2=][2ab+a2+b2-2ab=][a2+b2，] 這樣的證明過程應(yīng)用了完全平方公式和合并同類項等知識，是數(shù)與形的完美結(jié)合. 證明過程符合八年級學(xué)生的認知特點，學(xué)生容易理解.

在利用趙爽弦圖證明勾股定理時，教師還可以補充“割補”的證明方法. 如圖2，把邊長為a，b的兩個正方形連在一起，它的面積是[a2+b2];這個圖形可以分割成四個全等的直角三角形和一個正方形，把圖2左右兩個三角形移到圖3中所示的位置，就會形成一個以c為邊長的正方形，因為圖2與圖4都是由四個全等三角形和一個正方形組成，所以它們的面積相等，因此[a2+b2=c2.] 非常巧妙！

事實上，以中國為代表的東方古代數(shù)學(xué)家，提供了許多運用“割補”證明勾股定理的方法，與趙爽同時代的劉徽利用“青朱出入相補法”證明勾股定理. 如圖5，以直角三角形的勾為邊的正方形ABCD為朱方，以直角三

角形的股為邊的正方形BGHP為青方，以直角三角形的弦為邊的正方形AEFG為弦方. 將三角形“朱出”移到“朱入”，三角形“青出”移到“青入”，即得到“朱方 + 青方 = 弦方”. 清代數(shù)學(xué)家梅文鼎和華蘅芳對勾股定理也都有類似的證明，割補法在勾股定理的證明中獨樹一幟，是勾股文化不可或缺的一部分，也是中國智慧對人類數(shù)學(xué)的重要貢獻之一. 因此，筆者認為在初識勾股定理證明的新授課中，介紹弦圖的割補法是對中國傳統(tǒng)文化的尊重與繼承，也是愛國主義教育的素材.

二、體會勾股定理證明方法的多樣性

在勾股定理四百余種證明方法中，歐幾里得的《幾何原本》第Ⅰ卷命題47應(yīng)該是人類有文字明確記載的最早證明之一，比中國古代趙爽的證明早了約500年. 歐幾里得的證明思路如下. 如圖6，已知[△ABC]中，[∠ACB=90°，] 四邊形BCDQ，四邊形ACKJ，四邊形ABFE分別為以BC，AC，AB為邊長的正方形. 易證[△ABQ≌△FBC，] [S△ABQ=12S正方形BCDQ，] [S△FBC=12S矩形BFGH.] 所以[S正方形BCDQ=S矩形BFGH.] 同理，可得[S正方形ACKJ=][S矩形AEGH.] 所以[S正方形ACKJ+][S正方形BCDQ=][S正方形ABFE.] 所以[AC2+BC2=AB2.]這種證明方法雖然沒有趙爽等人的證明簡潔，但它是通過幾何演繹推理完成的.

由于八年級學(xué)生知識基礎(chǔ)及教學(xué)時間的限制，在勾股定理證明的教學(xué)中，讓學(xué)生全面了解勾股定理的四百余種證法是不可能的，事實上也是沒有必要的. 但是，無論是為了學(xué)習(xí)勾股定理的證明，了解勾股文化，還是為了拓展學(xué)生的思路，筆者認為，在勾股定理證明的教學(xué)中，教師可以向?qū)W生介紹《幾何原本》第Ⅰ卷命題47的勾股定理證明方法，這也是八年級學(xué)生能理解的、為數(shù)不多的幾何演繹證明方法.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）明確指出，要引導(dǎo)學(xué)生探索證明同一個命題的不同思路和方法，進行比較和討論，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)證明的興趣，發(fā)展學(xué)生思維的廣闊性和靈活性. 在八年級勾股定理教學(xué)中，教師可以通過課堂教學(xué)、課后作業(yè)、拓展活動，或者延伸閱讀的形式滲透不同類型的勾股定理證明方法. 例如，趙爽、劉徽等的割補法證明，加菲爾德等的數(shù)形結(jié)合的代數(shù)式運算證明，歐幾里得的幾何演繹證明，以及傳說中畢達哥拉斯的證明，等等. 各種證明方法承載了勾股定理的歷史和文化，不同的思路和方法是使學(xué)生體會證明方法多樣性的良好素材. 同時，為學(xué)有余力的學(xué)生打開了一扇窗，這扇窗或許能開啟他們對勾股定理證明的探索之路，激發(fā)他們研究數(shù)學(xué)的熱情.

三、在偶遇勾股定理證明中展示數(shù)學(xué)魅力

在初中不同幾何知識的教學(xué)中，有多次與勾股定理證明的“偶遇”. 例如，學(xué)習(xí)相似三角形時，“母子”型相似是常見的基本圖形. 如圖7，在[Rt△ABC]中，[∠ACB=90°，] 過點C作[CD⊥AB，] 垂足為點D，由此易證得三個常見的結(jié)論，即[AC2=AD ? AB，] [BC2=BD ? AB，] [CD2=][BD ? AD，] 這是我們熟知的射影定理. 如果再進一步研究，將等式[AC2=AD ? AB]與[BC2=BD ? AB]的左右兩邊分別相加，則得到[AC2+BC2=AD ? AB+BD ?][AB=AD+BD ? AB=AB2.] 這也是證明勾股定理的方法，是《幾何原本》第Ⅵ卷命題31的結(jié)論. 相似問題與勾股定理證明的“偶遇”，以及這種證明方法的文化背景，不僅展示了數(shù)學(xué)的魅力，也能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

又如，在內(nèi)切圓的教學(xué)中，我們通常會遇到如下問題. 如圖8，在[Rt△ABC]中，[∠ACB=90°，] 斜邊長為c，兩條直角邊長分別為a，b，⊙I是[△ABC]的內(nèi)切圓，求內(nèi)切圓的半徑r. 如果讓學(xué)生獨立求解，一般都會出現(xiàn)兩種不同的解答過程與結(jié)果. 第一種：由[a-r+][b-r=c，] 解得[r=][a+b-c2.] 第二種：由[12ar+12br+][12cr=12ab，] 解得[r=aba+b+c]. 教師除了讓學(xué)生理解這兩個結(jié)論的正確性之外，若能引導(dǎo)學(xué)生進一步計算[a+b-c2=aba+b+c，] 則可以得到[a+b-ca+b+c=2ab，] 即[a2+b2=][c2.] 這是一位西方學(xué)者在1900年前后提供的證明. 利用圓的相關(guān)知識又一次證明了勾股定理，盡管這只是教學(xué)中的“副產(chǎn)品”，但一切都水到渠成，沒有突兀之感，也能使學(xué)生感受到推理論證的樂趣，體驗數(shù)學(xué)的和諧之美.

此外，在圓的“切割線定理”的教學(xué)中，也有與勾股定理證明的“偶遇”. 篇幅所限，不再贅述，詳情可參閱文[5].

《標準》指出，數(shù)學(xué)中有一些重要的內(nèi)容、方法、思想是需要學(xué)生經(jīng)歷較長的認識過程，才能逐步理解和掌握的. 根據(jù)學(xué)生的年齡特征與知識積累，在遵循科學(xué)性的前提下，采用逐級遞進、螺旋上升的原則教學(xué). 勾股定理是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，在平面幾何中有著極其重要的地位. 隨著學(xué)生學(xué)習(xí)的深入和知識的積累，勾股定理的不同證明方法會逐漸呈現(xiàn)，教師在教學(xué)中要善于捕捉這樣的契機，豐富勾股定理的證明方法，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)知識的和諧與統(tǒng)一，感受數(shù)學(xué)的魅力.

四、結(jié)束語

勾股定理是一個古老的定理，也是一個基礎(chǔ)而重要的定理. 人們對勾股定理關(guān)注的熱情始終未減，一代又一代喜愛數(shù)學(xué)的人從未停止探索，新的證明方法也層出不窮. 在教學(xué)中，教師對勾股定理證明的整體把握和階段滲透有助于學(xué)生了解勾股定理證明的文化，感受人類探索的精神，激發(fā)數(shù)學(xué)研究的興趣. 可以說，勾股定理的證明方法不僅是數(shù)學(xué)文化的素材，而且是數(shù)學(xué)育人的載體.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2] 李文林. 從趙爽弦圖談起[M]. 北京：高等教育出版社，2008.

[3] 馬奧爾. 勾股定理：悠悠4000年的故事[M]. 馮速，譯. 北京：人民郵電出版社，2010.

[4] 歐幾里得. 13卷視圖全本幾何原本[M]. 燕曉東，譯. 北京：人民日報出版社，2005.

[5]龐彥福. 推理螺旋上升? 彰顯深度學(xué)習(xí)：以“勾股定理”證明為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2017（5）：61-64.