一次基于“解題、說(shuō)題、命題”的校本研修之旅

于彬 孫慶民

摘? 要：校本研修是促進(jìn)青年教師專業(yè)成長(zhǎng)的有效途徑之一. 文章介紹了一次以“題”為突破口，以“教師視角的解題、學(xué)生立場(chǎng)的說(shuō)題、研究視角的命題”為切入點(diǎn)的比賽，為青年數(shù)學(xué)教師搭建了一次“解題、說(shuō)題、命題”的校本研修之旅，并對(duì)教師的解題、說(shuō)題、命題提出幾點(diǎn)建議，以供參考.

關(guān)鍵詞：專業(yè)成長(zhǎng);校本研修;青年教師

數(shù)學(xué)家波利亞在“怎樣解題表”中給出了數(shù)學(xué)解題的四個(gè)經(jīng)典步驟，并認(rèn)為解題教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中占有舉足輕重的地位. 可見(jiàn)，解題能力對(duì)于數(shù)學(xué)教師，特別是青年數(shù)學(xué)教師的重要性是不言而喻的. 然而，教師僅僅善于解題是不夠的，還要善于講題、說(shuō)題，也就是具備站在學(xué)生立場(chǎng)的解題能力. 同時(shí)，教師不應(yīng)該成為試題的“搬運(yùn)工”，而應(yīng)該嘗試成為命題者，站在命題者的視角去看待試題、研究試題.

基于此，筆者所在學(xué)校在前期組織的解題、說(shuō)題比賽的基礎(chǔ)上，組織了一次“教師視角的解題、學(xué)生立場(chǎng)的說(shuō)題、研究視角的命題”比賽，為青年數(shù)學(xué)教師搭建了一次全新的基于“解題、說(shuō)題、命題”的校本研修之旅. 下面以2016年中考山東濟(jì)南卷第28題為藍(lán)本進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹，不當(dāng)之處，敬請(qǐng)指正.

題目? 如圖1，拋物線[y=ax2+a+3x+3][a≠0]與[x]軸交于點(diǎn)[A4，0，] 與[y]軸交于點(diǎn)[B]. 在[x]軸上有一動(dòng)點(diǎn)[Em，0 0<m<4，] 過(guò)點(diǎn)[E]作[x]軸的垂線交直線[AB]于點(diǎn)[N]，交拋物線于點(diǎn)[P]，過(guò)點(diǎn)[P]作[PM⊥AB]于點(diǎn)[M].

（1）求[a]的值和直線[AB]的函數(shù)表達(dá)式;

（2）設(shè)[△PMN]的周長(zhǎng)為[C1]，[△AEN]的周長(zhǎng)為[C2]，若[C1C2=65，] 求[m]的值;

（3）如圖2，在（2）的條件下，將線段[OE]繞點(diǎn)[O]逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到[OE′]，旋轉(zhuǎn)角為[α 0°<α<90°，] 連接[E′A，E′B，] 求[E′A+][23E′B]的最小值.

一、教師視角的解題

東營(yíng)市歷年中考?jí)狠S題一般是以二次函數(shù)為背景，融合一元二次方程、全等、相似、周長(zhǎng)、面積、最值等多方面知識(shí)進(jìn)行命制的. 在此次解題比賽中，組織者選取2016年中考山東濟(jì)南卷第28題，原因主要有以下兩點(diǎn)：第一，命題風(fēng)格與東營(yíng)市歷年中考命題基本一致;第二，由于是面向教師的解題比賽，因此所選試題難度要略大些.

1. 代表性解法呈現(xiàn)

比賽前，要求青年教師在有限時(shí)間內(nèi)解此題，呈現(xiàn)了如下代表性解法.

（1）由[y=ax2+a+3x+3=x+1ax+3，] 得[x=4]是方程[ax+3=0]的根，所以[4a+3=0.] 解得[a=][-34]. 求得直線AB的解析式為[y=-34x+3]，過(guò)程略.

（2）根據(jù)已知條件，可以得[△PMN]∽[△AEN.] 因此可將周長(zhǎng)比轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)邊的比，下面以[C1C2=65=PNAN]為例進(jìn)行求解.

由題意，可以設(shè)點(diǎn)[N]的坐標(biāo)為[Nm，-34m+3]，點(diǎn)[P]的坐標(biāo)為[Pm，-34m2+94m+3.]

所以[PN=][-34m2+3m.]

在[Rt△AEN]中，因?yàn)閇cos∠EAN=AEAN=4-mAN=45]，

所以[AN=54-m4].

由[C1C2=65=PNAN]，

得[-34m2+3m54-m4=65] ①.

解得[m=2].

限于時(shí)間和青年教師的解題水平等原因，很多教師都沒(méi)有完成第（3）小題.

2. 指導(dǎo)教師點(diǎn)評(píng)

上述解法是多數(shù)青年教師采用的解法，可以看出大家所選方法都比較簡(jiǎn)潔、簡(jiǎn)單，這種方法體現(xiàn)的是一線教師較強(qiáng)的解題水平. 但是，下面幾個(gè)問(wèn)題需要引起重視.

對(duì)于第（1）小題，很多教師選用因式分解的方法進(jìn)行處理，這應(yīng)該是和教師所掌握的知識(shí)面有關(guān)系. 但是，為什么大家摒棄了直接帶入求解這一自然的方法呢？

對(duì)于第（2）小題，為什么在直角三角形中使用余弦值求[AN]，而沒(méi)有采用正弦值或其他方法？顯然，這種方法計(jì)算量小，但是這種小計(jì)算量背后卻蘊(yùn)涵了較大的思維. 學(xué)生的水平能否達(dá)到這個(gè)要求？后續(xù)教學(xué)需要注意什么？

對(duì)于上述①式，學(xué)生能否算出正確結(jié)果？對(duì)于沒(méi)來(lái)得及完成的第（3）小題，對(duì)你有什么啟發(fā)？如何提高計(jì)算能力和解題水平？

通過(guò)上面的點(diǎn)評(píng)，可以看出青年教師在解題方面的能力需要進(jìn)一步提高（主要體現(xiàn)在第（3）小題）. 此外，在解題教學(xué)方面的能力有待加強(qiáng)，需要更多地站在學(xué)生的立場(chǎng)思考問(wèn)題，將自己的解題思路轉(zhuǎn)化為學(xué)生的解題思路，這才是解題教學(xué)的關(guān)鍵.

二、學(xué)生立場(chǎng)的說(shuō)題

比賽時(shí)，為了更好地挖掘上述試題的價(jià)值，要求青年教師結(jié)合試題從來(lái)源、背景、解法、變式、反思五個(gè)方面進(jìn)行詳細(xì)闡釋. 下面呈現(xiàn)部分解法及分析.

1. 青年教師給出的解法和分析

對(duì)于第（1）小題，青年教師在給出前文所述方法的基礎(chǔ)上，也提供了如下解法.

將點(diǎn)[A4，0]代入[y=ax2+a+3x+3，] 得[20a+][15=0.] 解得[a=-34.] 利用待定系數(shù)法，可求得直線[AB]的解析式為[y=-34x+3].

對(duì)于第（2）小題，青年教師在給出前文所述方法的基礎(chǔ)上，關(guān)于[AN]長(zhǎng)利用了如下兩種不同的解法.

（勾股定理法）由點(diǎn)[A]的坐標(biāo)為[A4，0]，點(diǎn)[N]的坐標(biāo)為[Nm，-34m+3，] 在[Rt△AEN]中，根據(jù)勾股定理，得[AN=4-m2+-34m+32].

（銳角三角函數(shù)法）在[Rt△AEN]中，[sin∠EAN=NEAN=][-34m+3AN=35]. 解得[AN=][5-34m+33=-54m-4].

下面給出青年教師對(duì)第（2）小題的分析.

關(guān)于[AN]長(zhǎng)的三種求法中，勾股定理法應(yīng)該是學(xué)生比較容易想到的，因?yàn)橛龅街苯侨切?，想到勾股定理是比較自然的想法. 利用銳角三角函數(shù)求邊長(zhǎng)的方法計(jì)算比較容易，但是限于學(xué)生的知識(shí)掌握情況，應(yīng)該不容易想到. 在教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生串聯(lián)知識(shí)，架起勾股定理和銳角三角函數(shù)之間的橋梁，從而幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

對(duì)于相似比的三種轉(zhuǎn)化，上述分析是按照[C1C2=65=][PNAN]進(jìn)行證明的，實(shí)際教學(xué)中可能還會(huì)出現(xiàn)[C1C2=65=][MNEN]或[C1C2=65=PMAE]兩種情況，但這對(duì)解決此題影響不大.

2. 指導(dǎo)教師點(diǎn)評(píng)

（1）關(guān)注運(yùn)算量和思維量，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

各位青年教師分析到位、切中要害，但是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的認(rèn)識(shí)還有待提高. 在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)不同方法之間的運(yùn)算量和運(yùn)算技巧. 顯然，溝通兩者的是學(xué)生的思維量，一般來(lái)說(shuō)思維含量大了，運(yùn)算量可能就小了. 例如，對(duì)于第（2）小題給出的關(guān)于線段AN的三種解法，教師在教學(xué)中應(yīng)該給學(xué)生講清楚三種方法得到的最終結(jié)果是一致的. 也就是說(shuō)，勾股定理法中的[AN=4-m2+-34m+32=][4-m2+916m-42=][54-m4.] 往往簡(jiǎn)單計(jì)算需要更多的思維量，正所謂“多思少算”.

此外，對(duì)于代入PN和AN以后得到的式子[-34m2+3m54-m4=65]，教師在教學(xué)中也應(yīng)該呈現(xiàn)給學(xué)生其求解過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)“直接算”和“約分算”的不同效益，這體現(xiàn)的仍然是運(yùn)算量和思維量的之間關(guān)系. 例如，[-34m2+3m54-m4=3m44-m54-m4=65]. 因?yàn)閇0<m<4]，所以[3m=6]. 解得[m=2].

（2）關(guān)注解題教學(xué)和解題育人，培育理性思維.

《中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》中指出，理性思維具體表現(xiàn)為崇尚真知，能理解和掌握基本的科學(xué)原理和方法;尊重事實(shí)和證據(jù)，有實(shí)證意識(shí)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那笾獞B(tài)度;邏輯清晰，能運(yùn)用科學(xué)的思維方式認(rèn)識(shí)事物、解決問(wèn)題、指導(dǎo)行為等. 在數(shù)學(xué)學(xué)科中，具體表現(xiàn)為理性求真、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)、反思求變. 可以看出，上述“多思少算”的過(guò)程，特別是讓學(xué)生在比較不同方法并選擇方法的過(guò)程中，可以很好地培育學(xué)生的理性思維.

三、研究視角的命題

通過(guò)前述解題和說(shuō)題，特別是指導(dǎo)教師的點(diǎn)評(píng)，為青年教師的解題、解題教學(xué)，甚至解題育人等方面指明了前進(jìn)的方向，在此基礎(chǔ)上，青年教師在指導(dǎo)教師的幫助下，開(kāi)啟了研究視角的命題.

1. 青年教師主要想法呈現(xiàn)

對(duì)于第（3）小題，有個(gè)別青年教師給出了如下兩種解法，分別呈現(xiàn)如下.

方法1（代數(shù)法）：設(shè)點(diǎn)[E′]的坐標(biāo)為[E′x，y，] 則[x2+y2=4][x>0，y>0].

設(shè)[y]軸上有一點(diǎn)[C0，n，] 使在OE的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，總有[E′C=23E′B]，即[x2+y-n2=23x2+y-32.]

化簡(jiǎn)，得[5x2+5y2+24y-18ny+9n2-36=0.]

又因?yàn)閇x2+y2=4]，

所以[5×4+24y-18ny+9n2-36=0，]

即[3n-43n+4-6y=0.]

因?yàn)閇n]為定值，所以[3n-4=0.]

解得[n=43.]

所以點(diǎn)[C]的坐標(biāo)為[C0， 43.]

從而[E′A+23E′B]的最小值[AC=42+432=4310].

方法2（幾何法）：設(shè)[y]軸上有一點(diǎn)[C0，n，] 使得在OE的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，總有[△OE′C∽△OBE′，]

所以[OE′OB=OCOE′=E′CBE′=23.]

所以[E′C=23BE′]，[OC=43].

所以[E′A+23E′B]的最小值 [AC=42+432=4310].

在此基礎(chǔ)上，有青年教師指出第（3）小題超出了初中生的認(rèn)知范圍，建議將“求[E′A+][23E′B]的最小值”改為“直接給出[E′A+][23E′B]的最小值，不用寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程”. 這個(gè)建議有一定的道理，但沒(méi)有從本質(zhì)上降低此題的難度.

對(duì)于第（2）小題，有青年教師建議給出如下四個(gè)命題方向：（1）PN的最大值是多少？（2）[△PAB]面積的最大值是多少？（3）PM的最大值是多少？（4）[△PMN]周長(zhǎng)的最大值是多少？

2. 指導(dǎo)教師點(diǎn)評(píng)

關(guān)于第（3）小題的解法，指導(dǎo)教師先對(duì)青年教師給出的代數(shù)角度的解題思路給出肯定，同時(shí)指出很多數(shù)學(xué)題都存在代數(shù)和幾何兩種處理方式，這符合題目呈現(xiàn)出來(lái)的特點(diǎn)——代數(shù)法“易想難算”，幾何法“難想易算”.

此外，第（3）小題對(duì)于青年教師來(lái)說(shuō)難度偏大，部分教師在解題比賽中苦思冥想沒(méi)有明晰思路，很難有效突破“求[E′A+23E′B]的最小值”中“如何轉(zhuǎn)化[23E′B]”這一瓶頸，只挖掘出圓的方程[x2+y2=4]和幾何法（阿氏圓），最終也未能成功求解. 如果從二次函數(shù)的軸對(duì)稱性出發(fā)，以“將軍飲馬”問(wèn)題為原型重新命制此題，可能會(huì)更好地突出對(duì)初中階段數(shù)學(xué)學(xué)科核心知識(shí)的考查.

另外，指導(dǎo)教師認(rèn)為青年教師提出的關(guān)于第（2）小題的四個(gè)命題方向非常好. 一是以二次函數(shù)為載體，將線段長(zhǎng)度、周長(zhǎng)和面積融合在一起，體現(xiàn)了中考試題的層次性和綜合性;二是在實(shí)際教學(xué)中可以設(shè)計(jì)成四個(gè)遞進(jìn)的追問(wèn)，將學(xué)生的思維引向深處，進(jìn)而培育學(xué)生的理性思維.

四、幾點(diǎn)建議

1. 關(guān)于解題

教師應(yīng)該多站在學(xué)生的立場(chǎng)去思考解題思路，在思路融會(huì)貫通以后，思考哪種方法是學(xué)生最容易想到的，哪種方法對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是最簡(jiǎn)單的. 如果教師能在正式講題之前多了解幾名學(xué)生答題的心路歷程，那就更好了，特別是出錯(cuò)學(xué)生的想法尤其值得關(guān)注. 這樣，教師才能夠真正了解學(xué)生，在解題教學(xué)中才會(huì)心中有數(shù).

2. 關(guān)于說(shuō)題

說(shuō)題是比較常見(jiàn)的一種教研方式，可以綜合考察青年教師的教學(xué)基本功. 說(shuō)題應(yīng)該更加關(guān)注題目的“源”與“流”，側(cè)重分析問(wèn)題的一題多解、多解歸一，一題多變、多變歸一，弄清楚題目的來(lái)龍去脈，不但要知其然，還要知其所以然. 唯有如此，才能真正提升解題及解題教學(xué)的能力.

3. 關(guān)于命題

命題可以看成是一種更深層次的解題行為，是與課程標(biāo)準(zhǔn)、與教材、與自己深度交流和對(duì)話的過(guò)程. 其中，命制原創(chuàng)題非常難，但是可以嘗試從教材中的例題和習(xí)題出發(fā)，精挑細(xì)選、精雕細(xì)琢. 此外，還可以從歷年的優(yōu)質(zhì)中考試題出發(fā)，通過(guò)變式和改編等方式，讓“舊題換新顏”.

五、結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)青年數(shù)學(xué)教師的專業(yè)成長(zhǎng)的實(shí)踐還需深入探究，歡迎更多的一線教師和教研部門(mén)積極參與進(jìn)來(lái)，在備課、說(shuō)課、磨課、閱讀、教研、寫(xiě)作等方面，探索出更多有效、有針對(duì)性的措施，做青年數(shù)學(xué)教師專業(yè)成長(zhǎng)的引路人，助力青年數(shù)學(xué)教師的專業(yè)成長(zhǎng).

參考文獻(xiàn)：

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