透析學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)?構(gòu)建解題路徑?感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)

摘? 要：以研究有理數(shù)直接運(yùn)算法則為載體，讓學(xué)生基于有理數(shù)加法法則的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)去探究新的有理數(shù)減法法則，感悟觀察與聯(lián)想、分類與比較、類比與轉(zhuǎn)化等研究問題的方法，進(jìn)一步體會(huì)教材中問題解決的策略，感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)復(fù)習(xí)教學(xué)的高層次目標(biāo)，促進(jìn)學(xué)生解題能力和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的整體提升.

關(guān)鍵詞：學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn);解題路徑;數(shù)學(xué)本質(zhì);復(fù)習(xí)教學(xué)

九年級(jí)學(xué)生經(jīng)過中考一輪復(fù)習(xí)后，對(duì)單元知識(shí)系統(tǒng)性的認(rèn)識(shí)有了提升，但也出現(xiàn)了學(xué)習(xí)上的高原現(xiàn)象，主要表現(xiàn)為易題不愿做，難題做不來，感覺會(huì)做，下手困惑等. 如何進(jìn)一步提升學(xué)生的解決問題能力是后續(xù)復(fù)習(xí)的重點(diǎn). 為此，筆者開設(shè)了一節(jié)復(fù)習(xí)教學(xué)研究課——有理數(shù)減法法則新探與問題解決，得到了聽課教師的好評(píng). 現(xiàn)將本課的教學(xué)過程整理如下，以期與讀者共勉.

一、教學(xué)設(shè)計(jì)說明

解題策略的教學(xué)始終是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn). 受初中生思維方式的影響，教師不能一味對(duì)初中生進(jìn)行抽象的解題理論講解，而是要盡可能地讓他們經(jīng)歷具體問題的探究，在親身參與的過程中感悟解題之道. 設(shè)計(jì)研究有理數(shù)減法的直接運(yùn)算法則，是一個(gè)新奇的問題，能引發(fā)學(xué)生的探究欲望. 學(xué)生在有理數(shù)加法法則學(xué)習(xí)過程中積累的經(jīng)驗(yàn)，可以為解決問題提供幫助. 學(xué)生在這樣一個(gè)新奇的探究活動(dòng)中，能夠感悟數(shù)學(xué)思想方法、技能及問題解決的路徑. 帶著這些感悟去審視教材中一些問題的解決方式，可以達(dá)到在復(fù)習(xí)課中加深學(xué)生對(duì)教材的理解的目的. 更重要的是，經(jīng)過教師的專業(yè)化引導(dǎo)，這些活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?zāi)軌蛑鸩絻?nèi)化為學(xué)生解決問題的基本策略.

二、教學(xué)過程及評(píng)析

1. 展示課題，提出問題

師：同學(xué)們，對(duì)于課題“有理數(shù)減法法則新探與問題解決”，談?wù)勀愕南敕?

生1：有理數(shù)減法法則是：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù). 它還有新法則嗎？感覺沒有呀！

生2：有理數(shù)減法的新法則是什么？可以從哪幾個(gè)角度進(jìn)行探究？

師：帶著預(yù)想，我們開始本節(jié)課的探究學(xué)習(xí). 大家已經(jīng)了解有理數(shù)乘法的逆運(yùn)算——除法，其運(yùn)算法則有兩種方式：一種是轉(zhuǎn)化為乘法，即除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù);另一種是直接確定商的符號(hào)及絕對(duì)值，即兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除. 那么，作為加法的逆運(yùn)算，減法也有兩種表述方式嗎？也就是說，能否不通過轉(zhuǎn)化為加法的形式而直接運(yùn)算呢？

【評(píng)析】心理學(xué)研究表明，新異的東西往往能激活人的大腦，使人自愿地去探索和創(chuàng)造. 類比除法的兩種運(yùn)算方式提出有理數(shù)減法直接運(yùn)算法則，屬于一個(gè)新異的問題，能夠引發(fā)學(xué)生探究的欲望. 課堂從學(xué)生分享課題的直接感受出發(fā)，設(shè)置懸念，與后續(xù)問題相聯(lián)系，目的是使學(xué)生的思維既能入乎其內(nèi)，又能出乎其外.

2. 確立目標(biāo)，研究問題

師：在有理數(shù)的減法運(yùn)算中，如何直接確定“差”的符號(hào)及其絕對(duì)值呢？我們回顧一下有理數(shù)加法法則是如何產(chǎn)生的，能否為我們構(gòu)建減法法則帶來一些啟示？

生3：有理數(shù)加法運(yùn)算通?？梢苑秩剑阂皇欠诸愋?二是確定“和”的符號(hào);三是確定“和”的絕對(duì)值.

師：你能仿照有理數(shù)加法運(yùn)算法則的探究過程，完成我們的目標(biāo)嗎？試對(duì)以下12個(gè)減法算式進(jìn)行分類，并觀察“差”的符號(hào)及其絕對(duì)值與減數(shù)、被減數(shù)之間的關(guān)系.

教師出示如下12個(gè)減法算式.

（1）3 - 5 = -2;????????? （2）3 - （- 5） = 8;

（3）（- 3） - 5= -8;?? （4）（- 3） - （-5） = 2;

（5）-6 - （-6） = 0;? （6）-7 - 0 = -7;

（7）0 - （-7） = 7;?? （8）（- 6） - 3 = -9;

（9）9 - （-11） = 20;????? （10）4 - （-6） = 10;

（11）8 - 3 = 5;???????? （12）（-3） - 2 = -5.

學(xué)生討論交流，形成兩種分類方式：第一種是按照減數(shù)與被減數(shù)的符號(hào)是同號(hào)還是異號(hào)，把（1）（4）（5）（11）歸為一類;第二種是按照差的符號(hào)進(jìn)行分類，把（1）（3）（6）（8）（12）歸為一類，因?yàn)樗麄兊牟罹鶠樨?fù)值.

師：為什么差的值為負(fù)值呢？

生4：減數(shù)大于被減數(shù).

師：哪種分類好？

生5：我贊同第二種分類，先比較減數(shù)與被減數(shù)的大小，這樣就可以確定差的符號(hào).

師：如何確定差的絕對(duì)值？

生6：當(dāng)減數(shù)與被減數(shù)同號(hào)時(shí)，差的絕對(duì)值等于兩數(shù)絕對(duì)值之差（大的絕對(duì)值減去小的絕對(duì)值）;當(dāng)減數(shù)與被減數(shù)異號(hào)時(shí)，差的絕對(duì)值等于兩數(shù)絕對(duì)值之和.

師：很好！我們把過程再梳理一下，兩個(gè)有理數(shù)相減的運(yùn)算步驟為先比較減數(shù)和被減數(shù)的大小，確定差的符號(hào)，再由兩數(shù)的符號(hào)來確定差的絕對(duì)值.

經(jīng)過師生的共同討論，有理數(shù)減法的直接運(yùn)算法則最終形成：兩數(shù)相減，先比較減數(shù)和被減數(shù)的大小，如果是大數(shù)減小數(shù)，那么差的符號(hào)為正，當(dāng)兩數(shù)同號(hào)時(shí)，用較大的絕對(duì)值減較小的絕對(duì)值，當(dāng)兩數(shù)異號(hào)時(shí)，把兩數(shù)的絕對(duì)值相加;如果是小數(shù)減大數(shù)，那么差的符號(hào)為負(fù)，當(dāng)兩數(shù)同號(hào)時(shí)，用較大的絕對(duì)值減較小的絕對(duì)值，當(dāng)兩數(shù)異號(hào)時(shí)，把兩數(shù)的絕對(duì)值相加;如果兩數(shù)相等，那么差為0;任何數(shù)減去0，仍是本身;0減去一個(gè)數(shù)，差是這個(gè)數(shù)的相反數(shù).

【評(píng)析】有理數(shù)減法直接運(yùn)算法則的結(jié)論不是本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)，不必追求結(jié)論的完美表述，教學(xué)重點(diǎn)在于讓學(xué)生經(jīng)歷探究過程，體驗(yàn)研究問題的路徑. 學(xué)生如果按照減數(shù)與被減數(shù)的符號(hào)來分類，則先比較減數(shù)和被減數(shù)的大小，確定差的符號(hào)，再由兩數(shù)的符號(hào)來確定差的絕對(duì)值. 當(dāng)學(xué)生大致理清思路，處于憤悱狀態(tài)時(shí)，教師要及時(shí)啟發(fā)引導(dǎo)，使學(xué)生的思維始終處于激活狀態(tài).

3. 反思小結(jié)，回歸教材

師：有理數(shù)減法法則的新建，給我們帶來了哪些解決問題的啟示？

生7：有理數(shù)減法也有直接運(yùn)算的法則，同除法一樣，有兩種運(yùn)算方式.

師：看來我們要善于思考，敢于打破常規(guī)，才能有所創(chuàng)新.

生8：有理數(shù)減法的兩種法則，一種是將減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法，另外一種是直接確定差的符號(hào)及絕對(duì)值. 顯然，轉(zhuǎn)化法通用，且比較簡(jiǎn)單.

師：這個(gè)評(píng)價(jià)很中肯. 我們不一定要運(yùn)用直接確定差的符號(hào)及絕對(duì)值的方法求解問題，但是我們要知道它的存在，感受探究過程中蘊(yùn)含的解題策略.

生9：我們模仿有理數(shù)加法的探究過程，得到了新的有理數(shù)減法法則.

師：講得好！有理數(shù)加法法則的探究過程和結(jié)論，為我們研究有理數(shù)減法法則提供了經(jīng)驗(yàn). 大家能利用類似地經(jīng)驗(yàn)，重新審視教材中的問題嗎？例如，求證四邊形的內(nèi)角和為360°.

生10：在四邊形[ABCD]中，連接對(duì)角線[AC]，把四邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形的內(nèi)角和來處理.

生11：在四邊形[ABCD]內(nèi)部找一點(diǎn)[O]，連接[OA，][OB，OC，][OD，] 把四邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為四個(gè)三角形的內(nèi)角和，然后再減去一個(gè)周角就可以證明了.

師：大家都使用了三角形內(nèi)角和的結(jié)論來處理問題，那么，三角形內(nèi)角和是如何證明的？

生12：如圖1，過點(diǎn)[A]作平行線，利用平行線的性質(zhì)即可證明“三角形的內(nèi)角和是180°”.

師：你能模仿這個(gè)過程，證明“四邊形的內(nèi)角和是360°”嗎？

生12：如圖2，分別過點(diǎn)[A，D]作線段[BC]的平行線，利用平行線的性質(zhì)即可證明“四邊形的內(nèi)角和是360°”.

師：看來，三角形內(nèi)角和的探究過程與結(jié)論，同樣為四邊形內(nèi)角和的探究提供了幫助. 如果想仿照三角形內(nèi)角和的探究方法探究四邊形的內(nèi)角和，則需要對(duì)四邊形進(jìn)行作平行線處理;如果想直接利用“三角形內(nèi)角和是180°”的結(jié)論來探究四邊形的內(nèi)角和，只需要連接四邊形的一條對(duì)角線，把問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 類似的例子在教材中還有很多. 例如，學(xué)習(xí)完全平方公式時(shí)，運(yùn)用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則和探究圖形面積之間的關(guān)系得到了兩數(shù)和的平方的結(jié)論，即[a+b2=a2+][2ab+b2.] 當(dāng)解決兩數(shù)差的平方問題時(shí)，也就有了兩種方法：一種是模仿兩數(shù)和的探究過程，采用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則或探究圖形面積之間的關(guān)系得到相應(yīng)的結(jié)論[a-b2=a2-2ab+][b2;] 另一種是從結(jié)論出發(fā)，把[a-b2]轉(zhuǎn)化為[a+-b2]的形式，然后采用公式計(jì)算.（教師通過PPT展示上述相關(guān)內(nèi)容，學(xué)生邊看邊思考.）

師：以上活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，給我們解決問題帶來了哪些啟示？

生13：解決問題可以從兩個(gè)角度去思考. 一個(gè)是從已解決問題的過程視角;另外一個(gè)是從已解決問題的結(jié)論視角.

師：是的，已經(jīng)解決問題的經(jīng)驗(yàn)，可以為類似問題的解決提供幫助. 問題探究過程提供了方法、程序，在類似問題的解決中可以類比、借鑒;問題的結(jié)論塑造了一種模型，可以把類似問題向這個(gè)模型轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成功時(shí)問題也就解決了.

【評(píng)析】設(shè)計(jì)回歸教材的環(huán)節(jié)，目的不僅是讓學(xué)生重新審視教材中的一些問題，加深對(duì)教材的理解，而且是使學(xué)生的思維數(shù)次穿梭于過程與結(jié)論之間，在一次次地類比與轉(zhuǎn)化的感悟中，將感性認(rèn)識(shí)上升為理性經(jīng)驗(yàn)，復(fù)習(xí)目標(biāo)從建構(gòu)知識(shí)升華到建構(gòu)解題路徑. 通過這樣的環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)，也使整堂課始終聚焦于問題解決的策略.

4. 問題解決，概況提升

師：大家運(yùn)用前面解決問題的經(jīng)驗(yàn)來解決下面的題目.

題目? 在正方形[ABCD]中.

（1）如圖3，如果點(diǎn)[E，F(xiàn)]分別在[BC，CD]上，且[AE⊥BF，] 垂足為點(diǎn)[M，] 那么[AE]與[BF]相等嗎？證明你的結(jié)論.

（2）如圖4，如果點(diǎn)[E，F(xiàn)，G]分別在[BC，CD，DA]上，且[GE⊥BF，] 垂足為點(diǎn)[M，] 那么[GE]與[BF]相等嗎？證明你的結(jié)論.

（3）如圖5，如果點(diǎn)[E，F(xiàn)，G，H]分別在[BC，CD，][DA，AB]上，且[GE⊥HF，] 垂足為點(diǎn)[M，] 那么[GE]與[HF]相等嗎？證明你的結(jié)論.

[M][A][B][C][D][E][F][圖3] [M][A][B][C][D][E][F][圖4][G] [M][A][B][C][D][E][F][圖5][G][H]

生14：在第（1）小題的證明過程中，我利用“AAS”判定[△ABE]≌[△BCF，] 結(jié)合“全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等”證得結(jié)論. 如果在圖4中過[G]點(diǎn)作[GE⊥BC，] 也可以利用“AAS”判定[△GEE]≌[△BCF，] 利用“全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等”即可證明第（2）小題的結(jié)論. 用同樣的方法也可以解決第（3）小題.

師：還有不同的思路嗎？

生15：第（1）小題的解決為后續(xù)問題的解決提供了一個(gè)結(jié)論模型，在解決第（2）小題時(shí)，只要過點(diǎn)[A]作[AE∥GE，] 易得[AE⊥BF，] 所以由第（1）小題的結(jié)論，得[AE=BF.] 接下來，只要證明[AE=GE]就可以了. 第（3）小題的處理和第（2）小題是一樣的.

師：解題經(jīng)驗(yàn)可以分為過程性經(jīng)驗(yàn)和結(jié)論性經(jīng)驗(yàn)，我們可以從這兩個(gè)角度去解決新的問題. 波利亞在《怎樣解題》一書中提到，面對(duì)新問題時(shí)可以通過以下的設(shè)問來尋求解題的策略：你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問題……這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的問題，你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素……同學(xué)們，回頭再看本節(jié)課的探究課題——有理數(shù)減法法則新探與問題解決，你有什么收獲呢？（學(xué)生在一起交流本節(jié)課的收獲，能從更高的層次來思考問題解決的元認(rèn)知策略.）

【評(píng)析】上述題目中的第（2）小題和第（3）小題都可以基于第（1）小題的過程或結(jié)論得以解決. 學(xué)生在上一環(huán)節(jié)中所積累的經(jīng)驗(yàn)剛好在實(shí)踐中派上用場(chǎng). 解決此題，既給了學(xué)生一個(gè)驗(yàn)證經(jīng)驗(yàn)的機(jī)會(huì)，又使學(xué)生再次感悟這種解題的路徑. 本環(huán)節(jié)中，教師把經(jīng)驗(yàn)分為過程性經(jīng)驗(yàn)和結(jié)論性經(jīng)驗(yàn)兩個(gè)維度進(jìn)行解讀，并引用波利亞的方法進(jìn)行分析，滲透數(shù)學(xué)文化，完善了學(xué)生的解題元認(rèn)知策略.

三、結(jié)束語(yǔ)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，課程內(nèi)容不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法. 這為數(shù)學(xué)教學(xué)指明了方向. 在復(fù)習(xí)課教學(xué)中，教師不能只注重知識(shí)的結(jié)論，還要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生參與知識(shí)的探究過程，感悟具體事例背后的數(shù)學(xué)本質(zhì). 例如，探究新的有理數(shù)減法法則，目的不是讓學(xué)生學(xué)習(xí)一種新的法則，而是借此引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)觀察與聯(lián)想、分類與比較、類比與化歸、特殊與一般等解決問題的經(jīng)驗(yàn)和方法，再通過教師的專業(yè)化引導(dǎo)，整合、提煉教材中不同內(nèi)容的解決方案，使學(xué)生的思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)上升到解決問題的結(jié)構(gòu)化和系統(tǒng)化的層面，實(shí)現(xiàn)復(fù)習(xí)教學(xué)的高層次目標(biāo). 而這些經(jīng)驗(yàn)的獲得重在參與、貴在反思、妙在聯(lián)系. 蘇格拉底曾說：?jiǎn)栴}是接生婆，它能幫助新思想的誕生. 因此，設(shè)計(jì)好的探究問題，整體提升學(xué)生綜合能力是復(fù)習(xí)教學(xué)課的不懈追求.

參考文獻(xiàn)：

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