源于教材 立于統(tǒng)整

劉志昂 童玉峰

摘? 要：專題復(fù)習(xí)課是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種重要課型. 文章從學(xué)科統(tǒng)整的視角來設(shè)計(jì)課例，進(jìn)行數(shù)學(xué)內(nèi)部的學(xué)科統(tǒng)整——統(tǒng)整數(shù)學(xué)知識、思想方法和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn). 回歸學(xué)生發(fā)展本位，在統(tǒng)整中滲透“四基”“四能”、落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)、體現(xiàn)數(shù)學(xué)審美價(jià)值，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的育人目標(biāo).

關(guān)鍵詞：學(xué)科統(tǒng)整;專題復(fù)習(xí);核心素養(yǎng)

在一次區(qū)教研室組織的活動(dòng)中，筆者曾開設(shè)一節(jié)關(guān)于二次函數(shù)專題復(fù)習(xí)的示范課. 在確定教學(xué)內(nèi)容的過程中，筆者以蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級下冊第五章“二次函數(shù)”復(fù)習(xí)鞏固中的第15題為素材進(jìn)行設(shè)計(jì).

題目? 如圖1，在Rt△ABC中，∠B = 90°，AB = 3 cm，BC = 4 cm. 點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1 cm / s的速度沿AB運(yùn)動(dòng);同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以2 cm / s的速度沿BC運(yùn)動(dòng). 當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).

（1）試寫出△PBQ的面積S（cm2）與動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（s）之間的函數(shù)表達(dá)式;

（2）運(yùn)動(dòng)時(shí)間[t]為何值時(shí)，△PBQ的面積最大？最大面積是多少？

這是一道常規(guī)的幾何動(dòng)點(diǎn)與二次函數(shù)的綜合題，學(xué)生很容易根據(jù)題中給出的等量關(guān)系列出二次函數(shù)表達(dá)式，并根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出△PBQ面積的最大值及此時(shí)[t]的值.

如何能將本節(jié)復(fù)習(xí)課上出新意和深度，揭示題目蘊(yùn)涵的思想和方法，發(fā)展學(xué)生的能力，是筆者在課前一直思考的問題. 最后，筆者選擇借用題目情境，結(jié)合二次函數(shù)圖象，引導(dǎo)學(xué)生在反復(fù)發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的過程中，統(tǒng)整數(shù)學(xué)知識、方法和經(jīng)驗(yàn)，達(dá)成教學(xué)目標(biāo).

一、教學(xué)過程

環(huán)節(jié)1：讀題讀圖，獲取信息.

問題1：仔細(xì)閱讀題目，結(jié)合圖形，你讀出了哪些信息？根據(jù)這些信息可以得到什么結(jié)論？并說出依據(jù).

生1：由AB = 3 cm，BC = 4 cm，得到AC = 5 cm. 依據(jù)是勾股定理.

生2：由[AP=t，] 得到[PB=3-t.] 由BQ = 2t ，得到[QC=4-2t]. 依據(jù)是由圖形之間的位置關(guān)系得到線段之間的數(shù)量關(guān)系.

生3：可以得到PB2 + BQ2 = PQ2（依據(jù)是勾股定理），[S△PBQ=][12PB · BQ]（依據(jù)是三角形的面積公式），S四邊形APQC = S△ABC - S△PBQ（依據(jù)是由圖形之間的位置關(guān)系得到面積之間的數(shù)量關(guān)系）.

生4：可以得到[0≤t≤2.] 依據(jù)是動(dòng)點(diǎn)的起點(diǎn)、終點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)路徑及速度.

【說明】問題1是一個(gè)開放性的問題，引導(dǎo)學(xué)生通過讀題讀圖、適當(dāng)標(biāo)記加聯(lián)想解決問題. 這也是解決幾何問題的基本思路和方法，即逐字逐句讀題，每讀到一個(gè)已知條件，就在圖形中找到它的位置，并做出適當(dāng)?shù)臉?biāo)記（如相等關(guān)系、垂直關(guān)系等），而且要根據(jù)已知條件和隱含條件，結(jié)合圖形聯(lián)想到一般結(jié)論. 通過這樣的問題設(shè)計(jì)，旨在引導(dǎo)學(xué)生在解題過程中不斷積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 同時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)的信息和由此得到的結(jié)論，也是對相關(guān)數(shù)學(xué)知識的統(tǒng)整.

環(huán)節(jié)2：根據(jù)信息，提出問題.

問題2：根據(jù)題干、圖形和以上獲取的信息，你能提出什么問題？如何解決呢？

生5：當(dāng)[t=2]時(shí)，求線段PQ的長，△BPQ的面積，四邊形APQC的面積;當(dāng)PQ∥AC時(shí)，求[t]的值;當(dāng)[t]為何值時(shí)，[△BPQ∽△ABC].

生6：用含有[t]的代數(shù)式表示線段PQ的長、△BPQ的面積和四邊形APQC的面積.

【說明】生5先是列舉時(shí)間[t]的特殊值，根據(jù)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，得到相關(guān)的數(shù)學(xué)結(jié)論，然后給出線段的特殊位置關(guān)系PQ∥AC，得到特殊的數(shù)量關(guān)系而求出此時(shí)[t]的值，最后探究兩個(gè)三角形相似時(shí)[t]的值.

生6的回答則是回到了一般情況，旨在體會(huì)幾何圖形中相關(guān)條件、要素的“變化中的不變性”，探究出一般規(guī)律，進(jìn)而得到三個(gè)不同的函數(shù)關(guān)系. 這里不僅建立了函數(shù)模型，也在建模的過程中，滲透了從特殊到一般的思想，這也是一個(gè)數(shù)學(xué)抽象的過程，為后面的深度探究做好鋪墊.

問題2的設(shè)計(jì)在于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題，并在解決問題的過程中感悟方程思想和數(shù)形結(jié)合思想，以及在特定情況下，圖形中相關(guān)條件、要素之間數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.

環(huán)節(jié)3：由數(shù)到形，按圖索驥.

問題3：設(shè)△BPQ的面積為S（cm2），則[S=-t2+3t][0≤t≤2]. 它的圖象如圖2所示. 你能根據(jù)函數(shù)表達(dá)式并結(jié)合圖象提出哪些問題？如何解決呢？

生7：當(dāng)△BPQ的面積為2時(shí)，求出t的值;當(dāng)[t]為何值時(shí)，△BPQ的面積最大，最大值是多少？

問題4：若點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)后，點(diǎn)P按照原來的速度繼續(xù)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），試寫出S（cm2）關(guān)于t（s）的表達(dá)式，并畫出函數(shù)圖象.

生8： [S=-t2+3t 0≤t≤2，-2t+6 2<t≤3.] 圖象如圖3所示.

師：點(diǎn)[2，2]的意義與作用是什么？

【說明】通過問題3和問題4的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生看到一個(gè)新的函數(shù)形式，它不同于以往學(xué)習(xí)的二次函數(shù)，整個(gè)函數(shù)的圖象是兩個(gè)函數(shù)圖象的有機(jī)組合，反映了同一個(gè)問題情境下的兩個(gè)不同的對應(yīng)關(guān)系，讓學(xué)生深切感受到由對應(yīng)關(guān)系到函數(shù)，再由函數(shù)到圖象的一個(gè)由數(shù)到形的變化過程.

對于教師提出的點(diǎn)[2，2]的意義與作用是什么，有以下幾方面解釋. 從圖象上來看，點(diǎn)[2，2]是兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)，同時(shí)滿足兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式;從函數(shù)的角度來看，[2，2]是一組對應(yīng)值，即當(dāng)[t=2]時(shí)，[S=2];從點(diǎn)的實(shí)際意義來看，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2 s時(shí)，△BPQ的面積為2 cm2;從圖形的角度來看，是點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到了終點(diǎn)C.

在這類函數(shù)圖象的信息題中，教師要嘗試引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)分段函數(shù)圖象上的分段點(diǎn)與圖形上動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化（速度、方向等變化）的對應(yīng)關(guān)系. 充分理解和運(yùn)用好這一特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，是解決這類函數(shù)圖象信息題的關(guān)鍵所在，為后面的問題解決埋下了伏筆.

環(huán)節(jié)4：由形到數(shù)，問題解決.

如圖4，在Rt△ABC中，∠B = 90°，BC = 4 cm. 點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿A勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B;同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C. 兩點(diǎn)同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，到達(dá)各自的終點(diǎn)后停止. 設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），△PBQ的面積為S（cm2），S與[t]的函數(shù)圖象如圖5所示.

問題5：你能從圖象中獲取什么信息？由這些信息可以得到什么結(jié)論？你能提出什么問題？如何解決？

【說明】問題5旨在讓學(xué)生在前面積累的解題思路和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象中的點(diǎn)[2，2]的關(guān)鍵作用. 分析它在圖形中的具體位置，了解它的實(shí)際意義，根據(jù)題干和圖形中隱藏的相等關(guān)系求出線段BA的長，以及點(diǎn)P和點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度. 這樣，學(xué)生可以根據(jù)前面解決問題的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)來求解相關(guān)問題，促進(jìn)“四能”的發(fā)展.

環(huán)節(jié)5：板書設(shè)計(jì)，展示條理.

本節(jié)課板書設(shè)計(jì)如圖6所示.

【說明】上述板書設(shè)計(jì)本質(zhì)上是一個(gè)思維導(dǎo)圖，展示了整節(jié)課的條理和知識間內(nèi)在的邏輯關(guān)系. 從環(huán)節(jié)1開始，展示了解決動(dòng)點(diǎn)問題的一般思路，即找準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)和終點(diǎn)，構(gòu)建相等關(guān)系來表示相關(guān)線段的長度，明確動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)路徑，根據(jù)其中蘊(yùn)含的數(shù)量間的相等關(guān)系列出方程求解. 在環(huán)節(jié)2中，從特殊到一般，重在探索點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中不變的數(shù)量關(guān)系，為后續(xù)建立函數(shù)模型做鋪墊;環(huán)節(jié)3中逐漸生成函數(shù)關(guān)系并繪制出函數(shù)圖象，用函數(shù)圖象來描述動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)過程;環(huán)節(jié)4則充分體現(xiàn)了圖形與圖象之間的對應(yīng)關(guān)系，找到了一般的解題思路和方法.

板書體現(xiàn)了數(shù)與形的深度結(jié)合，旨在體現(xiàn)幾何圖形中要素（或相關(guān)要素）之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系相互依存、相互轉(zhuǎn)化的內(nèi)在特征，以及抓住其“變化中的不變性”來探究出一般規(guī)律和解決問題的策略，充分體現(xiàn)了幾何圖形中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)所蘊(yùn)含的相等關(guān)系和函數(shù)關(guān)系的對應(yīng)，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑與函數(shù)圖象的對應(yīng)，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中的特殊位置與圖象上特殊點(diǎn)的對應(yīng).

二、專題復(fù)習(xí)課設(shè)計(jì)思路與目標(biāo)

1. 設(shè)計(jì)思路——數(shù)學(xué)內(nèi)部的學(xué)科統(tǒng)整

（1）數(shù)學(xué)知識的統(tǒng)整.

本課例是以知識之間聯(lián)系為綱的統(tǒng)整，主要聚焦數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部知識體系，聚焦數(shù)學(xué)學(xué)科的課程內(nèi)容. 其中，同冊教材內(nèi)容的重構(gòu)是“橫向統(tǒng)整”，跨年級教材相關(guān)聯(lián)的內(nèi)容重構(gòu)是“縱向統(tǒng)整”. 顯然，本課例體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)知識的“縱向統(tǒng)整”，完成了不同知識之間的聯(lián)系與統(tǒng)整. 例如，圖形相似的性質(zhì)、三角形的面積、函數(shù)及其表達(dá)式、圖象、性質(zhì)、方程等.

奧蘇貝爾認(rèn)為，學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)是對學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的組織和重新組織，組織和重新組織的過程就是新舊知識相互聯(lián)系、相互作用的過程. 因而，在專題復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)中，教師應(yīng)該始終以整體視角組織、設(shè)計(jì)和處理各章節(jié)、各單元和各知識點(diǎn)之間的聯(lián)系，讓學(xué)生在整體中、聯(lián)系中、比較中學(xué)習(xí)，從而幫助學(xué)生在頭腦中將知識“由點(diǎn)構(gòu)成線，由線構(gòu)成面”，形成立體、開放、整體的知識結(jié)構(gòu).

（2）方法和能力的統(tǒng)整.

在統(tǒng)整知識的同時(shí)，學(xué)習(xí)方法和經(jīng)驗(yàn)也是在不斷地積累、反思、改進(jìn)中融會(huì)貫通的，這是一個(gè)漸進(jìn)的、呈螺旋式上升的過程. 學(xué)習(xí)方法的掌握和學(xué)習(xí)能力的提升，需要教師在不同的時(shí)期、不同的階段和學(xué)生一起對之進(jìn)行統(tǒng)整.

本課例中，環(huán)節(jié)1中從幾何解題的一般方法——讀題、讀圖、標(biāo)記、聯(lián)想，到提出問題和解決問題;環(huán)節(jié)2中，從[t]取特殊值時(shí)線段的長度和圖形的面積，到特殊位置下[t]的求值，再到用含[t]的代數(shù)式表示線段的長和圖形的面積;環(huán)節(jié)3從函數(shù)關(guān)系式的建立到用圖象描述這種對應(yīng)關(guān)系，再到運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問題;環(huán)節(jié)4中從函數(shù)的圖象中獲取信息，到回歸結(jié)合圖象解決問題，再到整個(gè)問題的解決. 以上環(huán)節(jié)都是緊緊圍繞方法的歸納總結(jié)與能力的提升來設(shè)計(jì)的.

數(shù)學(xué)教育的基本功能和任務(wù)是使學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，具體包括以下幾個(gè)方面：讓學(xué)生懂得數(shù)學(xué)的價(jià)值;對自己的數(shù)學(xué)能力有信心;有解決數(shù)學(xué)課題的能力;學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語言交流;學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法. 因此，專題復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)，應(yīng)該在統(tǒng)整學(xué)習(xí)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，把學(xué)生的學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)能力培養(yǎng)統(tǒng)整進(jìn)來，進(jìn)而有效防止學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)與學(xué)習(xí)內(nèi)容割裂開來，讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).

2. 設(shè)計(jì)目標(biāo)——彰顯數(shù)學(xué)的育人價(jià)值

專題復(fù)習(xí)課一般以知識為載體、以能力為目標(biāo)來進(jìn)行設(shè)計(jì). 而以核心素養(yǎng)為綱的統(tǒng)整所考慮的不僅僅是學(xué)科知識本身，而是“以生為本”的教學(xué)，是回歸學(xué)生本位、回歸發(fā)展本位的設(shè)計(jì)，構(gòu)建學(xué)科育人價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的根本性改變.

（1）在統(tǒng)整中滲透“四基”“四能”.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括. 專題復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)，應(yīng)從基本問題開始，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題;引導(dǎo)學(xué)生積極參與到教學(xué)活動(dòng)中來，通過獨(dú)立思考、合作交流來歸納、總結(jié)解決問題的一般方法;引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中積累經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)的問題解決打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ);引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中嘗試針對不同數(shù)學(xué)問題采用不同的數(shù)學(xué)思想方法，體會(huì)和提高有結(jié)構(gòu)的、有邏輯的思考問題能力.

（2）在統(tǒng)整中落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

以上課例的設(shè)計(jì)在落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)上做了許多的探索. 從環(huán)節(jié)1中歸納出解決動(dòng)點(diǎn)問題的一般方法和規(guī)律，從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題，到環(huán)節(jié)2中[t]的取值的從特殊到一般;從環(huán)節(jié)3中的“由數(shù)到形，按圖索驥”，到環(huán)節(jié)4的“由形到數(shù)，問題解決”，其中蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算，在數(shù)形結(jié)合中借助幾何直觀理解問題，在二次函數(shù)模型的建立中抽象出一般方法和技能等，無不是對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí). 因此，本課例的設(shè)計(jì)完成了數(shù)學(xué)學(xué)科知識的學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)的有機(jī)統(tǒng)一.

（3）在統(tǒng)整中提升數(shù)學(xué)審美價(jià)值.

本課例中，學(xué)生從動(dòng)點(diǎn)開始，經(jīng)歷了動(dòng)點(diǎn)問題到函數(shù)的轉(zhuǎn)化，再到從函數(shù)圖象中獲取信息并回歸到幾何圖形的過程，深切體會(huì)了數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系和數(shù)形之間的相互轉(zhuǎn)化. 教師先引導(dǎo)學(xué)生用理性的思維去品味自身的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，并在解決問題之后，引導(dǎo)學(xué)生去反思. 在專題復(fù)習(xí)課中，教師要經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生對自我解決問題的行為進(jìn)行反思，這種基于問題的反思本身就是一種實(shí)踐智慧. 張文俊教授在《數(shù)學(xué)欣賞》一書中指出，數(shù)學(xué)的美就是數(shù)學(xué)問題的結(jié)論或解決過程適應(yīng)人類的心理需要而產(chǎn)生的一種滿足感，簡潔的表現(xiàn)形式，精細(xì)的思考方法，處處充滿著理性、高雅、和諧之美，這是真與善的客觀表現(xiàn).

在本節(jié)課的問題解決過程中，學(xué)生獲得了成功的體驗(yàn)，滿足了自我實(shí)現(xiàn)的需要，同時(shí)獲取了一種積極的情緒. 專題復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)應(yīng)著眼于這種積極情緒的營造與培育，使學(xué)生在愉快的氛圍中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，提升學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望和信心.

張奠宙先生認(rèn)為，數(shù)學(xué)欣賞正在從外部的美觀，不斷的深入到數(shù)學(xué)概念和命題的內(nèi)涵深處. 欣賞外表直觀之秀，內(nèi)涵深刻之慧，文化底蘊(yùn)之濃，理性思考之精，也許這就是數(shù)學(xué)欣賞的普遍規(guī)律.

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