論直覺思維在初中數(shù)學學習中的應用

石仙霞

[摘? 要] 直覺思維可以理解為運用已有數(shù)學知識及經(jīng)驗，對問題進行高度加工，從整體認識問題、解決問題的思維過程. 直覺思維也常作為一個人數(shù)學思維能力，數(shù)學判斷能力高低的評判標準，可見直覺思維在數(shù)學能力的培養(yǎng)中具有舉足輕重的作用. 因此，直覺思維的培養(yǎng)也變得勢在必行了.

[關(guān)鍵詞] 直覺思維;思維過程;思維能力

運用直覺思維解題表面上看具有一定的偶然性，然而直覺思維的產(chǎn)生需要長期積累，其中蘊含著豐富的知識經(jīng)驗和敏銳的觀察力. 在教學中，教師要注重學生直覺思維的培養(yǎng)，這樣才有利于學生“跳出”按部就班、循規(guī)蹈矩的推理過程，讓思維更自由、更開放，更具創(chuàng)造力. 同時，直覺思維是對問題的整體把握，具有無意識性，使思維更豐富、更廣闊，更具獨特性和創(chuàng)新性.

直覺思維是數(shù)學學習中不可缺失的一部分，那么，如何讓直覺思維大放異彩呢？筆者根據(jù)幾個教學實例，淺談直覺思維在數(shù)學中的有效應用，以其提醒師生重視直覺思維的培養(yǎng).

用直覺感知數(shù)字特點

數(shù)學題目千變?nèi)f化，如果都是通過常規(guī)的思路解題，顯然容易碰壁，那么要培養(yǎng)學生多元的解題思路，離不開直覺思維. 直覺思維也經(jīng)常應用于選擇題中，因選項的加入及解題步驟的省略，有利于直覺思維的發(fā)展.

例1 已知四邊形的邊長分別為25，39，52，60，該四邊形外接于一圓，那么圓的周長為（? ? ）

A. 62π B. 63π C. 64π D. 65π

題目分析：若想求圓的周長，需知曉圓的半徑，該題實為如何求多邊形的外接圓的半徑. 依據(jù)學生已有經(jīng)驗，善用解三角形的方法求解，但用此方法解決該問題顯然行不通，需要另外尋找新思路. 此題為選擇題，選項也成了可以利用的條件，憑直覺可以感知解決該題的關(guān)鍵是已知條件里的數(shù)字和選項答案的數(shù)字信息，當解題的重點落在數(shù)字上，勾股數(shù)的思路也被打開了. 經(jīng)過驗證，“39，52，65”“25，60，65”為兩組勾股數(shù)，顯然答案選擇D.

此題的解題重點是對數(shù)字特征的挖掘，尤其是勾股數(shù)的聯(lián)想需要學生對數(shù)字有高度的敏感度. 這種敏感度依賴于直覺，直覺的獲得雖然存在某種意義的偶然，但絕非憑空產(chǎn)生的，而是需要有扎實的基礎(chǔ)做保障. 因此，要培養(yǎng)學生的直覺思維，需要著重培養(yǎng)學生扎實的基礎(chǔ)和敏銳的數(shù)學思維，這是一個長期的過程，絕不能急于求成，一蹴而就.

用直覺感知條件特征

對已知條件的理解是數(shù)學解題的關(guān)鍵，因為思考角度不同，有可能會出現(xiàn)不同的解法，直覺思維可能從無意識反應成為解題的關(guān)鍵，教師要引導學生通過已知條件獲取更多信息，從而發(fā)現(xiàn)隱藏條件，輕松解題.

例2 如圖1，已知四邊形ABCD為凸四邊形，其中AB=AC=AD，∠BAD=80°，則∠BCD=________.

師：請大家探討一下可以如何求解.

生1：由AB=AC得∠ABC=∠ACB，同理∠ADC=∠ACD，則∠BCD==140°.

師：很好，生1利用等腰三角形的特性來求解，解題思路清晰、準確. 那么還有其他的解法嗎？（問題提出后，學生有所困惑，教師繼續(xù)引導）

師：由AB=AC=AD，我們能不能和圓建立聯(lián)系呢？

生2：以A為圓心，AB為半徑畫圓.

師：是這樣嗎？（教師展示圖2）

生3：是的.

師：圖形構(gòu)建好了，該如何解？

生4：由圖可知，∠BAD=80°，且∠BAD為圓心角，由此可知∠BCD為80°弧所對應的圓周角，可得∠BCD==140°.

給出第一個解法后，教師又耐心地讓學生通過對圖形的感知，聯(lián)想到了圖2，根據(jù)圓心角及圓周角的相關(guān)知識進行了第二種解法的探究. 在探究的過程中，培養(yǎng)了學生建模能力及空間思維能力，有利于學生數(shù)學思維的發(fā)展.

在教師的引導下，充分利用已知條件的特征進行圖形建模，深挖隱含在已知里的條件，為解題提供方向. 在教學中，教師既是領(lǐng)導者，也是旁觀者;既要放權(quán)給學生，讓學生大膽地進行假設(shè)，也要及時地引導和鼓勵. 只有這樣，才能使學生體驗更多的新方法，獲得新思維，收獲更多的喜悅和信心.

用實驗法，體驗創(chuàng)新

數(shù)學實驗法鼓勵學生主動參與，動手操作，親身體驗學習的過程. 從而通過動手實驗、認真觀察、主動探究，發(fā)現(xiàn)內(nèi)在規(guī)律，獲得新知識，掌握新技能. 同時，數(shù)學實驗法的應用有利于開發(fā)學生的直覺思維，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神.

題目分析：此題中n是未知項，直接計算毫無規(guī)律可言，那么要引導學生通過實驗法，借助固定值，去發(fā)現(xiàn)隱藏題目中的規(guī)律，從而進行解題.

師：這個題型很多同學可能未接觸過，現(xiàn)在給一些提示，供大家參考. 因為各數(shù)字里有n個9，直接運算顯然行不通，現(xiàn)將n定義為固定值，通過假設(shè)的方法看看有沒有什么發(fā)現(xiàn). 假設(shè)n=1，2，3，合計為Sn. 現(xiàn)在請大家一起來驗證，看看是否可以找到規(guī)律.

生1：假設(shè)n=1，則S1=9×9+19=100.

師：當n=1時，因為值比較小，所以容易直接求出答案，隨著n值的增加，計算所需要的時間會更多，我們是否可以將生1的計算過程改寫一下呢？

生2：可以改寫為S1=（10-1）（10-1）+（20-1）=102.

師：很好，根據(jù)數(shù)字的特點，有效地結(jié)合了完全平方公式，那我們繼續(xù).

生3：假設(shè)n=2，則S2=99×99+199=（100-1）（100-1）+（200-1）=1002.

師：若結(jié)合生1和生2的結(jié)論，是否可以將生2的結(jié)論進一步轉(zhuǎn)化呢？

生4：1002=102×2.

師：很好，那么結(jié)合前面的結(jié)論對n=3進行驗證.

生5：假設(shè)n=3，則S3=999×999+1999=（1000-1）（1000-1）+（2000-1）=10002=103×2.

師：現(xiàn)在你們認為Sn等于什么呢？

生6：Sn=10n×2=102n.

通過對特殊數(shù)的觀察，教師一步步地進行有效引導，最終完成了復雜的運算. 在解數(shù)學題目時，經(jīng)常需要憑借直覺和經(jīng)驗不斷嘗試，如本題中將生1計算過程的改造，以及對生2的結(jié)論進行重新規(guī)劃，通過耐心地推敲，解決了問題. 在此過程中學生的數(shù)學應用能力也得到了充分的發(fā)展.

用數(shù)形結(jié)合法，另辟蹊徑

數(shù)形結(jié)合法將數(shù)更加形象化，使解題變得更加清晰，因而得到廣泛的應用，那么如何引導學生通過“數(shù)”進行“形”的聯(lián)想呢？

題目分析：若采用代數(shù)法進行計算，顯然無從下手. 現(xiàn)將n進行改寫，得n=a+（n-a）=b+（n-b）=c+（n-c）=d+（n-d）. 由結(jié)論中等代數(shù)式的出現(xiàn)，可聯(lián)想到勾股定理，沿著這個思路對代數(shù)式進行圖形建模. 如圖3，設(shè)四邊形ABCD的邊長為n，則周長為4n，若可以證明四邊形ABCD的周長大于四邊形A1B1C1D1，則求證結(jié)論成立.

求解過程：如圖3，A1D=a，A1C=n-a，AB1=b，B1D=n-b，BC1=c，AC1=n-c，D1C=d，BD1=n-d. 由三角形三邊關(guān)系及勾股定理可知，該結(jié)論成立.

此題的求解過程巧妙，通過對代數(shù)式的觀察，憑借直覺巧妙地將題目進行了圖形建構(gòu)，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形問題. 這樣借助圖形另辟蹊徑的解法，讓學生的思維更加靈活、興奮.

用反證法，發(fā)展逆向思維

反證法可以有效地引導學生換個思路、換個角度去思考，通過“間接證明”而得到原命題的結(jié)論，該方法的應用對培養(yǎng)學生的數(shù)學思維有著重大的意義.

題目分析：至少有一個，那可能是第一個方程有實根，也有可能是第二個方程有實根，而且實根可能是一個還有可能是兩個，有實根的條件顯然較復雜. 若反面思考，則只有一種情況，即兩個方程都無實根，那么利用“反證法”解題顯然更輕松.

本題為開放性問題，若直接證明，情況復雜;而將“至少有一個”用“一個都沒有”來證明，顯然輕松了很多. “反證法”的運用，發(fā)展了學生的逆向思維能力，也使直覺思維得到了進一步的升華.

總之，數(shù)學的學習離不開直覺思維，科技的創(chuàng)新也離不開直覺思維. 因此，教師在教學中，主觀上要注重學生直覺思維的培養(yǎng)，這樣才能使課程更有趣，學生學習更輕松.