正弦激勵(lì)下矩形容器內(nèi)液體晃動(dòng)特性研究

楊 琦，李德友，常 洪，王洪杰

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)能源科學(xué)與工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001）

液體晃蕩是指在有限的空間內(nèi)，帶有自由表面的流體因受到外界因素激勵(lì)或外加擾動(dòng)而產(chǎn)生的液體運(yùn)動(dòng)。當(dāng)外界激勵(lì)的頻率接近液體的固有頻率時(shí)會(huì)引起共振，導(dǎo)致液體劇烈晃動(dòng)，并對(duì)容器壁產(chǎn)生強(qiáng)烈的沖擊，這是造成儲(chǔ)液容器結(jié)構(gòu)破壞的重要因素之一[1]，因此液體晃蕩問(wèn)題的研究對(duì)飛行器油箱、海洋核動(dòng)力平臺(tái)穩(wěn)壓器、航天液體推進(jìn)器等儲(chǔ)液系統(tǒng)的安全運(yùn)行具有重要意義。載液容器在外界載荷激勵(lì)下晃動(dòng)時(shí)，容器內(nèi)液體自由表面會(huì)產(chǎn)生不同的晃動(dòng)波形，較常見的波形有駐波、行進(jìn)波、水躍和組合波[2]，如圖1 所示，其中圖片的橫軸與縱軸分別對(duì)應(yīng)液面的寬度與高度。在外界激勵(lì)頻率遠(yuǎn)低于液體固有頻率的晃蕩中，波面只做周期性振動(dòng)而不向前傳播，此時(shí)的自由液面呈駐波形式；激勵(lì)頻率增大后，波面發(fā)生改變，會(huì)形成一系列波長(zhǎng)較小的行進(jìn)波，但其對(duì)容器壁面的沖擊力要比駐波大很多；當(dāng)激勵(lì)頻率增大到接近于液體固有頻率時(shí)，對(duì)容器施加任一微小擾動(dòng)都會(huì)使得自由液面出現(xiàn)跳躍，即產(chǎn)生了水躍現(xiàn)象；當(dāng)載荷的振蕩頻率已經(jīng)處于液體固有頻率的微小鄰域內(nèi)時(shí)，共振現(xiàn)象發(fā)生，此時(shí)液體自由表面會(huì)形成幅度較大的駐波且伴隨著行進(jìn)波及水躍現(xiàn)象，這些波相互疊加形成了組合波。

圖1 不同形式波形示意圖[2]

有關(guān)液體晃蕩問(wèn)題的研究首先出現(xiàn)于航空航天領(lǐng)域，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和研究手段的快速發(fā)展，復(fù)雜的液體晃動(dòng)問(wèn)題吸引了大批國(guó)內(nèi)外研究者投身其中。對(duì)于液體晃蕩的研究方法大致可以歸為理論分析、試驗(yàn)研究和數(shù)值模擬3 大類。理論分析是最早研究液體晃動(dòng)問(wèn)題的主要方法，以線性勢(shì)流理論為基礎(chǔ)，Abramson[3]對(duì)圓柱形、球形、矩形等規(guī)則幾何形狀容器內(nèi)的液體晃動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了研究，并且探討了液體晃動(dòng)產(chǎn)生的壓力對(duì)貯箱結(jié)構(gòu)所造成的影響。Chen 等[4]應(yīng)用勢(shì)流理論計(jì)算了車輛突然加速時(shí)考慮阻尼影響的液罐內(nèi)自由液面的水動(dòng)力特性。盧軍等[5]基于勢(shì)流理論對(duì)平放圓柱形貯箱內(nèi)任意充液比的晃動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行研究，并用Galekin 方法對(duì)該邊界問(wèn)題進(jìn)行了求解。理論分析方法通過(guò)建立描述流體運(yùn)動(dòng)的方程研究液體晃動(dòng)問(wèn)題，對(duì)簡(jiǎn)單模型的小幅晃動(dòng)問(wèn)題可準(zhǔn)確地給出解析解，但當(dāng)貯箱形狀復(fù)雜或液體晃動(dòng)幅度增大時(shí)，無(wú)法通過(guò)理論研究得到有效可靠的解析解。

實(shí)驗(yàn)方法一直是研究液體晃蕩問(wèn)題的重要手段。Wu 等[6]運(yùn)用相似理論建立了模型試驗(yàn)臺(tái)，研究了低液載率耦合激勵(lì)下彈性罐內(nèi)的晃動(dòng)沖擊載荷特性。Das 等[7]通過(guò)自由振動(dòng)和強(qiáng)制振動(dòng)試驗(yàn)對(duì)U 形容器作為高層建筑系統(tǒng)中的液體阻尼器的有效性進(jìn)行了研究。Jin 等[8]以自來(lái)水和甘油為實(shí)驗(yàn)液體，通過(guò)對(duì)照實(shí)驗(yàn)探討了流體黏度對(duì)中深度比水平激振引起的晃動(dòng)的影響。Zhang[9]對(duì)傾斜底部調(diào)諧液體阻尼器的晃動(dòng)模態(tài)特性進(jìn)行了數(shù)值和實(shí)驗(yàn)研究。衛(wèi)志軍等[10]采用大尺度模型試驗(yàn)方法，對(duì)矩形艙內(nèi)液體晃蕩產(chǎn)生的沖擊壓力進(jìn)行了研究，分析在不同外激振幅、頻率和不同載液率下，液艙內(nèi)晃蕩沖擊載荷特性。實(shí)驗(yàn)分析最能反映液體晃動(dòng)的實(shí)際情況，但需投入大量的人力、物力和財(cái)力，實(shí)驗(yàn)周期較長(zhǎng)，而且并不是所有物理量都能直接獲得，此時(shí)對(duì)液體晃動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算顯得尤為重要。

數(shù)值分析方法有著理論分析和實(shí)驗(yàn)研究無(wú)法比擬的優(yōu)勢(shì)，不僅計(jì)算快、精度高、能獲得大量的計(jì)算成果，而且計(jì)算成本低，能處理液體大幅晃動(dòng)的非線性問(wèn)題。Pandit 等[11]對(duì)部分填充斜底容器的晃動(dòng)特性進(jìn)行了數(shù)值研究，并采用Galer-kin 有限元方法推導(dǎo)了二維槽內(nèi)液體晃動(dòng)的運(yùn)動(dòng)模態(tài)方程。Guan 等[12]基于邊界元法研究了三維折流板儲(chǔ)罐的非線性晃動(dòng)問(wèn)題，系統(tǒng)地分析了擋板對(duì)三維罐內(nèi)液體晃動(dòng)的影響。Zhang 等[13?14]給出了影響擋板形狀的因素及各種不同形狀的擋板，通過(guò)數(shù)值計(jì)算方法探究最優(yōu)的擋板形式。龍飛等[15]利用CFD方法仿真計(jì)算，研究了脈動(dòng)風(fēng)載荷作用下產(chǎn)生的液體晃動(dòng)及外部激勵(lì)共同作用于容器時(shí)的動(dòng)力響應(yīng)。翁羽等[16]使用CFD 和FEM 耦合的數(shù)值分析方法獲得了部分充液容器在典型地震歷程下的自由液面變化和結(jié)構(gòu)響應(yīng)特性。李駿等[17]利用FLUENT 有限元仿真軟件對(duì)制動(dòng)工況下貨車燃油箱進(jìn)行數(shù)值模擬，得到流固耦合作用下燃油箱的受力情況。李奇等[18]基于OpenFOAM 自行開發(fā)的水動(dòng)力學(xué)求解器naoe-FOAM-SJTU 研究了船舶運(yùn)動(dòng)與液艙內(nèi)液體晃蕩間的相互耦合作用。

由此可見，數(shù)值分析方法已成為分析液體晃動(dòng)問(wèn)題的重要方法，而在數(shù)值模擬過(guò)程中，VOF 法是對(duì)自由液面的捕捉或追蹤最常用的方法。尚春雨等[19]提出采用VOF 方法耦合k?ε湍流模型，通過(guò)UDF（用戶自定義函數(shù)）加載振動(dòng)加速度載荷的方法模擬液箱內(nèi)液體晃動(dòng)問(wèn)題。劉岑凡等[20]采用同樣的方法模擬了不同充液量下球罐內(nèi)液體的晃動(dòng)過(guò)程。此方法相當(dāng)于將加速度值作為質(zhì)量力反向加給流體，以實(shí)現(xiàn)容器運(yùn)動(dòng)條件下非慣性坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化，但多用于載液容器平動(dòng)的情況，對(duì)于容器轉(zhuǎn)動(dòng)的情況，需要考慮轉(zhuǎn)動(dòng)牽連加速度、轉(zhuǎn)動(dòng)牽連向心加速度及科氏加速度，不容易理解且計(jì)算比較麻煩。

在液體晃動(dòng)工程問(wèn)題中，多數(shù)情況下液箱的位置及速度變化是可以確定的。本文采用VOF（Volume of Fluid）方法耦合湍流模型，通過(guò)UDF（User Define Function）直接加載液箱運(yùn)動(dòng)速度隨時(shí)間的變化規(guī)律，給定液箱的剛體運(yùn)動(dòng)。該方法理解方便且計(jì)算簡(jiǎn)單，通過(guò)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比，驗(yàn)證了該方法的有效性。本文還使用該方法模擬了外界載荷激勵(lì)下矩形載液容器的晃蕩過(guò)程，得到容器內(nèi)自由液面變化情況及液體對(duì)容器底部的沖擊壓力大小。通過(guò)改變外界激勵(lì)載荷的頻率與幅值，觀察載液容器內(nèi)液體的晃蕩情況，分析各因素對(duì)液體晃動(dòng)特性的影響，以期為儲(chǔ)液系統(tǒng)的安全運(yùn)行提供參考。

1 數(shù)值方法

1.1 VOF 法

本文采用VOF 法（流體體積法）來(lái)模擬帶自由液面流體的運(yùn)動(dòng)。VOF 法通過(guò)研究網(wǎng)格單元中流體和網(wǎng)格的體積比函數(shù)F來(lái)確定自由液面，追蹤流體變化[21]。其中流體體積函數(shù)F的控制微分方程為

利用連續(xù)方程? ·u=0，可得到其守恒形式：

該式?jīng)Q定了流體體積函數(shù)的輸運(yùn)過(guò)程。

定義函數(shù)F=F(x,y,z,t)表示區(qū)域內(nèi)流體體積對(duì)計(jì)算區(qū)域體積的占有比率，即對(duì)于某個(gè)計(jì)算單元而言，F(xiàn)=1 表示單元被流體所充滿；F=0 表示它是一個(gè)空單元；F介于0～1 之間，表示單元被流體部分充滿，即自由邊界存在于該單元中。通常，F(xiàn)=0.5 的網(wǎng)格會(huì)被提取出來(lái)作為氣液兩相的交界面[18]。F的梯度表示自由邊界的法線方向，在得到各單元的計(jì)算值及其梯度后，根據(jù)F值和邊界法向作一直線或平面切割單元，便可近似表示界面的位置，并以此邊界設(shè)置邊界條件[22]。VOF 法是一種非常流行的液面追蹤方法，具有存儲(chǔ)量小、適用于三維運(yùn)算等優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)用領(lǐng)域相當(dāng)廣泛，是目前處理液體晃動(dòng)問(wèn)題一種實(shí)用、穩(wěn)定的方法。

1.2 運(yùn)動(dòng)規(guī)律設(shè)定

用戶自定義函數(shù)（UDF）是一個(gè)在C 語(yǔ)言基礎(chǔ)上來(lái)擴(kuò)展FLUENT 特定功能的編程接口[19]。即當(dāng)FLUENT 標(biāo)準(zhǔn)界面不能滿足模擬的需求時(shí)，用戶可以自己用C 語(yǔ)言編寫擴(kuò)展程序代碼并與FLUENT動(dòng)態(tài)鏈接，加載到FLUENT 環(huán)境中供其使用，以滿足用戶的各種需求。在研究載液容器內(nèi)液體的晃蕩問(wèn)題時(shí)，我們經(jīng)常會(huì)很容易地確定容器的位置及其速度變化規(guī)律。本文研究采用UDF 直接給定液箱剛體運(yùn)動(dòng)的方法（即通過(guò)UDF 提供每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)的速度來(lái)指定Fluent 中某一特定區(qū)域的運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)luent 利用這些速度值來(lái)更新模型的節(jié)點(diǎn)位置）來(lái)模擬載液容器內(nèi)液體晃動(dòng)過(guò)程，觀察其晃動(dòng)情況。

1.3 矩形水箱固有頻率

矩形液箱內(nèi)液體晃動(dòng)的固有頻率可以由下式計(jì)算得到[7]：

式中：n為內(nèi)部晃動(dòng)模態(tài)數(shù)；L為液箱在運(yùn)動(dòng)方向上的長(zhǎng)度；g為重力加速度；h為液箱的填充深度。

2 液體晃動(dòng)仿真

2.1 研究對(duì)象

本文研究對(duì)象采用文獻(xiàn)[23]中的調(diào)諧液體阻尼器（TLD）水箱模型，該容器的簡(jiǎn)化模型如圖2 所示。水箱為矩形，水平放置，在外界非線性激勵(lì)作用下周期性振動(dòng)，水箱激勵(lì)方向的長(zhǎng)度為966 mm、寬為200 mm、高為360 mm，充液深度為119 mm。圖3 為載液容器的計(jì)算模型及其網(wǎng)格劃分。

圖2 載液容器簡(jiǎn)化模型

圖3 載液容器計(jì)算模型及其網(wǎng)格劃分

為驗(yàn)證網(wǎng)格無(wú)關(guān)性，本文針對(duì)水箱模型劃分了5 套不同數(shù)目的網(wǎng)格（41 萬(wàn)、55 萬(wàn)、77 萬(wàn)、93 萬(wàn)、108 萬(wàn)）進(jìn)行計(jì)算，選取一個(gè)晃動(dòng)周期內(nèi)底面中心點(diǎn)處壓力峰值為監(jiān)測(cè)量。圖4 為網(wǎng)格無(wú)關(guān)性驗(yàn)證結(jié)果?？梢钥闯霎?dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)高于93 萬(wàn)時(shí)，壓力幅值基本不再隨網(wǎng)格數(shù)的增加而大幅變動(dòng)，說(shuō)明其受節(jié)點(diǎn)數(shù)的影響不大。綜合考慮計(jì)算精度及計(jì)算時(shí)間等因素，決定選取節(jié)點(diǎn)數(shù)為108 萬(wàn)的網(wǎng)格進(jìn)行后續(xù)計(jì)算。

圖4 網(wǎng)格無(wú)關(guān)性驗(yàn)證

2.2 數(shù)值計(jì)算設(shè)定

本文利用ANSYS Fluent 軟件，采用VOF 方法模擬液體在矩形容器中的晃蕩過(guò)程。湍流模型使用k?ω模型封閉湍流黏度項(xiàng)。設(shè)置流動(dòng)介質(zhì)為空氣和水，氣液兩相均勻連續(xù)介質(zhì)，由于流體的壓縮性對(duì)晃蕩的影響可忽略不計(jì)，故采用不可壓縮模型。求解器采用速度壓強(qiáng)耦合求解器Coupled，壓力修正方程的離散格式采用Body Force Weight 格式。容器壁面為不可滑移邊界，不考慮傳熱的影響。非定常計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)設(shè)置為0.004 s。在計(jì)算之前，分別設(shè)置非定常計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)為0.002、0.004、0.008 s 進(jìn)行無(wú)關(guān)性驗(yàn)證，選取了底面中心點(diǎn)處壓力峰值作為監(jiān)測(cè)量，驗(yàn)證結(jié)果如圖5 所示?？梢钥闯鰰r(shí)間步長(zhǎng)選為0.004 s 滿足數(shù)值計(jì)算對(duì)計(jì)算速度與精度的要求。

圖5 時(shí)間步長(zhǎng)無(wú)關(guān)性驗(yàn)證結(jié)果

2.3 數(shù)值模擬算例與結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本文所采用數(shù)值模型的準(zhǔn)確性，選取了文獻(xiàn)[23]中Tait 等的調(diào)諧液體阻尼器水箱振動(dòng)實(shí)驗(yàn)，并在相同工況下對(duì)其進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，將本文所用數(shù)值模擬方法計(jì)算得到的結(jié)果與文獻(xiàn)[23]中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較。在0～60 s 內(nèi)，載液容器以vx=A·fe·2πcos(2πfet)的正弦速度規(guī)律沿圖2 所示x方向運(yùn)動(dòng)。其中，液箱振幅A=2.5 mm，振動(dòng)頻率fe=0.545 Hz。t=60 s 時(shí)刻容器突然靜止，隨后液體在慣性力的作用下自由晃動(dòng)。

圖6 為容器內(nèi)液體晃動(dòng)穩(wěn)定后，距左側(cè)壁48、193、388 mm 處液面隨時(shí)間的變化曲線。從圖6可以看出，數(shù)值計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果吻合良好，液面呈周期性變化，且晃動(dòng)頻率基本接近于外界激勵(lì)頻率。

圖7 展示了一個(gè)晃動(dòng)周期內(nèi)不同時(shí)刻的液面演變過(guò)程?？梢钥闯鲈谠摷?lì)條件下，容器內(nèi)液體的晃動(dòng)幅度較小，液面以行進(jìn)波的形式進(jìn)行演變。隨著容器的振動(dòng)，液面峰值由最右側(cè)壁面位置處移動(dòng)到最左側(cè)，接著又回到右側(cè)。因此在一個(gè)晃動(dòng)周期內(nèi)，容器任何位置都會(huì)有液面波峰兩次經(jīng)過(guò)的情況，對(duì)應(yīng)圖6 中的液面變化曲線在一個(gè)周期內(nèi)應(yīng)該存在兩個(gè)峰值，其中圖6(c)最為明顯，圖6(b)隱約也有兩波峰出現(xiàn)，只是193 mm 處更靠近容器左側(cè)，液面峰值來(lái)回兩次經(jīng)過(guò)該處所需時(shí)間較短，且在該段時(shí)間內(nèi)即使液面波峰已經(jīng)移動(dòng)到左側(cè)壁處，由于距離很短（遠(yuǎn)小于液面波形的波長(zhǎng)），該處液面并不會(huì)達(dá)到波谷狀態(tài)，液面變化幅度很小，對(duì)應(yīng)于圖6(b)中液面曲線在該段時(shí)間內(nèi)幾乎是平的。同理，圖6(a)中，距左側(cè)壁48 mm 處雙峰值現(xiàn)象就更加不明顯，由于計(jì)算精度及圖片展示的關(guān)系，使得我們觀察到該處液面變化曲線似乎只有一個(gè)峰值。

圖6 晃動(dòng)穩(wěn)定后不同位置處液面變化曲線[20]

圖7 一個(gè)周期內(nèi)不同時(shí)刻的液面演變

圖8 為t=60 s 時(shí)刻容器突然靜止后，液體在容器內(nèi)晃動(dòng)的自由衰減過(guò)程。從圖8 可以看出：容器靜止后，液體在慣性的作用下繼續(xù)晃動(dòng)；隨著時(shí)間的增加，晃動(dòng)幅值逐漸減小，最后趨于穩(wěn)定。原因是受液體自身黏度及其與容器壁面之間的摩擦碰撞影響，液體晃動(dòng)的能量被逐漸耗散，晃動(dòng)幅度變小直至停止，而衰減頻率同樣接近于外界激勵(lì)頻率。

圖8 容器靜止后距左側(cè)壁48 mm 處液面變化

本文在計(jì)算過(guò)程中監(jiān)測(cè)液體晃動(dòng)對(duì)容器壁的沖擊壓力大小，如圖9 所示，設(shè)置D1、D2 兩處壓力監(jiān)測(cè)點(diǎn)，分別為容器底面中心點(diǎn)及最右側(cè)邊中點(diǎn)。圖10 為晃動(dòng)穩(wěn)定后，兩監(jiān)測(cè)點(diǎn)處的壓力變化曲線。從圖10 可以看出液體對(duì)容器底的沖擊壓力呈周期性變化，對(duì)于D1 點(diǎn)，在一個(gè)周期內(nèi)壓力值存在兩個(gè)峰值，原因是液面峰值兩次經(jīng)過(guò)容器中心，該處液位高，對(duì)容器底部的壓力就大；同理則D2 點(diǎn)壓力值在一個(gè)周期內(nèi)呈單峰值變化。

圖9 壓力監(jiān)測(cè)點(diǎn)設(shè)置

圖10 晃動(dòng)穩(wěn)定后監(jiān)測(cè)點(diǎn)處壓力變化曲線

圖11 為D1、D2 兩點(diǎn)壓力的時(shí)域變化經(jīng)FFT 變換后得到的頻譜圖。從圖11 可以看出，當(dāng)頻率為0.55 Hz 時(shí)，壓力幅值最大，即第一主頻為0.55 Hz，說(shuō)明在外界激勵(lì)頻率fe=0.545 Hz 時(shí)，容器內(nèi)液體晃動(dòng)頻率為0.55 Hz，二者非常接近，相對(duì)誤差僅為 ε=0.9%。圖11(a)中1.09 Hz 為諧波頻率，與第一主頻呈兩倍關(guān)系。

圖11 監(jiān)測(cè)點(diǎn)處壓力頻譜圖

3 液體晃動(dòng)仿真

3.1 不同激勵(lì)頻率下容器內(nèi)液體晃動(dòng)

對(duì)于本文所研究載液容器的晃動(dòng)，填充深度h=119 mm，運(yùn)動(dòng)方向上液箱的長(zhǎng)度L=966 mm，則載液容器一階固有頻率為0.566 Hz，顯然上面計(jì)算中所選振動(dòng)頻率fe=0.545 Hz 已接近固有頻率。為研究外界激勵(lì)頻率對(duì)液體晃動(dòng)特性的影響規(guī)律，本文嘗試改變激勵(lì)頻率大?。ǚ謩e選取fe=0.272、1.09 Hz），對(duì)液箱模型進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算，觀察液體的晃動(dòng)情況。

圖12、13 分別為不同頻率下液體晃動(dòng)過(guò)程中不同位置處液面變化對(duì)比及對(duì)容器底面沖擊壓力變化對(duì)比?？梢钥闯觯?dāng)外界激勵(lì)頻率（fe=0.272、1.09 Hz）遠(yuǎn)離載液容器的一階固有頻率（f=0.566 Hz）時(shí)，容器內(nèi)液體的晃動(dòng)幅度很小，自由液面僅在幾毫米范圍內(nèi)變化，液體對(duì)容器底部的沖擊壓力也幾乎為零，相比于外界激勵(lì)頻率fe=0.545 Hz 的情況，液體的晃動(dòng)相當(dāng)不明顯。由此可見，外界激勵(lì)頻率對(duì)液體晃動(dòng)特性的影響主要在于其接近載液容器固有頻率的程度。當(dāng)激勵(lì)頻率處于固有頻率的微小鄰域內(nèi)時(shí)，將會(huì)發(fā)生共振現(xiàn)象，此時(shí)很小的激勵(lì)幅值便可使容器內(nèi)液體產(chǎn)生較大的晃動(dòng)。

圖12 不同頻率下不同位置處液面變化對(duì)比

圖13 不同頻率下監(jiān)測(cè)點(diǎn)處壓力變化對(duì)比

圖14 為不同外界激勵(lì)頻率下各監(jiān)測(cè)點(diǎn)處的壓力頻譜圖。從圖14(a)(b)可以看出，當(dāng)外界激勵(lì)頻率為0.272 Hz 時(shí)，液體晃動(dòng)頻率為0.27 Hz，接近于激勵(lì)頻率。而觀察圖14(c)(d)可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)外界激勵(lì)頻率為1.09 Hz 時(shí)，第一主頻為0.546 Hz，僅為激勵(lì)頻率的一半。分析其原因應(yīng)該是，激勵(lì)頻率增大后，容器晃動(dòng)過(guò)快，箱內(nèi)液體的能量不足以支撐其跟隨容器以較快的頻率晃動(dòng)，導(dǎo)致容器振動(dòng)一個(gè)周期結(jié)束回到原處時(shí)，箱內(nèi)液體的晃動(dòng)剛進(jìn)行到一半，因此液體晃動(dòng)頻率僅為激勵(lì)頻率的一半。為驗(yàn)證該分析，本文提取出激勵(lì)頻率為1.09 Hz 時(shí)D1 點(diǎn)處的壓力變化曲線，如圖15 所示?？梢钥闯?，此時(shí)液體晃動(dòng)周期T=4.66–2.83=1.83 s，即晃動(dòng)頻率f=0.546 Hz，與FFT 分析結(jié)果一致。這說(shuō)明當(dāng)外界激勵(lì)頻率超過(guò)液體的固有頻率時(shí)，載液容器內(nèi)液體晃動(dòng)頻率不再接近于激勵(lì)頻率，而是會(huì)逐漸小于激勵(lì)頻率。

圖14 不同頻率下監(jiān)測(cè)點(diǎn)處壓力頻譜圖

圖15 fe=1.09 Hz 時(shí)D1 點(diǎn)壓力曲線

3.2 不同激勵(lì)幅值下容器內(nèi)液體晃動(dòng)

從以上結(jié)果可以看出，雖然外界激勵(lì)頻率在固有頻率附近，但液體晃動(dòng)幅度仍較小。本文嘗試增大外界激勵(lì)幅值（取液箱振幅A=25 mm），觀察載液容器內(nèi)液體的晃動(dòng)情況。圖16 展示了增大振幅后載液容器晃動(dòng)不同時(shí)刻的液面演變過(guò)程?？梢钥闯鲆后w晃動(dòng)幅度明顯增大，液面變化呈現(xiàn)組合波的形式，出現(xiàn)了翻轉(zhuǎn)、水躍等現(xiàn)象，此時(shí)共振現(xiàn)象更明顯。

圖16 增大振幅后不同時(shí)刻的液面演變

圖17 為不同振幅下容器內(nèi)不同位置處液面變化對(duì)比。從圖17 可以看出：振幅增大后，液面變化幅值增大，但晃動(dòng)頻率基本沒(méi)有改變；相比于A=2.5 mm 時(shí)的情況，曲線變化趨勢(shì)大致相同，但在某些時(shí)刻出現(xiàn)了小幅波動(dòng)，如圖17(a)中b–c 段所示。為分析其產(chǎn)生原因，在后處理過(guò)程中截取了容器Z方向中心截面處一個(gè)周期內(nèi)不同時(shí)刻的液面演變過(guò)程，如圖18 所示。從圖18 可以看出，左側(cè)壁附近液面在0.2T時(shí)刻達(dá)最高，之后液面逐漸降低（對(duì)應(yīng)圖17(a)中a–d 段），到0.9T時(shí)刻該處液面達(dá)最低。而在0.4T～0.6T時(shí)間段內(nèi)，液面出現(xiàn)上下浮動(dòng)的現(xiàn)象而非一直下降，此即為圖17 中的b–c 段曲線出現(xiàn)小幅波動(dòng)的原因。而該現(xiàn)象的產(chǎn)生應(yīng)該是因?yàn)橥饨缂?lì)振幅增大后，液面以組合波的形式變化，即駐波、行進(jìn)波和水躍等相互疊加的形式，因此即使在0.4T～0.6T時(shí)間段內(nèi)液面最高峰已經(jīng)移動(dòng)到容器右側(cè)位置，在左側(cè)壁附近仍然會(huì)出現(xiàn)較小的波峰，使得該處液面上下浮動(dòng)。圖17(b)中的e–f 段與圖17(c)中的g–h 段也是同樣的道理。

圖17 振幅增大后不同位置處液面變化對(duì)比

圖18 z 方向中間截面上液面演變過(guò)程

圖19 為不同振幅下D1、D2 兩監(jiān)測(cè)點(diǎn)處壓力值變化對(duì)比?？梢钥闯鐾饨缂?lì)振幅增大后，液體晃動(dòng)對(duì)容器底部的沖擊壓力也增大。這是因?yàn)橐后w晃動(dòng)幅度增大，液面幅值增高，而靜壓與液位高度線性相關(guān)。從圖17 也可以看出，振幅增大后，波峰處的液面高度增加，即液體堆積增多，對(duì)容器底部的壓力也就增大；波谷處液面高度降低，液體量減少，對(duì)容器底部的沖擊壓力減小。此外，從圖19 可以看出，壓力變化曲線也出現(xiàn)了小幅波動(dòng)的現(xiàn)象，經(jīng)分析可知該現(xiàn)象同樣是由該段時(shí)間內(nèi)液面的上下浮動(dòng)所引起。

圖19 振幅增大后監(jiān)測(cè)點(diǎn)處壓力變化對(duì)比

圖20 為振幅A=25 mm 時(shí)D1、D2 兩點(diǎn)處壓力頻譜圖?？梢钥闯?，外界激勵(lì)幅值增大后，液體晃動(dòng)變得劇烈，出現(xiàn)多個(gè)幅值較小的頻率，該頻率均為基頻的整數(shù)倍，即諧波頻率。此外，從圖20(b)可以看出，液體晃動(dòng)的頻率為0.542 Hz，與外界激勵(lì)頻率0.545 Hz 相差很小，即增大激勵(lì)幅值并未對(duì)晃動(dòng)頻率產(chǎn)生影響，說(shuō)明液體晃動(dòng)頻率與外部激勵(lì)幅值無(wú)關(guān)。

圖20 振幅增大后監(jiān)測(cè)點(diǎn)處壓力頻譜圖

4 結(jié)論

本文以矩形載液容器為研究對(duì)象，通過(guò)對(duì)周期性邊界激勵(lì)下容器晃動(dòng)過(guò)程進(jìn)行數(shù)值模擬，驗(yàn)證了數(shù)值計(jì)算方法的準(zhǔn)確性，分析了容器壁面受力及自由液面晃動(dòng)與外部激勵(lì)頻率、激勵(lì)幅值之間的變化關(guān)系，主要結(jié)論如下。

1）對(duì)靜止的載液容器施加周期性邊界激勵(lì)，液體會(huì)出現(xiàn)較為強(qiáng)烈的晃動(dòng)波，且晃動(dòng)同樣呈現(xiàn)周期性；撤掉外界激勵(lì)后，液體晃動(dòng)受阻尼作用影響逐漸衰減，而衰減頻率接近于外界激勵(lì)頻率。

2）液體晃動(dòng)頻率取決于外界激勵(lì)頻率，與激勵(lì)幅值無(wú)關(guān)。當(dāng)激勵(lì)頻率小于或處于液體固有頻率附近時(shí)，液體晃動(dòng)頻率接近于激勵(lì)頻率；當(dāng)激勵(lì)頻率超過(guò)液體固有頻率時(shí)，容器晃動(dòng)過(guò)快而液體能量不足，導(dǎo)致晃動(dòng)頻率減慢，小于外界激勵(lì)頻率。

3）同一激勵(lì)頻率下，液體晃動(dòng)幅度隨激勵(lì)幅值的增大而增大，液面也對(duì)應(yīng)呈現(xiàn)不同的波形。當(dāng)激勵(lì)幅值較小時(shí)液面呈現(xiàn)為行進(jìn)波，激勵(lì)幅值增大時(shí)，液面轉(zhuǎn)變?yōu)榻M合波的形式，伴隨著翻轉(zhuǎn)、水躍等現(xiàn)象。

4）當(dāng)激勵(lì)頻率接近于液體固有頻率時(shí)，共振發(fā)生，此時(shí)很小的激勵(lì)便可使容器內(nèi)液體產(chǎn)生較大的晃動(dòng)；而當(dāng)激勵(lì)頻率遠(yuǎn)離（遠(yuǎn)小于或大于）固有頻率時(shí)，即使外界激勵(lì)幅度很大，容器內(nèi)液體晃動(dòng)并不明顯，液面幾乎沒(méi)有變化。這說(shuō)明液體晃動(dòng)可以吸收振動(dòng)能量，達(dá)到減震的目的。該結(jié)論可用于液體阻尼器或減震器的研究中，對(duì)液體晃動(dòng)的抑制同樣具有參考意義。

本文闡明了外界激勵(lì)各因素對(duì)矩形載液容器晃動(dòng)的影響，可以為工程實(shí)際中一些近似周期性載荷激勵(lì)情況下，液體晃動(dòng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的預(yù)測(cè)提供有益參考，例如：海浪作用下船舶的周期性擺動(dòng)、地震波作用下地面儲(chǔ)液罐的晃動(dòng)等?；谠摂?shù)值方法可對(duì)三維復(fù)雜運(yùn)動(dòng)規(guī)律下液體晃動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值模擬研究。