基于雙觀測器的機器人自適應(yīng)摩擦補償控制

曾培江，劉 霞

（西華大學(xué)電氣與電子信息學(xué)院，四川 成都 610039）

隨著機器人技術(shù)的迅猛發(fā)展，機器人在多種領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。然而，作為一個具有多變量和強耦合特點的復(fù)雜非線性系統(tǒng)，機器人在運行過程中容易受到各種外部因素的影響，其中關(guān)節(jié)摩擦的存在會導(dǎo)致系統(tǒng)位置控制精度的下降，嚴(yán)重影響機器人的運行效率[1]。因此，在設(shè)計機器人控制算法時，考慮對關(guān)節(jié)摩擦的補償變得尤為重要。

為了降低關(guān)節(jié)摩擦對機器人的影響，學(xué)者們提出了基于觀測器的補償控制方法。文獻[2]針對柔性關(guān)節(jié)機器人中不確定重力和摩擦問題，提出一種基于擴展?fàn)顟B(tài)觀測器的控制方案。文獻[3]將下肢外骨骼機器人的建模不確定、摩擦力和外部干擾視為集中干擾，提出一種基于干擾觀測器的滑?？刂品桨?。文獻[4]針對異型曲面打磨機器人的摩擦和反作用力導(dǎo)致加工精度降低的問題，提出一種改進的非線性干擾觀測器對摩擦和反作用力進行估計和補償。文獻[5]將機器人的關(guān)節(jié)摩擦與施加在連桿上的外力視為外部干擾，提出一種非線性干擾觀測器，該方案可以在不測量加速度的情況下分別對摩擦力與外力進行估計，在降低摩擦與外力影響的同時也避免了測量噪聲。文獻[6]為消除柔性機器人電機側(cè)摩擦對系統(tǒng)的影響，提出一種基于干擾觀測器的比例微分控制器。文獻[7]將機器人中包含摩擦在內(nèi)的不確定動力學(xué)與未知干擾力矩視為集中干擾，并采用2 種滑模觀測器對該干擾進行處理。雖然文獻[2—7]針對機器人摩擦問題都提出了補償方案，但是所采用的方案都是將摩擦視為干擾，或者與系統(tǒng)其他問題糅合在一起，共同視為不確定動力學(xué)或外部干擾，再通過設(shè)計觀測器進行估計補償，這樣的補償方案模糊了摩擦與系統(tǒng)中其他問題的界限，沒有體現(xiàn)摩擦自身的特性。

與干擾和故障等機器人的其他問題不同，摩擦具有獨特的特性，摩擦的方向總是與運動方向相反。通常情況下，學(xué)者們可以采用已經(jīng)建立好的數(shù)學(xué)模型描述?；跀?shù)學(xué)模型的摩擦補償方案由于可以根據(jù)已知模型提前估算出摩擦力矩，與直接采用干擾觀測器進行補償?shù)姆桨赶啾龋嬎懔扛8]。然而，由于基于模型的摩擦補償方案依賴于已知摩擦模型的精確度，因此，一個精確的摩擦模型能顯著提高摩擦補償效果。學(xué)者們經(jīng)過不斷努力，提出了包含庫倫摩擦、庫倫+粘滯摩擦、靜摩擦+庫倫+粘滯摩擦、Stribeck 摩擦在內(nèi)的多種靜態(tài)模型和包含Dahl 摩擦、LuGre 摩擦在內(nèi)的多種動態(tài)模型[9]。其中，LuGre 動態(tài)模型通過微觀層面對摩擦現(xiàn)象進行描述，能夠全面精確地描述各種動態(tài)和靜態(tài)的摩擦特性，是一種比較完善的摩擦模型[10]。

由于LuGre 模型的優(yōu)越性，研究者將LuGre模型應(yīng)用于機器人的摩擦補償中。文獻[11]采用LuGre 模型對多關(guān)節(jié)機器人的摩擦問題進行描述，提出一種基于自適應(yīng)神經(jīng)補償器的摩擦補償方案，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計了魯棒滑?？刂破?。文獻[12]針對雙連桿機械臂存在高耦合、非線性和LuGre摩擦參數(shù)未知等問題，提出一種自適應(yīng)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器。文獻[13]提出一種將LuGre 摩擦模型與比姆神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(beam network)相結(jié)合的軟—固相互作用的接觸模型，用于機器人人機交互的控制，提高了控制效果。文獻[14]將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等智能控制方法與傳統(tǒng)滑?？刂破飨嘟Y(jié)合，用于處理包含LuGre 摩擦在內(nèi)的各種不確定，在實現(xiàn)消除抖振的同時又提高了控制精度。文獻[15]考慮非線性摩擦對精密伺服裝配臂的影響，提出一種改進遺傳算法對LuGre 模型進行識別，有效消除了摩擦的影響。然而，采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和遺傳算法這類智能控制方案來處理LuGre 摩擦問題，存在計算量較大、在實際應(yīng)用中難以實現(xiàn)的缺陷。

為了減少摩擦補償?shù)挠嬎懔浚瑢τ贚uGre 摩擦模型的未知狀態(tài)變量的問題，研究者提出了雙摩擦狀態(tài)觀測器的方案。文獻[16]針對單關(guān)節(jié)機器人摩擦導(dǎo)致運動控制性能下降的問題，提出基于雙摩擦狀態(tài)觀測器的LuGre 摩擦模型自適應(yīng)魯棒控制方案。文獻[17]考慮柔性關(guān)節(jié)機器人存在關(guān)節(jié)摩擦影響的問題，采用LuGre 摩擦模型，設(shè)計了雙摩擦狀態(tài)觀測器對無法直接測量的摩擦內(nèi)部狀態(tài)變量進行估計，進而實現(xiàn)對摩擦的補償。文獻[18]針對柔性關(guān)節(jié)機器人摩擦問題，基于LuGre 摩擦模型，提出了基于雙摩擦狀態(tài)觀測器自適應(yīng)摩擦補償方案。文獻[19]將LuGre 模型用于描述分布式拉格朗日系統(tǒng)的摩擦問題，提出一種基于雙摩擦狀態(tài)觀測器的估計及參數(shù)自適應(yīng)的補償控制方案。然而，文獻[16—19]都有一個共同之處，即：針對傳統(tǒng)LuGre 模型存在內(nèi)部狀態(tài)變量無法直接觀測的問題，設(shè)計了2 個觀測器來同時針對摩擦內(nèi)部狀態(tài)變量進行估計，這樣就使得摩擦補償?shù)慕Y(jié)構(gòu)非常復(fù)雜。

本文提出一種基于雙觀測器的機器人自適應(yīng)摩擦補償控制方法。首先設(shè)計終端滑模觀測器對機器人的速度進行估計，然后基于連續(xù)LuGre 模型，設(shè)計摩擦狀態(tài)觀測器和摩擦參數(shù)自適應(yīng)律，最后結(jié)合摩擦補償設(shè)計反演控制器，使機器人在受到關(guān)節(jié)摩擦影響的情況下能有效跟蹤期望位置軌跡。與文獻[16—19]需要同時設(shè)計2 個觀測器才能完成對摩擦內(nèi)部狀態(tài)的估計相比，本文方法采用改進傳統(tǒng)LuGre 模型后得到的連續(xù)LuGre 模型，只需要設(shè)計一個摩擦狀態(tài)觀測器即可實現(xiàn)對摩擦內(nèi)部狀態(tài)的估計，減少了計算量，提高了摩擦的補償效率。同時，另一個終端滑模觀測器則用來對機器人的速度進行估計，有效避免直接速度測量對系統(tǒng)引入的噪聲。除了考慮摩擦的內(nèi)部狀態(tài)，本文還考慮了摩擦參數(shù)未知的情況，設(shè)計了自適應(yīng)律對摩擦的參數(shù)進行估計。本文所提出的基于雙觀測器的自適應(yīng)摩擦補償控制方法能有效降低機器人位置跟蹤誤差，提高機器人的控制精度。

1 受摩擦影響的機器人數(shù)學(xué)模型

受關(guān)節(jié)摩擦影響的n自由度非線性機器人[20—24]的表達式為

對于各關(guān)節(jié)的摩擦力f，本文采用一種連續(xù)LuGre 模型進行描述。在未改變傳統(tǒng)LuGre 模型特性的前提下，連續(xù)LuGre 模型通過引入反正切函數(shù)使摩擦內(nèi)部狀態(tài)的動力學(xué)模型變得連續(xù)可導(dǎo)，為本文摩擦狀態(tài)觀測器的設(shè)計提供了便捷。連續(xù)LuGre 模型[21]可表示為

式中：σ0是摩擦的剛度系數(shù)；σ1是 阻尼系數(shù)；σ2是黏性摩擦系數(shù)；z是無法直接測量的摩擦內(nèi)部狀態(tài)變量，表示為

其中，F(xiàn)C為 庫侖摩擦力，F(xiàn)S為 靜摩擦力，vs為Stribeck 速度。

2 基于雙觀測器的自適應(yīng)摩擦補償控制方法

針對非線性機器人式（1）存在關(guān)節(jié)摩擦f式（2）的問題，本文所提基于雙觀測器的自適應(yīng)摩擦補償控制方案如圖1 所示。首先，為了避免機器人關(guān)節(jié)速度直接測量帶來的噪聲，設(shè)計終端滑模觀測器得到機器人關(guān)節(jié)速度的估計值；然后，針對關(guān)節(jié)摩擦問題，設(shè)計摩擦狀態(tài)觀測器與摩擦參數(shù)自適應(yīng)律，并把得到的摩擦狀態(tài)的估計值與摩擦參數(shù)的自適應(yīng)律(i=0,1,2)代入連續(xù)LuGre 模型中，得出摩擦的估計值；最后，根據(jù)摩擦估計值進一步設(shè)計反演控制器，并通過反演控制器計算得到控制力矩τ，完成對機器人的控制，使機器人在受到關(guān)節(jié)摩擦f影響的情況下依然可以對期望軌跡qd進行有效的跟蹤。

圖1 基于雙觀測器的自適應(yīng)摩擦補償控制框圖

2.1 機器人終端滑模觀測器設(shè)計

2.2 機器人基于摩擦估計的反演控制設(shè)計

對于機器人的摩擦問題，結(jié)合連續(xù)LuGre 模型，分別設(shè)計摩擦狀態(tài)觀測器與摩擦參數(shù)自適應(yīng)，實現(xiàn)對關(guān)節(jié)摩擦的估計。

定義機器人的位置誤差e1∈Rn×1，為

式中x1d∈Rn×1為機器人關(guān)節(jié)的期望位置。對式（26）求導(dǎo)，得速度誤差，為

結(jié)合所采用的摩擦模型式（2），摩擦估計可以表示為

式中：μ為待設(shè)計的正定摩擦狀態(tài)觀測器參數(shù)矩陣；ε=+λ1e1是與位置誤差和速度誤差相關(guān)的變量。

摩擦參數(shù)自適應(yīng)律設(shè)計為

由式（28）與式（2），摩擦估計誤差為

接下來設(shè)計反演控制器保證機器人的位置跟蹤效果，把二階機器人分解為2 個子系統(tǒng)，通過分別為2 個子系統(tǒng)設(shè)計Lyapunov 函數(shù)和中間虛擬控制量，完成機器人的反演控制器設(shè)計。

Step1，定義一個誤差e2∈Rn×1，為

式中 φ ∈Rn×1為虛擬控制量，定義為

對所定義的誤差e2式（33）求導(dǎo)

定義Lyapunov 函數(shù)

對式（36）求導(dǎo)，并把速度誤差式（27）與虛擬控制量式（34）代入，得

Step2，再定義一個Lyapunov 函數(shù)

對式（38）求導(dǎo)并將式（35）與式（37）代入，得

設(shè)計帶有摩擦估計的反演控制器，為

因此，通過基于摩擦狀態(tài)觀測器式（29）與摩擦參數(shù)自適應(yīng)式（31）的反演控制器式（40）設(shè)計，可以使得位置誤差e1、定義的誤差e2和摩擦狀態(tài)誤差漸進收斂，從而保證機器人具有全局意義下的漸進穩(wěn)定性。

將設(shè)計的虛擬控制量式（34）代入式（33），有

因為位置誤差e1和定義的誤差e2都能漸進收斂，所以速度誤差=x2?x2d也能漸進收斂。

3 仿真

為驗證本文的基于雙觀測器的摩擦自適應(yīng)補償控制方法的有效性，采用2 自由度剛性機器人進行MALTAB 仿真。機器人模型為

仿真中，將本文的基于雙觀測器的摩擦自適應(yīng)補償控制（本文方法）與傳統(tǒng)反演控制（對比方法）進行對比，2 種方案針對同一被控對象，被控對象具有同樣初始狀態(tài)，受到同等大小的關(guān)節(jié)摩擦影響。傳統(tǒng)反演控制器[20]為

在參數(shù)選擇方面，反演控制器、終端滑模觀測器、摩擦狀態(tài)觀測器及參數(shù)自適應(yīng)律的參數(shù)選擇為：λ1=5，λ2=10，a1=9，b1=7，a2=97，b2=95，ρ=0.001，γ=diag(0.001,0.000 1)，l=diag(1.5,3)，ζ=diag(0.000 1,0.005)，K0=diag(0.001,0.05)，K1=diag(0.25,1.2)，μ=diag(0.001,0.001)，a0=diag(1 000,1 200)，a1=diag(900,1 000)，a2=diag(1 200,1 000)。

其仿真結(jié)果如圖2—5 所示。

由圖2 可以看出：當(dāng)機器人受關(guān)節(jié)摩擦影響時，采用傳統(tǒng)反演控制方法，機器人關(guān)節(jié)1 和關(guān)節(jié)2 無法很好地跟蹤期望軌跡；采用基于雙觀測器的摩擦自適應(yīng)補償控制方法，機器人關(guān)節(jié)1 和關(guān)節(jié)2 都能有效跟蹤期望軌跡。由圖3 可以看出：在關(guān)節(jié)摩擦的影響下，采用傳統(tǒng)反演控制，機器人關(guān)節(jié)1 和關(guān)節(jié)2 始終存在較大的位置誤差，跟蹤效果較差；采用本文的基于雙觀測器的摩擦自適應(yīng)補償控制方案，關(guān)節(jié)1 和關(guān)節(jié)2 的位置誤差更小且收斂速度較快。

圖2 本文方法和對比方法的機器人關(guān)節(jié)的軌跡跟蹤效果

圖3 本文方法和對比方法的機器人關(guān)節(jié)的軌跡跟蹤誤差

圖4 為關(guān)節(jié)1 和關(guān)節(jié)2 的速度估計?？梢钥闯觯捎帽疚脑O(shè)計的終端滑模觀測器，機器人關(guān)節(jié)速度的估計值能有效跟蹤實際速度值，且估計誤差能收斂到0。從圖5 可以看出，采用本文的基于雙觀測器的摩擦自適應(yīng)補償控制方法對關(guān)節(jié)1 和關(guān)節(jié)2 都有較好的摩擦估計效果，且摩擦估計誤差能在很短的時間內(nèi)收斂到0。

圖4 機器人關(guān)節(jié)1 和關(guān)節(jié)2 的實際速度、速度估計值與速度估計誤差

圖5 機器人關(guān)節(jié)1 和關(guān)節(jié)2 的實際摩擦、摩擦估計值與摩擦估計誤差

為了進一步分析本文提出的基于雙觀測器的摩擦自適應(yīng)補償控制方法的效果，對系統(tǒng)運行一段時間達到穩(wěn)定狀態(tài)之后的估計誤差的范圍、極差(誤差最大值?誤差最小值)這2 個指標(biāo)進行定量分析，其結(jié)果如表1—3 所示。

表1 基于雙觀測器的摩擦自適應(yīng)補償控制的速度估計效果分析

表 2 基于雙觀測器的摩擦自適應(yīng)補償控制的摩擦估計效果分析

表 3 傳統(tǒng)反演控制與基于雙觀測器的摩擦自適應(yīng)補償控制的位置跟蹤性能定量比較

從表1—3 可以看出，與傳統(tǒng)反演控制方案相比，采用本文的基于雙觀測器的摩擦自適應(yīng)補償控制方法能有效對機器人速度量進行估計，并有效估計關(guān)節(jié)摩擦，機器人位置跟蹤誤差也更小，控制精度更高。

4 結(jié)論

本文針對機器人系統(tǒng)中關(guān)節(jié)摩擦的問題，提出一種基于雙觀測器的摩擦自適應(yīng)補償控制方法。首先設(shè)計終端滑模觀測器對機器人的速度進行估計，然后為了實現(xiàn)摩擦補償，基于連續(xù)LuGre 摩擦模型，設(shè)計了摩擦狀態(tài)觀測器與摩擦參數(shù)自適應(yīng)律，最后結(jié)合摩擦估計設(shè)計反演控制器，使機器人在關(guān)節(jié)摩擦影響的情況下能有效跟蹤期望位置軌跡。該方法能有效對機器人速度量進行估計，避免速度直接測量產(chǎn)生的噪聲，且能有效估計補償關(guān)節(jié)摩擦，降低機器人位置跟蹤誤差，提高系統(tǒng)控制精度。在下一步工作中研究更為復(fù)雜的柔性機器人中的摩擦補償問題，同時將對所提控制方案進行物理實驗驗證。