含廣義k-Horadam 序列的RFPrLrR 循環(huán)矩陣的行列式

雷 林，何承源，邱 濤，李笑麗

（西華大學(xué)理學(xué)院，四川 成都 610039）

矩陣及其行列式在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域占有重要地位[1]，如空間向量[2]、求解線性方程組[3]、曲線的旋轉(zhuǎn)變換[4]、控制理論[5]等問題都可轉(zhuǎn)化為矩陣或行列式的問題。其中，循環(huán)矩陣因其良好的性質(zhì)和特殊的結(jié)構(gòu)成為近年來諸多學(xué)者積極關(guān)注和研究的課題之一。循環(huán)矩陣廣泛的應(yīng)用于應(yīng)用數(shù)學(xué)、現(xiàn)代科技工程和物理等領(lǐng)域，尤其在編碼理論、圖像處理、求解微分方程、通信工程等方面取得了較好的成果。例如，Tanner 等[6]提出了基于循環(huán)矩陣的LDPC 塊和卷積碼。Sebastain 等[7]解決了隨機(jī)循環(huán)圖的布局問題。Liu 等[8]利用矩陣分解和循環(huán)矩陣的公式求解偏微分方程。在文獻(xiàn)[9?11] 中，作者對(duì)基于循環(huán)矩陣安全性的壓縮感知(CS)框架進(jìn)行了擴(kuò)展。

由于循環(huán)矩陣的重要應(yīng)用，一些學(xué)者不斷提出新的循環(huán)矩陣，并對(duì)其理論性質(zhì)，行列式、范數(shù)、逆、廣義逆、循環(huán)線性系統(tǒng)等問題進(jìn)行研究且取得了較好的成果。如，Zheng 等[12?13]研究了求解循環(huán)矩陣逆的一個(gè)快速GPU 算法。He 等[14]給出了6 種判別H-循環(huán)矩陣的方法，并討論了這類循環(huán)矩陣的非奇異性和對(duì)角化。Jiang 等[15]給出了含有Perrin、Padovan、Tribonacci 和廣義Lucas 數(shù)列的RFMLR循環(huán)矩陣行列式的精確表達(dá)式。Bozkurt 等[16]給出了一些和數(shù)字序列相關(guān)的r-循環(huán)矩陣的行列式與逆。在文獻(xiàn)[17]中，作者對(duì)含F(xiàn)ibonacci、Lucas、Pell 和Pell-Lucas 數(shù)列的RFPrLrR和RLPrFrL循環(huán)矩陣的行列式進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[18]得到了一些含有三階序列的RSFPLR和RSLPFL循環(huán)矩陣的行列式。師白娟[19]討論了帶有廣義Fibonacci 多項(xiàng)式的循環(huán)矩陣的行列式?？紤]到二階多項(xiàng)式和遞推序列的多樣性，本文主要針對(duì)RFPrLrR和RLPrFrL循環(huán)矩陣，利用循環(huán)矩陣及特殊序列的結(jié)構(gòu)性質(zhì)和多項(xiàng)式因式分解的逆變換，給出了含廣義k-Horadam 序列的這兩類矩陣的行列式。由于廣義k-Horadam 序列形式的一般性，本文得到的結(jié)論將包含所有帶有常見二階遞推序列或多項(xiàng)式的RFPrLrR和RLPrFrL循環(huán)矩陣的行列式，如文獻(xiàn)[17]中含F(xiàn)ibonacci、Lucas、Pell 和Pell-Lucas 數(shù)列的RFPrLrR和RLPrFrL循環(huán)矩陣的行列式。

為方便起見，本文僅研究復(fù)數(shù)域上的方陣，并規(guī)定 R、In、d etA分別表示實(shí)數(shù)域、n階單位矩陣、A的 行列式。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[17]若n×n矩陣具有形式

則A為RFPrLrR循環(huán)矩陣，表示為A=RFPrLRcircr fr(a0,a1,···,an?1)。

定義2[17]設(shè) π為基本RFPrLrR循環(huán)矩陣，則 π有下列形式

g(x)=xn?rx?r為 π 的特征多項(xiàng)式，在復(fù)數(shù)域上有n個(gè)不同的根，定義為ωj(j=0,1,···,n?1)。此外，π滿足πn=rIn+π，并規(guī)定π0=In。

若RFPrLrR循環(huán)矩陣A=RFPrLRcircr fr(a0,a1,···,an?1)，則A可 表示為

其中f(x)=是A的表示多項(xiàng)式。

定義3[17]若n×n矩陣具有形式

其中n是任意正整數(shù)，且f2(k)+4g(k)>0。

廣義k-Horadam 序列是常見二階遞推序列或多項(xiàng)式的一般形式。如，當(dāng)f(k)=k,g(k)=1,p=0,q=1時(shí)，我們得到k-Fibonacci 序列 {Fk,n} ；當(dāng)f(k)=g(k)=1,p=2,q=1時(shí)，我們得到Lucas 數(shù)列 {Ln} ；當(dāng)f(k)=2,g(k)=1,p=0,q=1時(shí)，我們可以得到Pell 數(shù)列 {Pn}；當(dāng)f(k)=2,g(k)=1,p=2,q=2時(shí)，得到Pell-Lucas 數(shù)列{Qn}；當(dāng)f(k)=1,g(k)=2,p=0,q=1時(shí)，得到Jacobsthal 數(shù)列 {Jn} ;當(dāng)f(k)=2x,g(k)=?1,p=1,q=x時(shí)，得到第一類Chebyshev 多項(xiàng)式 {Tn(x)}。因此對(duì)等式(4)中的f(k),g(k),p,q取適當(dāng)?shù)闹?，就可得到常見的二階遞推序列或多項(xiàng)式。

{Hk,n}的Binet 公式為

其中X=q?pβ，Y=q?pα 且α,β=是特征多項(xiàng)式x2?f(k)x?g(k)=0的兩個(gè)不同的根。

2 主要結(jié)論

定理1設(shè)C=RFPrLRcircr fr(Hk,0,Hk,1,···,Hk,n?1)，則

3 數(shù)值例子

例：設(shè)4 階RFPrLrR循環(huán)矩陣F=RFPLRcirc1fr(0,1,1,2)，求矩陣F的行列式。

解:由F=RFPLRcirc1fr(0,1,1,2)，可知該循環(huán)矩陣的第一行元素滿足Fibonacci 數(shù)列 {Fn}。設(shè)F=RFPLRcirc1fr(F0,F1,F2,F3)，則由推論3，當(dāng)k=1 時(shí)有