整合教材，變式練習(xí)

汪健

摘要：數(shù)學(xué)教學(xué)中，習(xí)題課（或復(fù)習(xí)課）的主要目標(biāo)是促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和應(yīng)用，提高學(xué)生分析、解決問題的能力。作為中國數(shù)學(xué)教育傳統(tǒng)與特色，變式練習(xí)能很好地實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)?？紤]到教材例題和習(xí)題的經(jīng)典性，以及目前我國教材“一綱多本”的現(xiàn)狀，可以整合選取多個(gè)版本教材中的例題和習(xí)題，并將它們精心組織成一系列變式練習(xí)，供教學(xué)使用?；谶@一思路，設(shè)計(jì)了一節(jié)“圓的有關(guān)性質(zhì)”習(xí)題課：以圓內(nèi)接四邊形問題為基本問題，通過將邊的關(guān)系、邊和對(duì)角線的關(guān)系、對(duì)角線的關(guān)系特殊化，引出一系列變式練習(xí)。

關(guān)鍵詞：整合教材;變式練習(xí);習(xí)題課;圓的有關(guān)性質(zhì)

一、教前思考

習(xí)題課（或復(fù)習(xí)課）是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要課型。其主要目標(biāo)是促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和應(yīng)用，提高學(xué)生分析、解決問題的能力。

怎樣實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)？變式練習(xí)是中國數(shù)學(xué)教育傳統(tǒng)與特色，是對(duì)“題海戰(zhàn)術(shù)”的超越，能很好地減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，提高教學(xué)效率。所謂“變式”，是指教師有目的、有計(jì)劃地對(duì)概念、命題或習(xí)題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，比如變換非本質(zhì)特征、置換等價(jià)內(nèi)容、轉(zhuǎn)換表征方式、改變條件和結(jié)論、改變所處情境等。變式練習(xí)的主要教學(xué)含義是在習(xí)題教學(xué)過程中，基于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”搭建適當(dāng)?shù)摹澳_手架”，通過從舊到新、由淺入深地創(chuàng)設(shè)并推進(jìn)聯(lián)系、變化的問題情境，使學(xué)生分步解決問題，持續(xù)經(jīng)歷探究，體驗(yàn)思維方法，克服思維定式，不斷鞏固、遷移已有認(rèn)知，整合、擴(kuò)充認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而提升學(xué)習(xí)興趣和信心，感悟、提煉“不斷化歸”的解題思想和“變中不變”的數(shù)學(xué)本質(zhì)，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)解題與探究。

那么，如何選取基本問題，并對(duì)其進(jìn)行發(fā)散變式？筆者認(rèn)為，首先應(yīng)該考慮教材中的例題和習(xí)題，因?yàn)閷＜揖木幾捏w現(xiàn)國家意志的教材所選例題和習(xí)題通常都比較經(jīng)典。其次，考慮到目前我國教材“一綱多本”的現(xiàn)狀以及單本教材篇幅容量的限制，可以整合選取多個(gè)版本教材中的例題和習(xí)題。由于不同版本教材中知識(shí)內(nèi)容的單一性以及例題和習(xí)題的多樣性，所選題目往往會(huì)有相同或相似的地方和豐富的內(nèi)在聯(lián)系，因而，教師可以將它們精心組織成一系列變式練習(xí)（可適當(dāng)增添鋪墊和延伸練習(xí)），供教學(xué)使用——這是一種具有創(chuàng)造性的“用教材教”。

最近，筆者便基于這一思路，設(shè)計(jì)了一節(jié)“圓的有關(guān)性質(zhì)”習(xí)題課，引導(dǎo)學(xué)生綜合運(yùn)用“等對(duì)等”定理、垂徑定理及其推論、圓周角定理及其推論、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)等圓的有關(guān)性質(zhì)解決一系列變式練習(xí)，在實(shí)施中取得了較好的效果。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）基本問題

例題如圖1，四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)E。

（1）寫出圖中相等的圓周角;

（2）寫出圖中相似的三角形。

本題第（1）問是人教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第88頁第2題，也是蘇科版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第60頁第1題;第（2）問是筆者追加的問題。本題是圓內(nèi)接四邊形問題，在圓的有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用中，這類問題的綜合度比較高，可能的變化比較多。本題的條件比較少，也具有一般性，可以作為基本問題引發(fā)后續(xù)變化。設(shè)問比較開放，也比較簡單：顯然，對(duì)于第（1）問，由圓周角定理有∠1=∠4，∠2=∠7，∠3=∠6，∠5=∠8;對(duì)于第（2）問，由對(duì)應(yīng)角相等有△ABE∽△DCE，△ADE∽△BCE。解決后，學(xué)生可以對(duì)圓內(nèi)接四邊形的基本圖形和有關(guān)性質(zhì)有比較全面、深入的認(rèn)識(shí)。

（二）變式問題

1.將邊的關(guān)系特殊化并增加條件。

變式1如圖2，BC=CD（△BCD是等腰三角形）。

（1）你能得到哪些角相等？哪些三角形相似？

（2）如圖3，若點(diǎn)I是△ABD的內(nèi)心，求證：點(diǎn)C是△IBD的外心;

（3）利用圖2中的相關(guān)結(jié)論，請(qǐng)你編制一些題目給同伴練習(xí)。（課后完成）

本題第（1）問是浙教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第92頁的“想一想”;第（2）問是人教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第124頁第13題，也是蘇科版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第74頁第10題;第（3）問則是筆者追加的問題。本題將例題中四邊形兩條鄰邊的關(guān)系特殊化為相等，這樣，顯然會(huì)增加相等的角，進(jìn)而增加相似的三角形：由“等對(duì)等”定理有∠CDB=∠CBD=∠1=∠2（AC平分∠BAD）;進(jìn)而有△ABE∽△DCE∽△ACD，△ADE∽△BCE∽△ACB。由此，學(xué)生感受到基本問題的變化。第（2）問增加三角形內(nèi)心的條件，證明有一定的難度，需要利用第（1）問的結(jié)論：因?yàn)锳C平分∠BAD，所以△ABD的內(nèi)心I在AC上;要證C是△IBD的外心，只要證CB=CI，或者證CD=CI;因?yàn)镮是△ABD的內(nèi)心，所以∠ABI=∠IBE;不難發(fā)現(xiàn)∠CBI=∠CBE+∠IBE =∠2+∠ABI =∠1+∠ABI =∠CIB，所以CB=CI。由此，學(xué)生感受到變化帶來的挑戰(zhàn)以及鋪墊所起的作用。第（3）問引導(dǎo)學(xué)生更加全面、深入地探索第（1）問圖形的有關(guān)性質(zhì)，幫助學(xué)生積累更多的解題模型（有關(guān)結(jié)論可以作為思維固著點(diǎn)，提升學(xué)生的解題效率）。學(xué)生可發(fā)現(xiàn)很多利用三角形相似得到的線段比例或乘積關(guān)系;若深入探究，還可能發(fā)現(xiàn)更復(fù)雜的關(guān)系（如BC·CD-BE·ED=EC2等）。

變式2如下頁圖4，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是正方形A1B1C1O的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長相等。

（1）證明：無論正方形A1B1C1O繞點(diǎn)O怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，都有OE=OF;

（2）證明：無論正方形A1B1C1O繞點(diǎn)O怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，都有BE+BF=2BO;

（3）當(dāng)正方形A1B1C1O繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積是否發(fā)生變化？

（4）如圖5，∠ABC=2α，∠EOF=180°-2α，BO平分∠ABC，那么BE、BF與BO之間的數(shù)量關(guān)系是什么？

本題第（1）、第（2）問是筆者鋪墊的問題;第（3）問是人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第63頁（《平行四邊形》一章）“實(shí)驗(yàn)與探究”中的問題;第（4）問則是筆者追加的問題。本題隱去了四邊形的外接圓，因而具有迷惑性，實(shí)質(zhì)上還是將例題中圓內(nèi)接四邊形兩條鄰邊的關(guān)系特殊化為相等（前三問還將四邊形的一組對(duì)角特殊化為兩個(gè)直角，最后一問則將這組對(duì)角恢復(fù)一般化了）。對(duì)于第（1）問，學(xué)生只要發(fā)現(xiàn)四邊形OEBF是圓內(nèi)接四邊形，便很容易由BO平分∠EBF得到OE=OF，從而回到變式1的基本圖形中。第（2）問的證明稍有一些難度，需要由角平分線BO上的點(diǎn)O想到作兩邊BE、BF的垂線段OM、ON，由OM=ON及第（1）問得到的OE=OF，得到Rt△OME≌Rt△ONF，進(jìn)而得到BE+BF=BM+BN=2BM=2BO。有了前兩問的鋪墊，第（3）問很容易解決。而有了第（2）問的鋪墊，第（4）問的解決也就有了思路：過點(diǎn)O作BE、BF的垂線段OM、ON，可得Rt△OME≌Rt△ONF，最終可得BE+BF=2cos α·BO。

2.將邊和對(duì)角線的關(guān)系特殊化并增加條件。

變式3如圖6，AC=CD（△ACD是等腰三角形），延長CB和DA，交于點(diǎn)E。

（1）你能得到哪些角相等？哪些三角形相似？

（2）利用圖6中的相關(guān)結(jié)論，請(qǐng)你編制一些題目給同伴練習(xí)。（課后完成）

本題第（1）問是滬教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)拓展Ⅱ第57頁例3，也是浙教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第112頁第15題;第（2）問是筆者追加的問題。本題將例題中四邊形一條邊和一條對(duì)角線的關(guān)系特殊化為相等，并引入圓內(nèi)接四邊形的外角，這樣，顯然會(huì)增加相等的角，進(jìn)而增加相似的三角形：由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)有∠ABE=∠ADC=∠DAC=∠DBC，∠BAE=∠BCD;進(jìn)而有△ABE∽△CDE∽△CBD。由此，學(xué)生又感受到基本問題的變化。同樣地，第（2）問引導(dǎo)學(xué)生更加全面、深入地探索第（1）問圖形的有關(guān)性質(zhì)，幫助學(xué)生積累更多的解題模型。

變式4如圖7，AB=BD=DA（△ABD是等邊三角形），求證：CB+CD=CA。

本題是人教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第90頁第14題。本題將例題中四邊形兩條鄰邊和一條對(duì)角線的關(guān)系特殊化為相等，這樣，可以得到一個(gè)很特殊的線段長度關(guān)系。本題的證明有一定的難度，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從解決這類問題的基本思路入手，得到兩種證法：（1）在AC上截取CB或CD，如在AC上截取CF=CB，連接BF，易得△BCF是等邊三角形，可證△ABF≌△DBC，從而得到AF=CD;（2）拼接CB和CD，如延長CD至F，使得DF=CB，連接AF，可證△ABC≌△ADF，可得△ACF為等邊三角形，從而得到AC=CF。

3.將對(duì)角線的關(guān)系特殊化并增加條件。

變式5如圖8，AC⊥BD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E的直線分別交AD、BC于M、H。

（1）求證：若AM=MD，則EH⊥BC;若EH⊥BC，則AM=MD;

（2）如圖9，若OF⊥BC（O為圓心），則OF與AD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？

（3）利用圖8中的相關(guān)結(jié)論，請(qǐng)你編制一些題目給同伴練習(xí)。（課后完成）

本題第（1）問是筆者鋪墊的問題;第（2）問是蘇科版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第94頁第19題;第（3）問則是筆者追加的問題。本題將例題中四邊形兩條對(duì)角線的關(guān)系特殊化為垂直，這樣，顯然會(huì)得到四個(gè)直角三角形，進(jìn)而可借助直角三角形斜邊上中線和高的特殊性質(zhì)得到有意思的結(jié)論（命制習(xí)題）：第（1）問本質(zhì)上就是假設(shè)EM、EH分別為Rt△ADE和Rt△BCE斜邊上的中線和高，證明它們共線;由中線和高的性質(zhì)易得∠EAM=∠AEM，∠EBH=∠CEH;由圓周角定理不難得到∠EAM=∠EBH，所以∠AEM=∠CEH，得證。由此，學(xué)生感受到基本問題的變化以及直角三角形的特殊性質(zhì)。第（2）問增加垂直于弦的直徑這一條件，求解有一定的難度，需要利用垂徑定理以及第（1）問的結(jié)論：顯然OF垂直平分BC，想到再作OM垂直平分AD;連接EM、EF，由第（1）問的結(jié)論可得EM⊥BC，EF⊥AD，所以O(shè)F∥EM，OM∥EF，所以四邊形OMEF是平行四邊形，所以O(shè)F=EM=12AD。由此，學(xué)生又感受到變化帶來的挑戰(zhàn)以及鋪墊所起的作用。同樣地，第（3）問引導(dǎo)學(xué)生更加全面、深入地探索第（1）問圖形的有關(guān)性質(zhì)，幫助學(xué)生積累更多的解題模型。

變式6如圖10，AC平分BD（即EB=ED），求證：AB·BC=AD·DC。

本題是筆者設(shè)計(jì)的問題：將例題中四邊形兩條對(duì)角線的關(guān)系特殊化為一條平分另一條（相互平分時(shí)是矩形，太特殊，會(huì)使所設(shè)計(jì)的問題過于簡單）。這樣，利用三角形相似得到的線段比例或乘積關(guān)系就多了一些聯(lián)系。因此，本題的證明不是很難：利用△ABE∽△DCE，△ADE∽△BCE，得到ABDC=AEDE，ADBC=AEBE;再利用EB=ED，即可得證。同樣，讓學(xué)生感受到基本問題的變化以及基本結(jié)論的作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]張奠宙，于波.數(shù)學(xué)教育的“中國道路”[M].上海：上海教育出版社，2013.

[2]馬復(fù)，凌曉牧.新版課程標(biāo)準(zhǔn)解析與教學(xué)指導(dǎo)·初中數(shù)學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[3] 徐彥輝.模式觀下數(shù)學(xué)探究的理論與實(shí)踐——以一道平面幾何題的解答與推廣為例＼[J＼].教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2019（2）.

本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度課題“基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提升的初中數(shù)學(xué)整合式教學(xué)研究”（編號(hào)：Bb/2020/02/111）的階段性研究成果。