一道教材習(xí)題演變，讓課堂更自然

羅秀麗

摘 要：七年級(jí)學(xué)生對(duì)于用二元一次方程組和一元一次不等式組解決實(shí)際問(wèn)題，感到困難，因此，教師要精心選擇和安排習(xí)題，讓題目的過(guò)度自然，學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)思維自然順暢，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性得到提高，學(xué)習(xí)能力得到升華。

關(guān)鍵詞：二元一次方程組;一元一次不等式組;實(shí)際問(wèn)題

一、教材習(xí)題

人教版教材七年級(jí)下冊(cè)第八章復(fù)習(xí)題8第112頁(yè)，拓廣探索習(xí)題中的第10題，題目如下：某公司有A型、B型、C型三種型號(hào)的電腦，其中A型每臺(tái)6000元，B型每臺(tái)4000元，C型每臺(tái)2500元。某中學(xué)現(xiàn)有資金100500元，計(jì)劃全部用于從這家電腦公司購(gòu)進(jìn)36臺(tái)兩種型號(hào)的電腦。請(qǐng)你設(shè)計(jì)幾種不同的購(gòu)買方案供這個(gè)學(xué)校選擇，并說(shuō)明理由。

這道題目給了三種型號(hào)電腦，但是題目要求買兩種型號(hào)的，學(xué)生不知道去怎么選擇，我們不妨先把此題目進(jìn)行分解，讓學(xué)生根據(jù)教師設(shè)計(jì)的題目，一步一個(gè)臺(tái)階，學(xué)生的思維會(huì)更加自然順暢，學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題，解決問(wèn)題的過(guò)程中更容易獲得成就感。

二、題目分解和解析

熱身一：某公司有A型、C型兩種型號(hào)的電腦，其中A型每臺(tái)6000元，C型每臺(tái)2500元.某中學(xué)現(xiàn)有資金100500元，計(jì)劃全部用于從這家電腦公司購(gòu)進(jìn)36臺(tái)這兩種型號(hào)的電腦，請(qǐng)問(wèn)可夠買A型、C型的電腦各多少臺(tái)？

分析：設(shè)A型購(gòu)買x臺(tái)，C型的購(gòu)買y臺(tái)，

答：A型購(gòu)買3臺(tái)，C型的購(gòu)買33臺(tái)。

這道題目給出了兩種型號(hào)，大部分學(xué)生能獨(dú)立解決此問(wèn)題，因此，他們會(huì)覺(jué)得通過(guò)建立二元一次方程組模型解決實(shí)際問(wèn)題可以獨(dú)立完成，學(xué)生獲得成就感，增強(qiáng)了自信心，學(xué)生的積極性最大限度的調(diào)動(dòng)起來(lái)。

熱身一變一變：某公司有A型、C型兩種型號(hào)的電腦，其中A型每臺(tái)6000元，C型每臺(tái)2500元。某中學(xué)計(jì)劃從這家電腦公司購(gòu)進(jìn)36臺(tái)這兩種型號(hào)的電腦，總費(fèi)用不超過(guò)100500元，你設(shè)計(jì)幾種不同的方案供這個(gè)學(xué)校選擇，并說(shuō)明理由。

分析：此題目與上一題目的區(qū)別是把“全部用于”改為“總費(fèi)用不超過(guò)”，因此，此題需要建立一元一次不等式模型。

設(shè)A型購(gòu)買x臺(tái)，C型的購(gòu)買（36-x）臺(tái)，

解：設(shè)A型購(gòu)買x臺(tái)，則C型的購(gòu)買（36-x）臺(tái)，

6000x+2500（36-x）≤100500，

解這個(gè)不等式得：x≤3.

因?yàn)閤為正整數(shù)，所以有三種方案，即：方案1：A型3臺(tái)，C型33臺(tái);方案2：A型2臺(tái)，C型34臺(tái);方案3：A型1臺(tái)，C型35臺(tái)。

這道題目對(duì)在上一題的基礎(chǔ)上進(jìn)行了簡(jiǎn)單的變式，學(xué)生通過(guò)變式可以體會(huì)出題目之間的聯(lián)系和區(qū)別，同時(shí)也可以懂得在什么情況下建立二用一次方程組模型解決實(shí)際問(wèn)題，在什么情況下建立一元一次不等式模型解決實(shí)際問(wèn)題。

三、教材習(xí)題解析

某公司有A型、B型、C型三種型號(hào)的電腦，其中A型每臺(tái)6000元，B型每臺(tái)4000元，C型每臺(tái)2500元。某中學(xué)現(xiàn)有資金100500元，計(jì)劃全部用于從這家電腦公司購(gòu)進(jìn)36臺(tái)兩種型號(hào)的電腦。你設(shè)計(jì)幾種不同的購(gòu)買方案供這個(gè)學(xué)校選擇，并說(shuō)明理由。

分析：

問(wèn)題一：對(duì)比熱身一，此題目給了幾種型號(hào)的電腦？需要幾型號(hào)的電腦？有那幾種選擇？

問(wèn)題二：每一種選擇都可能嗎？如何判斷？

問(wèn)題三：對(duì)于可能的方案，通過(guò)建立什么模型來(lái)解決？

對(duì)于問(wèn)題一，學(xué)生通過(guò)分析和小組討論，可以得出有三種選擇，分別是：方案一：A型和B型;方案二：A型和C型;方案三：B型和C型。對(duì)于問(wèn)題二，通過(guò)小組討論，部分學(xué)生從看資金的總數(shù)100500元，尾數(shù)為500，而A型和B型的單價(jià)都是整千的，只有C型的單價(jià)的尾數(shù)500，因此在選擇的方案中必須有C型次可以，所以只有方案二和放散三有可能。也有部分學(xué)生說(shuō)可以看平均數(shù)100500÷36≈2792，也即是用100500元買36臺(tái)電腦，平均每臺(tái)的價(jià)格約是2792元，方案一，A型的單價(jià)是6000元，B型的單價(jià)是4000元，買這兩種的平均單價(jià)在4000元到6000元之間，而2792不在4000～6000之間，因此方案一不可能，同理可知，方案二和方案三有可能。

解：若按照方案二購(gòu)買：設(shè)購(gòu)進(jìn)A型電腦x臺(tái)，C型電腦y臺(tái)，

，

解這個(gè)方程組得：.

若按照方案三購(gòu)買：設(shè)購(gòu)進(jìn)B型電腦 m臺(tái)，C型電腦n臺(tái)，

，

解這個(gè)方程組得：.

答：有兩種購(gòu)買方案，分別是：購(gòu)進(jìn)A型3臺(tái)，B型33臺(tái);購(gòu)進(jìn)B型7臺(tái)，C型29臺(tái)。

此題是實(shí)際問(wèn)題中的方案問(wèn)題，對(duì)于此類題目，學(xué)生有困難，如果把此題直接呈現(xiàn)給學(xué)生，很多學(xué)生會(huì)無(wú)從下手，導(dǎo)致學(xué)生害怕此類問(wèn)題，不愿意動(dòng)手去做。有前面的熱身作為鋪墊，學(xué)生會(huì)順著前面題目的思路，引發(fā)更深層次的思考，再結(jié)合小組討論交流，問(wèn)題就可以用迎刃而解了。

根據(jù)《新課程標(biāo)準(zhǔn)2012》數(shù)學(xué)要重視建立學(xué)生的數(shù)感，數(shù)感對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)非常重要，在平時(shí)的教學(xué)中要幫助學(xué)生建立數(shù)感。在對(duì)問(wèn)題二的思考和討論的過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)對(duì)各個(gè)數(shù)據(jù)的分析，在此過(guò)程中也建立了學(xué)生的數(shù)感。

四、教材習(xí)題再變式

某公司有A型、B型、C型三種型號(hào)的電腦，其中A型每臺(tái)6000元，B型每臺(tái)4000元，C型每臺(tái)2500元。某中學(xué)從這家電腦公司購(gòu)進(jìn)36臺(tái)兩種型號(hào)的電腦，總費(fèi)用不超過(guò)100500元，請(qǐng)你設(shè)計(jì)幾種不同的購(gòu)買方案供這個(gè)學(xué)校選擇，并說(shuō)明理由。

分析：此題目與上一題目的區(qū)別在于，把“資金100500元全部用于”改為“總費(fèi)用不超過(guò)100500元”。此題目也是有三種選擇方案，類似于上題目的分析過(guò)程，可以知道，只有方案二：A型和C型和方案三：B型和C型有可能。從“總費(fèi)用不超過(guò)100500元”可知，通過(guò)建立一元一次不等式模型來(lái)解決。

解：若按照方案二購(gòu)買：設(shè)購(gòu)進(jìn)A型電腦x臺(tái)，C型電腦（36-x）臺(tái)，

6000x+2500（36-x）≤100500，

解這個(gè)不等式得：x≤3.

因?yàn)閤表示的是臺(tái)數(shù)，故x只能是正整數(shù)，所以x取3，2，1.

此時(shí)，購(gòu)買A型和C型的方案如下：方案1：A型3臺(tái)，C型33臺(tái);方案2：A型2臺(tái)，C型34臺(tái);方案3：A型1臺(tái)，C型35臺(tái)。

若按照方案三購(gòu)買：設(shè)購(gòu)進(jìn)B型電腦y臺(tái)，C型電腦（36- y ）臺(tái)，

4000y+2500（36-y）≤100500，

解這個(gè)不等式得：y≤7.

因?yàn)閥表示的是臺(tái)數(shù)，故y只能是正整數(shù)，所以y取7，6，，5，4，3，2，1.

此時(shí)，購(gòu)買B 型和C型的方案如下：方案4：B型7臺(tái)，C型29臺(tái);方案5：B型6臺(tái)，C型30臺(tái);方案6：B型5臺(tái)，C型31臺(tái);方案7：B型4臺(tái)，C型32臺(tái);方案8：B型3臺(tái)，C型33臺(tái);方案9：B型2臺(tái)，C型34臺(tái);方案10：B型1臺(tái)，C型35臺(tái)。

綜上所述，有以上10種購(gòu)買方案。

此題目是在上題目的基礎(chǔ)上，難度的梯度又大了一些，學(xué)生有前面的三題作為鋪墊，對(duì)于此題目，可以沿著前面題目的思路去解決，經(jīng)過(guò)小組的合作交流、討論，學(xué)生可以合作解決。對(duì)于建立一元一次不等式模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生感到更加困難，讓學(xué)生通過(guò)題目之間的聯(lián)系和區(qū)別，掌握在何種情況下建立一元一次不等式模型解決問(wèn)題，通過(guò)上述幾道題目的對(duì)比，提高了學(xué)生解決此類問(wèn)題能力。學(xué)生的分析實(shí)際問(wèn)題和解決實(shí)際問(wèn)題的能力再一次得到升華。

五、教材習(xí)題再升華

某公司有A型、B型、C型三種型號(hào)的電腦，其中A型每臺(tái)6000元，B型每臺(tái)4000元，C型每臺(tái)2500元。某中學(xué)現(xiàn)有資金99500元，計(jì)劃全部用于從這家電腦公司購(gòu)進(jìn)三種型號(hào)的36臺(tái)電腦。請(qǐng)你設(shè)計(jì)幾種不同的購(gòu)買方案供這個(gè)學(xué)校選擇，并說(shuō)明理由。

問(wèn)題一：對(duì)比上一題目，此題需要買幾種型號(hào)的電腦？資金99500元需要用完嗎？

問(wèn)題二：你找到了幾個(gè)等量關(guān)系？

問(wèn)題三：通過(guò)建立何種模型來(lái)解決此題目？問(wèn)題中隱含的對(duì)數(shù)字要求是什么？

本題需要三種型號(hào)的電腦都要買，并且資金99500元要全部用完，在此我們能找到的等量關(guān)系有兩個(gè)，一個(gè)是：三種類型的電腦一共買了36臺(tái)，另一個(gè)是：買電腦一共用去資金99500元，既然找到的是等量關(guān)系，此題目要通過(guò)建立二元一次方程模型來(lái)解決，并且在此題目中，所買電腦的臺(tái)數(shù)都要是正整數(shù)。

解：設(shè)購(gòu)買A型x臺(tái)，B型y臺(tái)，則購(gòu)買C型（36-x-y）臺(tái)，

6000x+4000y+2500（36-x-y）=99500，

此二元一次方程可以化簡(jiǎn)為：7x+3y=19，

根據(jù)題目的要求，x，y都必須是正整數(shù)，所以方程7x+3y=19的正整數(shù)解為，此時(shí)C型的臺(tái)數(shù)為：36-x-y=36-134=31.

答：只有一種購(gòu)買方案，即購(gòu)買A型1臺(tái)，B型4臺(tái)，則購(gòu)買C型31臺(tái)。

對(duì)于此題目，大部分學(xué)生能找出等量關(guān)系并列出二元一次方程，學(xué)生的困惑是，有兩個(gè)未知數(shù)，但是只列出了一個(gè)方程，沒(méi)有辦法接出方程的解。學(xué)生比較難想到此實(shí)際問(wèn)題的隱含條件，每一種類型電腦的數(shù)量必須是正整數(shù)，也即是說(shuō)，是求上述二元一次方程的正整數(shù)解，通過(guò)小組合作討論，再結(jié)合教師適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，學(xué)生可以完美完成此題目。通過(guò)此題目分析和解答，學(xué)生學(xué)會(huì)在以后實(shí)際問(wèn)題中挖掘題目的隱含信息。

對(duì)于方案問(wèn)題的解決，學(xué)生要根據(jù)題目提供的信息，找到等量關(guān)系或者是不等關(guān)系，建立二元一次方程組或者一元一次不等式的模型，再根據(jù)實(shí)際問(wèn)題隱含的對(duì)解的特殊要求條件，找到相應(yīng)的方案，還可以再延伸到最優(yōu)的方案。

當(dāng)前的教育倡導(dǎo)素質(zhì)教育，素質(zhì)教育的要求學(xué)生全面發(fā)展，注重?cái)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。在課堂的教學(xué)中，要充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，讓學(xué)生主動(dòng)地去學(xué)習(xí)，在活動(dòng)中養(yǎng)成習(xí)慣，在活動(dòng)中獲得知識(shí)和技能。根據(jù)前蘇聯(lián)教育家維果茨基的最近發(fā)展區(qū)理論，教學(xué)應(yīng)著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，為學(xué)生在原有的基礎(chǔ)上提供帶有梯度的更難的內(nèi)容，把學(xué)生的積極性和主動(dòng)性調(diào)動(dòng)起來(lái)，讓學(xué)生的潛力得到發(fā)揮，超越現(xiàn)在的水平而達(dá)到下一階段的水平。因此，教師在課堂的設(shè)計(jì)上，要有臺(tái)階，讓學(xué)生一個(gè)臺(tái)階一個(gè)臺(tái)階的上，難度一點(diǎn)一點(diǎn)增加。通過(guò)對(duì)課本習(xí)題的變式，學(xué)生通過(guò)熱身訓(xùn)練，結(jié)合題目一系列的變式，在這樣的活動(dòng)中，課堂更自然，學(xué)生的思維更順暢。根據(jù)教師提供的一系列的問(wèn)題，學(xué)生不僅進(jìn)行的深層次的思考，又可以讓自己的的潛能得到激發(fā)，能力得到提升。

教學(xué)中根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)探究合作活動(dòng)，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，及合作交流的經(jīng)驗(yàn)。在解決建立二元一次方程組或者是建立一元一次不等式解決方案問(wèn)題中，從基礎(chǔ)出發(fā)，步步提升，注重啟發(fā)學(xué)生積極思考，發(fā)揚(yáng)小組合作、交流。教師做好學(xué)生教學(xué)活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者、合作者，激發(fā)學(xué)生的潛能，鼓勵(lì)學(xué)生大膽的思考、大膽創(chuàng)新。學(xué)生合作、交流尋找問(wèn)題答案，學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主體，學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識(shí)，是在學(xué)生積極主動(dòng)思考的基礎(chǔ)上，通過(guò)自主探索和接受學(xué)習(xí)的方式獲得。學(xué)生只有積極的參與教學(xué)活動(dòng)，才能在數(shù)學(xué)思維、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題方面得到發(fā)展，進(jìn)而提升學(xué)生的邏輯思維、建立模型和數(shù)感的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

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