探析高中數(shù)學解題中數(shù)形結(jié)合思想的應用

摘 要：近些年隨著課程改革的推行，高中階段對于數(shù)學思想方法的教學日益被重視，其中試題中對數(shù)形結(jié)合思想的考查比重凸顯。數(shù)形結(jié)合作為直觀想象這一數(shù)學素養(yǎng)培養(yǎng)的重要組成，在解決數(shù)學問題過程中發(fā)揮著重要的作用?！耙孕沃鷶?shù)，以數(shù)釋形”，可以大大提高學生的數(shù)學知識理解能力，這是進行數(shù)學推理、構建抽象結(jié)構的思維基礎，探析數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學解題中的應用，可以大大提高學生的解題能力。

關鍵詞：數(shù)形結(jié)合;高中數(shù)學;解題應用

一、研究背景

傳統(tǒng)的教學注重對學生“基礎知識”和“基本技能”的訓練，學生靠刷題短期地提高自身的解題能力，但是未能真正的理解知識的本質(zhì)，過分依賴做題的經(jīng)驗，導致解決試卷以外的數(shù)學問題能力薄弱，數(shù)學的素養(yǎng)并未真正的形成。新課程理念提出在原有“雙基”的基礎上增加“基本思想”、“基本活動經(jīng)驗”的教學，旨在培養(yǎng)學生形成終生受用的數(shù)學思維方式，能夠自覺地用數(shù)學的思想方法指導生活，擁有堅定的數(shù)學視角。數(shù)學的基本思想是指對數(shù)學概念、知識結(jié)構、數(shù)學解題方法本質(zhì)性的認識，它蘊含知識的形成發(fā)展以及知識間的本質(zhì)關聯(lián)，是對“雙基”更高層次的抽象和概括，是學生更高階的數(shù)學素養(yǎng)，在解題中滲透數(shù)學思想的培養(yǎng)，可以讓學生形成有規(guī)律、有邏輯順序、有門類地解題習慣，讓學生不僅能適應新高考的試題類型，而且還可以提高學生在實際情境中運用數(shù)學解決問題的能力。

二、概念界定及應用策略

（一）概念界定

“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，說的就是數(shù)與形二者的關系。數(shù)形結(jié)合思想指的就是根據(jù)數(shù)與形之間的關聯(lián)，利用數(shù)的特征或者形的特征進行問題解決的基本數(shù)學思維。圖形具有直觀的特點，從圖形中可以快速地發(fā)現(xiàn)物體的位置關系和空間形式，一些變化規(guī)律和動態(tài)感官，也可以在圖形中得到最為直接的感知。數(shù)主要是指數(shù)量關系和代數(shù)運算，它是進行定量分析、邏輯推理、形式轉(zhuǎn)變的重要數(shù)學構成。數(shù)形結(jié)合一方面是指把代數(shù)結(jié)構圖形化，利用圖形描述分析問題，讓問題更直觀，從而找到解決問題的方法或是捷徑;另一方面是指用數(shù)表達或運算推理精細表達幾何要素，一些無法通過畫圖完成的抽象過程，可以通過數(shù)來進行規(guī)律觀察、推演探究，從而得到圖形的相關性質(zhì)。

（二）應用策略

強基策略，不論是對數(shù)的使用還是對圖形的應用，都需要扎實的“雙基”作為前提，所以在談“基本思想”這一層目標之前對于學生的知識與技能訓練是必不可少的，比如強化學生的數(shù)式運算與結(jié)構變形，提高學生的識圖畫圖能力;簡化策略，數(shù)形結(jié)合思想使用的情境大部分是在當數(shù)式結(jié)構復雜，數(shù)據(jù)繁多，幾何特征明顯時，用幾何直觀來快速表征問題，當圖形難以描繪，不宜通過觀察圖形得到精細化的圖形性質(zhì)和相關結(jié)論，那么就需要用數(shù)來進行推演和論證，數(shù)式結(jié)構中的符號使用，可以讓思維外顯，從復雜的圖形結(jié)構里簡化出主體特征，突出重點;互換策略，在講解習題時如遇到具有數(shù)形雙重表征的例題，數(shù)形兩方并無明顯優(yōu)劣，那么應注重引導學生一題多解，啟發(fā)學生多個角度看待問題，不側(cè)重任何一種方法，注重數(shù)形的互換，讓學生在互換的過程中提高思維的發(fā)散性;準確性策略，用圖形直觀解題時，應該注意畫出圖形的準確性，圖形的精度決定了思考的準確度，影響思考的方向，同樣，用數(shù)就是為了精細準確地刻畫圖形，減少看圖帶來的誤差，所以運算和推理應要準確無誤。

三、數(shù)形結(jié)合思想的應用探析

（一）重視初高銜接，突顯圖形直觀

在初中數(shù)學教材中函數(shù)與曲線方程占比比較少，向量更是只字未提。主要是以數(shù)式運算為主，并且對于幾何圖形的研究占比較多，代數(shù)與幾何的銜接點為數(shù)較少，從八年級上的乘法公式（平方差、完全平方公式）開始才著重把二者進行有機關聯(lián)，到了八年下的《勾股定理》，以趙爽弦圖為主的圖形證明，才重點突出的體現(xiàn)數(shù)學結(jié)合的妙用。不過大部分時候幾何直觀和代數(shù)式子是割裂的。到了高中，數(shù)形結(jié)合思想的地位突出，不過主要的載體還是以函數(shù)圖象、向量、直線曲線方程為主，極少有幾何圖形，但是幾何圖形的直觀性作用到了高中也不容忽視，有的時候簡潔的圖形結(jié)構就可以傳達出定理公式的證明方法和思路，以均值不等式的證明為例：代數(shù)證明：（利用平方結(jié)構的非負性）

幾何證明：

說明：圖中四個大小相同的直角三角形，短直角邊為a，長直角邊為b，則斜邊（大正方形的邊長）為，大正方形的面積為S大=a2+b2，中間的小正形面積為S小=（b-a）2，四個直角三角形的面積和為S=2ab。

1.從圖形上可以直觀看出S大≥S，所以a2+b2≥2ab;

2.當S小=0時，即a=b時，S大=S

初中把趙爽弦圖用于勾股定理的證明，其實弦圖里也蘊含了基本不等式----均值不等式。如果從學生熟悉的趙爽弦圖作為課堂引入，不僅可以很好的完成知識的銜接和過渡，而且讓學生對中國古代的文化有了更深的認識，從而提高解題時的文化涵養(yǎng)。

（二）強化向量教學，注重雙重身份

向量具備數(shù)和形的雙重屬性，是數(shù)形結(jié)合的典范。向量是有向線段，它的幾何表示法是運用幾何性質(zhì)解決向量問題的基礎。在向量的運算過程中，借助于圖形性質(zhì)可以給抽象運算以直觀解釋，簡潔明了。例如課本用向量證明了點到直線的距離公式，直線的斜率公式，兩點間距離公式，比單純的用幾何圖形簡便通俗，用向量完成直線平行和垂直的證明，便捷性是幾何無法比擬的，用向量研究空間幾何，可以幫助我們減少由于空間想象力不足帶來的解題能力薄弱等等。具體舉兩個例子，用以說明向量的數(shù)形雙重身份給解題帶來的新思路。

1.用向量法證明余弦定理

三角形的三邊用向量a，b，c表示，則c=a+b.

2.用向量解決幾何證明

例：正方形ABCD邊長為4，F(xiàn)為BC邊重點，E為CD上一點，若=，則=_________

教學中用向量進行一些已證定理的再次證明，通過證法對比凸顯數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)越性，引導學生關注數(shù)學的思想方法給解題帶來的幫助。另外，在使用向量解題的過程中要注重數(shù)與形身份的適時切換，避免只注重形而不注重數(shù)。

（三）函數(shù)圖象為主導，曲線方程相配套

數(shù)形結(jié)合中的“形”指的是直觀的圖象，包括幾何圖形，函數(shù)圖象、統(tǒng)計圖表等，其中以函數(shù)圖象的結(jié)合為主。課程內(nèi)容從初中開始就有意地滲透代數(shù)式與函數(shù)變量之間的關系，利用一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)來解決對應的二元一次方程、二次三項式、分式的相關問題，到了高中，函數(shù)更加抽象，有些函數(shù)特別是復合型的函數(shù)已經(jīng)畫不出具體的圖象，但是我們?nèi)匀豢梢杂镁植康膱D象或者構成復合函數(shù)的原函數(shù)圖象來研究問題，例如在冪函數(shù)的研究學習時，圖象扮演了很重要的角色，通過函數(shù)關系式和已學習過的基本函數(shù)來研究指數(shù)對函數(shù)圖象的影響;在三角函數(shù)研究的過程中，函數(shù)的周期性（循環(huán)往復）在函數(shù)圖象上體現(xiàn)的淋淋盡致，特別是正切函數(shù)自變量的范圍不等于90°，跟反比例函數(shù)類似在畫函數(shù)圖象時的體現(xiàn)就是逼近不相交;“形”的作用固然重要，但到了高中，越是抽象的函數(shù)，在研究它的單調(diào)性、奇偶性、周期性時，數(shù)的特征越是解題的關鍵。所以，以函數(shù)為載體的知識考查在滲透數(shù)形結(jié)合思想時要注意數(shù)形的自然切換，初中更注重引導學生關注函數(shù)的圖象，高中沒有偏重，數(shù)形比重旗鼓相當，特別是注意了函數(shù)多種表征形式之間的靈活轉(zhuǎn)變。下列三道題就可以作為很好的訓練范例：

例1：（2019高考理科數(shù)學第5題）函數(shù)在的圖象大致為（ ）

A. B.

C.D.

（思路：通過代數(shù)結(jié)構，判斷函數(shù)的奇偶性，推斷圖象的對稱類型，利用函數(shù)取值，判斷圖象經(jīng)過的一些特殊點。）

例2：函數(shù)的最小值為___________

（思路：配方成，從形的角度解題可以理解為點p（x，0）分別與點（2，1）和點（-1，3）的距離之和的最小值，再利用最短路徑解題）

例3：已知橢圓，是橢圓上的一個點.O為坐標原點，A是橢圓的右頂點，若Q在橢圓上并滿足|AQ|=|AO|，求直線Q的斜率.

（思路：用圖形來解題，難度較大，如果設直線Q的解析式為y=kx，聯(lián)立直線與橢圓方程去求解，就可以順利得到結(jié)論）

（四）重視高考新題型，數(shù)列統(tǒng)計多挖掘

高考中對于數(shù)形結(jié)合思想的考查常規(guī)的題型都是以函數(shù)、向量等解析幾何為主，空間幾何的考查也不少見，但是對于數(shù)列和概率統(tǒng)計為載體的考查出現(xiàn)的較少，不過近些年有出現(xiàn)增加的趨勢，學生在應對這些類型新穎的問題時明顯應對不足，所以在平時教學中也要重視對這兩塊知識在數(shù)形結(jié)合思想滲透方面的挖掘，以下道題為例：（2019高考理科數(shù)學第6題）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”，如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是（ ）

A. B. C. D.

這道題與中國的傳統(tǒng)文化有關，利用“卦象”的圖象信息閱讀，解決相關的概率問題，形式新穎，考查了學生的綜合素養(yǎng)，所以在這個方向標下我們要提高此類型題的教學訓練。比如二項展開式的代數(shù)結(jié)構和楊輝三角的圖形直觀之間的關聯(lián)教學，比如對于正態(tài)分布圖象的強化教學，用圖象來促進學生對于概率科學性的理解。特別是近幾年，為了讓試題更貼近學生的日常生活，試卷中對于數(shù)據(jù)的整理與分析考查越來越多，學會提取圖表信息，理解統(tǒng)計圖表呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)分布規(guī)律，通過計算來得出結(jié)論，作為決策的參考，是這一類題型對學生提出的考察要求，如果在平時有進行針對性訓練，學生的圖形閱讀能力和相對應的數(shù)據(jù)運算能力都會得到及時有效地提高。另外，除了挖掘數(shù)列和統(tǒng)計中的數(shù)形結(jié)合點，教學中把數(shù)形結(jié)合思想運用到對極坐標、復數(shù)等領域的探究，可以大大的提高學習的深度，從而達到深度教學的目的。

結(jié)束語

數(shù)學是研究“數(shù)量關系”和“空間形式”的自然科學，所以數(shù)形的雙重屬性是數(shù)學學科區(qū)別于其他學科最顯著的特征。數(shù)形結(jié)合并不是把數(shù)和形進行簡單的堆砌，而是把二者進行有機的結(jié)合。教師在利用數(shù)形結(jié)合的思想進行教學和解題指導時，應該主要把握好二者的結(jié)合點，用數(shù)式進行定量分析，函數(shù)性質(zhì)探索，圖形位置精細，用圖形進行思維直觀，尋求復雜數(shù)式結(jié)構的簡單外顯，避免復雜計算，優(yōu)化解題思想，打通解題突破口，特別要注意在利用圖形直觀解題時，要主要圖形的準確性，可以借助現(xiàn)代信息技術，呈現(xiàn)精確圖形，演示動態(tài)過程，也可以指導學生畫草圖，突出要點，抓住要害，精準直觀?？偠灾瑪?shù)形結(jié)合的思想是提升學生直觀想象素養(yǎng)的重要思想，學生在運用該思想的過程中，思維得到多維度的鍛煉，運用數(shù)學知識的能力得到提升，對于數(shù)學知識的外化和內(nèi)涵有了更深入的認識。

參考文獻

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[3]單墫.解題漫談[M].第1版.上海：上海教育出版社，2016，12.

作者簡介：王霞（1986.05-），女，山西忻州人，漢族，上海市工藝美術學校二級教師，研究生，研究方向：高中數(shù)學教學。