依標據(jù)本夯實基礎　學以致用提升素養(yǎng)

董健　楊開學

摘 ?要：方程與不等式是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的有效模型，是解決數(shù)學問題和生活實際問題的有力工具，是中考考查的重要內容. 通過對2020年全國各地區(qū)中考“方程與不等式”試題進行解題分析，并對各典型例題解法進行賞析，給出思考啟示，以期對中考復習提供參考.

關鍵詞：方程與不等式;數(shù)學建模;解題分析;數(shù)學素養(yǎng)

方程與不等式是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的有效模型，是解決數(shù)學和生活實際問題的有力工具，是中考考查的重要內容. 2020年全國各地區(qū)中考數(shù)學試題對方程與不等式的考查以基礎知識和基本運算為重點，側重以新時代生活為背景的問題解決，體現(xiàn)了數(shù)學育人的發(fā)展方向. 現(xiàn)圍繞中考“方程與不等式”專題進行解題分析.

一、試題分析

綜觀2020年全國各地區(qū)中考數(shù)學“方程與不等式”的試題命制，依托《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）的理念與要求，注重對“四基”的考查，更重注在解題過程中對數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和對數(shù)學文化的滲透. 一些綜合應用和創(chuàng)新型問題成為亮點試題，突出了試題的基礎性、時代性和發(fā)展性.

1. 注重對“四基”“四能”的考查

（1）運用基礎知識解題.

例1 （江蘇·常州卷）若關于x的方程x2 + ax - 2 = 0有一個根是1，則a的值為______________.

答案：1.

例2 （貴州·安順卷）已知[a<b，] 下列式子不一定成立的是（ ? ?）.

（A）[a-1<b-1] （B）[-2a>-2b]

（C）[12a+1<12b+1] （D）[ma>mb]

答案：D.

例3 （安徽卷）下列方程中，有兩個相等實數(shù)根的是（ ? ?）.

（A）[x2+1=2x] （B）[x2+1=0]

（C）[x2-2x=3] （D）[x2-2x=0]

答案：A.

例4 （江蘇·泰州卷）方程[x2+2x-3=0]的兩根為[x1，x2，] 則[x1x2]的值為 ? ? ? .

答案：[-3.]

（2）運用基本技能解題.

例5 （遼寧·營口卷）一元二次方程x2 - 5x + 6 = 0的解為（ ? ?）.

（A）x1 = 2，x2 = -3 （B）x1 = -2，x2 = 3

（C）x1 = -2，x2 = -3 （D）x1 = 2，x2 = 3

答案：D.

例6 （北京卷）方程組[x-y=1，3x+y=7] 的解為____________.

答案：[x=2，y=1.]

例7 （新疆生產(chǎn)建設兵團卷）不等式組[2x-2≤2-x，x+22>x+33]的解集是（ ? ?）.

（A）[0<x≤2] （B）[0<x≤6]

（C）[x>0] （D）[x≤2]

答案：A.

例8 （內蒙古·通遼卷）解方程：[2x-2=3x.]

答案：x = 6.

例9 （山東·濰坊卷）若關于x的分式方程[3xx-2=m+3x-2+]1有增根，則m的值為______________.

答案：3.

【評析】以上例題考查對基礎知識和基本技能的運用. 例1考查學生對一元二次方程的根的理解程度;例2考查不等式基本性質的運用;例3和例4分別對一元二次方程的判別式及根與系數(shù)的關系進行應用性考查. 這四道例題突出對基礎知識的檢驗. 例5 ～ 例9則分別考查了一元二次方程、二元一次方程組、一元一次不等式組和分式方程的解法及分式方程增根的理解運算，直接對算理的掌握和基本運算能力進行檢驗.

（3）運用基本思想方法解題.

例10 （河南卷）已知關于[x]的不等式組[x>a，x>b，] 其中[a，b]在數(shù)軸上的對應點如圖1所示，則這個不等式組的解集為______________.

答案：[x>a].

例11 （浙江·嘉興卷）用加減消元法解二元一次方程組[x+3y=4，①2x-y=1 ②]時，下列方法中無法消元的是（ ? ?）.

（A）[①×2-②] （B）[②×-3-①]

（C）[①×-2+②] （D）[①-②×3]

答案：D.

例12 （上海卷）用換元法解方程[x+1x2+x2x+1=2]時，若設[x+1x2=y，] 則原方程可化為關于[y]的方程是（ ? ?）.

（A）[y2-2y+1=0] （B）[y2+2y+1=0]

（C）[y2+y+2=0] （D）[y2+y-2=0]

答案：A.

例13 （山東·德州卷）菱形的一條對角線長為8，其邊長是方程[x2-9x+20=0]的一個根，則該菱形的周長為______________.

答案：20.

【評析】例10結合數(shù)軸，依據(jù)“同大取大”得出不等式組的解集，體現(xiàn)數(shù)形結合思想的運用;例11解二元一次方程組，利用加減消元方法實現(xiàn)轉化;例12則通過換元法達到使一元二次方程降次的目的;例13需要求出方程解的同時根據(jù)三角形成立的條件分類討論，對根進行取舍. 以上四道例題關注學生數(shù)學基本思想方法的運用.

（4）運用基本活動經(jīng)驗解題.

例14 （廣西·玉林卷）觀察下列按一定規(guī)律排列的n個數(shù)：2，4，6，8，10，12，…，若最后三個數(shù)之和是3 000，則n等于（ ? ?）.

（A）499 ?（B）500 ?（C）501 ?（D）1 002

答案：C.

例15 （浙江·杭州卷）以下是圓圓解方程[x+12-][x-33=1]的解答過程.

解：去分母，得[3x+1-2x-3=1.]

去括號，得[3x+1-2x+3=1.]

移項，合并同類項，得[x=-3.]

圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，寫出正確的解答過程.

解：圓圓的解答過程有錯誤，正確的解答過程如下.

去分母，得[3x+1-2x-3=6.]

去括號，得[3x+3-2x+6=6.]

移項，合并同類項，得[x=-3.]

例16 （青海卷）在解一元二次方程x2 + bx + c = 0時，小明看錯了一次項系數(shù)b，得到的解為x1 = 2，x2 = 3;小剛看錯了常數(shù)項c，得到的解為x1 = 1，x2 = 4. 試寫出正確的一元二次方程______________.

答案：x2 - 5x + 6 = 0.

例17 （寧夏卷）《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著. 某興趣小組閱讀四大名著的人數(shù)，同時滿足以下三個條件：

（1）閱讀過《西游記》的人數(shù)多于閱讀過《水滸傳》的人數(shù);

（2）閱讀過《水滸傳》的人數(shù)多于閱讀過《三國演義》的人數(shù);

（3）閱讀過《三國演義》的人數(shù)的2倍多于閱讀過《西游記》的人數(shù).

若閱讀過《三國演義》的人數(shù)為4，則閱讀過《水滸傳》的人數(shù)的最大值為______________.

答案：6.

【評析】例14 ～ 例17結合數(shù)學問題或實際問題引導學生在數(shù)學學習活動中感悟數(shù)學思想、積累活動經(jīng)驗，考查學生解決問題的能力. 例14需要找出規(guī)律，利用最后三個數(shù)之間的數(shù)量關系建立方程模型解決問題;例15和例16是對“設置錯誤”進行分析，通過計算給出正確解答;例17需要學生通過閱讀理解，分析四大名著閱讀人數(shù)的數(shù)量關系，完成合情推理并建立不等式模型解決問題.

2. 注重對數(shù)學建模能力的考查

例18 （四川·內江卷）我國古代數(shù)學著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“繩索量竿”問題：“一條竿子一條索，索比竿子長一托. 折回索子卻量竿，卻比竿子短一托.”其大意為：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長5尺;如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺. 設繩索長x尺. 則符合題意的方程是（ ? ?）.

（A）[12x=x-5-5] （B）[12x=x+5+5]

（C）[2x=x-5-5] （D）[2x=x+5+5]

答案：A.

例19 （福建卷）我國古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽. 每株腳錢三文足，無錢準與一株椽.”其大意為：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的價錢為6 210文. 如果每株椽的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問6 210文能買多少株椽？設這批椽的數(shù)量為x株，則符合題意的方程是（ ? ?）.

（A）[3x-1=6 210x] （B）[6 210x-1=3]

（C）[3x-1=6 210x] （D）[6 210x=3]

答案：A.

例20 （湖北·鄂州卷）目前以5G等為代表的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展. 某市2019年底有5G用戶2萬戶，計劃到2021年底全市5G用戶數(shù)累計達到8.72萬戶. 設全市5G用戶數(shù)年平均增長率為x，則x值為（ ? ?）.

（A）20% ?（B）30% ?（C）40% ?（D）50%

答案：C.

例21 （湖南·郴州卷）為支援抗疫前線，某省紅十字會采購甲、乙兩種抗疫物資共540噸，甲物資單價為3萬元 / 噸，乙物資單價為2萬元 / 噸，采購兩種物資共花費1 380萬元.

（1）求甲、乙兩種物資各采購了多少噸？

（2）現(xiàn)在計劃安排A，B兩種不同規(guī)格的卡車共50輛來運輸這批物資. 甲物資7噸和乙物資3噸可裝滿一輛A型卡車;甲物資5噸和乙物資7噸可裝滿一輛B型卡車. 按此要求安排A，B兩型卡車的數(shù)量，試問有哪幾種運輸方案？

解：（1）設甲物資采購了x噸，乙物資采購了y噸，

依題意，得[x+y=540，3x+2y=1 380.]

解得[x=300，y=240.]

答：甲物資采購了300噸，乙物資采購了240噸.

（2）設安排A型卡車m輛，則安排B型卡車[50-m]輛.

依題意，得[7m+550-m≥300，3m+750-m≥240.]

解得[25≤m≤27.5.]

因為m為正整數(shù)，

所以m可以取25，26，27.

所以共有如下三種運輸方案.

方案1：安排25輛A型卡車，25輛B型卡車;

方案2：安排26輛A型卡車，24輛B型卡車;

方案3：安排27輛A型卡車，23輛B型卡車.

【評析】例18 ～ 例21重視數(shù)學與實際的關系，考查學生的數(shù)學抽象與數(shù)學建模能力. 例18和例19以中國古代數(shù)學題為原型，讓學生在利用方程模型解決問題的同時感受數(shù)學文化的魅力;例20以現(xiàn)代科技發(fā)展為背景，利用“增長后的量 = 增長前的量 × （1 + 增長率）”建構一元二次方程模型，解決生活中的增長率問題;例21以“支援抗疫”題材為問題背景，對生活中存在的等量關系與不等量關系進行分析，綜合考查學生運用方程組與不等式組解決實際問題的能力.

3. 注重對探究創(chuàng)新能力的考查

例22 （甘肅·天水卷）已知[a+2b=103，3a+4b=][163，] 則a + b的值為______________.

解：因為[a+2b=103，3a+4b=163，]

所以[2a+2b=2.]

解得[a+b=1.]

故此題答案為1.

【評析】解題時沒有拘泥于先聯(lián)立方程組求解[a，b]再代入求值的方法，而是在觀察、分析后將兩式相減，得[2a+2b]的值，再借用整體思想，解得[a+b]的值，化繁為簡.

例23 （湖北·隨州卷）將關于x的一元二次方程[x2-px+q=0]變形為[x2=px-q，] 就可以將x2表示為關于x的一次多項式，從而達到“降次”的目的，又如[x3=][x · x2=xpx-q=…，] 我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡次數(shù)較高的代數(shù)式. 根據(jù)“降次法”，已知：[x2-x-1=0，] 且[x>0，] 則[x4-2x3+]3x的值為（ ? ?）.

（A）1[-5] （B）3[-5]

（C）1[+5] （D）3[+5]

解：因為[x2-x-1=0，]

所以[x2=x+1.]

所以[x3=x · x2=xx+1=x2+x=x+1+x=2x+1，]

[x4=x · x3=x2x+1=2x2+x=2x+1+x=3x+2.]

所以[x4-2x3+3x=3x+2-22x+1+3x=2x.]

解方程[x2-x-1=0，] 得[x1=1+52，x2=1-52.]

因為[x>0，]

所以[x=1+52.]

所以[x4-2x3+3x=2×1+52=1+5.]

故此題選擇C.

【評析】將方程[x2-px+q=0]變形為[x2=px-q，] 可以達到“降次”的目的. 類比運用“降次法”，將[x4-2x3+]3x簡化為2x，通過方程[x2-x-1=0]解得[x，] 代入得出答案. 此題考查學生的數(shù)學學習和知識遷移的能力.

例24 （重慶A卷）火鍋是重慶的一張名片，深受廣大市民的喜愛. 重慶某火鍋店采取堂食、外賣、店外擺攤（簡稱擺攤）三種方式經(jīng)營，6月份該火鍋店堂食、外賣、擺攤三種方式的營業(yè)額之比為[3∶5∶2.] 隨著促進消費政策的出臺，該火鍋店老板預計7月份總營業(yè)額會增加，其中擺攤增加的營業(yè)額占總增加的營業(yè)額的[25，] 則擺攤的營業(yè)額將達到7月份總營業(yè)額的[720，] 為使堂食、外賣7月份的營業(yè)額之比為[8∶5，] 則7月份外賣還需增加的營業(yè)額與7月份總營業(yè)額之比是 ? ? ?.

解：設6月份堂食、外賣、擺攤三種方式的營業(yè)額分別為3a，5a，2a;設7月份總的增加營業(yè)額為5x，則擺攤增加的營業(yè)額為2x;設7月份總營業(yè)額為20b，則堂食的營業(yè)額為8b，外賣的營業(yè)額為5b，7月份擺攤的營業(yè)額為7b.

由題意，可得[7b-2a=2x，20b-10a=5x.]

解得[a=x6，b=x3.]

所以7月份外賣還需增加的營業(yè)額與7月份總營業(yè)額之比為[5b-5a∶20b=1∶8.]

答案：[1∶8.]

【評析】此題以當下社會存在的三種不同營銷模式為問題背景進行命題，試題中涵蓋條件較多，在解題時需分析、探究各數(shù)量之間的關聯(lián)，從而建立方程模型求解. 將a，b用參數(shù)x表示后消參求解，方法靈活創(chuàng)新.

例25 （湖北·孝感卷）如圖2，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”. 在此圖形中連接四條線段得到如圖3的圖案，記陰影部分的面積為S1，空白部分的面積為S2，大正方形的邊長為m，小正方形的邊長為n，若S1 = S2，則[nm]的值為______________.

解：設圖3中陰影直角三角形另一條直角邊長為x.

依題意，得[2x2=12m2.]

解得[x=12m.]

由勾股定理，得[12m2+n+12m2=m2，]

即[m2-2mn-2n2=0.]

解得[m1=1-3n]（舍去），[m2=1+3n.]

則[nm]的值為[3-12.]

【評析】此題結合S1 = S2的圖形進行分析，探究[x=12m]的數(shù)量關系，再利用勾股定理構建m，n之間的關系，借助方程模型解決問題，考查學生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學建模素養(yǎng).

二、解法分析

1. 注重基礎，實施有效訓練

對數(shù)學基礎知識與基本技能的理解和掌握是學習其他知識和形成其他能力的“生長點”，是構建完整知識框架和解決問題的根本. 在教學與復習中，應實施有效訓練、鞏固基礎，讓不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展.

例26 （天津卷）方程組[2x+y=4，x-y=-1] 的解是（ ? ?）.

（A）[x=1，y=2] （B）[x=-3，y=-2]

（C）[x=2，y=0] （D）[x=3，y=-1]

解法1：[2x+y=4，①x-y=-1. ②]

由①[+]②，得[3x=3.]

解得[x=1.]

將[x=1]代入①，解得[y=2.]

則方程組的解為[x=1，y=2.]

解法2：[2x+y=4，①x-y=-1. ②]

由②，得[x=y-1.]③

把③代入①，解得[y=2.]

把[y=2]代入③，解得[x=1.]

則方程組的解為[x=1，y=2.]

解法3：[2x+y=4，①x-y=-1. ②]

由②，得[y=x+1.]③

把③代入①，解得[x=1.]

把[x=1]代入③，解[y=2.]

則方程組的解為[x=1，y=2.]

解法4：[2x+y=4，①x-y=-1. ②]

由①，得[y=4-2x.]③

把③代入②，解得[x=1.]

把[x=1]代入③，解得[y=2.]

則方程組的解為[x=1，y=2.]

由于此題以選擇題的形式呈現(xiàn)，根據(jù)對方程組解的概念理解，還可利用代入驗證的方法獲得正確答案.

【評析】求解此題，一是運用化歸思想，通過“加減消元”或“代入消元”的方法將二元方程轉化為一元一次方程解決;二是依據(jù)方程組解的概念，利用代入驗證的方法解決. 此題的解法遠不止上述幾種，在備考中我們可選取“一題多法”的試題對學生的解題能力進行訓練，在鞏固基礎的同時，提高學生數(shù)學思維的靈活度.

2. 注重糾錯，培養(yǎng)反思意識

提倡在關注學習內容的同時，更應該關注學習過程. 糾錯追因是學生再學習、再反思、再提高的過程. 在學習過程中，要注重在題后進行糾錯反思，學會透過表象看本質，全方位、多角度地分析和解決問題.

例27 （山東·棗莊卷）已知關于[x]的一元二次方程[a-1x2-2x+a2-1=0]有一個根為[x=0，] 則[a]的值為 ______________.

答案：-1.

【評析】此題考查學生對一元二次方程定義和根的理解，以及解一元二次方程的能力. 學生易注重求解而忽略a - 1 ≠ 0的條件，出現(xiàn)錯解. 若不能對問題所需條件做全面分析，說明對基礎知識的掌握有漏洞.

例28 （黑龍江·大興安嶺卷）若關于x的分式方程[3xx-2=m2-x+5]的解為正數(shù)，則m的取值范圍為（ ? ?）.

（A）[m<-10] （B）[m≤-1]

（C）[m≥-10且m≠-6] （D）[m>-10且m≠-6]

答案：D.

【評析】此題的解題重點在分式方程的計算，學生解題易錯點有三個：一是將分式方程轉化為整式方程時，常數(shù)5漏乘公分母;二是去公分母[x-2]時m的符號出現(xiàn)問題;三是求出整式方程的解后，忘記檢驗. 究其原因為學生對等式的基本性質掌握不熟練，符號感不強，對分式方程的根理解不透徹，解題步驟不規(guī)范等. 建議從多角度分析問題，注重題后反思，提高解題能力.

3. 注重綜合，活用思想方法

通過對2020年全國各地區(qū)中考數(shù)學有關“方程與不等式”的試題進行分析，發(fā)現(xiàn)很多試題的求解需要知識的融會貫通，注重對綜合能力的考查. 建議在教學與復習中關注知識構成的系統(tǒng)性、延伸性，體會知識間的關聯(lián)，注重知識的整合，使思維向廣度和深度發(fā)展.

例29 （青海卷）已知a，b，c為△ABC的三邊長. b，c滿足[b-22+c-3=0，] 且a為方程[x-4=2]的解，則△ABC的形狀為______________三角形.

解：因為[b-22+c-3=0，]

所以[b-2=0，c-3=0.]

解得[b=2，c=3.]

因為a為方程[a-4=2]的解，

所以[a-4=±2.]

解得[a=6]或[a=2.]

因為a，b，c為△ABC的三邊長，

所以[b+c>a.]

所以[a=6]不符合題意，舍去.

所以[a=2.]

所以[a=b=2.]

所以△ABC是等腰三角形.

【評析】此題先利用平方和絕對值的非負性建立方程模型，求出b，c的值，再通過對絕對值含義的理解求出a的值，根據(jù)三角形三邊關系判定三角形的存在性，對a的值進行取舍，最后由邊的數(shù)量關系確定三角形的類型. 此題以填空題的形式呈現(xiàn)，難度不大，運用數(shù)學建模和分類討論思想，注重知識的梳理與整合，考查解題的綜合能力.

4. 注重閱讀，提升應用能力

閱讀理解題在2020年中考“方程與不等式”專題中占有一席之地，這類試題集閱讀、理解、思考、應用于一體，讓學生在閱讀的基礎上，理解提供的知識、方法和技巧，然后運用所學知識解決問題. 讓學生在“讀”中積累數(shù)學活動經(jīng)驗，提升數(shù)學應用能力.

例30 （江蘇·揚州卷）閱讀感悟：

有些關于方程組的問題，欲求的結果不是每一個未知數(shù)的值，而是關于未知數(shù)的代數(shù)式的值，如以下問題：

已知實數(shù)[x，y]滿足[3x-y=5]①，[2x+3y=7]②，求[x-4y]和[7x+5y]的值.

本題常規(guī)解題思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得[x，y]的值，再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，常規(guī)思路運算量較大. 其實，仔細觀察兩個方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關系，本題還可以通過適當變形整體求得代數(shù)式的值. 由① - ②可得[x-4y=-2，] 由[①+②×2]可得[7x+5y=19.] 這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”.

解決問題：

（1）已知二元一次方程組[2x+y=7，x+2y=8，] 則[x-y]的值為______________，[x+y]的值為______________;

（2）某班級組織活動購買小獎品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元，則購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需要的費用為多少？

（3）對于實數(shù)[x，y，] 定義新運算：[x * y=ax+by+][c，] 其中[a，b，c]是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運算. 已知[3 * 5=15，4 * 7=28，] 那么[1 * 1]的值為______________.

解：（1）[2x+y=7，①x+2y=8. ②]

由① - ②，得[x-y=-1.]

由[13×①+②，] 可得[x+y=5.]

故答案為：[-1;5.]

（2）設鉛筆的單價為[m]元，橡皮的單價為[n]元，日記本的單價為[p]元.

依題意，得[20m+3n+2p=32，①39m+5n+3p=58. ②]

由[2×]①[-]②，可得[m+n+p=6.]

所以[5m+5n+5p=5×6=30.]

答：購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需30元.

（3）依題意，得[3a+5b+c=15，①4a+7b+c=28. ②]

由[3×]①[-2×]②，得[a+b+c=-11，]

即[1 * 1=-11.]

故答案為：[-11. ]

【評析】此題在“閱讀感悟”環(huán)節(jié)介紹“整體思想”的解題方法，在“解決問題”環(huán)節(jié)進行知識的遷移運用. 試題中的三道小題設計巧妙、有梯度，從解決數(shù)學問題，到解決生活實際問題，再到新定義問題的再學習、再運用. 學生經(jīng)歷“概念學習—數(shù)學理解—生活應用—創(chuàng)新探究”的實踐過程，積累數(shù)學學習經(jīng)驗，提高數(shù)學應用能力. 關注閱讀創(chuàng)新試題，培養(yǎng)學生自我學習的能力，提升用數(shù)學思維解決問題的意識.

三、試題解法欣賞

2020年中考數(shù)學試題注重對學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的考查，突出求異思維與創(chuàng)新能力的培養(yǎng).“方程與不等式”專題中巧妙設計的高價值試題，為學生的廣泛思維提供了展示的平臺.

例31（四川·樂山卷）已知[y≠0，] 且[x2-3xy-][4y2=0，] 則[xy]的值是______________.

解：由[x2-3xy-4y2=0，y≠0，]

將方程兩邊同時除以[y2，]

得[xy2-3xy-4=0，]

即[xy-4xy+1=0.]

解得[xy=4]或[xy=-1.]

故答案為4或[-1.]

【評析】此題的考查點在于利用因式分解法實現(xiàn)降次，對比[x-4yx+y=0]的解法，運用整體思想巧妙求解方程成為亮點.

例32 （貴州·黔東南州卷）已知關于[x]的一元二次方程[x2+5x-m=0]的一個根是2，則另一個根是（ ? ?）.

（A）[-7] ? （B）7 ? （C）3 ? （D）[-3]

答案：A.

【評析】對比將根代入解方程的方法，此題利用根與系數(shù)關系直接求解更便捷、更準確.

例33 （湖北·咸寧卷）若關于x的一元二次方程[x+22=n]有實數(shù)根，則n的取值范圍是 ? ? .

答案：[n≥0.]

【評析】此題可利用完全平方的非負性直接推導，比展開后利用根的判別式求解方法更新穎.

例34 （貴州·銅仁卷）已知等邊三角形一邊上的高為[23，] 則它的邊長為（ ? ?）.

（A）2 （B）3 （C）4 ?（D）[43]

答案：C.

【評析】此題意在考查等邊三角形的性質和利用勾股定理及方程思想解決問題. 但此題利用“三線合一”的性質和60°角的三角函數(shù)求解更巧妙.

例35 （山東·威海卷）一元二次方程[4xx-2=][x-2]的解為______________.

答案：[x1=2，x2=14.]

【評析】此題可以將原方程整理為一般形式，再利用一元二次方程的各種降次方法進行求解. 若能把[x-2]作為整體移項進行因式分解，解答則會更完美.

四、思考啟示

研究中考試題的意義不僅是為了應試，更多的是因為其能帶給我們新的教育啟示和對數(shù)學學習更多的思考.

1. 依標據(jù)本，夯實基礎

《標準》是教學的“指揮棒”，亦是中考命題的“風向標”，依據(jù)《標準》的基本理念和具體要求進行教學、復習，目標明確，效果也會事半功倍. 而教材是學生獲取系統(tǒng)知識的“根”，學生掌握知識，多是從對教材的感知開始，感知越豐富，理解越清晰，形成概念和應用知識就越容易. 教材是中考命題的“源”，通過對2020年中考數(shù)學“方程與不等式”試題進行分析，不難發(fā)現(xiàn)，試題的原型仍然多取材于教材. 復習回歸教材，夯實基礎，以不變應萬變，是備考學習之本.

2. 學以致用，提升素養(yǎng)

學生能夠認識到數(shù)學存在于現(xiàn)實生活中，并被廣泛應用于現(xiàn)實世界，才能切實體會到數(shù)學的應用價值. 因此，在新時代背景下，數(shù)學教育的目標是提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，發(fā)展學生的思維能力、實踐創(chuàng)新能力和解決生活實際問題的能力. 學習數(shù)學的目的則是學以致用，將所學的數(shù)學知識靈活應用于生活，服務于生活.

參考文獻：

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[3]郭福生，劉金英. 問渠那得清如許，為有源頭活水來：2018年中考“方程與不等式”專題解題分析[J]. 中國教學教育（初中版），2019（1 / 2）：39-46.

[4]易愛華，孫延洲. 重視通性通法，發(fā)展核心素養(yǎng)：2019年中考“方程與不等式”專題解題分析[J]. 中國教學教育（初中版），2020（1 / 2）：50-55.