立足基礎·關注能力·聚焦素養(yǎng)

楊開學　李建英

摘 ?要：方程與不等式是刻畫數(shù)量關系的重要數(shù)學模型，也是代數(shù)學的核心知識和有效工具，更是分析和解決實際問題的重要方法. 方程與不等式包括方程與方程組、不等式與不等式組兩方面內(nèi)容. 總體而言，2020年全國各地中考試題對本部分的命題設計緊扣《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》要求，立足基礎，突出關鍵能力，聚焦數(shù)學學科核心素養(yǎng).

關鍵詞：方程與不等式;數(shù)學模型;命題思路;數(shù)學素養(yǎng)

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）指出，方程與不等式是刻畫數(shù)量關系的重要數(shù)學模型，也是代數(shù)學的核心知識和有效工具，更是分析和解決實際問題的重要方法. 方程與不等式包括方程與方程組、不等式與不等式組兩方面內(nèi)容. 總體而言，2020年全國各地中考試題對本部分的命題設計緊扣《標準》要求，立足基礎，突出關鍵能力，聚焦數(shù)學學科核心素養(yǎng).

具體來講，2020年中考數(shù)學方程與方程組的命題設計重點放在解法和應用上，與往年相比變化不大;而不等式與不等式組的設計重點為：既考查基本解法，又高度關注與其他知識的交叉融合，突出其工具性的特點. 為此，現(xiàn)結(jié)合《標準》要求，從落實“四基”、關注能力、聚焦素養(yǎng)三個角度對2020年全國各地中考數(shù)學關于“方程與不等式”內(nèi)容的試題的命題思路進行分析.

一、試題設計整體分析

方程與不等式作為刻畫數(shù)量關系的重要數(shù)學模型，在數(shù)學中的地位至關重要. 而“相等”與“不等”又是數(shù)學中兩種基本的數(shù)量關系，兩者相輔相成，形成了對數(shù)量關系完整的認識，地位不容忽視.

從2020年全國各地中考試題來看，其基本遵循《標準》的要求，普遍從不同層次、不同角度對方程和不等式進行了全面、系統(tǒng)的考查. 可以看到，大部分試題的命制從方程與不等式的內(nèi)涵和本質(zhì)出發(fā)，以“解”和“列”為支撐，對基本概念、基本性質(zhì)和基本方法進行全面考查. 部分試題關注了轉(zhuǎn)化思想、模型思想、分類討論思想等數(shù)學思想方法的落實;部分試題在體現(xiàn)形式上進行了創(chuàng)新;部分試題注重了對數(shù)學文化的考查，在解決函數(shù)問題中突出了對方程與不等式的應用，凸顯了其工具特性，強化了應用意識.

在分析2020年全國各地區(qū)約120套中考數(shù)學試卷后，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)試卷中與方程和不等式內(nèi)容相關的試題分值占總分值的11%左右，比例合理，與2018年和2019年相比占比略有下降. 對該部分內(nèi)容投入分值較大的有廣東東莞卷、貴州銅仁卷和內(nèi)蒙古通遼卷，均占18%左右;在河北卷、貴州貴陽卷中占比較小. 難度方面，容易題、中等題、難題都有涉及，以容易題和中等題為主;題量方面，每套試卷大多設計2 ～ 4道試題. 題型及試題結(jié)構(gòu)方面，主要是1道選擇題、1道填空題或1道解答題.

二、命題思路分析

1. 立足“四基”，夯實基礎

方程與不等式涵蓋的內(nèi)容有：等式的性質(zhì)、一元一次方程的定義與解法、一元二次方程的定義與解法、根與系數(shù)的關系、分式方程的定義與解法、無解問題、一元一次不等式（組）的定義與解法、在數(shù)軸上表示解集. 相對而言，“方程與不等式”部分考查內(nèi)容比較簡單，對學生提出的主要是運算能力方面的要求，面向全體學生，以體現(xiàn)義務教育階段數(shù)學課程的基礎性與普及性.

（1）對基礎知識的考查.

例1 （湖南·株洲卷）下列哪個數(shù)是不等式[2x-1+3<0]的一個解？（ ? ?）

（A）-3 ? （B）[-12] ? （C）[13] ? （D）2

【評析】此題考查的是一元一次不等式的解的問題，命題者并沒有正面設計讓學生去求該不等式的解（范圍），而是要求學生在選項中尋找一個數(shù)滿足不等式即可，因此解題方法也不唯一，既可以求解判斷，也可以逐一帶入選項驗證，加深了學生對一元一次不等式的解這個基本概念的認識. 此題雖然簡單，但不失為一道好題.

例2 （重慶A卷）解一元一次方程[12x+1=1-13x]時，去分母正確的是（ ? ?）.

（A）[3x+1=1-2x] ?（B）[2x+1=1-3x]

（C）[2x+1=6-3x] ?（D）[3x+1=6-2x]

【評析】此題是一道解一元一次方程的試題，試題沒有要求解出方程的結(jié)果，而是設計求解過程中一個步驟——去分母，既突出“去分母”這個知識的重要性，又提醒師生在關注結(jié)果的同時更要關注解題過程的嚴謹性和完整性.

例3 （甘肅·金昌卷）解不等式組：[3x-5<x+1，22x-1≥3x-4，] 并把它的解集在如圖1所示的數(shù)軸上表示出來.

【評析】此題考查的是一元一次不等式組的解法以及解集的表示，也展現(xiàn)了數(shù)與形是表示不等式組解集的兩種基本方法.

類似地，考查一元一次不等式組解法的試題還有北京卷第18題、福建卷第17題.

例4 （江蘇·南京卷）關于x的方程[x-1x+2=p2]（p為常數(shù)）的根的情況，下列結(jié)論中正確的是（ ? ?）.

（A）兩個正根 （B）兩個負根

（C）一個正根，一個負根 （D）無實數(shù)根

【評析】此題考查的是二元一次方程根的情況，根據(jù)已知方程形式，需要進行轉(zhuǎn)化，進而計算判別式，根據(jù)判別式的符號判斷根的個數(shù)情況，然后借助根與系數(shù)的關系，確定答案為選項C. 此題巧妙設計了方程的形式，等號的左邊為一次因式的乘積，右邊是含有參數(shù)p的表達式，這樣的設計不僅融入了轉(zhuǎn)化思想，而且提高了學生的運算能力.

類似地，廣西玉林卷第21題、北京卷第10題、湖北孝感卷第21題都是圍繞二元一次方程根的個數(shù)及根與系數(shù)的關系設計的，這也是近幾年中考中的一種高頻命題方式.

例5 （甘肅·金昌卷）已知x = 1是一元二次方程[m-2x2+4x-m2=0]的一個根，則m的值為（ ? ?）.

（A）-1或2 ?（B）-1 ?（C）2 ?（D）0

【評析】此題考查的是一道借助已知方程的根求方程中未知數(shù)m的試題，通過對根的概念的運用，重新建立關于m的一元二次方程，進而解得m的值，這是對基礎知識的考查. 當然，這里學生容易忽略一元二次方程成立的基本條件，即二次項系數(shù)不能為0，這是對學生思維縝密性的考查.

類似地，考查一元二次方程概念和解的試題還有江蘇常州卷第14題.

（2）對基本技能的考查.

例6 （山東·聊城卷）用配方法解一元二次方程[2x2-3x-1=0]，配方正確的是（ ? ?）.

（A）[x-342=1716] （B）[x-342=12]

（C）[x-322=134] （D）[x-322=114]

【評析】此題考查解一元二次方程的基本方法——配方法，因配方過程涉及提取二次項系數(shù)和完全平方公式的逆向運用等知識，故對學生的運算能力有一定的要求. 又因為各個選項有一定的迷惑性，因此此題得分率并不高，需要引起各地教師的高度重視.

例7 （浙江·嘉興卷）用加減消元法解二元一次方程組[x+3y=4，①2x-y=1 ②]時，下列方法中無法消元的是（ ? ?）.

（A）[①×2-②] （B）[②×-3-①]

（C）[①×-2+②] （D）[①-②×3]

【評析】消元法是解二元一次方程組的基本方法與技能，消元的方法有代入消元法和加減消元法. 此題考查的是加減消元法，并且需要先進行系數(shù)的統(tǒng)一，對學生的消元技巧和轉(zhuǎn)化思想有一定的要求.

類似地，考查二元一次方程組解法的還有廣西玉林卷第20題和黑龍江大興安嶺卷第19題.

例8 （山東·濱州卷）若關于[x]的不等式組[12x-a>;0，4-2x≥0] 無解，則[a]的取值范圍為 ? ? ? ? ?.

【評析】此題探究一元一次不等式組無解的問題. 正確求出每個不等式的解集是基礎，結(jié)合數(shù)軸利用數(shù)形結(jié)合思想是解答此題的關鍵，也是解一元一次不等式組應具備的基本的技能.

類似地，考查一元一次不等式組解集的還有黑龍江大興安嶺卷第5題和山東煙臺卷第12題，這些試題都是要求先求出每個不等式的解集，再畫出數(shù)軸，最后結(jié)合圖象理解一元一次不等式組的解集.

例9 （重慶A卷）若關于x的一元一次不等式組[3x-12≤x+3，x≤a] 的解集為[x≤a，] 且關于y的分式方程[y-ay-2+3y-4y-2=1]有正整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之積是（ ? ?）.

（A）7 ? （B）-14 ? （C）28 ? （D）-56

【評析】此題的第一個考點為通過不等式組的解集確定字母系數(shù)的取值范圍，對學生的思維有一定要求;第二個考點為會解分式方程，滲透對轉(zhuǎn)化思想的考查;第三個考點為通過分式方程解的情況將分式方程解的問題轉(zhuǎn)化為[a+23]為正整數(shù)值的問題，即[a+2>0]且[a+2]為3的倍數(shù)，實現(xiàn)知識間的轉(zhuǎn)化互用，這對學生的轉(zhuǎn)化能力有著較高的要求. 同時，[a+23≠2]即分式方程有意義，這是學生容易忽略的地方，對學生的邏輯推理有較高的要求.

2. 滲透思想，提升能力

方程（組）與不等式（組）之間有很多內(nèi)在聯(lián)系，在學習和應用的過程中貫穿了模型思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學思想，有利于提升學生的數(shù)學能力和思維品質(zhì).

（1）模型思想.

結(jié)合實際問題，注重在新的問題情境下合理構(gòu)建方程或不等式模型，借助數(shù)學的語言和方法，經(jīng)歷表達數(shù)量關系、實現(xiàn)逐步轉(zhuǎn)化、解決實際問題的基本過程，始終是研究方程與不等式的核心，既是出發(fā)點，也是落腳點. 2020年全國各地中考數(shù)學試題對這部分模型思想的考查試題比比皆是，是命題的主要方向之一，復習時應引起高度關注.

例10 （浙江·金華卷）如圖2，在編寫數(shù)學謎題時，“□”內(nèi)要求填寫同一個數(shù)字，若設“□”內(nèi)數(shù)字為[x，] 則列出方程正確的是（ ? ?）.

（A）[3×2x+5=2x]

（B）[3×20x+5=10x×2]

（C）[3×20+x+5=20x]

（D）[3×20+x+5=10x+2]

【評析】此題主要考查由實際問題抽象出一元一次方程模型的問題，合理利用圖片設計試題是此題命題的一大亮點，正確表示十位數(shù)是解題的關鍵. 直接利用表示十位數(shù)的方法得出等式即可.

例11 （湖南·長沙卷）隨著5G網(wǎng)絡技術的發(fā)展，市場對5G產(chǎn)品的需求越來越大. 為滿足市場需求，某大型5G產(chǎn)品生產(chǎn)廠家更新技術后，加快了生產(chǎn)速度，現(xiàn)在平均每天比更新技術前多生產(chǎn)30萬件產(chǎn)品，現(xiàn)在生產(chǎn)500萬件產(chǎn)品所需時間與更新技術前生產(chǎn)400萬件產(chǎn)品所需時間相同. 設更新技術前每天生產(chǎn)x萬件產(chǎn)品，依題意得（ ? ?）.

（A）[400x-30=500x] （B）[400x=500x+30]

（C）[400x=500x-30] （D）[400x+30=500x]

【評析】此題借助“5G產(chǎn)品的需求”這一社會關注度較高的熱點情境，考查用分式方程解決實際問題. 通過分析試題中的數(shù)量關系，找出相等關系——更新技術前后的生產(chǎn)時間相等，進而依據(jù)相等關系列出方程是解決問題的關鍵.

類似地，遼寧本溪卷第8題借助“快遞公司投遞快件的能力”這一情境設計考查分式方程的應用性.

例12 （浙江·衢州卷）某廠家2020年1 ～ 5月份的口罩產(chǎn)量統(tǒng)計圖如圖3所示. 設從2月份到4月份，該廠家口罩產(chǎn)量的平均月增長率為[x，] 根據(jù)題意可得方程（ ? ?）.

（A）[1801-x2=461] （B）[1801+x2=461]

（C）[3681-x2=442] （D）[3681+x2=442]

【評析】此題考查口罩產(chǎn)量的實際問題，口罩作為2020年最“火”的日常用品之一，其積極意義不言自明. 借助統(tǒng)計圖把實際問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程模型是此題的命題亮點.

例13 （寧夏卷）在“抗擊疫情”期間，某學校工會號召廣大教師積極開展了“獻愛心捐款”活動，學校擬用這筆捐款購買A，B兩種防疫物品. 如果購買A種物品60件，B種物品45件，共需1 140元;如果購買A種物品45件，B種物品30件，共需840元.

（1）求A，B兩種防疫物品每件各多少元？

（2）現(xiàn)要購買A，B兩種防疫物品共600件，總費用不超過7 000元，那么A種防疫物品最多購買的件數(shù)為多少？

【評析】2020年疫情肆虐，全國上下眾志成城，積極抗疫. 此題借助“獻愛心捐款”這個情境，既積極傳遞正能量、弘揚傳統(tǒng)美德，又考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式的應用，有一定的借鑒意義.

（2）數(shù)形結(jié)合思想.

在研究方程與不等式中求字母系數(shù)問題時，往往借助數(shù)軸考查數(shù)形結(jié)合思想.

例14 （河南卷）已知關于x的不等式組[x>a，x>b，] 其中a，b在數(shù)軸上的對應點如圖4所示，則這個不等式組的解集為__________.

【評析】此題考查不等式組解的問題，已知中呈現(xiàn)的不等式組形式簡潔，命題的亮點是先需要借助數(shù)軸判斷a，b的大小，然后求解，進一步強化了常規(guī)方法，滲透了數(shù)形結(jié)合思想.

（3）分類討論思想.

在研究數(shù)學問題時，常常需要通過分類討論解決問題，這也是方程與不等式內(nèi)容的一個重要命題方向. 復習中，教師要引導學生逐步體會為什么要分類、如何分類，以及如何確定分類的標準，從而使學生在分類的過程中認識對象的性質(zhì)，感悟分類討論思想的魅力.

例15 （貴州·銅仁卷）已知[m，n，4]分別是等腰三角形（非等邊三角形）三邊的長，且[m，n]是關于[x]的一元二次方程[x2-6x+k+2=0]的兩個根，則[k]的值等于（ ? ?）.

（A）7 ?（B）7或6 ?（C）6或[-7] ?（D）6

【評析】此題考查了根的判別式、一元二次方程的解，以及等邊三角形的性質(zhì)等內(nèi)容，圍繞等腰三角形（非等邊三角形）三邊的長[m，n，4]中哪兩個數(shù)量相等展開分類討論，代入方程即可得到結(jié)論. 當[m=n]時，即[Δ=-62-4×k+2=0，] 解方程即可得到結(jié)論.

類似地，廣西玉林卷第11題命制利用截木條構(gòu)造相似三角形的問題，黑龍江大興安嶺卷第15題為已知等腰三角形兩邊求周長的問題，都涉及對分類討論思想的考查.

（4）轉(zhuǎn)化思想.

例16 （上海卷）用換元法解方程[x+1x2+x2x+1=2]時，若設[x+1x2=y，] 則原方程可化為關于[y]的方程是（ ? ?）.

（A）[y2-2y+1=0] （B）[y2+2y+1=0]

（C）[y2+y+2=0] （D）[y2+y-2=0]

【評析】此題考查用換元法解分式方程，換元法是解分式方程的常用方法之一. 此題利用轉(zhuǎn)化思想把分式方程化繁為簡、化難為易，進而轉(zhuǎn)化為關于[y]的方程. 復習時要注意總結(jié)用換元法解分式方程的特點，尋找解題技巧.

3. 突出能力，提升素養(yǎng)

在復習備考“方程與不等式”這部分內(nèi)容時，除了要關注基礎性，還應該重視培養(yǎng)學生的抽象概括能力、數(shù)學語言與符號語言表達能力、邏輯推理能力和數(shù)學建模能力，進而培養(yǎng)學生的應用意識和創(chuàng)新意識，整體提升學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

（1）閱讀與抽象概括能力.

例17 （內(nèi)蒙古·通遼卷）用※定義一種新運算：對于任意實數(shù)m和n，規(guī)定m ※ n = m2n - mn - 3n，如：1 ※ 2 = 12 × 2 - 1 × 2 - 3 × 2 = -6.

（1）求[-2]※[3;]

（2）若3 ※ m ≥ -6，求m的取值范圍，并在所給的數(shù)軸（圖5）上表示出解集.

【評析】此題屬于新定義試題，主要考查正確理解新運算的定義及其應用能力，突出考查學生的閱讀能力和抽象概括能力. 解題的關鍵是根據(jù)新定義正確列出算式.

類似地，還有河南卷第7題.

（2）創(chuàng)新能力.

例18 （青海卷）在解一元二次方程[x2+bx+c=0]時，小明看錯了一次項系數(shù)b，得到的解為x1 = 2，x2 = 3;小剛看錯了常數(shù)項c，得到的解為x1 = 1，x2 = 4. 試寫出正確的一元二次方程__________.

【評析】此題情境設計新穎、構(gòu)思巧妙，主要考查一元二次方程的根與系數(shù)的關系，而非解一元二次方程. 因此，在考查學生閱讀理解題意和解題策略選取方面有較高要求.

類似地，還有廣西玉林卷第21題、湖北黃岡卷第10題和江蘇泰州卷第10題.

（3）傳承文化，提升素養(yǎng).

數(shù)學文化一直是教學與評價的重要內(nèi)容之一，方程與不等式這部分內(nèi)容從中國古代的《九章算術》到現(xiàn)代的微分方程都得到持續(xù)不斷的變化與發(fā)展. 在中考試題中融入中國傳統(tǒng)數(shù)學文化或直接呈現(xiàn)原著中的相關問題，自然成為命題的一個方面，這對于促進學生全面發(fā)展，形成良好的數(shù)學素養(yǎng)具有重要意義.

例19 （福建卷）我國古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽. 每株腳錢三文足，無錢準與一株椽.”其大意為：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的價錢為6 210文. 如果每株椽的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問6 210文能買多少株椽？設這批椽的數(shù)量為x株，則符合題意的方程是（ ? ?）.

（A）[3x-1=6 210x] （B）[6 210x-1=3]

（C）[3x-1=6 210x] （D）[6 210x=3]

【評析】此題以數(shù)學文化為背景，考查分式方程的應用性，將數(shù)學文化融于試題是近年來各地中考試題中一種常見的考查方式. 復習時需要關注相關的數(shù)學古籍，更要通過練習提升學生相應的翻譯能力，進而解決問題.

類似地，還有河南卷第18題.

（4）邏輯推理能力.

數(shù)學學習的過程是以顯性知識技能為載體，培養(yǎng)學生“四基”“四能”的過程. 因此，考查學生的思維品質(zhì)、隱性知識、解決問題的經(jīng)驗也是各地中考試題命制的一個立意所在.

例20 （廣東·東莞卷）已知關于x，y的方程組[ax+23y=-103，x+y=4] 與[x-y=2，x+by=15]的解相同.

（1）求a，b的值;

（2）若一個三角形的一條邊的長為[26，] 另外兩條邊的長是關于x的方程[x2+ax+b=0]的解. 試判斷該三角形的形狀，并說明理由.

【評析】此題利用兩個二元一次方程組同解的已知條件，考查二元一次方程組的解法、一元二次方程的解法、勾股定理的逆定理，以及等腰直角三角形的判定，是一道綜合性較強的中檔題，對學生的計算能力和方法策略要求較高. 此題的命題亮點是結(jié)合已知條件將數(shù)字系數(shù)和字母系數(shù)的方程進行二次分類重組，由數(shù)字系數(shù)方程組解得x，y，然后代入另一方程組求得a與b，最后把第（1）小題中的a，b的值代入方程，求得兩個相等的根后來判斷三角形形狀.

三、復習建議

1. 依“標”靠“本”，立足基礎

《標準》是中考命題和復習備考的依據(jù)，教師應該認真研究，以確保目標合理、方向正確，對深度和難度把握準確，明確復習的重心. 特別是要弄清楚《標準》中對每個知識的等級要求，做到“心中有數(shù)”. 教材是教學與評價的主要載體，是落實《標準》的主要工具，復習時更要回歸教材、研讀教材，體會教材的編寫意圖. 由于“方程與不等式”這部分知識分布在初中幾個學期的學習中，因此在中考復習時認真研究教材的復習策略，重構(gòu)系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡顯得尤為重要.

2. 關注生活實際，強化應用意識

數(shù)學源于生活，又服務于生活.《標準》中明確指出，有意識利用方程與不等式模型解釋現(xiàn)實世界中的問題;認識到現(xiàn)實生活中蘊涵著大量與數(shù)量有關的問題可以抽象成數(shù)學問題，用方程與不等式的方法予以解決. 2020年全國各地中考數(shù)學試卷中與實際生活相結(jié)合的試題非常多，復習時要注重培養(yǎng)學生的閱讀理解能力和數(shù)學建模能力.

3. 增強開放意識，培養(yǎng)創(chuàng)新能力

在全國各地的中考試題中，關于此部分的試題中有5%左右的設計有一定難度. 復習時要關注有效解答的策略研究，在引導學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程中不斷探究、積累經(jīng)驗，體會數(shù)學知識之間的關聯(lián)，注重知識的生長點與延伸點，引導學生感受數(shù)學的系統(tǒng)性和整體性，從不同層次、不同角度對方程與不等式的核心知識加以分析、深化理解，不斷培養(yǎng)學生的開放意識和創(chuàng)新能力. 當然，更要考慮學情，分層次落實.

四、模擬題欣賞

1. 注重概念及性質(zhì)的考查

（1）已知xa + 1 + 2y2 - b + 3 = 0是關于x，y的二元一次方程，則a - b的值為________________.

參考答案：-1.

（2）若a

（A）a - c>b - c （B）a - c ≥ b - c

（C）a + c

參考答案：C.

2. 注重對通法的考查

（3）方程[21-x=1]的解是__________.

參考答案：x = -1.

3. 注重對數(shù)學思想的考查

（4）已知方程[x2x+3-2x+6x2-3=0.] 如果設[x2x+3=][y，] 那么原方程可化為關于y的方程是 ? ? ? .

參考答案：y2 - 3y - 2 = 0.

（5）閱讀以下例題.

解方程：[3x=1.]

解：當3x ≥ 0時，

原方程可化為一元一次方程3x = 1，

解這個方程得[x=13;]

當3x<0時，

原方程可化為一元一次方程-3x = 1，

解這個方程得[x=-13.]

所以原方程的解是[x=13]或[x=-13.]

① ?仿照例題解方程：[2x+1=3.]

② 探究：當b為何值時，方程[x-2=b+1]滿足：無解;只有一個解;有兩個解.

參考答案：① ?x = 1或x = -2.

② 當b<-1時，方程無解;當b = -1時，方程只有一個解;當b>-1時，方程有兩個解.

4. 注重應用意識的考查

（6）某中學七年級教師購買《平凡的世界》《朝花夕拾》和《鋼鐵是怎樣練成的》供學生借閱. 已知三本書的單價之和為120元，計劃購買三種書數(shù)量總共不超過125本，其中《平凡的世界》單價為50元，計劃購買25本，《朝花夕拾》至少購買15本，《鋼鐵是怎樣練成的》數(shù)量不少于《朝花夕拾》的2倍. 在做預算時將《鋼鐵是怎樣練成的》和《朝花夕拾》的單價弄反了，結(jié)果實際購買三種書的總價比預算多了116元，若三本書的單價均為整數(shù)，則實際購買這三種書最多需要花費多少？

參考答案：4 808元.

5. 注重對傳統(tǒng)文化的考查

（7）“今有善行者行一百步，不善行者行六十步.”（出自《九章算術》）意思是：同樣的時間段里，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步. 假定兩者步長相等，據(jù)此回答以下問題.

① ?今善行者與不善行者相距960步，兩者相向而行，問，相遇時兩者各行幾步？

② 今不善行者先行100步，善行者追之，不善行者再行300步，請問誰在前面，兩人相隔多少步？

參考答案：① ?善行者走600步，不善行者走360步;

② 善行者在前面，兩人相隔100步.

6. 注重對綜合能力的考查

（8）若整數(shù)a使關于x的不等式組[x2-1≤13x-2，3x-a≥21-x] 恰有兩個整數(shù)解，且使關于y的分式方程[1-3yy-1-2a1-y=][-2]的解為正數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是__________.

參考答案：5.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]肖文記，孫延洲. 內(nèi)外關聯(lián) ?潛移默化：2019年中考“方程與不等式”專題命題分析[J]. 中國數(shù)學教育（初中版），2020（1 / 2）：42-49.

[3]劉金英，顧洪敏. 化繁為簡，大巧不工：2018年中考“方程與不等式”專題命題分析[J]. 中國數(shù)學教育（初中版），2019（1 / 2）：31-38.

[4]李智惠，薛紅霞. 2017年中考“方程與不等式”專題命題分析[J]. 中國數(shù)學教育（初中版），2018（1 / 2）：37-46.