數(shù)學(xué)命題的變革：知識、能力、素養(yǎng)

孫延洲　宋承洋

摘 ?要：2020年全國各地區(qū)中考試卷中有關(guān)“數(shù)與式”的內(nèi)容注重考查核心概念、性質(zhì)、法則和運(yùn)算. 在命題上，突出了從知識、能力立意到素養(yǎng)立意的導(dǎo)向，關(guān)注了學(xué)科的課程目標(biāo)，加強(qiáng)了對數(shù)感、符號意識、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識的考查.

關(guān)鍵詞：中考試題;命題分析;數(shù)與式;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

通過對2020年中考試題的研究，發(fā)現(xiàn)中考數(shù)學(xué)命題特點(diǎn)已悄然發(fā)生變化，命題從關(guān)注對知識面的覆蓋，到關(guān)注對基礎(chǔ)知識、基本技能、智力、能力的考查，再到不僅考查基礎(chǔ)知識和基本技能，也關(guān)注知識的遷移和后天素養(yǎng)的習(xí)得. 這從2020年中考試卷中“數(shù)與式”內(nèi)容的命題中得到了充分的體現(xiàn). 2020年全國各地區(qū)中考試卷中“數(shù)與式”內(nèi)容的考查遵循了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）的要求，既與現(xiàn)行課程改革發(fā)展理念相吻合，又從知識到能力再到素養(yǎng)導(dǎo)向變化，體現(xiàn)出從關(guān)注知識的掌握到關(guān)注人的發(fā)展;考核目標(biāo)從一般性的問題解決到探究能力的考查;問題情境從學(xué)科性的知識到真實(shí)性的情境變革. 對《標(biāo)準(zhǔn)》中提到的數(shù)感、符號意識、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識等幾個(gè)關(guān)鍵方面都有涉及，比較好地體現(xiàn)了中考的命題導(dǎo)向功能.

一、“數(shù)與式”內(nèi)容的主要考點(diǎn)

《標(biāo)準(zhǔn)》中對“數(shù)與式”的要求為：理解有理數(shù)、實(shí)數(shù)、代數(shù)式等，掌握必要的運(yùn)算（包括估算）技能;探索具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，掌握用代數(shù)式進(jìn)行表述的方法. 通過用代數(shù)式等表述數(shù)量關(guān)系的過程，體會模型思想，建立符號意識，初步學(xué)會在具體的情境中從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，并綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法等解決簡單的實(shí)際問題，增強(qiáng)應(yīng)用意識，提高實(shí)踐能力. 主要包括數(shù)與式的有關(guān)概念和運(yùn)算，以及用數(shù)或式表示各種情境中的數(shù)量關(guān)系，它們是初中數(shù)學(xué)中最為基礎(chǔ)的內(nèi)容.“數(shù)與式”屬于“數(shù)與代數(shù)”這一領(lǐng)域，包含了數(shù)與式的認(rèn)識、數(shù)與式的表示、數(shù)與式的運(yùn)算、數(shù)量的估算、數(shù)與式的應(yīng)用等. 其主要知識結(jié)構(gòu)如圖1所示.

從內(nèi)容構(gòu)成來看，“數(shù)與式”內(nèi)容不僅是方程（組）、不等式（組）、函數(shù)等“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域所需要掌握的基礎(chǔ)知識，而且是“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”等領(lǐng)域解決問題中有關(guān)數(shù)量表達(dá)與計(jì)算的基礎(chǔ);從數(shù)學(xué)思想方法的角度來看，這部分知識所蘊(yùn)涵的思想方法既與后續(xù)所學(xué)內(nèi)容有共性之處，又對后續(xù)知識的學(xué)習(xí)具有十分重要的遷移和借鑒意義. 此外，“數(shù)與式”內(nèi)容中所滲透的數(shù)感和符號意識也是理解方程和函數(shù)意義的本質(zhì)及進(jìn)行相關(guān)運(yùn)用的基礎(chǔ). 因此，這部分內(nèi)容的考點(diǎn)主要是圍繞數(shù)與式的基礎(chǔ)知識和基本技能，突出基本的數(shù)學(xué)思想和學(xué)生積累的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行考查. 2020年全國各地區(qū)中考試題單純考查“數(shù)與式”內(nèi)容的題型，主要出現(xiàn)在選擇題或者填空題，分值約為3分，也有少數(shù)出現(xiàn)在綜合題中，分值約為4 ～ 8分;其他涉及“數(shù)與式”的內(nèi)容，主要與其他領(lǐng)域知識一并綜合考查，全卷“數(shù)與式”內(nèi)容的試題分值與全卷總分值的比在15% ～ 30%之間，與教材中“數(shù)與式”課時(shí)量占總課時(shí)的比例相當(dāng)，符合《標(biāo)準(zhǔn)》的要求.

二、命題的主要特點(diǎn)

綜觀2020年全國各地區(qū)中考試卷中“數(shù)與式”部分，在關(guān)注考查基礎(chǔ)知識的同時(shí)，特別凸顯了對核心概念、數(shù)感、符號意識、運(yùn)算能力、數(shù)學(xué)思想、應(yīng)用意識的考查.

1. 突出對核心概念、重要知識的考查

小學(xué)數(shù)學(xué)主要是“算”，這既是學(xué)習(xí)內(nèi)容，也是由學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平?jīng)Q定的;對中學(xué)數(shù)學(xué)而言，從某種意義上說，數(shù)學(xué)的核心概念和重要性質(zhì)的掌握是基于數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容體系、學(xué)生認(rèn)知水平和發(fā)展規(guī)律確定的，是實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ)，是實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)的主要依據(jù).

（1）直接對核心概念、性質(zhì)進(jìn)行考查，題型源于教材.

例1 （遼寧·遼陽卷）-2的倒數(shù)是（ ?）.

（A）[-12] （B）-2

（C）[12] （D）2

例2 （遼寧·營口卷）-6的絕對值是（ ?）.

（A）6 （B）-6

（C） [16] （D） [-16]

例3 （山東·淄博卷）若實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是-2，則a等于（ ?）.

（A）2 （B）-2

（C）[12] （D）0

【評析】以上三道題直接考查有理數(shù)中的三個(gè)核心概念. 試題的條件、問題簡單明了，凸顯所考知識的基礎(chǔ)性及其基本的認(rèn)知要求. 例1考查倒數(shù)的概念;例2考查絕對值的概念;例3考查相反數(shù)的概念，取材于人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“人教版教材”）七年級上冊第10頁的“歸納與思考”. 對單個(gè)概念的考查屬于知識性立意試題，突出了基礎(chǔ)性，一般位于全卷選擇題的前三道題或者填空題的前三道題，各地試卷大體相同，在此不一一舉例說明.

（2）關(guān)注核心概念、性質(zhì)的幾何意義，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想.

例4 （湖南·郴州卷）圖2中表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)是（ ?）.

（A）點(diǎn)A與點(diǎn)B （B）點(diǎn)A與點(diǎn)D

（C）點(diǎn)C與點(diǎn)B （D）點(diǎn)C與點(diǎn)D

例5 （北京卷）實(shí)數(shù)[a]在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖3所示，若實(shí)數(shù)[b]滿足[-a<b<a]，則[b]的值可以是（ ?）.

（A）2 （B）-1

（C）-2 （D）-3

【評析】以上兩道題以數(shù)軸為載體考查了相反數(shù)和數(shù)的大小比較，體現(xiàn)了一定的綜合性，不僅是對知識的直接考查，而且強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)思考，關(guān)注了數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學(xué)思想方法，體現(xiàn)了實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的關(guān)系.

2. 突出對數(shù)學(xué)能力的考查

“數(shù)與式”這部分內(nèi)容與數(shù)感、符號意識、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想等核心概念直接關(guān)聯(lián). 數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟能力;符號意識主要是指能夠理解并且運(yùn)用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律;掌握使用符號可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性的能力.

（1）對數(shù)感的考查.

《標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：數(shù)感能力的培養(yǎng)在于理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義;能用多種方法來表示數(shù);能在具體的情境中把握數(shù)的相對大小關(guān)系;能用數(shù)來表達(dá)和交流信息;能為解決問題而選擇適當(dāng)?shù)乃惴?能估計(jì)運(yùn)算的結(jié)果，并對結(jié)果的合理性做出解釋.

例6 （湖南·株洲卷）一實(shí)驗(yàn)室檢測A，B，C，D四個(gè)元件的質(zhì)量（單位：克），超過標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為正數(shù)，不足標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為負(fù)數(shù)，結(jié)果如下圖所示，其中最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的元件是（ ?）.

[（A）][+1.2] [-2.3][（B）] [+0.9][（C）] [-0.8][（D）]

例7 （貴州·黔東南州卷）實(shí)數(shù)[210]介于（ ?）.

（A）4和5之間 （B）5和6之間

（C）6和7之間 （D）7和8之間

【評析】音樂有“樂感”，語文有“語感”，數(shù)學(xué)也有“數(shù)感”. 一個(gè)人一旦有了數(shù)感，就能將數(shù)與實(shí)際背景聯(lián)系起來，用數(shù)學(xué)的方式思考問題. 數(shù)感使人眼中看到的世界有了量化的意味，當(dāng)遇到可能與數(shù)學(xué)有關(guān)的具體問題時(shí)，能自然地、有意識地與數(shù)學(xué)聯(lián)系起來，或者試圖進(jìn)一步用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)和方法來處理和解釋. 例6體現(xiàn)了建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系. 例7是考查學(xué)生對數(shù)的估算能力. 可見，數(shù)感是學(xué)生需要具備的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本任務(wù)之一. 當(dāng)然，數(shù)感的形成不是一蹴而就的，而是需要一個(gè)漸進(jìn)、沉淀、積累的過程.

（2）對思維能力的考查.

數(shù)學(xué)是一個(gè)符號化的世界. 數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)抽象思維的產(chǎn)物，是數(shù)學(xué)思想交流與傳播的載體. 從某種意義上說，體現(xiàn)了一個(gè)人的數(shù)學(xué)邏輯思維水平.“數(shù)與式”內(nèi)容主要考查的是能夠理解并且運(yùn)用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律;知道數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律;理解符號所表示的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律;可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性.

例8 （重慶A卷）把黑色三角形按如圖4所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有1個(gè)黑色三角形，第②個(gè)圖案中有3個(gè)黑色三角形，第③個(gè)圖案中有6個(gè)黑色三角形，……，按此規(guī)律排列下去，則第⑤個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)為（ ?）.

（A）10 （B）15

（C）18 （D）21

例9 （甘肅·天水卷）觀察等式：2 + 22 = 23 - 2;2 + 22 + 23 = 24 - 2;2 + 22 + 23 + 24 = 25 - 2;…已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100 = S，用含S的式子表示這組數(shù)據(jù)的和是（ ?）.

（A）2S2 - S （B）2S2 + S

（C）2S2 - 2S （D）2S2 - 2S - 2

【評析】對于初中數(shù)學(xué)教學(xué)，數(shù)學(xué)符號的學(xué)習(xí)是整個(gè)教學(xué)中不可或缺的組成部分，在人們進(jìn)行數(shù)學(xué)邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算及解決數(shù)學(xué)問題上都扮演著重要的角色. 數(shù)學(xué)符號通?？梢詫⒊橄蟮臄?shù)學(xué)問題通過最形象、最簡單的抽象符號來準(zhǔn)確、清晰地表現(xiàn)出來，以便于人們進(jìn)行各種不同的數(shù)學(xué)交流與學(xué)習(xí).

例8和例9需借助觀察與歸納思考，用代數(shù)式表示出情境所蘊(yùn)含的規(guī)律. 正確解答這樣的題目的基礎(chǔ)在于對所給的示例進(jìn)行觀察、操作、對比與分析，從中歸納與概括出所體現(xiàn)的規(guī)律. 因此，這類題目是考查合情推理能力和符號意識的常用手法. 例8取材于人教版教材七年級上冊第72頁的“數(shù)學(xué)活動(dòng)”，以及九年級上冊第23頁的“數(shù)學(xué)活動(dòng)”. 例9在考查數(shù)式的同時(shí)，綜合考查方程思想，突出對數(shù)學(xué)思想方法、解決問題能力的考查.

3. 突出對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查

數(shù)學(xué)素養(yǎng)反映對數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想的理解，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中形成的，具有全面性和綜合性. 一般而言，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析. 在“數(shù)與式”部分主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象等方面的素養(yǎng).

（1）注重運(yùn)算順序、運(yùn)算法則、邏輯推理的考查.

運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則、公式和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力. 對運(yùn)算能力的要求可以概括為“準(zhǔn)確、熟練、合理”六個(gè)字，而且反映出重在對算理和算法的考查，并對計(jì)算和運(yùn)算的靈活性與實(shí)用性也有一定的要求.

例10 （甘肅·武威卷）暑假期間，亮視眼鏡店開展學(xué)生配鏡優(yōu)惠活動(dòng). 某款式眼鏡的廣告如圖5所示，試為廣告牌填上原價(jià).

例11 （上海卷）計(jì)算：[2713+15+2-12-2+][3-5].

【評析】實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則是極為重要的基礎(chǔ)知識，有必要進(jìn)行針對性考查. 上述例題以不同的方式考查了學(xué)生對運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)的掌握情況. 例10賦予一定的生活背景考查有理數(shù)的運(yùn)算;例11綜合考查學(xué)生對實(shí)數(shù)的運(yùn)算能力，以及對運(yùn)算法則、運(yùn)算律的運(yùn)用.

例12 （四川·成都卷）下列計(jì)算正確的是（ ?）.

（A）[3a+2b=5ab] （B）[a3 · a2=a6]

（C）[-a3b2=a6b2] （D）[a2b3÷a=b3]

例13 （河北卷）墨跡覆蓋了等式“x3 x = x2（x ≠ 0）”中的運(yùn)算符號，則覆蓋的是（ ?）.

（A）+ （B）-

（C）× （D）÷

例14 （湖北·鄂州卷）先化簡[x2-4x+4x2-1÷][x2-2xx+1+][1x-1]，再從-2，-1，0，1，2中選一個(gè)合適的數(shù)作為[x]的值代入求值.

【評析】掌握數(shù)與式的運(yùn)算及變形的技能，是學(xué)習(xí)數(shù)與式的重要目的之一，也是提高運(yùn)算能力的重要基礎(chǔ)，有必要進(jìn)行針對性的考查. 例12綜合考查了基本的運(yùn)算法則;例13考查了學(xué)生的邏輯推理能力;例14全面考查分式的化簡求值，體現(xiàn)了一定的開放性.

（2）突出對模型思想、應(yīng)用意識的考查.

模型思想一種基本的數(shù)學(xué)思想，將模型思想滲透到數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中可以有效培養(yǎng)學(xué)生的思維，使其快速抓住問題的本質(zhì)，從而有助于提高學(xué)生解決問題的能力.

例15 （山東·棗莊卷）圖6（1）是一個(gè)長為[2a、]寬為[2b a>b]的長方形，用剪刀沿圖中虛線（對稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小完全相同的小長方形，然后按圖6（2）那樣拼成一個(gè)正方形，則中間空余的部分的面積是（ ? ?）.

（A）[ab] （B）[a+b2]

（C）[a-b2] （D）[a2-b2]

【評析】例15取材于人教版教材八年級上冊第109頁的“思考”. 例15以式的建立和表達(dá)為基礎(chǔ)，把圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系與式的表達(dá)有機(jī)地結(jié)合起來，考查學(xué)生運(yùn)用代數(shù)與幾何的相關(guān)知識解決問題的能力，突出了對數(shù)形結(jié)合思想的考查.

（3）突出抽象能力及綜合實(shí)踐能力的考查.

例16 （湖北·武漢卷）圖7中所有小正方形都是全等的. 圖7（1）是一張由4個(gè)小正方形組成的“L”形紙片，圖7（2）是一張由6個(gè)小正方形組成的3 × 2方格紙片. 把“L”形紙片放置在圖7（2）中，使它恰好蓋住其中的4個(gè)小正方形，共有圖7（3）中的4種不同放置方法. 圖7（4）是一張由36個(gè)小正方形組成的6 × 6方格紙片，將“L”形紙片放置在圖7（4）中，使它恰好蓋住其中的4個(gè)小正方形，共有n種不同放置方法，則n的值是（ ?）.

（A）160 （B）128

（C）80 （D）48

【評析】規(guī)律探索型問題是近年來中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)題，這種題型可以考查學(xué)生觀察、比較、探索問題的能力. 例16取材于人教版教材七年級上冊第73頁“活動(dòng)3”. 觀察圖形可知圖7（4）中共有 40個(gè)3 × 2的長方形，由圖7（3）可知，每個(gè)3 × 2的長方形有4種不同的放置方法，則n的值是 160. 此題不需要煩瑣的計(jì)算，只需要簡單的邏輯推理即可解決.

（4）突出對“數(shù)與式”中數(shù)學(xué)文化的考查.

依托數(shù)學(xué)文化，感受數(shù)學(xué)魅力，是2020年全國各地區(qū)中考的一大特色. 這種知識與知識的融合，知識與數(shù)學(xué)文化之間的融合，讓學(xué)生在解題過程中能充分感受到數(shù)學(xué)的魅力和豐富的文化內(nèi)涵.

例17 （江西卷）公元前2000年左右，古巴比倫人使用的楔形文字中有兩個(gè)符號（如圖8），一個(gè)釘頭形代表1，一個(gè)尖頭形代表10. 在古巴比倫的記數(shù)系統(tǒng)中，人們使用的標(biāo)記方法和我們當(dāng)今使用的方法相同，最右邊的數(shù)字代表個(gè)位，然后是十位，百位. 根據(jù)符號記數(shù)的方法，如圖9所示的符號表示一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)是________.

【評析】通過古巴比倫人使用的楔形文字中的符號語言，介紹了世界古文明和數(shù)學(xué)史. 現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量與數(shù)量、實(shí)物圖形有關(guān)的問題. 這些試題活而不難，讓知識和文化融合.

例18 （湖南·湘潭卷）算籌是在珠算發(fā)明以前我國獨(dú)創(chuàng)并且有效的計(jì)算工具，為我國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了很大的貢獻(xiàn). 在算籌計(jì)數(shù)法中，以“縱式”和“橫式”兩種方式來表示數(shù)字，如下表所示.

表示多位數(shù)時(shí)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，遇零則置空. 示例如________，則________表示的數(shù)是________.

【評析】例18取材于人教版教材七年級上冊第21頁“實(shí)驗(yàn)與探究：填幻方”. 例18以傳統(tǒng)數(shù)學(xué)知識為問題背景考查數(shù)與式，弘揚(yáng)了中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，使學(xué)生感知到我國古代數(shù)學(xué)的成就和特點(diǎn)，有利于引導(dǎo)學(xué)生了解中國的數(shù)學(xué)文化，激發(fā)愛國熱情，發(fā)揮中考試題的育人功能.

三、啟迪與思考

1. 重視對核心概念、性質(zhì)的理解與運(yùn)用，回歸教材

“數(shù)與式”的內(nèi)容概念多、知識點(diǎn)分散，直接涉及“數(shù)與式”內(nèi)容的試題難度不大，但有些學(xué)生在復(fù)習(xí)時(shí)認(rèn)為這部分內(nèi)容很容易，因?yàn)楹鲆暥鴣G分. 一般來說，中考中大部分“數(shù)與式”試題來源于教材，重視基礎(chǔ)知識，突出教材的教學(xué)功能. 所以，中考復(fù)習(xí)要注意回歸教材，圍繞教材回憶與梳理知識點(diǎn)，對教材中要求掌握的概念、定理、公式要做到熟記于心.“數(shù)與式”內(nèi)容主要包括數(shù)與式的有關(guān)概念和運(yùn)算、用數(shù)或式表示各種情境中的數(shù)量及數(shù)量關(guān)系，這是初中數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的內(nèi)容. 可以發(fā)現(xiàn)，2020年多數(shù)中考試題素材都來源于教材，采取整合、引申與加工等方式進(jìn)行創(chuàng)新改編. 這樣有利于為所有學(xué)生創(chuàng)設(shè)一種熟悉的場景，能避免出現(xiàn)某些對學(xué)生來說非常陌生的情境. 中考命題堅(jiān)持回歸教材，有利于引導(dǎo)教師研究教材、理解教材、用好教材，幫助學(xué)生走出“題海”.

2. 加強(qiáng)對運(yùn)算法則的理解，注重用通性、通法解決問題能力的培養(yǎng)

強(qiáng)調(diào)用通性、通法解決數(shù)學(xué)問題的能力，是數(shù)學(xué)教育教學(xué)的共識. 教師要重視教材，尤其重視對教材中的核心概念的理解，對運(yùn)算公式、法則的形成過程和例題的典型作用要仔細(xì)研究，關(guān)注數(shù)與式的算理，對于數(shù)式運(yùn)算的通性——運(yùn)算律，要深刻領(lǐng)悟和掌握，并圍繞問題尋找通性、通法，讓學(xué)生通過研究數(shù)學(xué)問題的過程而達(dá)到靈活應(yīng)用、觸類旁通的效果. 在中考復(fù)習(xí)過程中，教師應(yīng)該重視引導(dǎo)學(xué)生加深對法則的理解. 教師在教學(xué)過程中要起到示范作用，教師的板書、強(qiáng)調(diào)是必不可少的. 規(guī)范學(xué)生的運(yùn)算習(xí)慣、書寫習(xí)慣，有計(jì)劃、分階段地開展運(yùn)算能力訓(xùn)練，這樣既可以讓學(xué)生在復(fù)習(xí)階段靜下心來，找到通性、通法，也可以提高學(xué)生的計(jì)算能力.

3. 注重思維訓(xùn)練、提高應(yīng)用意識，注重?cái)?shù)學(xué)素養(yǎng)的提升

數(shù)學(xué)是思維訓(xùn)練的重要體現(xiàn). 在“數(shù)與式”內(nèi)容的復(fù)習(xí)階段，教師應(yīng)當(dāng)以提高學(xué)生的應(yīng)用意識與思維能力為基礎(chǔ)，切實(shí)將課堂的主動(dòng)權(quán)交還給學(xué)生;注重對教材中的“實(shí)驗(yàn)與探究”“歸納總結(jié)”“閱讀與思考”“數(shù)學(xué)活動(dòng)”等內(nèi)容進(jìn)行再開發(fā)與研究. 通過有效的引導(dǎo)與幫助，促使學(xué)生多元化發(fā)展，切實(shí)提高課堂教學(xué)的有效性，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有針對性. 在“數(shù)與式”內(nèi)容的教育教學(xué)中，要堅(jiān)持在數(shù)學(xué)素養(yǎng)上做文章，給教師的教學(xué)、學(xué)生的學(xué)習(xí)指明教與學(xué)的方向;對典型數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分析、解構(gòu)與拓展，要把握數(shù)學(xué)問題的實(shí)質(zhì). 只有透徹理解數(shù)學(xué)課程內(nèi)容所涵蓋的知識、能力、數(shù)學(xué)思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，才能以不變應(yīng)萬變. 這樣也可以讓學(xué)生在浩瀚無邊的題海中，把問題分類、歸納，然后根據(jù)不同的類別在復(fù)習(xí)時(shí)加以歸納、提煉和升華，以達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的.

四、模擬訓(xùn)練題欣賞

1. 計(jì)算[-2-1]的結(jié)果是（ ? ?）.

（A）-3 （B）-2

（C）-1 ? ?（D）0

參考答案：A.

2. 下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（ ? ?）.

（A）2與[12] （B）[-12]與1

（C）-1與[-12] （D）2與[-2]

參考答案：C.

3. [-13]的倒數(shù)是（ ? ?）.

（A）3 ? ? ? （B）-3

（C）[-13] ? （D）[13]

參考答案：B.

4. 海洋總面積約為36 105.9萬平方千米，用科學(xué)記數(shù)法（保留三個(gè)有效數(shù)字）表示為（ ? ?）.

（A）3.61 × 108平方千米

（B）3.60 × 108平方千米

（C）361 × 106平方千米

（D）36 100萬平方千米

參考答案：A.

5. 吋是電視機(jī)常用規(guī)格之一，1吋約為拇指上面一節(jié)的長（如圖10），則7吋長相當(dāng)于（ ? ?）.

（A）課本的寬度 （B）課桌的寬度

（C）黑板的高度 （D）粉筆的長度

參考答案：A.

6. 實(shí)數(shù)[a，b]在數(shù)軸上的位置如圖11所示，則下列各式正確的是（ ? ?）.

（A）[-a>-b] ? （B）[a>-b]

（C）[a<b] （D）[a>b]

參考答案：D.

7. 下列等式一定成立的是（ ? ?）.

（A） [9+16=9+16]

（B） [a2-b2=a-b]

（C） [4×π=4×π]

（D） [a+b2=a+b]

參考答案：C.

8. 如圖12，數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為-1和[3]，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為C，則點(diǎn)C所表示的數(shù)為（ ? ?）.

（A）[-2-3] （B）[-1-3]

（C）[-2+3] （D）[1+3]

參考答案：A.

9. 任何一個(gè)正整數(shù)[n]都可以進(jìn)行這樣的分解：[n=s×t]（[s，t]是正整數(shù)，且[s≤t]），如果[p×q]在[n]的所有這種分解中兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱[p×q]是[n]的最佳分解，并規(guī)定[Fn=pq]. 例如，18可以分解成[1×18，2×9，3×6]這三種，這時(shí)就有[F18=36=12]. 給出下列關(guān)于[Fn]的說法：（1）[F2=12;]（2）[F24=38];（3）[F27=3];（4）若[n]是一個(gè)完全平方數(shù)，則[Fn=1]. 其中正確說法的個(gè)數(shù)是（ ? ?）.

（A）1 （B）2

（C）3 （D）4

參考答案：B.

10. 把a(bǔ)3 - ab2分解因式的正確結(jié)果是（ ? ?）.

（A）（a + ab）（a - ab） （B）a（a2 - b2）

（C）a（a + b）（a - b） （D）a（a - b）2

參考答案：C.

11. 對于任何實(shí)數(shù)，我們規(guī)定符號[ac] [bd]的意義是[ac] [bd]=[ad-bc]. 按照這個(gè)規(guī)定試計(jì)算：當(dāng)[x2-3x+][1=0]時(shí)，求[x+1x-2] [3xx-1]的值.

參考答案：1.

12. 如圖13，在長和寬分別是a，b的矩形紙片的四個(gè)角都剪去一個(gè)邊長為x的正方形.

（1）用a，b，x表示紙片剩余部分的面積;

（2）當(dāng)a = 6，b = 4，且剪去部分的面積等于剩余部分的面積時(shí)，求正方形的邊長.

參考答案：（1）ab - 4x2;（2）[3].

13. 計(jì)算：[-83--19+2cos60°+2-32×27].

參考答案：2.

14. 先化簡代數(shù)式[aa+2+2a-2]÷[1a2-4]，然后選取一個(gè)合適的a值，代入求值.

參考答案：[a2+4].

參考文獻(xiàn)：

[1]孫延洲，肖文記. 2016年中考“數(shù)與式”專題命題分析[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2017（1 / 2）：21-32.

[2]任子朝. 從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2018（13）：1.

收稿日期：2020-10-20

作者簡介：孫延洲（1972— ），男，中學(xué)高級教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)和課程教材研究.