數學命題的變革：知識、能力、素養(yǎng)

孫延洲　宋承洋

摘 ?要：2020年全國各地區(qū)中考試卷中有關“數與式”的內容注重考查核心概念、性質、法則和運算. 在命題上，突出了從知識、能力立意到素養(yǎng)立意的導向，關注了學科的課程目標，加強了對數感、符號意識、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識和創(chuàng)新意識的考查.

關鍵詞：中考試題;命題分析;數與式;數學素養(yǎng)

通過對2020年中考試題的研究，發(fā)現中考數學命題特點已悄然發(fā)生變化，命題從關注對知識面的覆蓋，到關注對基礎知識、基本技能、智力、能力的考查，再到不僅考查基礎知識和基本技能，也關注知識的遷移和后天素養(yǎng)的習得. 這從2020年中考試卷中“數與式”內容的命題中得到了充分的體現. 2020年全國各地區(qū)中考試卷中“數與式”內容的考查遵循了《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）的要求，既與現行課程改革發(fā)展理念相吻合，又從知識到能力再到素養(yǎng)導向變化，體現出從關注知識的掌握到關注人的發(fā)展;考核目標從一般性的問題解決到探究能力的考查;問題情境從學科性的知識到真實性的情境變革. 對《標準》中提到的數感、符號意識、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識和創(chuàng)新意識等幾個關鍵方面都有涉及，比較好地體現了中考的命題導向功能.

一、“數與式”內容的主要考點

《標準》中對“數與式”的要求為：理解有理數、實數、代數式等，掌握必要的運算（包括估算）技能;探索具體問題中的數量關系和變化規(guī)律，掌握用代數式進行表述的方法. 通過用代數式等表述數量關系的過程，體會模型思想，建立符號意識，初步學會在具體的情境中從數學的角度發(fā)現問題和提出問題，并綜合運用數學知識和方法等解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力. 主要包括數與式的有關概念和運算，以及用數或式表示各種情境中的數量關系，它們是初中數學中最為基礎的內容.“數與式”屬于“數與代數”這一領域，包含了數與式的認識、數與式的表示、數與式的運算、數量的估算、數與式的應用等. 其主要知識結構如圖1所示.

從內容構成來看，“數與式”內容不僅是方程（組）、不等式（組）、函數等“數與代數”領域所需要掌握的基礎知識，而且是“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”等領域解決問題中有關數量表達與計算的基礎;從數學思想方法的角度來看，這部分知識所蘊涵的思想方法既與后續(xù)所學內容有共性之處，又對后續(xù)知識的學習具有十分重要的遷移和借鑒意義. 此外，“數與式”內容中所滲透的數感和符號意識也是理解方程和函數意義的本質及進行相關運用的基礎. 因此，這部分內容的考點主要是圍繞數與式的基礎知識和基本技能，突出基本的數學思想和學生積累的基本活動經驗進行考查. 2020年全國各地區(qū)中考試題單純考查“數與式”內容的題型，主要出現在選擇題或者填空題，分值約為3分，也有少數出現在綜合題中，分值約為4 ～ 8分;其他涉及“數與式”的內容，主要與其他領域知識一并綜合考查，全卷“數與式”內容的試題分值與全卷總分值的比在15% ～ 30%之間，與教材中“數與式”課時量占總課時的比例相當，符合《標準》的要求.

二、命題的主要特點

綜觀2020年全國各地區(qū)中考試卷中“數與式”部分，在關注考查基礎知識的同時，特別凸顯了對核心概念、數感、符號意識、運算能力、數學思想、應用意識的考查.

1. 突出對核心概念、重要知識的考查

小學數學主要是“算”，這既是學習內容，也是由學生的認知發(fā)展水平決定的;對中學數學而言，從某種意義上說，數學的核心概念和重要性質的掌握是基于數學學科內容體系、學生認知水平和發(fā)展規(guī)律確定的，是實施數學教學活動的基礎，是實現課程目標的主要依據.

（1）直接對核心概念、性質進行考查，題型源于教材.

例1 （遼寧·遼陽卷）-2的倒數是（ ?）.

（A）[-12] （B）-2

（C）[12] （D）2

例2 （遼寧·營口卷）-6的絕對值是（ ?）.

（A）6 （B）-6

（C） [16] （D） [-16]

例3 （山東·淄博卷）若實數a的相反數是-2，則a等于（ ?）.

（A）2 （B）-2

（C）[12] （D）0

【評析】以上三道題直接考查有理數中的三個核心概念. 試題的條件、問題簡單明了，凸顯所考知識的基礎性及其基本的認知要求. 例1考查倒數的概念;例2考查絕對值的概念;例3考查相反數的概念，取材于人教版《義務教育教科書·數學》（以下統(tǒng)稱“人教版教材”）七年級上冊第10頁的“歸納與思考”. 對單個概念的考查屬于知識性立意試題，突出了基礎性，一般位于全卷選擇題的前三道題或者填空題的前三道題，各地試卷大體相同，在此不一一舉例說明.

（2）關注核心概念、性質的幾何意義，體現數學思想.

例4 （湖南·郴州卷）圖2中表示互為相反數的兩個點是（ ?）.

（A）點A與點B （B）點A與點D

（C）點C與點B （D）點C與點D

例5 （北京卷）實數[a]在數軸上的對應點的位置如圖3所示，若實數[b]滿足[-a<b<a]，則[b]的值可以是（ ?）.

（A）2 （B）-1

（C）-2 （D）-3

【評析】以上兩道題以數軸為載體考查了相反數和數的大小比較，體現了一定的綜合性，不僅是對知識的直接考查，而且強調了數學思考，關注了數形結合這一數學思想方法，體現了實數與數軸上的點是一一對應的關系.

2. 突出對數學能力的考查

“數與式”這部分內容與數感、符號意識、運算能力、推理能力和模型思想等核心概念直接關聯. 數感主要是指關于數與數量、數量關系、運算結果估計等方面的感悟能力;符號意識主要是指能夠理解并且運用符號表示數、數量關系和變化規(guī)律;掌握使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性的能力.

（1）對數感的考查.

《標準》明確指出：數感能力的培養(yǎng)在于理解現實生活中數的意義;能用多種方法來表示數;能在具體的情境中把握數的相對大小關系;能用數來表達和交流信息;能為解決問題而選擇適當的算法;能估計運算的結果，并對結果的合理性做出解釋.

例6 （湖南·株洲卷）一實驗室檢測A，B，C，D四個元件的質量（單位：克），超過標準質量的克數記為正數，不足標準質量的克數記為負數，結果如下圖所示，其中最接近標準質量的元件是（ ?）.

[（A）][+1.2] [-2.3][（B）] [+0.9][（C）] [-0.8][（D）]

例7 （貴州·黔東南州卷）實數[210]介于（ ?）.

（A）4和5之間 （B）5和6之間

（C）6和7之間 （D）7和8之間

【評析】音樂有“樂感”，語文有“語感”，數學也有“數感”. 一個人一旦有了數感，就能將數與實際背景聯系起來，用數學的方式思考問題. 數感使人眼中看到的世界有了量化的意味，當遇到可能與數學有關的具體問題時，能自然地、有意識地與數學聯系起來，或者試圖進一步用數學的觀點和方法來處理和解釋. 例6體現了建立數感有助于學生理解現實生活中數的意義，理解或表述具體情境中的數量關系. 例7是考查學生對數的估算能力. 可見，數感是學生需要具備的基本數學素養(yǎng)，培養(yǎng)學生的數感是數學學科的基本任務之一. 當然，數感的形成不是一蹴而就的，而是需要一個漸進、沉淀、積累的過程.

（2）對思維能力的考查.

數學是一個符號化的世界. 數學符號是數學抽象思維的產物，是數學思想交流與傳播的載體. 從某種意義上說，體現了一個人的數學邏輯思維水平.“數與式”內容主要考查的是能夠理解并且運用符號表示數、數量關系和變化規(guī)律;知道數量關系和變化規(guī)律;理解符號所表示的數量關系和變化規(guī)律;可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性.

例8 （重慶A卷）把黑色三角形按如圖4所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有1個黑色三角形，第②個圖案中有3個黑色三角形，第③個圖案中有6個黑色三角形，……，按此規(guī)律排列下去，則第⑤個圖案中黑色三角形的個數為（ ?）.

（A）10 （B）15

（C）18 （D）21

例9 （甘肅·天水卷）觀察等式：2 + 22 = 23 - 2;2 + 22 + 23 = 24 - 2;2 + 22 + 23 + 24 = 25 - 2;…已知按一定規(guī)律排列的一組數：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100 = S，用含S的式子表示這組數據的和是（ ?）.

（A）2S2 - S （B）2S2 + S

（C）2S2 - 2S （D）2S2 - 2S - 2

【評析】對于初中數學教學，數學符號的學習是整個教學中不可或缺的組成部分，在人們進行數學邏輯推理、數學計算及解決數學問題上都扮演著重要的角色. 數學符號通?？梢詫⒊橄蟮臄祵W問題通過最形象、最簡單的抽象符號來準確、清晰地表現出來，以便于人們進行各種不同的數學交流與學習.

例8和例9需借助觀察與歸納思考，用代數式表示出情境所蘊含的規(guī)律. 正確解答這樣的題目的基礎在于對所給的示例進行觀察、操作、對比與分析，從中歸納與概括出所體現的規(guī)律. 因此，這類題目是考查合情推理能力和符號意識的常用手法. 例8取材于人教版教材七年級上冊第72頁的“數學活動”，以及九年級上冊第23頁的“數學活動”. 例9在考查數式的同時，綜合考查方程思想，突出對數學思想方法、解決問題能力的考查.

3. 突出對數學素養(yǎng)的考查

數學素養(yǎng)反映對數學本質與數學思想的理解，是在數學學習過程中形成的，具有全面性和綜合性. 一般而言，數學學科核心素養(yǎng)包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析. 在“數與式”部分主要考查學生的數學運算、邏輯推理、數學建模、數學抽象等方面的素養(yǎng).

（1）注重運算順序、運算法則、邏輯推理的考查.

運算能力主要是指能夠根據法則、公式和運算律正確地進行運算的能力. 對運算能力的要求可以概括為“準確、熟練、合理”六個字，而且反映出重在對算理和算法的考查，并對計算和運算的靈活性與實用性也有一定的要求.

例10 （甘肅·武威卷）暑假期間，亮視眼鏡店開展學生配鏡優(yōu)惠活動. 某款式眼鏡的廣告如圖5所示，試為廣告牌填上原價.

例11 （上海卷）計算：[2713+15+2-12-2+][3-5].

【評析】實數的運算法則是極為重要的基礎知識，有必要進行針對性考查. 上述例題以不同的方式考查了學生對運算法則和運算性質的掌握情況. 例10賦予一定的生活背景考查有理數的運算;例11綜合考查學生對實數的運算能力，以及對運算法則、運算律的運用.

例12 （四川·成都卷）下列計算正確的是（ ?）.

（A）[3a+2b=5ab] （B）[a3 · a2=a6]

（C）[-a3b2=a6b2] （D）[a2b3÷a=b3]

例13 （河北卷）墨跡覆蓋了等式“x3 x = x2（x ≠ 0）”中的運算符號，則覆蓋的是（ ?）.

（A）+ （B）-

（C）× （D）÷

例14 （湖北·鄂州卷）先化簡[x2-4x+4x2-1÷][x2-2xx+1+][1x-1]，再從-2，-1，0，1，2中選一個合適的數作為[x]的值代入求值.

【評析】掌握數與式的運算及變形的技能，是學習數與式的重要目的之一，也是提高運算能力的重要基礎，有必要進行針對性的考查. 例12綜合考查了基本的運算法則;例13考查了學生的邏輯推理能力;例14全面考查分式的化簡求值，體現了一定的開放性.

（2）突出對模型思想、應用意識的考查.

模型思想一種基本的數學思想，將模型思想滲透到數學課堂教學中可以有效培養(yǎng)學生的思維，使其快速抓住問題的本質，從而有助于提高學生解決問題的能力.

例15 （山東·棗莊卷）圖6（1）是一個長為[2a、]寬為[2b a>b]的長方形，用剪刀沿圖中虛線（對稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小完全相同的小長方形，然后按圖6（2）那樣拼成一個正方形，則中間空余的部分的面積是（ ? ?）.

（A）[ab] （B）[a+b2]

（C）[a-b2] （D）[a2-b2]

【評析】例15取材于人教版教材八年級上冊第109頁的“思考”. 例15以式的建立和表達為基礎，把圖形中蘊含的數量關系與式的表達有機地結合起來，考查學生運用代數與幾何的相關知識解決問題的能力，突出了對數形結合思想的考查.

（3）突出抽象能力及綜合實踐能力的考查.

例16 （湖北·武漢卷）圖7中所有小正方形都是全等的. 圖7（1）是一張由4個小正方形組成的“L”形紙片，圖7（2）是一張由6個小正方形組成的3 × 2方格紙片. 把“L”形紙片放置在圖7（2）中，使它恰好蓋住其中的4個小正方形，共有圖7（3）中的4種不同放置方法. 圖7（4）是一張由36個小正方形組成的6 × 6方格紙片，將“L”形紙片放置在圖7（4）中，使它恰好蓋住其中的4個小正方形，共有n種不同放置方法，則n的值是（ ?）.

（A）160 （B）128

（C）80 （D）48

【評析】規(guī)律探索型問題是近年來中考數學的熱點題，這種題型可以考查學生觀察、比較、探索問題的能力. 例16取材于人教版教材七年級上冊第73頁“活動3”. 觀察圖形可知圖7（4）中共有 40個3 × 2的長方形，由圖7（3）可知，每個3 × 2的長方形有4種不同的放置方法，則n的值是 160. 此題不需要煩瑣的計算，只需要簡單的邏輯推理即可解決.

（4）突出對“數與式”中數學文化的考查.

依托數學文化，感受數學魅力，是2020年全國各地區(qū)中考的一大特色. 這種知識與知識的融合，知識與數學文化之間的融合，讓學生在解題過程中能充分感受到數學的魅力和豐富的文化內涵.

例17 （江西卷）公元前2000年左右，古巴比倫人使用的楔形文字中有兩個符號（如圖8），一個釘頭形代表1，一個尖頭形代表10. 在古巴比倫的記數系統(tǒng)中，人們使用的標記方法和我們當今使用的方法相同，最右邊的數字代表個位，然后是十位，百位. 根據符號記數的方法，如圖9所示的符號表示一個兩位數，則這個兩位數是________.

【評析】通過古巴比倫人使用的楔形文字中的符號語言，介紹了世界古文明和數學史. 現實生活中蘊含著大量與數量、實物圖形有關的問題. 這些試題活而不難，讓知識和文化融合.

例18 （湖南·湘潭卷）算籌是在珠算發(fā)明以前我國獨創(chuàng)并且有效的計算工具，為我國古代數學的發(fā)展做出了很大的貢獻. 在算籌計數法中，以“縱式”和“橫式”兩種方式來表示數字，如下表所示.

表示多位數時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，遇零則置空. 示例如________，則________表示的數是________.

【評析】例18取材于人教版教材七年級上冊第21頁“實驗與探究：填幻方”. 例18以傳統(tǒng)數學知識為問題背景考查數與式，弘揚了中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，使學生感知到我國古代數學的成就和特點，有利于引導學生了解中國的數學文化，激發(fā)愛國熱情，發(fā)揮中考試題的育人功能.

三、啟迪與思考

1. 重視對核心概念、性質的理解與運用，回歸教材

“數與式”的內容概念多、知識點分散，直接涉及“數與式”內容的試題難度不大，但有些學生在復習時認為這部分內容很容易，因為忽視而丟分. 一般來說，中考中大部分“數與式”試題來源于教材，重視基礎知識，突出教材的教學功能. 所以，中考復習要注意回歸教材，圍繞教材回憶與梳理知識點，對教材中要求掌握的概念、定理、公式要做到熟記于心.“數與式”內容主要包括數與式的有關概念和運算、用數或式表示各種情境中的數量及數量關系，這是初中數學中最基礎的內容. 可以發(fā)現，2020年多數中考試題素材都來源于教材，采取整合、引申與加工等方式進行創(chuàng)新改編. 這樣有利于為所有學生創(chuàng)設一種熟悉的場景，能避免出現某些對學生來說非常陌生的情境. 中考命題堅持回歸教材，有利于引導教師研究教材、理解教材、用好教材，幫助學生走出“題海”.

2. 加強對運算法則的理解，注重用通性、通法解決問題能力的培養(yǎng)

強調用通性、通法解決數學問題的能力，是數學教育教學的共識. 教師要重視教材，尤其重視對教材中的核心概念的理解，對運算公式、法則的形成過程和例題的典型作用要仔細研究，關注數與式的算理，對于數式運算的通性——運算律，要深刻領悟和掌握，并圍繞問題尋找通性、通法，讓學生通過研究數學問題的過程而達到靈活應用、觸類旁通的效果. 在中考復習過程中，教師應該重視引導學生加深對法則的理解. 教師在教學過程中要起到示范作用，教師的板書、強調是必不可少的. 規(guī)范學生的運算習慣、書寫習慣，有計劃、分階段地開展運算能力訓練，這樣既可以讓學生在復習階段靜下心來，找到通性、通法，也可以提高學生的計算能力.

3. 注重思維訓練、提高應用意識，注重數學素養(yǎng)的提升

數學是思維訓練的重要體現. 在“數與式”內容的復習階段，教師應當以提高學生的應用意識與思維能力為基礎，切實將課堂的主動權交還給學生;注重對教材中的“實驗與探究”“歸納總結”“閱讀與思考”“數學活動”等內容進行再開發(fā)與研究. 通過有效的引導與幫助，促使學生多元化發(fā)展，切實提高課堂教學的有效性，使數學學習具有針對性. 在“數與式”內容的教育教學中，要堅持在數學素養(yǎng)上做文章，給教師的教學、學生的學習指明教與學的方向;對典型數學問題進行分析、解構與拓展，要把握數學問題的實質. 只有透徹理解數學課程內容所涵蓋的知識、能力、數學思想和基本活動經驗，才能以不變應萬變. 這樣也可以讓學生在浩瀚無邊的題海中，把問題分類、歸納，然后根據不同的類別在復習時加以歸納、提煉和升華，以達到培養(yǎng)學生的數學素養(yǎng)的目的.

四、模擬訓練題欣賞

1. 計算[-2-1]的結果是（ ? ?）.

（A）-3 （B）-2

（C）-1 ? ?（D）0

參考答案：A.

2. 下列各組數中，互為相反數的是（ ? ?）.

（A）2與[12] （B）[-12]與1

（C）-1與[-12] （D）2與[-2]

參考答案：C.

3. [-13]的倒數是（ ? ?）.

（A）3 ? ? ? （B）-3

（C）[-13] ? （D）[13]

參考答案：B.

4. 海洋總面積約為36 105.9萬平方千米，用科學記數法（保留三個有效數字）表示為（ ? ?）.

（A）3.61 × 108平方千米

（B）3.60 × 108平方千米

（C）361 × 106平方千米

（D）36 100萬平方千米

參考答案：A.

5. 吋是電視機常用規(guī)格之一，1吋約為拇指上面一節(jié)的長（如圖10），則7吋長相當于（ ? ?）.

（A）課本的寬度 （B）課桌的寬度

（C）黑板的高度 （D）粉筆的長度

參考答案：A.

6. 實數[a，b]在數軸上的位置如圖11所示，則下列各式正確的是（ ? ?）.

（A）[-a>-b] ? （B）[a>-b]

（C）[a<b] （D）[a>b]

參考答案：D.

7. 下列等式一定成立的是（ ? ?）.

（A） [9+16=9+16]

（B） [a2-b2=a-b]

（C） [4×π=4×π]

（D） [a+b2=a+b]

參考答案：C.

8. 如圖12，數軸上A，B兩點表示的數分別為-1和[3]，點B關于點A的對稱點為C，則點C所表示的數為（ ? ?）.

（A）[-2-3] （B）[-1-3]

（C）[-2+3] （D）[1+3]

參考答案：A.

9. 任何一個正整數[n]都可以進行這樣的分解：[n=s×t]（[s，t]是正整數，且[s≤t]），如果[p×q]在[n]的所有這種分解中兩因數之差的絕對值最小，我們就稱[p×q]是[n]的最佳分解，并規(guī)定[Fn=pq]. 例如，18可以分解成[1×18，2×9，3×6]這三種，這時就有[F18=36=12]. 給出下列關于[Fn]的說法：（1）[F2=12;]（2）[F24=38];（3）[F27=3];（4）若[n]是一個完全平方數，則[Fn=1]. 其中正確說法的個數是（ ? ?）.

（A）1 （B）2

（C）3 （D）4

參考答案：B.

10. 把a3 - ab2分解因式的正確結果是（ ? ?）.

（A）（a + ab）（a - ab） （B）a（a2 - b2）

（C）a（a + b）（a - b） （D）a（a - b）2

參考答案：C.

11. 對于任何實數，我們規(guī)定符號[ac] [bd]的意義是[ac] [bd]=[ad-bc]. 按照這個規(guī)定試計算：當[x2-3x+][1=0]時，求[x+1x-2] [3xx-1]的值.

參考答案：1.

12. 如圖13，在長和寬分別是a，b的矩形紙片的四個角都剪去一個邊長為x的正方形.

（1）用a，b，x表示紙片剩余部分的面積;

（2）當a = 6，b = 4，且剪去部分的面積等于剩余部分的面積時，求正方形的邊長.

參考答案：（1）ab - 4x2;（2）[3].

13. 計算：[-83--19+2cos60°+2-32×27].

參考答案：2.

14. 先化簡代數式[aa+2+2a-2]÷[1a2-4]，然后選取一個合適的a值，代入求值.

參考答案：[a2+4].

參考文獻：

[1]孫延洲，肖文記. 2016年中考“數與式”專題命題分析[J]. 中國數學教育（初中版），2017（1 / 2）：21-32.

[2]任子朝. 從能力立意到素養(yǎng)導向[J]. 中學數學教學參考（上旬），2018（13）：1.

收稿日期：2020-10-20

作者簡介：孫延洲（1972— ），男，中學高級教師，主要從事中學數學教育教學和課程教材研究.