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    一道省質(zhì)檢試題的八種解法

    2021-09-10 00:01:07蔡海濤
    關(guān)鍵詞:恒成立導(dǎo)數(shù)

    蔡海濤

    摘 要:2020年福建省高三畢業(yè)班質(zhì)量檢查測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué)第21題是一道以不等式恒成立問題為載體,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值的問題.本文將給出這道題的八種解法,通過一題多解探究解決此類問題的方法.

    關(guān)鍵詞:導(dǎo)數(shù);分離參數(shù)法;恒成立

    中圖分類號(hào):G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1008-0333(2021)04-0032-03

    題目 (2020年福建省省質(zhì)檢·理21)已知函數(shù)fx=xa-lnax.

    (1)求fx的極值;

    (2)若exlnx+mx2+1-exx+m≤0,求正實(shí)數(shù)m的取值范圍.

    解 (1)當(dāng)a>0時(shí),fx的極小值為fa=1-2lna,無極大值;當(dāng)a<0時(shí),fx的極小值為fa=1-

    2ln-a,無極大值.(過程略)

    (2)解法1 由(1)知,當(dāng)a=1時(shí),fx=x-lnx在0,1上單調(diào)遞減,在1,+SymboleB@上單調(diào)遞增,

    所以fxmin=f1=1,所以x-lnx≥1,因?yàn)閑xlnx+mx2+1-exx+m≤0,

    所以exlnx-x+mx2+x+m≤0,所以mx2+x+mex≤x-lnx,(*),

    令hx=mx2+x+mex,x∈0,+SymboleB@,

    則h′x=2mx+1ex-mx2+x+mexe2x=-mx2+2m-1x-m+1ex=-mx+m-1x-1ex,

    因?yàn)閙>0,所以1-1m<1,

    ①若0<m≤1,則1-1m≤0,當(dāng)0<x<1時(shí),則h′x>0,所以hx在0,1上單調(diào)遞增;當(dāng)x>1時(shí),則h′x<0,所以hx在1,+SymboleB@上單調(diào)遞減.

    所以hxmax=h1=2m+1e,又因?yàn)閒x≥1,且hx和fx都在x=1處取得最值,所以2m+1e≤1,解得m≤e-12,所以0<m≤e-12.

    ②若m>1,則0<1-1m<1,當(dāng)0<x<1-1m時(shí),h′x<0,hx在0,1-1m上單調(diào)遞減;當(dāng)1-1m<x<1時(shí),h′x>0,hx在1-1m,1上單調(diào)遞增;當(dāng)x>1時(shí),h′x<0,hx在1,+SymboleB@上單調(diào)遞減,所以h1=2m+1e>1,與(*)矛盾,不符合題意,舍去.

    綜上,正實(shí)數(shù)m的取值范圍為0,e-12.

    解法2 同法1,mx2+x+mex≤x-lnx,要使原不等式成立,則當(dāng)x=1時(shí)上式必須成立,代入得m≤e-12,此時(shí)0<m≤e-12.

    下面證明:當(dāng)0<m≤e-12時(shí),原不等式恒成立.

    令hx=mx2+x+mex,x∈0,+SymboleB@,則

    h′x=2mx+1ex-mx2+x+mexe2x=-mx2+2m-1x-m+1ex=-mx+m-1x-1ex,

    因?yàn)?<m≤e-12,x>0,所以-mx+m-1<0,所以當(dāng)0<x<1時(shí),h′(x)>0,當(dāng)x>1時(shí),h′(x)<0, 所以h(x)在0,1上單調(diào)遞增,在1,+SymboleB@上單調(diào)遞減,hxmax=h1=2m+1e≤1,所以不等式mx2+x+mex≤x-lnx恒成立,即原不等式恒成立,所以正實(shí)數(shù)m的取值范圍為0,e-12.

    解法3 同法2,有0<m≤e-12.下面證明:當(dāng)0<m≤e-12時(shí),原不等式恒成立.

    由已知得mx2+x+mex+lnx-x≤0,

    令gx=mx2+x+mex+lnx-x,

    則g′x=1-xmx2+1-mx+exex.

    因?yàn)閤>0,0<m≤e-12,所以mx2+1-mx+ex>0.

    所以當(dāng)00,當(dāng)x>1時(shí),g′x<0;

    因此gx在0,1上單調(diào)遞增,在1,+SymboleB@上單調(diào)遞減,

    所以gxmax=g1≤0,所以正實(shí)數(shù)m的取值范圍為0,e-12.

    解法4 同法2有0<m≤e-12.下面證明:當(dāng)0<m≤e-12時(shí),原不等式恒成立.

    因?yàn)?<m≤e-12,

    所以mx2+x+mex≤(e-1)x2+2x+(e-1)2ex,

    令hx=e-1x2+2x+e-12ex,x∈0,+SymboleB@,

    則h′x=-e-1x2+2e-2x-e+32ex=-x-1e-1x-e-32ex,

    所以當(dāng)0<x<1時(shí),h′x>0,當(dāng)x>1時(shí),h′x<0,所以hx在0,1上單調(diào)遞增,在1,+SymboleB@上單調(diào)遞減,所以hxmax=h1=1,所以hx≤1,即mx2+x+mex≤1,所以當(dāng)0<m≤e-12時(shí),mx2+x+mex≤x-lnx成立,即原不等式恒成立.

    所以當(dāng)正實(shí)數(shù)m的取值范圍為0,e-12.

    解法5 因?yàn)閑xlnx+mx2+1-exx+m≤0,又因?yàn)?x2-1<0,

    所以m≤exlnx+1-exx-x2-1,

    由(1)知,lnx≤x-1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立.所以exlnx+1-exx-x2-1≥exx-1+1-exx-x2-1=ex-xx2+1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立.

    令Hx=ex-xx2+1,x∈0,+SymboleB@,則H′x=x-1exx-1+x+1x2+12,令Kx=exx-1+x+1,則K′x=xex+1>0,所以Kx在0,+SymboleB@上單調(diào)遞增,所以Kx>K0=0,

    所以當(dāng)0<x<1時(shí),H′x<0,當(dāng)x>1時(shí),H′x>0,

    所以Hx在0,1上單調(diào)遞減,在1,+SymboleB@上單調(diào)遞增,所以Hxmin=H1=e-12,

    綜上當(dāng)x=1時(shí),y=exlnx+1-exx-x2-1取得最小值e-12,

    所以正實(shí)數(shù)m的取值范圍為0,e-12.

    解法6 同解法5有m≤exlnx+1-exx-x2-1,

    由(1)知,lnx≤x-1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立.

    令gx=exlnx+1-exxx2+1x>0,

    則g′x=1-xex1-xlnx+x2+1x+1+xx2+12

    (?。┯蒷nx≤x-1得lnx≥x-1x,當(dāng)00,1-xlnx>-1-x2x,故1-xlnx+1x+x2>1-1-x2x+x2>0,即g′x>0,故gx在0,1上單調(diào)遞增;

    (ⅱ)當(dāng)x>1時(shí),由lnx≤x-1得1-xlnx>1-xx-1=-1+2x-x2,

    所以1-xlnx+1x+x2>2x+1x-1>0,即g′x<0,故gx在1,+SymboleB@上單調(diào)遞減;

    那么gx≤g1=1-e2,所以m≤e-12,

    綜上,正實(shí)數(shù)m的取值范圍為0,e-12.

    解法7 同解法5有m≤exlnx+1-exx-x2-1,

    令gx=exx-lnx-xx2+1,

    因?yàn)閤-lnx≥1,又易證得ex≥1+x+x22≥1+x+x2ex>-1,

    所以ex-1≥x+x-12ex>0,ex≥ex+x-12x>0,

    則gx=exx-lnx-xx2+1≥ex-xx2+1≥ex+x-12-xx2+1=e-12+3-ex-122x2+1≥e-12.

    當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),上式等號(hào)成立,故gxmin=e-12.

    所以正實(shí)數(shù)m的取值范圍為0,e-12.

    解法8 要使得原不等式成立,則必須當(dāng)x=1時(shí)上式成立,代入得m≤e-12,下面證明:當(dāng)m≤e-12時(shí),原不等式恒成立.

    因?yàn)閙≤e-12,且x2+1>0,

    所以exlnx+mx2+1-exx+m≤exlnx+e-12x2+1+1-exx,

    令kx=exlnx+e-12x2+1+1-exx,x∈0,+SymboleB@,

    則k′x=exlnx+1x-x-1+e-1x+1,

    令φx=exlnx+1x-x-1+e-1x+1,所以φ′x=exlnx+2x-1x2-x-2+e-1,

    由(1)知,x-lnx≥1,即lnx-x≤-1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立.

    所以

    φ′x=exlnx+2x-1x2-x-2+e-1≤ex-1x2+2x-3+e-1=ex1ex-1-1x2+2x-3-1,

    再令Mx=1ex-1-1x2+2x-3x>0,下面證明Mx<0,

    由x-lnx≥1,得ex-1≥x,因?yàn)閤>0,所以1ex-1≤1x,

    所以Mx=1ex-1-1x2+2x-3<1x-1x2+2x-3=-1x2+3x-3=-3x2+3x-1x2<0,

    所以exMx-1<0,所以φ′x<0,所以k′x在0,+SymboleB@上單調(diào)遞減,

    又因?yàn)閗′1=0,所以當(dāng)0<x<1時(shí),k′x>0,當(dāng)x>1時(shí),k′x<0,

    所以kx在0,1上單調(diào)遞增,在1,+SymboleB@上單調(diào)遞減,所以kxmax=k1=0,所以kx≤0,所以exlnx+mx2+1-exx+m≤0,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立,所以正實(shí)數(shù)m的取值范圍為0,e-12.

    在解題教學(xué)中,教師要善于挖掘數(shù)學(xué)問題的深層本質(zhì),尋找題目條件與結(jié)論之間的邏輯關(guān)系,幫助學(xué)生準(zhǔn)確審題、獲取解題思路,通過一題多解拓展學(xué)生的思維.

    參考文獻(xiàn):

    [1]候萱,丁新城.一題多解教學(xué)的幾點(diǎn)思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志,2020(1):34-36.

    [責(zé)任編輯:李 璟]

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