全稱量詞與存在量詞在高考中的運(yùn)用

劉兆云

摘 要：量詞在新高考剛執(zhí)行時(shí)，是一個(gè)新的內(nèi)容.常見(jiàn)的題型就是寫(xiě)出含有量詞的命題的否定形式，量詞也可以與函數(shù)的最值及值域相結(jié)合，求參數(shù)的范圍，此類問(wèn)題往往與導(dǎo)數(shù)息息相關(guān).關(guān)鍵詞：量詞;命題的否定;量詞與函數(shù)最值的綜合應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）04-0003-02

全稱量詞與存在量詞在最近的高考試題中頻繁出現(xiàn)，量詞作為一種工具顯得越來(lái)越重要.下面我們一起看看在高考中以什么樣的形式來(lái)考查“全稱量詞與存在量詞”這一知識(shí)點(diǎn).

一、量詞在命題中的應(yīng)用

例1 （2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類））命題“存在x0∈R， 2x0≤0”的否定是（）.

A.不存在x0∈R， 2x0>0 B.存在x0∈R， 2x0≥0

C.對(duì)任意的x∈R， 2x≤0D.對(duì)任意的x∈R， 2x>0

解析 對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定時(shí)，不僅要對(duì)量詞進(jìn)行否定，而且對(duì)后面的結(jié)論也要進(jìn)行否定.本題“存在x0∈R”的否定是“任意的x∈R”，同時(shí)“2x0≤0”的否定是“2x>0”，故本題應(yīng)該選擇D.本題容易誤選A，我們可以通過(guò)命題的真假來(lái)辨析，2x0>0 恒成立，即原命題：“存在x0∈R， 2x0≤0”是假命題;所以它的否定是真命題，而命題：“不存在x0∈R， 2x0>0”也是一個(gè)假命題.所以選項(xiàng)A是錯(cuò)誤的.

評(píng)注 含有一個(gè)量詞的命題的否定形式：一般有下面兩種情況：

①“x∈M，p（x）”的否定為“x∈M，p（x）”;

②“x∈M，p（x）” 的否定為“x∈M，p（x）”.

常用的正面詞語(yǔ)與它的否定詞語(yǔ)歸納如下：正面詞語(yǔ)分別為：等于;大于;小于;是;都是;都不是;相應(yīng)的否定詞語(yǔ)分別是：不等于;不大于;不小于;不是;不都是;至少有一個(gè)是.

正面詞語(yǔ)分別為：至多有一;至少有一;任意的;所有的;至多有n個(gè);任意兩個(gè);相應(yīng)的否定詞語(yǔ)分別是：至少有兩個(gè);一個(gè)也沒(méi)有;存在的某些;至少有n+1個(gè);某兩個(gè).

例2 （2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（文科））若函數(shù)f（x）=x2+ax（a∈R），則下列結(jié)論正確的是（）.

A.a∈R，f（x）在（0，+SymboleB@）上是增函數(shù)

B.a∈R，f（x）在（0，+SymboleB@）上是減函數(shù)

C.a∈R，f（x）是偶函數(shù)

D.a∈R，f（x）是奇函數(shù)

解析 當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x2是偶函數(shù)，即：a∈R，f（x）是偶函數(shù)，所以選擇C.

例3 （2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（寧夏卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類））有四個(gè)關(guān)于三角函數(shù)的命題：

p1：x∈R， sin2x2+cos2x2=12

p2： x、y∈R， sin（x-y）=sinx-siny

p3： x∈0，π，1-cos2x2=sinx

p4： sinx=cosyx+y=π2

其中假命題的是（）.

A.p1，p4 B.p2，p4 C.p1，p3 4.p2，p4

解析∵sin2x2+cos2x2=1∴不存在x∈R， sin2x2+cos2x2=12，即p1是假命題;

∵當(dāng)y=0時(shí)，sin（x-y）=sinx，sinx-siny= sinx，∴x、y∈R， sin（x-y）=sinx-siny，即p2是真命題;

∵1-cos2x2=1-1-2sin2x2=sin2x，∴x∈0，π，1-cos2x2=sinx恒成立，即p3是真命題;

∵當(dāng)x=π，y=π2時(shí)， sinx=cosy=0，此時(shí)x+y=3π2≠π2，即p4是假命題;

故本題選擇A.

評(píng)注 例2和例3都是要求理解“”和“”的含義;往往對(duì)于存在性問(wèn)題只要找到一個(gè)滿足題意的解即可;而對(duì)于任意性（恒成立）問(wèn)題要說(shuō)明它是真命題需要證明，而判斷它是假命題時(shí)，只需要找到一個(gè)解說(shuō)明原命題不正確就行.

二、量詞在函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用

例4 （2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（安徽卷）數(shù) 學(xué)（理科））若對(duì)任意x∈R，不等式x≥ax恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）.

A.a<-1 B.a≤1 C.a<1 D.a≥1

解析 對(duì)于含有絕對(duì)值的問(wèn)題，不妨先考慮去掉絕對(duì)值.

①當(dāng)x>0時(shí)，∴x≥ax，即x（1-a）≥0，∴1≥a;

②當(dāng)x=0時(shí)，∴0≥0恒成立，此時(shí)a∈R;

③當(dāng)x<0時(shí)，∴-x≥ax，即x（1+a）≤0，a≥-1.

由于對(duì)任意x∈R，不等式x≥ax恒成立，即a≤1.

評(píng)注 分類討論時(shí)需分清何時(shí)取并集、何時(shí)取交集、何時(shí)只能分開(kāi)寫(xiě).

例5 （2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（文史類））設(shè)a>1，若對(duì)于任意的x∈a，2a，都有y∈[a，a2]滿足方程logax+logay=3，這時(shí)a的取值的集合為（）.

A.a1<a≤2 B.aa≥2

C.a2≤a≤3 D.2，3

解析 對(duì)于任意的x∈a，2a，方程logax+logay=3都有y∈[a，a2]，不妨用x表示y，得到y(tǒng)關(guān)于x的一個(gè)函數(shù)，該函數(shù)的值域是[a，a2]的子集，才能保證一定有y∈[a，a2].

∵logax+logay=3，

∴l(xiāng)oga（xy）=logaa3，即y=a3x.

∵a>1>0，∴函數(shù)y=a3x在a，2a上單調(diào)遞減;∴y∈[a22，a2].∵[a22，a2][a，a2]，∴a22≥a，∵a>1，∴a≥2.

評(píng)注 常見(jiàn)的全稱量詞是指：所有的、一切、任意一個(gè)、每一個(gè)、任給等;常見(jiàn)的存在性量詞是指：存在一個(gè)、至少有一個(gè)、某個(gè)、有的、有些等.要搞清楚題目中到底是恒成立問(wèn)題還是有解（存在性）問(wèn)題.

例6 （2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（文史類））設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x2，若對(duì)任意的x∈t，t+2，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（ ）.

A.2，+SymboleB@B.2，+SymboleB@

C.0，2D.-2，-1∪2，0

解析 所給區(qū)間是變化的、所給函數(shù)也不是一個(gè)解析式，如果還像上題分類討論顯得無(wú)從下手.本題2f（x）=f（2x），這樣可以利用函數(shù)的單調(diào)性，得到x+t與2x的關(guān)系.

∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x2.

∴f（x）=x2（x≥0）-x2（x<0），即f（x）在R上單調(diào)遞增.

∵2f（x）=f（2x），∴f（x+t）≥f（2x） 即x+t≥2x恒成立，

∴t≥（2-1）x恒成立，∵函數(shù)（2-1）x在x∈t，t+2上單調(diào)遞增，

∴（2-1）x在x∈t，t+2上的最大值是（2-1）（t+2），

∴t≥（2-1）（t+2）恒成立，∴（2-2）t≥2（2-1），即：t≥2，所以選A.

評(píng)注 在解決含有參數(shù)的不等關(guān)系時(shí)，常采用分離變量的方法，將條件轉(zhuǎn)化為所求量與某個(gè)函數(shù)的不等關(guān)系.如：“t<f（x）”（t>f（x）），若對(duì)于給定區(qū)間中的任意x原不等式恒成立，則t比f(wàn)（x）的最小值?。╰比f(wàn)（x）的最大值大）就能保證原不等關(guān)系恒成立;而對(duì)于給定區(qū)間，則t比f(wàn)（x）的最大值?。╰比f(wàn)（x）的最小值大）就能保證原不等式有解.

參考文獻(xiàn)：

[1]蔣壽榮.新高考試卷中的全稱量詞和存在量詞[J].數(shù)學(xué)通訊，2009（05）：38.

[2]何豪明.全稱量詞表示的恒成立問(wèn)題與存在量詞表示的存在問(wèn)題[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2009（08）：37.

[責(zé)任編輯：李 璟]