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    中線長定理的證明及應(yīng)用舉例

    2021-09-10 07:22:44李秀元
    關(guān)鍵詞:余弦定理中線

    李秀元

    摘 要:基于數(shù)學(xué)人教A版教材中的例習(xí)題分析,綜合中線長定理的證明方法,展示不同知識在同一知識點(diǎn)上的魅力,并展開簡單應(yīng)用.

    關(guān)鍵詞:中線;余弦定理;距離公式

    中圖分類號:G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:1008-0333(2021)04-0049-02

    一、中線長定理的內(nèi)容、地位及證明

    中線長定理,又稱阿波羅尼奧斯定理,是關(guān)于三角形三邊和中線長度關(guān)系的歐氏幾何定理.文字表述為:三角形一條中線兩側(cè)所對邊的平方和等于底邊一半的平方與該邊中線的平方和的2倍.

    如圖示,設(shè)△ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,AC,AB上的中線分別記為ma,mb,mc,則:

    b2+c2=2[(a2)2+m2a],c2+a2=2[(b2)2+m2b],a2+b2=2[(c2)2+m2c].

    中線長定理在人教課標(biāo)教材A版中一共出現(xiàn)三次,一次是《數(shù)學(xué)》必修5第一章《解三角形》20頁習(xí)題13,作為余弦定理的應(yīng)用,它突出了中線長的計(jì)算:△ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,CA,AB上的中線分別記為ma,mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明:

    ma=122(b2+c2)-a2,mb=122(a2+c2)-b2,mc=122(a2+b2)-c2

    一次是《數(shù)學(xué)》必修2第三章《直線與方程》110頁B組習(xí)題7,以解析法的形式,突出了中線長與三角形三邊的關(guān)系:

    已知AO是△ABC邊BC的中線,求證:

    |AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).

    第三次是《數(shù)學(xué)》必修2第三章《直線與方程》105頁例4在兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用基礎(chǔ)上,給出了平行四邊形的性質(zhì),也可以理解為中線長定理的變形式:

    證明平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和.

    下面用不同方法證明如下:

    證法1 應(yīng)用余弦定理(只證第一式,其余同理).

    如圖示,在△ABD中, cos∠BDA=BD2+AD2-AB22BD×AD,在△ADC中, cos∠ADC=AD2+DC2-AC22AD×DC,因?yàn)椤螧DA+∠ADC=180°,所以cos∠BDA=-cos∠ADC,即BD2+AD2-AB22BD×AD=-AD2+DC2-AC22AD×DC.

    所以BD2+AD2-AB2=-AD2-DC2+AC2,即2(AD2+BD2)=AB2+AC2.

    所以b2+c2=2[(a2)2+m2a],整理得ma=122(b2+c2)-a2.

    證法2 綜合應(yīng)用平面向量知識和余弦定理.

    因?yàn)镈為BC的中點(diǎn),所以2AD=AB+AC,兩邊平方得4AD2=AB2+AC2+2AB·AC.

    又在△ABC中,2AB·AC=AB2+AC2-BC2.

    所以AD2=12(AB2+AC2)-(BC2)2,即m2a=12(b2+c2)-(a2)2.

    證法3 解析法.

    如圖,以BC邊的中點(diǎn)為原點(diǎn),邊BC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系.

    設(shè)C(c,0),A(a,b),則B(-c,0).

    |AB|2=(a+c)2+b2;|AC|2=(a-c)2+b2;|OA|2=a2+b2;|OC|2=c2.

    所以,|AB|2+|AC|2=(a+c)2+b2+(a-c)2+b2=2(a2+b2+c2),

    2(|AO|2+|OC|2)=2(a2+b2+c2).

    因此,|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).

    二、中線定理的簡單應(yīng)用

    例1 Rt△ABC中,斜邊BC為m,以BC的中點(diǎn)O為圓心,作直徑為n(n<m)的圓,分別交BC于D,E兩點(diǎn),則|AD|2+|AE|2+|DE|2的值為().

    A. m2+3n22B. m2+n22 C. 3m2+n22D. m2+3n2

    解 如圖3所示,在△ADE中應(yīng)用中線定理,得AO2=2AD2+2AE2-DE24,即(m2)2=2AD2+2AE2-DE24,所以|AD|2+|AE|2=m2+n22.

    從而|AD|2+|AE|2+|DE|2=m2+n22+n2=m2+3n22,選A.圖3

    例2 在直角三角形ABC中,點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn),點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn),則|PA|2+|PB|2|PC|2=().

    A. 2B. 4C. 5D. 10

    解 如圖4所示,|PC|=|PD|=12|CD|=14|AB|.

    在△PAB中,應(yīng)用中線定理,有2(|PA|2+|PB|2)-|AB|2=4|PD|2,故2(|PA|2+|PB|2)=|AB|2+4|PD|2=20|PC|2,選D.

    說明 以上兩題建系求解一樣可行,而應(yīng)用中線長定理則是不錯的選擇.

    例3 在平面上,AB1⊥AB2,|OB1|=|OB2|=1,AP=AB1+AB2.若|OP|<12,則OA的取值范圍是().

    A.(0,52] B.(52,72] C.(52,2]D.(72,2]

    解 由|OB1|=|OB2|知,點(diǎn)O在線段B1B2的垂直平分線上,如圖5所示,設(shè)矩形AB1PB2對角線的交點(diǎn)為M,則MB1=MB2,且OM⊥B1B2.

    在△AOP中,根據(jù)中線定理得2(OA2+OP2)-AP2=(2OM)2,而OM2=1-MB21=1-14B1B22=1-14AP2,所以2(OA2+OP2)=4-AP2+AP2=4,即OA2+OP2=2,又|OP|<12,故OA∈(72,2].

    說明 本題作為13年高考重慶卷的選擇壓軸題,有其把關(guān)和選拔功能,是一道難題.雖然有垂直關(guān)系,有長度,可以建系求解,但計(jì)算麻煩,短時間內(nèi)會逼得學(xué)生放棄.應(yīng)用中線長定理直接將目標(biāo)和已知條件聯(lián)系在一起,解題干凈利落,值得欣賞.

    例4 已知P(a,b)為圓x2+y2=1內(nèi)一個定點(diǎn).作直線PA⊥PB,分別交圓于A,B.以A,P,B為三個頂點(diǎn)作矩形,求矩形的第四個頂點(diǎn)Q的軌跡.

    解 設(shè)矩形PAQB的對角線PQ、AB相交于點(diǎn)M,連接OP,OM,OQ,OA,OB.在△OPQ和△OAB中,分別應(yīng)用中線長定理得,

    OP2+OQ2=12PQ2+2OM2=12AB2+2OM2=OA2+OB2=2.

    所以O(shè)Q2=2-(a2+b2),則點(diǎn)Q的軌跡為圓.

    例5 已知m,n是兩個非零向量,且|m|=1,|m+2n|=3,則|m+n|+|n|的最大值為().

    A. 5B. 10C. 4D. 5

    解 因?yàn)閙+n=(m+2n)+m2,n=(m+2n)-m2,以m、|m+2n|為鄰

    邊作平行四邊形,即OA=m+2n,OB=m,如圖7所示,則OD=(m+2n)+m,BA=(m+2n)-m,從而OC=m+n,CA=n,因此,|m+n|+|n|可表示為|OC|+|CA|.

    由中線長定理或平行四邊形的性質(zhì),可得|OC|2+

    |CA|2=5,根據(jù)不等式a+b≤2(a2+b2)(a,b為正數(shù)),得到|OC|+|CA|≤2(|OC|2+|CA|2),即|m+n|+|n|的最大值為10.

    說明 本題的綜合較強(qiáng),考查了向量的加減法,向量模的幾何意義,中線長定理,以及基本不等式等知識,難度較大.

    參考文獻(xiàn):

    [1]人民教育出版社,課程教材研究所.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)2(必修·A版)[M].北京:人民教育出版社,2007(3).

    [責(zé)任編輯:李 璟]

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