數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換在集合中的應(yīng)用

楊偉達(dá)

摘 要：數(shù)學(xué)是一種語言，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是對(duì)數(shù)學(xué)語言的學(xué)習(xí).數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換是解決有關(guān)集合運(yùn)算問題的常見策略，也是高中數(shù)學(xué)重要的思想方法.本文就集合學(xué)習(xí)過程中常見的幾種轉(zhuǎn)換，給出了若干求解集合的思維方向.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換;高考應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）04-0041-02

眾所周知，數(shù)學(xué)語言分為文字語言、圖形語言、符號(hào)語言.其中文字語言通俗易懂，圖形語言直觀形象，符號(hào)語言簡(jiǎn)潔抽象，各有所長(zhǎng)，相互滲透.而集合作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言，簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地表述數(shù)學(xué)內(nèi)容，在符號(hào)語言、圖形語言、文字語言之間尋求轉(zhuǎn)換，實(shí)現(xiàn)代數(shù)與幾何之間的相互轉(zhuǎn)化，使學(xué)生深刻地體會(huì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，進(jìn)而更好地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

一、文字語言與圖形語言之間的轉(zhuǎn)換——由準(zhǔn)確到直觀

將文字語言抽象出來進(jìn)行符號(hào)化，借助數(shù)學(xué)語言之間的轉(zhuǎn)換獲取信息，以圖釋譯，直觀形象.尋找集合語言之間的轉(zhuǎn)譯，就是把問題中的文字語言轉(zhuǎn)譯為圖形語言，從而達(dá)到快速解題.

例1 50個(gè)學(xué)生當(dāng)中會(huì)講英語的有36人，會(huì)講日語有20人，既不會(huì)講英語又不會(huì)講日語的有8人，既會(huì)講英語又會(huì)講日語的認(rèn)數(shù)為（）.

A.20個(gè) B.14人 C.12人 D.10

分析 本題用文字準(zhǔn)確描述數(shù)學(xué)問題，不少學(xué)生無從下手.若把文字語言轉(zhuǎn)換成圖形語言，用韋恩圖表示出來，問題即可迎刃而解.

解 設(shè)50個(gè)學(xué)生為全集U，會(huì)講英語的學(xué)生為A，會(huì)講日語的學(xué)生為B，則既不會(huì)講英語又不會(huì)講日語的同學(xué)為（CuA）∩（CuB），既會(huì)講英語又會(huì)講日語的同學(xué)為A∩B.

所以card（A）=36，card（B）=20，card（U）=50，card（（CuA）∩（CuB））=8

即card（A∩B）=card（A）+card（B）+card（（CuA）∩（CuB））-card（U）=14

故選B.

二、描述法與圖形語言之間的轉(zhuǎn)換——由抽象到直觀

對(duì)數(shù)學(xué)語言的把握就是把符號(hào)化的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)譯成通俗易懂或者直觀形象的圖形語言.

描述法表示集合，符號(hào)化的語言簡(jiǎn)潔、抽象，在解決問題時(shí)，往往難于突破，此時(shí)借助圖形的直觀，問題就會(huì)事半功倍的效果.

例2 若集合A=x2a+1≤x≤3a-5，B=x5≤x≤16，則能使AB成立的所有a組成的集合為（）.

A.a2≤a≤7B. a6≤a≤7

C. aa≤7D.φ

分析 本題考查了含參集合的子集.涉及不等式時(shí)常常用數(shù)軸表示，在動(dòng)集合與定集合的相互關(guān)系中進(jìn)行分類討論，通過圖形的直觀列出不等關(guān)系式，解不等式即可將問題解決.

解 （1）當(dāng)2a+1>3a-5時(shí)即a<6，此時(shí)A=φ，顯然滿足條件AB;

（2）當(dāng)2a+1≤3a-5時(shí)即a≥6，此時(shí)A≠φ，則有

2a+1≥53a-5≤16，解得6≤a≤7.

綜上所述，由（1）（2）可得a≤7，所以選C.

三、描述法與列舉法之間的轉(zhuǎn)換——由抽象到具體

集合中的描述法與列舉法之間的轉(zhuǎn)換，就是通過符號(hào)語言所呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)信息，并把這些信息同已有的數(shù)學(xué)知識(shí)相聯(lián)系，分析出符號(hào)語言所表達(dá)的含義，將它一一列舉，從而達(dá)到解決問題.

例3 已知A=xx2+3x-4=0，B=xx2-ax+a-1=0，若BA，則a

的值為.

分析 本題涉及子集運(yùn)算及方程的求解.首先將集合A、B化簡(jiǎn)，描述法轉(zhuǎn)化列舉法，再進(jìn)行分類討論即可將問題解決.

解 A=xx2+3x-4=0=1，-4

（1）當(dāng)a=2，則B=xx2-ax+a-1=0=1，顯然滿足條件BA

（2）當(dāng)a≠2，則B=xx2-ax+a-1=0=1，a-1，當(dāng)a-1=-4時(shí)即a=-3，此時(shí)A=B也滿足BA.

綜上所述，a=2或a=-3.

四、描述法與描述法之間的轉(zhuǎn)換——由抽象到直觀

集合語言簡(jiǎn)潔、抽象，至美至簡(jiǎn)！在解決有關(guān)集合問題時(shí)，化抽象為具體，尋求更加具體、明確的等價(jià)條件，更加直觀、明了的數(shù)學(xué)知識(shí)，往往需要對(duì)描述法進(jìn)行再轉(zhuǎn)述，問題就會(huì)豁然開朗.

例4 （2020·新課標(biāo)Ⅰ·2）設(shè)集合A=xx2-4≤0，B=x2x+a≤0，且A∩B=x-2≤x≤1，則a=（）.

A.-4 B.-2

C.2D.4

分析 本題考查集合的交集運(yùn)算及不等式的解法.在涉及一元二次不等式和一元一次不等式的解法，通?；?jiǎn)集合A，B，畫出數(shù)軸，再由交集的定義及韋恩圖，可得a的方程，解方程即可.

解 集合A=xx2-4≤0=x-2≤x≤2，B=x2x+a≤0=xx≤-a2，由A∩B=x-2≤x≤1，可得-a2=1，則a=-2.

故選B.

點(diǎn)評(píng) 常規(guī)命題思路是已知兩個(gè)集合求交集運(yùn)算.而命題專家這次拚棄傳統(tǒng)，逆向而行，知道交集求某一集合，這不愧是一種創(chuàng)新.

總之，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程就是發(fā)展數(shù)學(xué)能力的過程，也就是數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)和構(gòu)建的過程.在集合的教與學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生在這三種語言之間進(jìn)行的切換、轉(zhuǎn)譯，從而達(dá)到重新認(rèn)識(shí)，獲得新知，進(jìn)而達(dá)到快速、有效的解決問題.

參考文獻(xiàn)：

[1]王欣.數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換在解析幾何中的應(yīng)用[J].數(shù)理化解題研究，2019（01）：31-33.

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