論高中數(shù)學(xué)解題中代換法的應(yīng)用

丁多利

摘 要：代換法是一種重要的解題方法，在高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用率較高.為使學(xué)生能夠應(yīng)用代換法靈活解答相關(guān)數(shù)學(xué)習題，促進其解題能力與學(xué)習成績的提升，應(yīng)做好數(shù)學(xué)內(nèi)容研究，圍繞典型的習題，為學(xué)生講解代換法的具體應(yīng)用，使其積累相關(guān)的應(yīng)用經(jīng)驗與技巧.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);解題;代換法;應(yīng)用

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）04-0005-02

高中數(shù)學(xué)中的代換類型較多，包括參數(shù)與常量之間的代換、參數(shù)之間的代換、參數(shù)與公式之間的代換等.代換法之所以能夠進行，關(guān)鍵在于兩者之間存在著數(shù)或邏輯上的相等關(guān)系.

教學(xué)中為加深學(xué)生對代換法的深刻認識，牢固的掌握最重要的解題方法，應(yīng)做好應(yīng)用代換法解題的教學(xué).

一、三角變換中代換法的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)涉及很多三角恒等變換公式，如cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ、sin2α=2sinαcosα、cos2α+cos2α=1等，這些公式是進行代換的重要依據(jù)，因此，教學(xué)中應(yīng)對三角恒等變換公式進行分類，要求學(xué)生采用對比法牢固的記憶，避免張冠李戴.同時，結(jié)合授課經(jīng)驗，優(yōu)選經(jīng)典的例題，與學(xué)生一起剖析解題過程，使學(xué)生能夠掌握代換法的切入點，實現(xiàn)高效解題.

例1 若3sina+cosa=0，則1cos2a+sin2a的值為（）.

A.83B.93C.103 D.113

該習題屬于三角函數(shù)中較為常規(guī)的題目，難度并不大.教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生認真分析要求了解分式的特點，積極聯(lián)系所學(xué)知識進行合理的代換.如要求解分式的分子為1，很容易聯(lián)想到cos2α+cos2α=1，通過代換后，則可轉(zhuǎn)化為齊次式便可求解.

因為3sina+cosa=0，則不難推出tana=-13.

則1cos2a+sin2a=sin2a+cos2acos2a+2sinacosa=tan2a+11+2tana=19+11+2×（-13）=103，

正確選項為C.

教學(xué)中通過引導(dǎo)學(xué)生分析該題目，使其認識到在解答三角函數(shù)相關(guān)的問題時一定不要忘記使用cos2α+cos2α=1進行代換.

二、常規(guī)函數(shù)中代換法的應(yīng)用

對常規(guī)函數(shù)而言奇、偶函數(shù)、周期函數(shù)等存在等量關(guān)系，如f（x）=-f（-x）、f（x）=f（x+T）（T為周期）等.為使學(xué)生能夠靈活運用常規(guī)函數(shù)中的等量關(guān)系進行巧妙的代換，順利解答相關(guān)題目，應(yīng)結(jié)合自身的教學(xué)經(jīng)驗設(shè)計代表性的問題，要求學(xué)生在課堂上思考解答，并做好解題經(jīng)驗總結(jié)，在以后的學(xué)習中遇到類似的問題，能夠迅速的破題.

例2 已知f（x），g（x）分別是定義在R上的偶函數(shù)與奇函數(shù)，且f（x）-g（x）=x3+x2+1，則f（1）+g（1）=（）.

A.-3B.-1C.1D.3

該題目難度并不大，解題的關(guān)鍵能夠通過代換構(gòu)建已知條件和要求解問題的關(guān)聯(lián).因為f（x）為偶函數(shù)，g（x）為奇函數(shù)，即，f（x）=f（-x），g（x）=-g（-x），顯然可使用f（-x）-g（-x）代換f（x）+g（x）.則可推出f（1）+g（1）=f（-1）-g（-1），又因為f（x）-g（x）=x3+x2+1，則將x=-1代入f（-1）-g（-1）=-1+1+1=1，正確選項為C.

通過做該問題的求解使學(xué)生認識到，為順利解答常規(guī)函數(shù)問題應(yīng)注重常用等量關(guān)系的積累，并深刻理解，結(jié)合具體問題進行合理的變形與代換.

三、導(dǎo)數(shù)問題中代換法的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要知識點，與其他知識聯(lián)系緊密.部分習題常與基本不等式知識結(jié)合起來.解題時需要具體問題具體分析，巧妙的借助等量關(guān)系進行代換.教學(xué)中為提高學(xué)生運用代換法解答導(dǎo)數(shù)問題的意識，在解題中少走彎路，應(yīng)注重為學(xué)生詳細的講解相關(guān)的例題，認真板書解題步驟，使其掌握代換法解題的相關(guān)細節(jié).

例3 曲線f（x）=2alnx+bx（a>0，b>0）在點（1，f（1））處的切線的斜率為2，則8a+bab的最小值為（）.

A.10B.9C.8D.32

該題目是導(dǎo)數(shù)與不等式的結(jié)合習題，解題時需要從已知條件中挖掘隱含條件，而后通過等量代換，運用基本不等式公式進行求解.

由已知可得f ′（x）=2ax+b，

又因為f ′（1）=2a+b=2.

8a+bab=8b+1a=12（2a+b）（8b+1a）

=12（10+16ab+ba）

=5+12（16ab+ba）

≥5+12×216

=5+4=9

當且僅當4a=b時，取“=”，因此，正確選項為B.

在課堂上為學(xué)生講解該例題，使學(xué)生認識到“1”這一特殊的代換媒介，任何一個數(shù)或公式均可以看作其與“1”的乘積，或者分母為“1”，而后尋找與“1”相關(guān)的等量關(guān)系進行代換解題.

四、數(shù)列問題中代換法的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)中還有一種特殊的代換關(guān)系，即，參數(shù)與公式間的代換.該代換關(guān)系雖然不難理解，但具有一定的技巧性.很多學(xué)生常因不會應(yīng)用代換法而不能順利的解答出相關(guān)習題，因此教學(xué)中應(yīng)注重向?qū)W生展示相關(guān)的習題，并給予學(xué)生解題的引導(dǎo)，使其能夠及時找到代換的突破口.

例4 在等比數(shù)列{an}中，a1=2，a8=4，函數(shù)f（x）=x·（x-a1）·（x-a2）……（x-a8），則f ′（0）=（）.

A.26B.29C.212 D.215

該題目數(shù)列與函數(shù)的綜合題目，具有一定的技巧性，很多學(xué)生看到該題目后不知所措，事實上采用整體代換問題便可迎刃而解.令g（x）=（x-a1）·（x-a2）……（x-a8），則f（x）=x·g（x），則由導(dǎo)數(shù)知識可得f ′（x）=g（x）+xg ′（x），則f ′（0）=g（0）=（a1·a8）4=212，正確選項為C.

通過該習題的解答，使學(xué)生認識到解題時應(yīng)認真觀察給出的已知條件，構(gòu)建參數(shù)與公式之間的等量關(guān)系，注重運用代換法進行解答.

高中數(shù)學(xué)部分習題應(yīng)用代換法求解，可獲得事半功倍的效果，因此教學(xué)中應(yīng)做好這一重要方法的講解，尤其圍繞具體內(nèi)容，選擇不同類型的習題，為學(xué)生講解帶換法的具體應(yīng)用，使其通過學(xué)習總結(jié)代換法的應(yīng)用規(guī)律，充分把握其本質(zhì)，在解題中做到游刃有余.

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[責任編輯：李 璟]