“數學建模活動——茶水最佳飲用時間”教學設計

韓慧

摘? 要：本節(jié)課在“互聯網 +”教學條件下，通過“茶水最佳飲用時間”的問題背景，呈現了師生共同完成數學建?；顒舆x題、開題、做題、結題的全過程. 在信息技術支持下，學生通過實踐操作、任務探究建立函數模型解決實際問題，感知數學建模的一般方法和數學思想，提升了應用意識和創(chuàng)新能力，促進了數學學科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.

關鍵詞：數學建模;信息技術;教學實踐

一、教學內容解析

“數學建?；顒印杷罴扬嬘脮r間”是人教A版《普通高中教科書·數學（必修）》第一冊“建立函數模型解決實際問題”的內容. 在高中階段，學生將經歷從數學知識的直接應用與滲透到自主完成數學建?；顒拥倪^程. 本節(jié)課是在學生學習了指數函數、對數函數和冪函數的基礎上，通過建立函數模型解決實際問題，師生共同完成選題、開題、做題、結題全過程. 通過本節(jié)課的學習，使學生進一步加深對函數模型的理解和認識，熟悉數學建?；顒拥囊话懔鞒?，為后續(xù)研究其他函數模型的應用及自主完成數學建?；顒尤^程提供數學思想和方法指導.

通過數學建模活動的開展，學生能有意識地用數學語言表達世界，發(fā)現問題和提出問題，感悟數學與現實之間的關聯;學會用數學模型解決實際問題，積累數學實踐經驗，認識數學模型在現實生活中的作用，提升實踐能力、增強創(chuàng)新意識.

二、教學目標設置

本節(jié)課教學目標設置如下.

（1）能對現實問題進行數學抽象，準確收集數據，正確分析數據，建立適當的函數模型，利用信息技術工具求解模型、檢驗模型、優(yōu)化模型，最終達到解決實際問題的目的.

（2）經歷數學建?；顒拥娜^程，感知建立函數模型解決實際問題的一般方法，體會現實世界與數學知識之間的緊密聯系，在探究的過程中提升應用意識和創(chuàng)新能力.

本節(jié)課教學重點：函數模型的建立、檢驗與優(yōu)化.

三、學生學情分析

本節(jié)課的授課對象為山東省青島第二中學分校創(chuàng)新學院的學生，他們思維活躍，能熟練運用信息技術工具輔助學習，并且有豐富的探究活動經驗.

1. 學生已有的認知基礎

“數學建?；顒印杷罴扬嬘脮r間”課與學生的生活密切相關，便于學生獲取和了解相關的背景知識. 學生已經學習了指數函數、對數函數和冪函數的相關知識，掌握了函數模型應用的基本方法與步驟，具備了從圖象直觀上獲得結論和根據數量關系進行邏輯推理的能力，這些為本節(jié)課建立函數模型解決實際問題做了鋪墊.

2. 達成教學目標所需具備的認知基礎

數學建?；顒訉W生綜合能力要求較高，包括將實際問題轉化為數學問題的能力，挖掘信息、收集數據、分析數據，建立、求解、檢驗、優(yōu)化、應用模型等能力.

3.“已有的基礎”與“需要的基礎”之間的差異

如何檢驗和優(yōu)化數學模型，對學生來說比較困難.

4. 教學難點及其突破策略

教學難點：函數模型的檢驗和優(yōu)化.

突破策略：通過教師的啟發(fā)引導、學生小組的團隊合作完成核心任務探究. 同時，發(fā)揮信息技術的輔助功能.

四、教學策略分析

1. 教學策略

（1）依據數學建模活動的內容和要求組織教學材料. 通過精心設計的問題，引導學生利用已有函數知識在實際問題中構建具體的函數模型開展建?；顒?，歸納出數學建模活動的一般方法，幫助學生形成完整的認知結構.

（2）依據學情組織教學活動. 根據學生的思維特點和認知基礎，對重、難點內容——函數模型的建立、檢驗與優(yōu)化采用核心任務探究的教學方式，在每個核心任務下設置子任務，通過獨立思考、小組合作、展示交流、質疑追問、互評反思等師生活動來強化重點、突破難點. 學生在嘗試和探索中掌握數學建?；顒拥臄祵W思想和一般方法.

（3）突出數學思想方法的提煉和滲透. 通過將抽象的知識具體化、有序化、開放化，在引導學生主動建構數學知識的同時，保持積極有效的思維活動，培養(yǎng)學生的批判性思維、開放性視野，提升學生分析問題和解決問題的能力、交流合作能力、數學語言表達能力，發(fā)展學生的數學建模、數學抽象、數據分析、數學運算、邏輯推理和直觀想象素養(yǎng).

（4）運用“互聯網 + ”教學提高效率. 學生借助數學軟件建模，體會利用信息技術解決程序化問題的優(yōu)越性，在嘗試和探索中掌握方法、體會思想、形成技能;教師借助信息技術工具的統(tǒng)計功能實時掌握學情，為不同基礎的學生提供適當的幫助，及時反饋學生在學習過程中出現的問題，提高教學效率.

2. 教學資源

平板電腦、GeoGebra軟件、MATLAB軟件、投影儀、計算機、數據采集器、溫度傳感器、多媒體課件.

五、教學過程設計

本次數學建?；顒臃譃檫x題、開題、做題、結題四個部分，如圖1所示. 此活動并非一個課時能夠完成，因此課前留給學生3天時間完成了選題、開題工作，課上以做題為主，即完成數學建?；顒拥闹饕^程，課后學生自主完成結題工作.

1. 選題、開題

課前設置自主學習任務單幫助學生選題、開題，讓學生通過調查研究、實驗操作、復習回顧，為課堂上的做題做好準備. 自主學習任務單包含以下三項任務.

任務1：調查研究影響茶水口感的因素有哪些，主要因素是什么.

學生活動：分小組查閱資料、現場咨詢，由班長匯總、整理，在課上展示.

【設計意圖】培養(yǎng)學生通過查閱資料、現場咨詢等渠道獲取信息的能力.

任務2：以小組為單位，收集茶水溫度隨時間變化的數據.

要求：測量時間間隔為1分鐘.

提供工具：計算機、數據采集器、溫度傳感器、室溫計、綠茶、陶瓷茶具、山泉水、電熱水壺.

學生活動：各小組分別完成實驗，收集數據，由數據處理員匯總.

【設計意圖】讓每位學生親身經歷通過實驗收集數據的過程.

任務3：回顧已學函數的定義、圖象和性質，形成思維導圖.

【設計意圖】學生自主梳理函數知識結構，為后續(xù)建立函數模型解決實際問題做準備.

2. 做題

（1）選題、開題，展示匯報.

師生活動：中國茶文化源遠流長，并且與學生實際生活密切相關. 課上先由“中國·茶”視頻引入學生所選課題，然后由班長匯報相關背景知識的調研成果，得出影響茶水口感的最主要因素是茶葉類型和水的溫度. 隨之引出問題：青島盛產綠茶，以此作為研究對象，調查表明，用85 ℃的水泡制茶葉，再等到茶水溫度降至60 ℃時飲用，口感最佳. 剛泡好的茶水大約需要放置多長時間才能達到最佳飲用口感呢？學生從這樣一個實際問題中抽象出數學問題——建立茶水溫度隨時間變化的函數模型，進而自主設計出合理可行的研究方案.

【設計意圖】滲透中國茶文化，讓學生感受數學來源于生活，又服務于生活，激發(fā)學生的學習興趣. 活動幫助學生從實際問題中抽象出數學本質，明確研究的內容，培養(yǎng)學生用數學眼光觀察世界的能力和數學抽象能力.

學生活動：按照研究方案，課前學生根據模型假設在25 ℃的室溫下用85 ℃的水泡制綠茶，利用計算機、數據采集器、溫度傳感器等設備，每隔1分鐘測量一次茶水溫度，得到茶水溫度隨時間變化的數據，課堂上由數據處理員展示匯報.

【設計意圖】收集數據是數學建模的必備能力，學生通過實驗獲得數據，這一過程對于提升學生的數據分析能力有很大幫助.

有了課前的充分準備，下面學生正式開始做題.

（2）建立模型，分析誤差（重點）.

師生活動：從大量的實驗數據中隨機選取一組（如下表）作為研究對象. 以時間為橫軸、水溫為縱軸，利用GeoGebra軟件作出散點圖（如圖2）進行直觀描述，進而引導學生用更加準確的數學語言，即函數解析式進行刻畫.

【設計意圖】數據表格—幾何直觀—代數表示，這一由具體到抽象的過程幫助學生提升了直觀想象能力和數據分析能力.

核心任務探究1：小組合作，每組選擇一種函數，要求如下. ① 利用GeoGebra軟件作出散點圖，選擇函數模型，顯示擬合曲線及解析式;② 進行誤差分析;③ 預測30分鐘之后的水溫;④ 對該模型進行評價.

完成后拍照提交，每個小組提交一份，隨后由小組代表展示講解.

師生活動：各小組選擇并建立了四種函數模型：一次函數、二次函數、冪型函數、指數型函數. 小組代表分別進行展示匯報，小組之間展開互動交流.

生1：我們組選擇一次函數，解析式為[y=-3.88x+][83.62]，從圖3看各點偏離較大，誤差平方和為4.859 1，相對較大，預測30分鐘之后的水溫為-32.685 2 ℃，與實際情況不符，我們組認為一次函數模型擬合效果不夠理想.

生2：我們組選擇了二次函數，解析式為[y=0.35x2-][5.61x+84.78]，從圖4來看各點基本都落在了曲線上，誤差平方和為0.369 4，相對較小，預測30分鐘后的水溫為228.56 ℃，與實際情況不符，我們組有些疑惑，這算不算一個好的函數模型呢？

師：誰能幫助生2解答這個問題？

生3：函數發(fā)展趨勢和實際不符的話就無法預測水溫什么時間降到60 ℃了.

師：很好！數學建模的目的是在對現有數據進行函數模型擬合的基礎上，對數據未來的發(fā)展趨勢進行預測，只在現有的數據范圍內考慮不具有預測作用，也就失去了建模的意義.

生4：我們組選擇了冪型函數，起初，根據圖5中的散點圖，我們并沒有得到函數圖象和解析式，分析原因是0不在定義域內，所以我們選取了后面5個點進行擬合，得到函數解析式[y=80.12x-0.12]. 從圖6來看各點都有偏離，誤差平方和為3.699 5，相對較大，預測30分鐘后的水溫為53.595 5 ℃，與前兩種模型相比，較為理想，我們組就想能否對這種模型進行適當地改進.

師：可以做哪些變化？

生4：當[x]變大時，y會一直變小，直至逼近0，但實際上是逼近室溫的，所以函數圖象需要上移. 另外，圖象與y軸有交點，所以圖象需要左移，即在x的后面加[a a>0]，再考慮到形狀的變化，給出系數[k，] 我們認為[y=kx+a+b a>0，b>0]是比較合適的.

師：生4所在的小組在經歷一番挫折之后，注意到茶水溫度降到室溫就不能再降這一事實，結合散點圖的形狀及在坐標系中的位置對函數模型進行優(yōu)化，看來這個小組的合作非常充分，成員之間有思維的碰撞，產生了一些創(chuàng)造性的想法，值得肯定.

生5：我們組選擇了指數型函數，得到的解析式為[y=83.89e-0.05x]. 從圖7來看各點都有偏離，但偏離不大，誤差平方和為2.634 7，預測30分鐘后的水溫為17.546 2 ℃，借鑒生4所在小組的想法，我們組也對這種函數模型進行了適當優(yōu)化，得到[y=kax+b]，加b的理由與生4提出的一樣，考慮到圖象與y軸交點的縱坐標為85及形狀的變化，添加系數[k].

【設計意圖】建立模型是本節(jié)課的重點，也是數學建模活動的關鍵環(huán)節(jié). 對此，以核心任務為驅動，為學生創(chuàng)造了實踐操作、探究發(fā)現、合作學習、個性展示、交流分享的機會. 鼓勵模型選擇的多樣化，使學生親身經歷用數學軟件建立模型、檢驗模型的過程，強化了重點，提高了學生分析問題和解決問題的能力，學生的思維嚴謹性和思維能力也得到了有效提升.

（3）優(yōu)化模型，檢驗模型（重點、難點）.

師：經過剛才的篩選和優(yōu)化，大家認為函數模型[y=kx+a+b]和[y=kax+b]的擬合效果哪個會更好？事實是否確實如此呢？

核心任務探究2：從函數模型[y=kx+a+b]和[y=][kax+b]中任選一個，小組合作完成以下任務.

① 建立模型，求解模型.

② 分析誤差，檢驗模型.

教師提供工具：計算機.

要求：結果精確到0.01.

由小組推薦的代表進行展示交流，其他小組進行評價.

師生活動：由于現有的數學軟件中沒有這兩種函數模型，無法用現成的軟件來擬合. 學生主要用以下兩種方法來解決這個問題. 一是筆算的方式，用待定系數法求解，并通過計算殘差平方和進行誤差分析;二是用MATLAB軟件編程建模. 在合作與交流的過程中，學生體會到通過有代表性的點的選取、精確的計算，以及對參數進行適當地調整，對模型進行不斷改進可以達到更好的擬合效果. 此外，學生還給出了模型中參數的意義，揭示了數學模型與實際生活的聯系.

學生編程運行的結果如圖8、圖9所示.

【設計意圖】該環(huán)節(jié)既是本節(jié)課的重點，也是難點. 核心任務探究2給學生提供了多種工具，鼓勵建模方法的多樣化. 同時，讓學生體會用信息技術解決問題的優(yōu)越性. 通過合作探究、師生交流，學生對數學建模的一般方法及在建模過程中問題的解決有了更深刻的體會，進一步強化了重點、突破了難點，也發(fā)展了學生的數學運算、邏輯推理和數學建模素養(yǎng). 通過展示研究成果，小組之間相互評價、質疑，分享心得和不足，學生的思維嚴謹性和語言表達能力得到了提升.

師：大家用數學軟件擬合出的函數，是用最小二乘法的原理得出的該種模型下的最優(yōu)函數，怎樣分析這兩種模型的優(yōu)劣呢？

核心任務探究3：比較以上兩種函數模型的擬合效果.

師生活動：通過集思廣益，學生想到可以比較殘差平方和的大小，這是從“數”的角度考慮，還有學生想到可以將函數圖象畫在同一坐標系中，觀察圖象與數據的擬合程度，或者適當增加數據點再進行判斷，這是從“形”的角度考慮. 我們對學生的方法進行一一驗證，發(fā)現就現有數據點而言，冪型函數的擬合效果較好，但隨著后續(xù)數據的增多，指數型函數模型更接近實際.

【設計意圖】該探究活動的設置引導學生從數和形兩個角度來檢驗模型，強調建模的結果要符合實際. 讓學生明確函數模型的擬合效果好是相對而言的，與數據點的選取有關，數學模型沒有最好只有更好，從而突破了本節(jié)課的又一難點.

（4）聯系實際，解決問題.

師生活動：學生運用模型計算出茶水冷卻到60 ℃所用的時間大致為7分鐘，這與實驗測得的結果基本一致.

【設計意圖】建立數學模型的目的在于應用模型解決實際問題，這是從數學問題到實際問題的轉化過程.通過解決實際問題，學生獲得將數學知識成功應用于實踐的體驗. 至此，本節(jié)課的教學目標也已達成.

（5）歸納小結，拓展提升.

師生活動：學生完善數學建模的流程圖，說說有哪些收獲和感想，隨后由教師補充完善，歸納概括數學建模的思想方法和基本步驟.

【設計意圖】在歸納、概括數學建?；静襟E和思想方法的同時獲得思維方式和價值觀的提升.

師生活動：作為知識的延伸和拓展，向學生展示牛頓冷卻模型.

【設計意圖】通過牛頓冷卻模型，讓學生體會科學家的探究歷程，激發(fā)學習動力.

3. 結題

師生活動：學生課后以小組為單位，完成“茶水最佳飲用時間”的研究報告，并且另選時間開展結題答辯.

【設計意圖】規(guī)范研究報告體例，讓學生將數學建模的過程以研究報告的形式呈現出來，并另選時間進行報告、交流，讓學生分享成果和收獲. 教師組織學生進行自評、互評，注重對學生數學建模活動的過程性評價.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數學課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]章建躍，張艷嬌，金克勤. 數學建模活動的課程理解、教材設計與教學實施[J]. 中學數學教學參考（上旬），2020（5）：13-19.

[3]李現勇. 高中數學建模教學的實踐：以“學校無線信號發(fā)射器安裝方案”為例[J]. 數學通報，2020，59（1）：23-27.