同構(gòu)法在2020年高考中的應(yīng)用研究

李昌成 張珍

摘 要：同構(gòu)法是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)解題方法.2020年高考中有些難題可以使用這個(gè)方法突破.通過對(duì)具體例子的分析、解答、評(píng)析，拋磚引玉，以期引起大家注意，并在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候使用這個(gè)方法，提高解題準(zhǔn)確率和知識(shí)應(yīng)用層次.

關(guān)鍵詞：同構(gòu)法;高考;應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）10-0061-02

一、同構(gòu)法簡(jiǎn)介

數(shù)學(xué)中很多式子的結(jié)構(gòu)就反映了本質(zhì)，具備了結(jié)構(gòu)才具有其性質(zhì).同構(gòu)法就是利用同構(gòu)式解題的方法.同構(gòu)式是結(jié)構(gòu)相似，架構(gòu)相同的式子.利用同構(gòu)法解題的基本步驟有：（1）構(gòu)造合理正確的同構(gòu)式;（2）利用相關(guān)性質(zhì)解題;（3）回歸題目，完成解答.

二、應(yīng)用舉例

解答指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、平面向量、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)以及不等式等模塊的試題時(shí)，經(jīng)常會(huì)用到同構(gòu)法.下面以2020年高考數(shù)學(xué)試題為例，談?wù)勍瑯?gòu)法的應(yīng)用.

例1 （全國(guó)Ⅱ卷理科第11題，文科第12題）若2x-2y<3-x-3-y，則（）.

A. ln（y-x+1）>0B. ln（y-x+1）<0

C. ln|x-y|>0 D. ln|x-y|<0

分析 以指數(shù)式的指數(shù)為研究對(duì)象，將原不等式變?yōu)?x-3-x<2y-3-y，構(gòu)造函數(shù)ft=2t-3-t，易判斷ft在R上單調(diào)遞增.由單調(diào)性的定義知x<y，以此判斷各選項(xiàng)中真數(shù)與1的大小關(guān)系，進(jìn)而得到結(jié)果.

解 由2x-2y<3-x-3-y移項(xiàng)得：2x-3-x<2y-3-y.

令ft=2t-3-t，則f（x）<f（y）.

因?yàn)閥=2x為R上的增函數(shù)，y=3-x為R上的減函數(shù)，所以ft為R上的增函數(shù)，所以x<y，

所以y-x>0，所以y-x+1>1，所以lny-x+1>ln1=0，因此，A正確，B錯(cuò)誤;而x-y與1的大小沒有信息能確定，故C，D無法確定.

綜上，選A.

評(píng)析 本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)數(shù)式的大小的判斷，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)ft=2t-3-t，構(gòu)造的依據(jù)是函數(shù)的概念，解析式的相同結(jié)構(gòu).利用該復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得到x，y的大小關(guān)系，解題過程滲透了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.

例2 （全國(guó)Ⅰ卷理科第12題）若2a+log2a=4b+2logb4，則（）.

A. a>2b B. a<2b C. a>b2 D. a<b2

分析 從指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的底數(shù)入手，結(jié)合指數(shù)式、對(duì)數(shù)式運(yùn)算性質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)f（x）=2x+log2x，利用放縮技巧，根據(jù)f（x）的單調(diào)性可得到正確答案.

解 設(shè)f（x）=2x+log2x，易知f（x）為增函數(shù)，因?yàn)?a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b，而22b+log2b<22b+log22b，所以2a+log2a<22b+log22b.

即f（a）<f（2b），所以a<2b.

綜上，選B.

評(píng)析 本題以指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算為基礎(chǔ)，主要考查函數(shù)、方程、不等式的關(guān)系，突破口是同構(gòu)法的應(yīng)用.恰當(dāng)放縮才能利用函數(shù)f（x）=2x+log2x的單調(diào)性比較大小，也是本題壓軸的原因所在.

例3 （全國(guó)Ⅲ卷文科第10題）設(shè)a=log32，b=log53，c=23，則（）.

A. a<c<b B. a<b<c C. b<c<a D. c<a<b

分析 已知的a，b都是對(duì)數(shù)式，c=23=2·13是一個(gè)分?jǐn)?shù)，因此必須從形式上改進(jìn)統(tǒng)一.考慮到c的分母，分別將a，b改寫為a=13log323，b=13log533.根據(jù)需要，結(jié)合對(duì)數(shù)恒等式n=logaan，c可以有不同的形式，但須與a，b有相同的結(jié)構(gòu)，才可以利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解題.

解因?yàn)閍=13log323<13log332=23=c，

b=13log533>13log552=23=c，所以a<c<b.

綜上，選A.

評(píng)析 本題在結(jié)構(gòu)上進(jìn)行了3次大的處理，一是給a，b統(tǒng)一配系數(shù)13;二是兩次2的構(gòu)造是在左邊對(duì)數(shù)底數(shù)引導(dǎo)下進(jìn)行的，才使得同樣結(jié)構(gòu)的對(duì)數(shù)式準(zhǔn)確出現(xiàn).同構(gòu)法用得十分巧妙.解題過程雖簡(jiǎn)潔，但思維含金量高.

例4 （江蘇卷第11題）設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列.已知數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn=n2-n+2n-1（n∈N+），則d+q的值是.

分析 等差數(shù)列和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式都有獨(dú)特的形式，已知的前n項(xiàng)和Sn可分成等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，依據(jù)形式特征分別求得an，bn的公差和公比，最后求得d+q的值.

解 設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d;等比數(shù)列bn的首項(xiàng)為b1，公比為q，依據(jù)題意知q≠1.

an的前n項(xiàng)和公式為

An=na1+nn-12d=d2n2+a1-d2n，

bn的前n項(xiàng)和公式為Bn=b11-qn1-q=-b11-qqn+b11-q，

依題意Sn=An+Bn，即n2-n+2n-1=d2n2+a1-d2n-b11-qqn+b11-q，

依據(jù)結(jié)構(gòu)，比較系數(shù)得d2=1a1-d2=-1q=2b11-q=-1，解得d=2a1=0q=2b1=1.所以d+q=4.

評(píng)析 本題依據(jù)已知Sn=n2-n+2n-1=（n2-n）+（2n-1）的特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)乩昧说炔顢?shù)列和等比數(shù)列前n和的公式結(jié)構(gòu)，利用同構(gòu)法準(zhǔn)確建立出四元方程組，思路簡(jiǎn)潔，預(yù)算量小，充分展示了同構(gòu)法的優(yōu)越性.

例5 （全國(guó)Ⅰ卷文科第16題）數(shù)列{an}滿足an+2+（-1）nan=3n-1，前16項(xiàng)和為540，則a1=.

分析 已知中存在（-1）n，所以必須對(duì)n為奇偶數(shù)分類討論，進(jìn)而得出奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)各自的遞推關(guān)系.根據(jù)奇數(shù)項(xiàng)遞推關(guān)系將各奇數(shù)項(xiàng)用a1表示出來，根據(jù)偶數(shù)項(xiàng)遞推關(guān)系將相鄰偶數(shù)項(xiàng)和用數(shù)值表示出來，從而建立關(guān)于a1方程，即可解出a1.

解 an+2+（-1）nan=3n-1，

當(dāng)n=2k-1，k∈N*時(shí)，an+2=an+3n-1①

當(dāng)n=2k，k∈N*時(shí)，an+an+2=3n-1②

設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，依據(jù)①②的結(jié)構(gòu)特征得

S16=a1+a2+a3+a4+…+a16

=（a1+a3+a5…+a15）+[（a2+a4）+…（a14+a16）]

=[a1+（a1+2）+（a1+10）+（a1+24）+（a1+44）+（a1+70）+（a1+102）+（a1+140）]+（5+17+29+41）

=8a1+484=540.

解得a1=7.

評(píng)析 本題表象上考查數(shù)列的遞推公式，實(shí)際上巧妙地考查了同構(gòu)法，對(duì)①②兩式的結(jié)構(gòu)必須深刻理解，否則難以應(yīng)用，這屬于信息題的范疇.對(duì)于①還有等差數(shù)列的印跡，通過遞推能實(shí)現(xiàn)各項(xiàng)向a1的轉(zhuǎn)化.對(duì)于②學(xué)生不曾接觸，是一個(gè)新鮮模式，必須理解到：相鄰偶數(shù)項(xiàng)和是與a1無關(guān)的一個(gè)實(shí)數(shù)，否則無法推進(jìn)解答.整個(gè)解題過程都離不開遞推關(guān)系的結(jié)構(gòu)引領(lǐng).

三、練習(xí)鏈接

1.已知函數(shù)fxx∈R滿足f-x=2-fx，若函數(shù)y=x+1x與y=fx圖象的交點(diǎn)為x1，y1，x2，y2，xm，ym，則∑mi=1xi+yi=（）.

A.0B.mC.2mD.4m

參考答案：B.（提示：利用中心對(duì)稱的結(jié)構(gòu)特征解答.）

2.設(shè)函數(shù)f ′（x）是奇函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f（-1）=0，當(dāng)x>0時(shí)，xf ′（x）-f（x）<0，則使得f（x）>0成立的x的取值范圍是.

參考答案：x<-1或0<x<1.（提示：利用商函數(shù)的導(dǎo)數(shù)式結(jié)構(gòu)解答.）

有些式子的結(jié)構(gòu)很明顯，可以直接使用同構(gòu)法解題，如例1、例4;有的式子結(jié)構(gòu)不明顯，需要重構(gòu)，重構(gòu)的關(guān)鍵在于對(duì)問題本質(zhì)的把握，湊足條件，如例2、例3;有的式子的含義是臨時(shí)賦予的，需要在當(dāng)時(shí)的情景中比對(duì)應(yīng)用，如例5.同構(gòu)法解題相對(duì)靈活，既需要扎實(shí)的基本功，又有相當(dāng)?shù)撵`活性.它往往是突破難題的有力武器.

參考文獻(xiàn)：

[1]任志鴻.十年高考[M].北京：知識(shí)出版社，2016.

[責(zé)任編輯：李 璟]