高中數(shù)學(xué)解題中隱含條件的挖掘

俞梅清

摘 要：在高中數(shù)學(xué)解題中，學(xué)生能否挖掘和利用數(shù)學(xué)題中的隱含條件，影響到了數(shù)學(xué)解題的正確性和合理性.然而，并非所有的學(xué)生都能準確、快速地挖掘數(shù)學(xué)題干中的隱含條件，致使解題的準確率有所下降.因此，本文將結(jié)合高中數(shù)學(xué)有關(guān)內(nèi)容，就如何引導(dǎo)學(xué)生挖掘數(shù)學(xué)題中的隱含條件展開如下研究.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);隱含條件;解題;研究

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）10-0020-02

通常學(xué)生容易忽略數(shù)學(xué)題中的隱含信息，導(dǎo)致無法迅速尋找到題目中的關(guān)鍵線索以及問題解決思路，進而促使解題效果不樂觀.為了引起學(xué)生對數(shù)學(xué)題中隱含條件的重視，本文將重點分析高中數(shù)學(xué)解題中隱含條件的挖掘方法，使得學(xué)生意識到隱含條件的重要性.

一、在高中數(shù)學(xué)幾何問題中挖掘隱含條件學(xué)生若懂得將隱含在幾何問題中的條件挖掘出來，這樣往往可以迅速為解題提供關(guān)鍵的線索與條件，從而可以順利地尋找出幾何問題的解決思路，進而收到事半功倍的解題效果.對于一些非常規(guī)思路的解題方式，往往需要更多的條件，包括題干中的顯性條件以及隱含條件，而隱含條件則需要學(xué)生對題目進行再進一步的分析，同時也需要教師給予適當(dāng)?shù)奶狳c，以讓學(xué)生養(yǎng)成挖掘題目隱含條件的習(xí)慣與意識.

那么從下面這道高中數(shù)學(xué)幾何問題為例：

已知橢圓

x245+y220=1的焦點為F1和F2.經(jīng)過原點O，作直線和橢圓相交于AB兩點，若△ABF2的面積為20，請求出直線AB的方程.

解題分析 當(dāng)學(xué)生拿到這道關(guān)于橢圓的幾何問題時，應(yīng)該對題目進行詳細地閱讀，以了解和掌握題目中的基本信息，如題目中的已知條件：橢圓x245+y220=1、△ABF2面積為20、經(jīng)原點作直線等.在基本認知題目中的已知條件后，通常很多學(xué)生會想到運用設(shè)直線AB方程為y=kx（k≠0），再將題目中的橢圓方程代入進去，從而計算出直線AB的絕對值，最后使用F2點到直線AB距離進行有關(guān)的求解.雖然學(xué)生可以通過一系列的計算來解答出直線AB的方程，但是這會花費學(xué)生較多的計算時間，也容易讓學(xué)生在計算中出現(xiàn)偏差，從而導(dǎo)致解題的失誤.比方說，題目中的直線過原點O交于橢圓A、B兩點，那么可以利用這個條件將AF1與BF2相連接，就可以獲知四邊形AF1BF2是一個平行四邊形的隱含條件，另外也得到△AF1F2也為20的又一隱含條件，這樣學(xué)生就可以更加簡單地解答出幾何問題，而不容進行過多的復(fù)雜計算.

解題過程：設(shè)A點坐標為（x1，y1），由橢圓方程得知c2=a2-b2=25，所以c為5.

又∵|F1F2|=2c=10，

∴S△ABF2=S△AF1F2=|F1F2|-|y1|，

∴12×10×|y1|=20，以此得知y1=4（y1>0）.

又∵A點位于橢圓之上，

∴x245+1620=1，從這個式子中，得到x1=±3.

所以，直線AB的斜率就是k=±43，這樣學(xué)生就可以得到直線方程AB為y=±43x.

解題反思 通過對幾何問題中的隱含信息分析與挖掘，能夠為幾何問題的解答挖掘到關(guān)鍵的隱含條件，從而迅速尋找到解題的思路與路徑，進而提升解題的效率以及準確性.因此，當(dāng)學(xué)生遇到幾何問題時，不僅要關(guān)注到題目中的已知條件，還應(yīng)該懂得結(jié)合多元化的解題思維，挖掘更多能夠使用的隱含條件，以支撐起新的解題方法，從而將挖掘到的隱含幾何條件轉(zhuǎn)化為解題的重要線索.

二、在高中數(shù)學(xué)代數(shù)函數(shù)求極值問題中挖掘隱含條件

極值問題也是高中數(shù)學(xué)考試中比較常見的數(shù)學(xué)問題，但是一些求極值問題所給的已知條件比較少，甚至一些題目只給一個函數(shù)等式，就要求學(xué)生進行最大最小值的求解，而學(xué)生閱讀題目之后會感覺到無從下手、毫無思緒，不知道該從什么角度進行問題的解答，從而陷入了解題的僵局.其中，教師仍可以從挖掘題目隱含條件的方式，引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)有題目中挖掘隱含的條件信息，從而為解題提供更多可用條件，并將條件作為線索，進行代數(shù)求極值問題的解答.

如下例題：請求函數(shù)y=x-1+5-x的最大最小值.

解題分析 對于上述這道代數(shù)函數(shù)求極值問題中，很多學(xué)生會感覺到難以入手，甚至有些學(xué)生放棄作答問題，而如果學(xué)生能夠挖掘其中隱含的信息條件，就可以打開解題思維，尋找到解題的路徑.首先，從題目中，學(xué)生可以將注意力集中到自變量x，并且結(jié)合題目中的函數(shù)，得出自變量x的取值范圍為1≤x≤5.然后，根據(jù)1≤x≤5這個隱含在題目中的條件，學(xué)生就將這道看似毫無頭緒的代數(shù)函數(shù)求極值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)有關(guān)問題，從而結(jié)合三角函數(shù)知識進行問題的解答.

解題過程 由x-1≥0和5-x≥0，得到函數(shù)定義域為1≤x≤5，那么0≤x-1≤4，∴令x=4sin2θ+1（0≤θ≤π2），以此得知y=2sinθ+2cosθ=22sin（θ+

π4），

進而得到函數(shù)y的最大最小值為22和2.

解題反思 通過對上述求極值問題中的隱含條件挖掘，能夠讓學(xué)生找到有效地解題路徑，促使學(xué)生可以快速地解答出問題.可是，如果學(xué)生沒有找到題目中的關(guān)鍵突破口，就很難尋找到隱含條件，如本題中的關(guān)鍵突破口就是自變量x，它看似不起眼，可就是它成為該道問題的解題關(guān)鍵線索.

三、在高中數(shù)學(xué)數(shù)列問題中挖掘隱含條件

教師可以結(jié)合學(xué)生日常錯解進行分析，從而讓學(xué)生意識到自己是哪里開始出現(xiàn)解題的偏差，并在此基礎(chǔ)之上，幫助學(xué)生了解錯因并重新審題，以將題目中遺漏的信息重新挖掘出來，進而引導(dǎo)學(xué)生尋找到更為關(guān)鍵的題目隱含條件.

如下面這道數(shù)列問題：已知數(shù)列{an}的前n項之和為①Sn=2n2-n;② Sn=n2+n +1，請求出數(shù)列{an}的通項公式.

解題分析 在解答過程中，學(xué)生往往在數(shù)列概念理解上出現(xiàn)錯誤，從而進行錯誤的解答，如將①an=2n2-n-2（n-1）2+（n-1）=4n-3;

②an=n2+n+1-（n-1）2-（n-1）-1=2n.

學(xué)生出現(xiàn)上述解答的錯誤，主要是僅關(guān)注到了題干中的①Sn=2n2-n;②Sn=n2+n+1 ，并順理成章的利用an=Sn-Sn-1的關(guān)系進行問題的解答，卻沒有注意到a1=S1的隱含條件信息，從而解答出錯誤的答案.因此，學(xué)生應(yīng)該懂得挖掘題目中的數(shù)列關(guān)系，將存在的a1=S1的隱含條件挖掘出來，才能真正的求出{an}的通項公式.

解題過程 ①當(dāng)n=1時，a1=S1=1

當(dāng)n≥2時，an=2n2-n-2（n-1）2+（n-1）=4n-3 ，經(jīng)檢驗得

n=1時，a1=1，也適合，

∴an=4n-3

②當(dāng)n=1時，a1=S1=3當(dāng)n≥2時，

an=n2+n+1-（n-1）2-（n-1）-1=2n

∴an=32n （n=1）（n≥2）

解題反思 可見，在這道數(shù)列問題中，如果學(xué)生忽略了a1= S1的隱含條件信息，就無法正確解答出數(shù)列{an}的通項公式，這與學(xué)生是否認真讀題、是否真正掌握數(shù)列概念有關(guān).所以，在實際解答問題的過程中，學(xué)生即要樹立全面的解題思維，還要認真掌握有關(guān)的數(shù)學(xué)概念，從而利用數(shù)學(xué)概念來幫助自己尋找到題目的關(guān)鍵隱含信息，進而挖掘出可用的解題隱含條件，最終正確、全面的解答出問題的答案.

綜上所述，隱含條件是高中數(shù)學(xué)解題中的一個不容忽視的條件，而學(xué)生即要懂得挖掘又要懂得利用，才能發(fā)揮出隱含條件的作用，進而將隱含條件轉(zhuǎn)化為解題的關(guān)鍵線索.因此，教師仍要注意培養(yǎng)學(xué)生挖掘數(shù)學(xué)題目中隱含條件的能力.

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[責(zé)任編輯：李 璟]