在三角求值問(wèn)題時(shí)要注意角的取值范圍

田素偉

摘 要：三角函數(shù)求值問(wèn)題是三角函數(shù)問(wèn)題中常見(jiàn)的題型之一，本文以例說(shuō)法，并對(duì)三角求值問(wèn)題時(shí)角的范圍進(jìn)行了警示.

關(guān)鍵詞：三角函數(shù);求值問(wèn)題;取值范圍

中圖分類(lèi)號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）10-0052-02

在三角求值問(wèn)題時(shí)很多同學(xué)由于忽略角的取值范圍或是求錯(cuò)了角的取值范圍而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤，如何能在解決這類(lèi)三角求值問(wèn)題時(shí)正確把握角的角的取值范圍哪？下面就這個(gè)問(wèn)題，舉例說(shuō)明：

例1 在銳角△ABC中，a、b、c分別是三角形內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，若B=2A，求ba取值范圍.

解 由正弦定理

a=2RsinA、b=2RsinB可知，

ba=sinBsinA=sin2AsinA=2cosA

∵△ABC是銳角三角形且B=2A.

∴0<A<π20<B<π20<C<π2 ∴0<A<π20<2A<π20<π-3A<π2

∴π6<A<π4

由三角函數(shù)性質(zhì)可知cosπ4<cosA<cosπ6

∴2<2cosA<3

2<ba<3

評(píng)析 邊化為角時(shí)常用正弦定理，本題要充分挖掘?qū)ふ翌}中角的限制條件，求出角A的取值范圍，很多學(xué)生常忽略角C的取值范圍，要注意銳角三角形中三個(gè)內(nèi)角都是銳角這一條件.

例2 設(shè)函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）（0<φ<π），已知對(duì)任意x∈R，

都有，f（x）≤f（π8）

（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式并寫(xiě)出其單調(diào)遞增區(qū)間;

（2）若x為△ABC的最小內(nèi)角，求函數(shù)y=f（x）的值域.

解 （1）由題設(shè)條件知f（π8）就是函數(shù)f（x）的最大值所以2×π8+φ=π2+2kπ，解得φ=π4+2kπ（k∈Z）

又由0<φ<π，所以φ=π4，所以f（x）=sin（2x+π4）

由2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2，

解得kπ-38π≤x≤kπ+π8，

即函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-38π，kπ+π8]（k∈Z）

（2）因?yàn)閤為△ABC的最小內(nèi)角，因?yàn)閤是△ABC的最小內(nèi)角，

∴0<x≤A0<x≤B0<x≤C，

∴0<3x≤A+B+C

又A+B+C=π，所以0

∴fx=sin2x+π40<x≤π3

因?yàn)?

所以6-24=sin1112π≤sin（2x+π4）≤sinπ2=1

所以函數(shù)y=f（x）的值域是[6-24，1]

評(píng)析：本題中要明確△ABC的最小內(nèi)角的取值范圍，很多學(xué)生由于不理解最小內(nèi)角的取值范圍的推導(dǎo)，經(jīng)常記錯(cuò)△ABC的最小內(nèi)角的取值范圍，本題考察在明確△ABC的最小內(nèi)角的取值范圍的前提下求給定區(qū)間的三角函數(shù)的最值和三角函數(shù)的性質(zhì).

例3 在銳角三角形ABC中，若tanA=t+1，tanB=t-1，求t的取值范圍.

解 由已知條件可知tanA>0tanB>0tanC>0，

而tanC=-tan（A+B）=-tanA+tanB1-tanAtanB=-t+1+t-11-t+1t-1=-2t2-t2

∴t-1>0t+1>0-2t2-t2>0∴t>;2

評(píng)析 很多學(xué)生容易忽略角C的取值范圍即tanC>0這一隱含條件導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.

要注意銳角三角形中三個(gè)內(nèi)角都是銳角這一條件.

下面給出3道練習(xí)題，請(qǐng)同學(xué)練習(xí)

1.設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bcosC=（2a-c）cosB.

（1）求角B的大小;

（2）求sinA+sinC的取值范圍.

2.銳角△ABC中已知兩邊a=1，b=2，則第三邊c的取值范圍是

.

3.鈍角三角形三邊長(zhǎng)為a，a+1，a+2，最大內(nèi)角不超過(guò)120°，則a范圍是.

簡(jiǎn)答：

1.解 （1）由條件及正弦定理得：

sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB.

則sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，

∴sin（B+C）=2sinAcosB，又sin（B+C）=sinASymbolyB@0，

∴cos=12，又0<B<SymbolpA@，

∴B=π3.

（2）由A+B+C=SymbolpA@及B=π3，得C=2π3-A.又SymbolDA@ABC為銳角三角形，

∴0<A<π20<2π3-A<π2，

∴π6<A<π2.

而sinA+sinC=sinA+sin（2π3-A）=32sinA+32cosA=3sin（A+π6）.

又A+π6SymbolNC@（π3，2π3），∴sin（A+π6）SymbolNC@（32，1]，

∴sinA+sinCSymbolNC@（32，3].

2.c2=5-4cosC∈（1，5），又B<90°，∴cosC>0，

∴c2>3，∴c∈（3，5）

3.長(zhǎng)度a+2所對(duì)角最大，設(shè)為θ，則90°<θ≤120°，則-12≤cosθ<0，cosθ=a2+（a+1）2-（a+2）22a（a+1）

參考文獻(xiàn)：

[1]周怡明，陳國(guó)林.常見(jiàn)的三種三角函數(shù)值域的求法[J].數(shù)理化解題研究，2019（31）：43.

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