高考圓錐曲線離心率問題的基本解析

肖琳婧

摘 要：離心率是圓錐曲線的重要幾何性質(zhì)，也是高考?？嫉闹R點. 這類問題一般有兩類：一類是求圓錐曲線離心率的值;另一類是求圓錐曲線離心率的取值范圍. 無論是哪類問題，其關(guān)鍵點都是通過幾何或者代數(shù)的方法，找到關(guān)于a，b，c的關(guān)系式（等式或不等式），將其中的b用a，c來表示，轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的關(guān)系式，從而得到離心率. 這是求解有關(guān)離心率問題的基本方法.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線;離心率;高考

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2021）10-0040-02

一、考題分析

離心率是圓錐曲線的一個重要基本量，求圓錐曲線離心率的值或范圍的問題也是圓錐曲線中的重點，由于這類問題綜合性比較強(qiáng)，能夠更好地體現(xiàn)學(xué)生的思維能力以及直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)，因此備受高考命題者的關(guān)注.

分析2019年高考試題對圓錐曲線知識點考查的情況，全國卷很明顯加強(qiáng)了對圓錐曲線的考查力度，試題的題序都在后移，如選擇題或填空題文科Ⅰ、Ⅱ卷在第12題，理科Ⅰ卷在第16題.命題者將圓錐曲線和直線結(jié)合在一起，普遍把解析幾何作為壓軸題來考查，改變了傳統(tǒng)以函數(shù)與導(dǎo)數(shù)為壓軸題的做法.無論是全國統(tǒng)一命題還是省自主命題，選擇題或填空題主要考查圓錐曲線的定義（第一定義、第二定義）、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單的幾何性質(zhì)，而解答題的綜合性比較強(qiáng)，切入容易深入難.根據(jù)對2019年考題的側(cè)重分析，結(jié)合新課程的教學(xué)理念，預(yù)測2020年高考命題者還是會將圓錐曲線的考題放在壓軸位置.

二、例題解析

例1 （2014江西卷）設(shè)橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦點為F1，F(xiàn)2，過F2作x軸的垂線與C相交于A，B兩點，F(xiàn)1B與y軸相交于點D，若AD⊥F1B，則橢圓C的離心率等于.

圖1

解 連接AF1，因為OD//AB，O為F1F2的中點，所以D為BF1的中點. 又AD⊥F1B，所以|AF1|=|AB|，即|AF1|=2|AF2|. 設(shè)|AF2|=n，則|AF1|=2n，|F1F2|=3n. 所以e=ca=|F1F2||AF1|+|AF2|=3n3n=33.

注：用幾何關(guān)系和橢圓的定義得到a，c的關(guān)系，進(jìn)而得到離心率.

例2 （2016江蘇卷）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)

圖2

是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點，直線y=b2與橢圓交于B，C兩點，且∠BFC=90°，則該橢圓的離心率是.

解 聯(lián)立方程組x2a2+y2b2=1y=b2，得B，C兩點的坐標(biāo)分別為

B（-32a，b2），C（32a，b2），又F（c，0），則FB=（-32a-c，b2），F(xiàn)C=（32a-c，b2），又由∠BFC=90°，可得FB·FC=0，將兩向量坐標(biāo)代入可得c2-34a2+b24=0①.

又b2=a2-c2，代入①式可化簡為c2a2=23，則橢圓的離心率e=ca=23=63.

注：用代數(shù)關(guān)系（向量的坐標(biāo)表示）找到a，c的關(guān)系，進(jìn)而得到離心率.

例3 （2015福建卷）已知橢圓E：

x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點為F，短軸的一個端點為M，直線l：3x-4y=0交橢圓E于A，B兩點. 若|AF|+|BF|=4，點M到直線l的距離不小于45，則橢圓E的離心率的取值范圍是.圖3

解 取左焦點F0，連接F0A，F(xiàn)0B，

則四邊形AFBF0是平行四邊形.

因為|AF|+|BF|=4，所以|AF|+|AF0|=2a=4，即a=2.

設(shè)M（0，b），則4b5≥45，所以1≤b<2. 則離心率e=ca=c2a2=a2-b2a2，

4-b24∈（0，32].

注：先求得a，再利用點到直線的距離公式得到b的取值范圍，進(jìn)而得到離心率的取值范圍.

三、基本策略

1.求橢圓離心率或取值范圍的方法

若給定橢圓的方程，則根據(jù)橢圓方程確定a2，b2，進(jìn)而求出a，c的值，從而利用公式e=ca直接求解.若橢圓的方程未給出，則根據(jù)已知條件及幾何圖形建立關(guān)于a，b，c的齊次等式（或不等式），化為關(guān)于a，c的齊次方程（或不等式），進(jìn)而化為關(guān)于e的方程（或不等式）進(jìn)行求解.

2.求離心率值的常用方法

（1）由a、b或a、c的值，得e=c2a2=a2+b2a2=1+b2a2.

（2）列出含有a，b，c的齊次方程（或不等式），借助于b2=c2-a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程（或不等式）求解.

（3）構(gòu)造焦點三角形（F1，F(xiàn)2為雙曲線兩焦點，M為曲線上任意一點），利用定義轉(zhuǎn)化為焦點三角形三邊的關(guān)系，則

e=ca=2c2a=|F1F2||MF1|-|MF2|.

四、解題啟示

縱觀解析幾何試題，題目中一般未給出圖形，解題要求解題者正確畫出圖形，從圖形中推理出幾何或者代數(shù)關(guān)系，利用幾何直觀助力問題思考，不斷提高解題者邏輯推理和直觀想象的能力.圓錐曲線的定義是圓錐曲線的根源，某些問題的突破口就是回歸定義，如例1、例3運用了橢圓的定義.解析幾何研究的是幾何問題，研究過程中總離不開圖形，同時在解決問題時要注意是否能夠靈活運用向量、平面幾何、三角函數(shù)等知識簡化幾何關(guān)系和代數(shù)運算，綜合考慮問題，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣.

如何在解題過程中落實學(xué)生的核心素養(yǎng)，這給一線教師的教學(xué)也提出了較高的要求.學(xué)生在學(xué)習(xí)圓錐曲線離心率的過程中一是要具備定義意識，定義是對數(shù)學(xué)問題解決的原動力，所以圓錐曲線的定義，也是對圓錐曲線本質(zhì)屬性的真實反饋，是圓錐曲線的靈魂所在，在解決問題過程中，可以對其定義進(jìn)行靈活運用.二是方程意識，方程思想在解決數(shù)學(xué)問題時，尋找已知與未知之間的等量關(guān)系，構(gòu)造方程或方程組，通過求解方程完成未知向已知的轉(zhuǎn)化，其在圓錐曲線離心率問題研究的過程中也發(fā)揮了重要的作用.因為有些幾何問題表面上看起來與代數(shù)問題無關(guān)，但是要利用代數(shù)方法——列方程來解決，學(xué)生在求解過程中要善于挖掘隱含條件，具備方程的思想意識.三是平面幾何意識，在對幾何問題進(jìn)行解析的過程中，需要將數(shù)量關(guān)系作為研究基礎(chǔ)，這種方式不僅可以為學(xué)生進(jìn)行思維的簡化，同時還可以對解題過程進(jìn)行優(yōu)化.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識，有助于對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、直觀想象等核心素養(yǎng)的落實.

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[責(zé)任編輯：李 璟]