基于內(nèi)容領(lǐng)域聚焦核心素養(yǎng)的專題復(fù)習(xí)教學(xué)研究

編者按：專題復(fù)習(xí)是重要的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)活動(dòng). 要在中考專題復(fù)習(xí)中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，體現(xiàn)立德樹人，就需要改變專題復(fù)習(xí)課教學(xué)中的“題型操練”方法，通過對(duì)主題化問題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決，聚焦數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等活動(dòng). 在初中數(shù)學(xué)的“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”三個(gè)領(lǐng)域中，核心素養(yǎng)及其關(guān)鍵能力的體現(xiàn)有不同的側(cè)重.“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域主要體現(xiàn)為基于數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的符號(hào)與模型抽象、數(shù)與符號(hào)的運(yùn)算和推理;“圖形與幾何”領(lǐng)域側(cè)重圖形與圖形關(guān)系的抽象、空間觀念與幾何直觀、邏輯推理;“統(tǒng)計(jì)與概率”側(cè)重于數(shù)據(jù)觀念.“綜合與實(shí)踐”則是上述三個(gè)領(lǐng)域的綜合，側(cè)重于綜合應(yīng)用不同領(lǐng)域的知識(shí)、思想方法解決問題，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的融合發(fā)展，發(fā)展學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.

為了引起廣大教師和教學(xué)研究工作者重視專題復(fù)習(xí)教學(xué)研究，本期集中刊出“聚焦核心素養(yǎng)的中考專題復(fù)習(xí)教學(xué)研究”專題文章10篇. 這些文章中，既有對(duì)這類專題復(fù)習(xí)教學(xué)的基本原理的研究，也有“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”領(lǐng)域的聚焦核心素養(yǎng)的教學(xué)實(shí)踐研究，還有基于不同領(lǐng)域內(nèi)容聚焦數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展空間觀念、幾何直觀的教學(xué)實(shí)踐研究. 希望這些研究能對(duì)廣大數(shù)學(xué)教師和教學(xué)研究工作者有所啟發(fā)，激起對(duì)專題復(fù)習(xí)教學(xué)的研究熱情，著力改進(jìn)初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)中專題復(fù)習(xí)教學(xué)的育人效果.

摘? 要：在經(jīng)歷了聚焦知識(shí)體系重構(gòu)的基礎(chǔ)復(fù)習(xí)和聚焦數(shù)學(xué)思想方法的專題復(fù)習(xí)后，學(xué)生還比較普遍地存在著提出和解決新問題的困難. 從教學(xué)的視角分析，其主要原因是缺乏從“四基”發(fā)展到“四能”的教學(xué)橋接. 開展基于內(nèi)容領(lǐng)域聚焦核心素養(yǎng)的專題復(fù)習(xí)，是實(shí)現(xiàn)這種教學(xué)橋接的基本策略. 這種專題復(fù)習(xí)教學(xué)的基本策略是：構(gòu)建教學(xué)主題，理清數(shù)學(xué)思想方法和關(guān)鍵能力;用“大觀念”引領(lǐng)，聚焦問題提出和解決的路徑和方法的概括和遷移;基于主題精選樣例和習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考.

關(guān)鍵詞：內(nèi)容領(lǐng)域;核心素養(yǎng);專題復(fù)習(xí)

復(fù)習(xí)是對(duì)已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的認(rèn)知重構(gòu)活動(dòng). 通過這種認(rèn)知重構(gòu)，建構(gòu)知識(shí)體系，形成基本技能，深化對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法的認(rèn)識(shí)，習(xí)得數(shù)學(xué)思維方式，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)教學(xué)通常分為以下三個(gè)階段：聚焦知識(shí)體系重構(gòu)和數(shù)學(xué)思想方法體會(huì)的基礎(chǔ)復(fù)習(xí)階段;聚焦數(shù)學(xué)思想方法抽象和遷移應(yīng)用的專題復(fù)習(xí)階段;聚焦問題解決的解題指導(dǎo)階段. 很多學(xué)生雖然基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)，思想方法復(fù)習(xí)效果也比較好，但遇到“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域的新問題時(shí)，還會(huì)遇到困難. 例如，下面的題目所用到的知識(shí)點(diǎn)很少，但由于情境陌生，在6 000多名學(xué)生中正確率只有29%左右.

某酒店的圓形旋轉(zhuǎn)門可以看成如圖1所示的由外圍的⊙O和三翼隔風(fēng)玻璃OE，OF，OG組成，外圍圓有通道[AB]和[CD]，且它們關(guān)于圓心O中心對(duì)稱，圓內(nèi)的三翼隔風(fēng)玻璃可繞圓心O轉(zhuǎn)動(dòng)，且所成的夾角∠EOF = ∠FOG = ∠GOE = 120°，三翼隔風(fēng)玻璃在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，始

終使大廳內(nèi)外空氣隔離，起到對(duì)大廳內(nèi)保溫的作用. 例如，當(dāng)隔風(fēng)玻璃轉(zhuǎn)到如圖1所示的位置時(shí)，大廳內(nèi)外空氣被隔風(fēng)玻璃OF，OG隔離. 通道[AB]所對(duì)圓心角的度數(shù)的最大值為（? ? ）.

（A）30° （B）60°

（C）90° （D）120°

如果把這道題改為填空題或解答題，估計(jì)學(xué)生的得分率會(huì)更低.

在教學(xué)實(shí)踐中，教師習(xí)慣把這種現(xiàn)象歸因于學(xué)生缺乏創(chuàng)新意識(shí)和能力、思維能力不強(qiáng)、智力限制等，這種歸因太寬泛，對(duì)改進(jìn)教學(xué)沒有幫助，需要進(jìn)一步從教學(xué)視角分析成因并研究改進(jìn)措施，從而解決復(fù)習(xí)教學(xué)實(shí)踐中的“痛點(diǎn)”問題.

一、教學(xué)成因分析

學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)，思想方法學(xué)習(xí)情況良好，但解決新問題的能力不強(qiáng)，這種現(xiàn)象在當(dāng)前初中學(xué)生中普遍存在. 從教學(xué)視角分析，主要原因如下.

首先，缺乏幫助學(xué)生從知識(shí)技能和思想方法認(rèn)知重構(gòu)到跨領(lǐng)域、一般性問題解決能力發(fā)展的中間層次的教學(xué)橋接. 跨領(lǐng)域、一般性的解決問題能力需要以具體領(lǐng)域的問題解決能力為支撐;同時(shí)，具體領(lǐng)域中的問題解決能力依賴于綜合運(yùn)用本領(lǐng)域的知識(shí)技能和思想方法解決問題的數(shù)學(xué)活動(dòng). 為了發(fā)展學(xué)生這種基于具體知識(shí)領(lǐng)域的解決問題能力，需要進(jìn)行有針對(duì)性的專題復(fù)習(xí)教學(xué).

其次，在新課學(xué)習(xí)、基礎(chǔ)復(fù)習(xí)和思想方法復(fù)習(xí)中，缺乏基于情境發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題等活動(dòng)的有計(jì)劃、系統(tǒng)化、一以貫之的體會(huì)和訓(xùn)練. 當(dāng)學(xué)生突然面對(duì)一個(gè)新情境問題時(shí)，就會(huì)無從下手.

最后，“題型”訓(xùn)練泛濫，缺少基于陌生的新情境問題解決的目標(biāo)導(dǎo)向行為訓(xùn)練，導(dǎo)致學(xué)生解決創(chuàng)新性問題的能力不足. 在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師習(xí)慣把函數(shù)、方程和不等式等應(yīng)用題基于表面形式按照“行程問題”“工程問題”“銷售問題”“動(dòng)點(diǎn)問題”等進(jìn)行分類訓(xùn)練，對(duì)幾何問題基于題型按照“手拉手模型”“一線三等角模型”等進(jìn)行分類訓(xùn)練. 這些訓(xùn)練可以豐富學(xué)生頭腦中的知識(shí)體系，讓學(xué)生熟悉題型，解題流暢性更好，但是對(duì)發(fā)展學(xué)生提出和解決新情境問題的能力效果不佳，甚至是有害的. 解決新情境問題的能力，本質(zhì)上是大腦前額葉與頂葉主導(dǎo)的執(zhí)行控制能力所引發(fā)的目標(biāo)導(dǎo)向行為能力，數(shù)學(xué)問題的提出和解決的核心教育價(jià)值是發(fā)展這種大腦高級(jí)認(rèn)知能力. 因?yàn)檫@種能力的發(fā)展可以進(jìn)行跨領(lǐng)域、跨學(xué)科遷移，提升學(xué)生解決今后學(xué)習(xí)和生活中遇到的挑戰(zhàn)性問題的能力.

針對(duì)上述三類實(shí)際教學(xué)中學(xué)生存在的短板，需要進(jìn)行有針對(duì)性的教學(xué)改進(jìn)研究. 對(duì)于第二類和第三類教學(xué)短板的改進(jìn)，已經(jīng)有研究文獻(xiàn)[1][3][4]，對(duì)于第一類教學(xué)短板的改進(jìn)，至今還沒有公開的研究成果. 本文將進(jìn)行重點(diǎn)研究，并提出教學(xué)策略.

二、基于內(nèi)容領(lǐng)域聚焦核心素養(yǎng)的專題復(fù)習(xí)是從“四基”發(fā)展到“四能”的階梯

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué). 數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，基于抽象結(jié)構(gòu)，通過符號(hào)運(yùn)算、形式推理、模型構(gòu)建等，理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律. 抽象、推理和建模是數(shù)學(xué)的基本思想. 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是這三種數(shù)學(xué)基本思想在活動(dòng)中反映出來的正確觀念、必備品格和關(guān)鍵能力.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》）中用10個(gè)“關(guān)鍵詞”給出數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的描述，在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》）中，用數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析六個(gè)方面來表述數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 學(xué)生真正領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想和方法的標(biāo)志是能自覺地用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)自身的數(shù)學(xué)活動(dòng)，并在問題提出和解決中表現(xiàn)出這些關(guān)鍵能力. 從數(shù)學(xué)思想方法的復(fù)習(xí)到跨領(lǐng)域、一般性問題的提出和創(chuàng)新解決，跨度太大，需要以具體內(nèi)容領(lǐng)域中的關(guān)鍵能力發(fā)展為中介. 事實(shí)上，初中數(shù)學(xué)中的“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域各與特定的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)相聯(lián)系. 分別在不同的知識(shí)領(lǐng)域中發(fā)展學(xué)生的關(guān)鍵能力，是促進(jìn)學(xué)生跨領(lǐng)域、提出和創(chuàng)新解決一般性問題能力的基礎(chǔ). 在《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中也體現(xiàn)了這一點(diǎn)，用“綜合與實(shí)踐”來描述數(shù)學(xué)課程中綜合不同領(lǐng)域知識(shí)及思想方法提出和解決跨領(lǐng)域、一般性問題的數(shù)學(xué)活動(dòng)，這也體現(xiàn)了從單一領(lǐng)域到跨領(lǐng)域的問題解決能力的課程目標(biāo)的層級(jí)發(fā)展. 基于內(nèi)容聚焦核心素養(yǎng)的專題復(fù)習(xí)教學(xué)，正好能承擔(dān)起這種從知識(shí)技能、思想方法到問題提出和解決能力發(fā)展的橋接作用.

這種基于內(nèi)容聚焦核心素養(yǎng)的專題復(fù)習(xí)教學(xué)，需要立足內(nèi)容，選擇適當(dāng)?shù)闹黝}，以問題提出和解決為主線，融合不同的數(shù)學(xué)思想方法，聚焦核心素養(yǎng)相關(guān)的關(guān)鍵能力設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題. 在這種專題復(fù)習(xí)中，學(xué)生的核心活動(dòng)是：在特定的知識(shí)領(lǐng)域，在具體的情境中通過直觀想象和數(shù)學(xué)抽象發(fā)現(xiàn)和提出問題，用形式推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和建立模型的方法分析和解決問題，用合乎邏輯的方法進(jìn)行問題解決結(jié)果和過程的表達(dá)和交流. 事實(shí)上，這些活動(dòng)對(duì)應(yīng)著《標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中的“三會(huì)”，即會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界. 這種基于內(nèi)容聚焦核心素養(yǎng)的專題復(fù)習(xí)，能促進(jìn)學(xué)生理解不同領(lǐng)域知識(shí)內(nèi)容的思想實(shí)質(zhì)，是從“四基”發(fā)展到“四能”的階梯，對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)、提出和解決問題能力具有重要的作用.

三、基于內(nèi)容領(lǐng)域聚焦核心素養(yǎng)的專題復(fù)習(xí)的教學(xué)策略

1. 構(gòu)建教學(xué)主題，理清數(shù)學(xué)思想方法和關(guān)鍵能力

《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》把義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容劃分為“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”三個(gè)知識(shí)領(lǐng)域，以及“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域.“綜合與實(shí)踐”指的是綜合運(yùn)用前三個(gè)領(lǐng)域的知識(shí)和思想方法解決問題的實(shí)踐活動(dòng). 三個(gè)具體知識(shí)領(lǐng)域都體現(xiàn)了抽象思想、推理思想和模型思想. 但不同領(lǐng)域中這三種基本思想的表現(xiàn)形式有所不同，其在活動(dòng)中關(guān)鍵能力的反映各有側(cè)重. 例如，在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中蘊(yùn)含著從具體情境中抽象出符號(hào)的能力，用代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)表示數(shù)量關(guān)系的能力，數(shù)與代數(shù)式的運(yùn)算能力，解方程、不等式的能力，用數(shù)形結(jié)合思想理解和研究函數(shù)性質(zhì)的能力等;在“圖形與幾何”領(lǐng)域，蘊(yùn)含著圖形及圖形關(guān)系、圖形與數(shù)量關(guān)系的抽象能力，觀察和想象物體的結(jié)構(gòu)、追蹤空間位置及其運(yùn)動(dòng)的能力，用幾何圖形表示數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、空間結(jié)構(gòu)及變化，用幾何圖形表示和分析問題的能力，依據(jù)邏輯規(guī)則從已有幾何命題中有邏輯地推導(dǎo)出新命題、建立局部命題之間的邏輯系統(tǒng)的推理能力等;在“統(tǒng)計(jì)與概率”中蘊(yùn)含著數(shù)據(jù)分析能力，包括數(shù)據(jù)的收集、整理、描述、分析并做出判斷的能力. 即便是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，函數(shù)內(nèi)容與數(shù)、代數(shù)式、方程、不等式的內(nèi)容中所蘊(yùn)含的關(guān)鍵能力也有所區(qū)別. 特別地，函數(shù)內(nèi)容還蘊(yùn)含著“數(shù)形結(jié)合”這一幾何直觀能力，解決的核心問題是分析運(yùn)動(dòng)變化過程. 同樣，“圖形與幾何”領(lǐng)域包括圖形的性質(zhì)、圖形的變化、圖形與坐標(biāo)等內(nèi)容，它們有共同的關(guān)鍵能力——抽象幾何圖形及其關(guān)系得到幾何概念命題的能力、直觀想象和邏輯推理能力，也有各自的側(cè)重點(diǎn). 例如，圖形的性質(zhì)主要是構(gòu)建反映一類圖形結(jié)構(gòu)的命題邏輯結(jié)構(gòu);圖形的變化則是研究幾何圖形的運(yùn)動(dòng)變化中的不變性和變化規(guī)律，圖形與坐標(biāo)則主要研究圖形位置及其變化的坐標(biāo)刻畫. 因此，我們可以在“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域的基礎(chǔ)上，劃分不同的內(nèi)容主題，聚焦問題研究，概括研究的思想和方法，開展核心素養(yǎng)相關(guān)的數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展學(xué)生的關(guān)鍵能力. 例如，在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，可以基于數(shù)與代數(shù)式、方程和不等式設(shè)計(jì)“符號(hào)抽象、推理和運(yùn)算”專題復(fù)習(xí)課;基于函數(shù)內(nèi)容設(shè)計(jì)“函數(shù)建模與數(shù)形結(jié)合”專題復(fù)習(xí)課. 在“圖形與幾何”領(lǐng)域，可以基于圖形性質(zhì)設(shè)計(jì)“圖形結(jié)構(gòu)研究——觀察、想象、實(shí)驗(yàn)與推理”專題復(fù)習(xí)課，可以基于圖形的變化設(shè)計(jì)“用圖形變換思想研究幾何問題”的專題復(fù)習(xí)課，也可以基于圖形與坐標(biāo)設(shè)計(jì)“位置及其變化的刻畫與數(shù)形結(jié)合”的專題復(fù)習(xí)課，等等.

選擇內(nèi)容、構(gòu)建主題的主要方法是：（1）基于研究活動(dòng)中蘊(yùn)含的關(guān)鍵能力的一致性構(gòu)建復(fù)習(xí)主題，如數(shù)、代數(shù)式、方程、不等式中的“符號(hào)抽象、推理和運(yùn)算”復(fù)習(xí)主題;（2）基于研究對(duì)象的共性構(gòu)建復(fù)習(xí)主題，如“圖形結(jié)構(gòu)研究——觀察、想象、實(shí)驗(yàn)與推理”;（3）基于研究的思想方法一致性構(gòu)建復(fù)習(xí)主題，如用圖形變換的思想研究幾何問題，當(dāng)然也可以融合這些方法構(gòu)建復(fù)習(xí)主題，如“函數(shù)專題——數(shù)學(xué)建模與數(shù)形結(jié)合”中的數(shù)學(xué)建模是基于關(guān)鍵能力的，數(shù)形結(jié)合是基于研究的思想方法的，也是直觀想象能力的體現(xiàn).

2. 用“大觀念”引領(lǐng)，聚焦問題提出和解決的路徑及方法的概括和遷移

基于內(nèi)容領(lǐng)域聚焦核心素養(yǎng)的專題復(fù)習(xí)，不同于基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的復(fù)習(xí)，不同于具體的數(shù)學(xué)思想方法的復(fù)習(xí)，也不同于跨領(lǐng)域、一般性問題解決的指導(dǎo)，其最大的特點(diǎn)是聚焦具體內(nèi)容領(lǐng)域中的問題提出和解決能力的發(fā)展. 在同一主題下，研究對(duì)象和研究問題具有關(guān)聯(lián)性，研究的數(shù)學(xué)活動(dòng)類型具有一致性，研究的路徑和方法相似. 這些領(lǐng)域內(nèi)的一致性集中反映了數(shù)學(xué)研究的“大觀念”，即組織相關(guān)知識(shí)、思想方法和問題提出與解決步驟的頂層思想. 這種“大觀念”是對(duì)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過程及其反映的數(shù)學(xué)思想方法的再概括，主要包括研究對(duì)象如何引入、如何定義，怎樣提出研究問題，性質(zhì)指的是什么，判定指的是什么，怎樣研究，等等. 例如，數(shù)、代數(shù)式、方程、不等式等內(nèi)容都是基于現(xiàn)實(shí)中數(shù)量關(guān)系的符號(hào)抽象和運(yùn)算引入研究對(duì)象，基于性質(zhì)和運(yùn)算進(jìn)行定義，其性質(zhì)表現(xiàn)為運(yùn)算中的不變性，通過歸納得到運(yùn)算法則、運(yùn)算律、等式及不等式性質(zhì)，并以此為依據(jù)進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算和推理，從一般意義上研究數(shù)量關(guān)系，研究的方法是符號(hào)運(yùn)算、推理、從特殊到一般的歸納，等等. 函數(shù)中的“大觀念”是用函數(shù)表示運(yùn)動(dòng)變化過程，用數(shù)形結(jié)合的方法研究變化規(guī)律與變化趨勢(shì);圖形與幾何中的“大觀念”是怎樣研究一類幾何圖形，包括研究思路、研究?jī)?nèi)容和研究方法，怎樣引入和定義，性質(zhì)是什么，判定是什么，怎樣提出和證明性質(zhì)與判定，用圖形變換的觀點(diǎn)進(jìn)行直觀觀察和想象，等等;數(shù)據(jù)分析中的“大觀念”則是數(shù)據(jù)分析觀念. 在“大觀念”的指導(dǎo)下概括出不同知識(shí)領(lǐng)域中不同主題下問題提出、研究和解決的共性，可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)內(nèi)容中蘊(yùn)涵的思想實(shí)質(zhì)的理解，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的發(fā)展. 通過對(duì)不同領(lǐng)域的問題提出和解決的路徑、方法的概括和總結(jié)，可以為學(xué)生創(chuàng)造性地提出和解決新情境中的跨領(lǐng)域、一般性問題積累有益的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

例如，在“符號(hào)抽象、推理與運(yùn)算（1）——數(shù)與式”專題復(fù)習(xí)中，設(shè)計(jì)了課前預(yù)測(cè)、提出問題、解決問題、反思總結(jié)、遷移應(yīng)用等教學(xué)環(huán)節(jié). 在課前預(yù)測(cè)中設(shè)計(jì)了三個(gè)問題（藥品降價(jià)、湯的咸淡、靠墻竹竿滑動(dòng)），學(xué)生可以基于具體數(shù)據(jù)進(jìn)行分析計(jì)算，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生提出一般性問題，讓學(xué)生借助字母表示數(shù)，通過符號(hào)運(yùn)算與推理在一般意義上研究和解決問題，在此基礎(chǔ)上總結(jié)出數(shù)與代數(shù)式中運(yùn)用符號(hào)抽象、推理和運(yùn)算解決問題的一般步驟、作用和要點(diǎn)，并進(jìn)一步用這種方法解決其他數(shù)與代數(shù)式中的有關(guān)問題. 數(shù)與代數(shù)式中的問題提出和解決的基本步驟是“用字母表示數(shù)，列代數(shù)式（用運(yùn)算表示數(shù)量關(guān)系），運(yùn)算和推理”，其作用是“借助字母表示數(shù)和列代數(shù)式，通過符號(hào)運(yùn)算，在一般意義上提出和解決問題”，關(guān)鍵是符號(hào)表示和推理運(yùn)算. 這種提出和解決問題的步驟和方法，同樣可以遷移應(yīng)用到方程和不等式中，只不過在操作步驟上有所增加，運(yùn)算與推理需要綜合運(yùn)用. 列方程的步驟是在列代數(shù)式的基礎(chǔ)上，再加上“用等號(hào)（或不等號(hào)）連接相等（或不等）的兩個(gè)量”. 當(dāng)然，在實(shí)際問題的解決中，方程和不等式應(yīng)用題中需要進(jìn)行從整體到部分的分析，先要明確相等（或不等）的兩個(gè)量是什么，然后分析這兩個(gè)量各由哪些要素（數(shù)量）決定，分層次逐步分析，最終找到問題中的決定其他量的關(guān)鍵——基本量，然后用字母表示，設(shè)出未知數(shù)，通過列代數(shù)式、用等號(hào)（或不等號(hào)）連接兩個(gè)相等（或不等）的量，用方程、不等式表示數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型. 在用字母表示數(shù)，列出代數(shù)式、方程、不等式實(shí)現(xiàn)符號(hào)抽象后，通過符號(hào)運(yùn)算和推理，得到數(shù)學(xué)問題的解，通過實(shí)際意義的解釋，解決實(shí)際問題.

3. 基于主題精選樣例和習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考

數(shù)學(xué)思想方法是在提出和解決具體的數(shù)學(xué)問題中反映出來的. 數(shù)學(xué)問題提出和解決中的路徑和方法是基于對(duì)問題解決過程的反思，學(xué)生解決問題中關(guān)鍵能力的發(fā)展依賴于具體問題解決中獨(dú)立的深度思考. 因此，數(shù)學(xué)思想方法的形成、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累、關(guān)鍵能力發(fā)展的載體是樣例和習(xí)題，關(guān)鍵是學(xué)生能獨(dú)立地提出和解決問題，及時(shí)反思總結(jié).

例如，在“符號(hào)抽象、推理與運(yùn)算（1）——數(shù)與式”專題復(fù)習(xí)中，通過下面三道預(yù)測(cè)題檢測(cè)學(xué)生基于直觀推斷的問題解決能力.

預(yù)測(cè)題1：（憑生活直覺）現(xiàn)有兩碗咸淡不同的湯，混合在一起后，對(duì)咸淡變化規(guī)律的描述最準(zhǔn)確的是（? ? ）.

（A）比淡的咸 （B）比咸的淡

（C）比咸的咸 （D）比淡的咸但比咸的淡

預(yù)測(cè)題2：（用特殊化和數(shù)值計(jì)算方法解決問題）藥企對(duì)某種藥品進(jìn)行連續(xù)兩次降價(jià)，有下面兩種降價(jià)方案.

方案1：分兩次降價(jià)，降價(jià)率分別為a，b（a ≠ b）;

方案2：兩次降價(jià)率都為[a+b2].

則這兩種降價(jià)方案的總降價(jià)幅度大小是（? ? ）.

（A）方案1大于方案2

（B）方案2大于方案1

（C）方案1等于方案2

（D）不確定

預(yù)測(cè)題3：（數(shù)值計(jì)算）如圖2，一根長(zhǎng)為5 m的竹竿斜靠在墻面上. 靠墻一端離地高為4 m，竹竿在同一平面內(nèi)下端外移0.5 m時(shí)，靠墻一端下降的高度是（? ? ）.

（A）等于0.5 m

（B）大于0.5 m

（C）小于0.5 m

（D）與0.5 m比較，大小關(guān)系不確定

在此基礎(chǔ)上，以題目1和題目2的一般化研究為例，另外借助一道綜合性例題進(jìn)行綜合拓展，集中體現(xiàn)字母表示數(shù)、列代數(shù)式中的符號(hào)抽象、推理與運(yùn)算.

題目1? 國(guó)家醫(yī)藥采購改革后，迎來藥品降價(jià). 某藥企對(duì)某種藥品進(jìn)行連續(xù)兩次降價(jià)，有下面兩種降價(jià)方案.

方案1：分兩次降價(jià)，降價(jià)率不同;

方案2：分兩次降價(jià)，每次降價(jià)率相同，均為方案1兩次降價(jià)率的平均值.

問：哪一種方案的降價(jià)幅度大？能通過計(jì)算說明嗎？

題目2? 現(xiàn)有兩碗咸淡不同的湯，混合在一起后，咸淡變化有什么規(guī)律？能通過計(jì)算說明嗎？

在解決這兩個(gè)問題的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生反思總結(jié)符號(hào)抽象、推理和運(yùn)算的作用、基本步驟和注意要點(diǎn). 進(jìn)一步通過下面的例題，設(shè)計(jì)這種問題提出和解決步驟方法的遷移應(yīng)用活動(dòng).

例? 汽車在路程相同的上坡和下坡行駛的速度不同，汽車在上、下坡行駛過程中的平均速度與上坡、下坡速度之間有什么關(guān)系？能提出新的問題并加以研究嗎？（可以提出調(diào)和平均數(shù)的定義、性質(zhì)等研究問題并進(jìn)行研究，構(gòu)建局部知識(shí)系統(tǒng).）

課后習(xí)題也是聚焦在符號(hào)抽象、運(yùn)算及推理，選擇生活背景（二維碼中的符號(hào)抽象與運(yùn)算）、科學(xué)背景（并聯(lián)電路中的電阻計(jì)算公式，總電阻大小與分電阻大小關(guān)系）和數(shù)學(xué)背景的典型問題（預(yù)測(cè)題3的移動(dòng)距離的一般化推廣）.

精選問題的基本原則是：（1）針對(duì)性，即所選擇的問題與內(nèi)容主題的數(shù)學(xué)思想、關(guān)鍵能力、基本思考步驟和要點(diǎn)具有一致性;（2）典型性，即所選擇的問題代表本主題中主要的問題類別，可以從現(xiàn)實(shí)情境、科學(xué)情境、學(xué)習(xí)情境和數(shù)學(xué)情境中選擇典型問題或者設(shè)計(jì)問題情境，所選的問題呈現(xiàn)方式及結(jié)構(gòu)不同但思考方式具有一致性;（3）發(fā)展性，即所選擇的問題特別是例題要具有發(fā)展性，能夠生成進(jìn)一步應(yīng)用本主題的思想方法和關(guān)鍵能力解決的一系列新問題. 如上述“符號(hào)抽象、推理與運(yùn)算（1）——數(shù)與式”專題復(fù)習(xí)課中的預(yù)測(cè)題、例題具備了針對(duì)性、典型性和發(fā)展性.

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