“對數函數的概念”教學設計與反思

李晶

摘? 要：教材將對數函數的概念提煉為一個獨立的課時，強調對數函數概念的建構. 因此，本節(jié)課強調通過情境的創(chuàng)設和問題的提出來引導學生思考“為什么引入對數函數概念”“如何構建對數函數概念”“對數函數的引入能做什么”，以便學生能在構建概念的過程中理解概念引入的必然性，發(fā)展發(fā)現問題、提出問題的自我探求知識的能力.

關鍵詞：概念課教學;對數函數;演繹推理;類比;問題鏈

一、教學內容分析

本節(jié)課是人教A版《普通高中教科書[·]數學（必修）》（以下統(tǒng)稱“教材”）第一冊第四章第4節(jié)的內容：是在學生學習了函數的概念和性質，經歷了冪函數、指數函數的學習方法和過程，掌握了對數的定義及運算的基礎上引入的一類新的基本初等函數;是對函數的概念、性質本質的再認識;是基本初等函數類型的再拓廣;是研究函數路徑“背景—概念—圖象與性質—應用”的再強化;是后續(xù)學習反函數的關鍵概念和必備知識;是分析和解決大量數學問題和實際問題的重要工具.

教材將僅有400多個字符的對數函數概念的抽象概括設立為一個獨立課時，更強調對數函數概念的建構和動態(tài)生成，既要考慮概念的存在性與引入的必然性，又要考慮新概念與舊知識間的相互關聯和印證，對已儲備知識進行搭橋式聯系. 與指數函數的抽象概括過程不同，本節(jié)課強調通過對函數定義本質的挖掘，演繹推理、抽象概括出對數函數的定義. 在學習過程中滲透數學運算、數據分析、數學抽象、直觀想象、邏輯推理等數學學科核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學生的理性思維和科學精神.

二、教學目標設置

本節(jié)課的教學目標設置如下.

（1）通過解決具體實例中的指數函數已知[y]求[x]的問題，感受對數函數的實際背景，感悟對數函數概念引入的必然性，夯實提出問題、分析問題、解決問題的學習能力.

（2）通過經歷對數函數概念的構建過程，讓學生感悟研究函數的方法，理解對數函數的概念，體會數形結合、類比、從特殊到一般、從具體到抽象的數學思想，促進演繹、歸納法的內化，滲透邏輯推理、數學抽象、直觀想象的數學學科核心素養(yǎng).

（3）通過應用，掌握對數函數解析式及對數型函數定義域求解;感悟指數函數和對數函數是從不同角度研究同一類問題變化規(guī)律的兩大基本初等函數類型，滲透數學建模、數學運算素養(yǎng).

三、學生學情分析

1. 學生已具備的知識基礎

（1）學生對函數的認識要經歷三個階段.

經驗感知階段（小學階段），知道一個量隨另一個量的變化而變化的具體情境，如“隨著年齡增長，我的個子越來越高”等.

形象描述階段（初中階段），能用抽象的語言描述一個量隨另一個量變化的趨勢，如“[y]隨[x]的增大而減小”，即“變量說”.

抽象概括階段（高中及以后），能脫離具體和直觀對象，進行抽象化、符號化的概括與操作，即“集合-對應說”.

（2）學生學習了指數函數的相關知識，能進行指數與對數的運算.

2. 學生已具備的能力基礎

學生經歷了冪函數、指數函數的學習方法和過程，體會了研究一般函數的方法，具備了一定類比、數形結合的數學思想，積累了從具體到抽象、從特殊到一般的數學活動經驗，學生已具備了自主生成對數函數定義的基本認知基礎.

3. 學生可能存在的認知困難

（1）學生在碳14衰減問題中，由指數和對數的關系，容易根據死亡生物體內碳14殘留量[y]經運算推理得到生物死亡時間[x]的關系式，但是想到用函數刻畫[y]和[x]之間的關系是其認知困難之一.

（2）指數函數的概念是由具體實例觀察抽象得到的，而對數函數概念的構建是需要利用函數的定義，通過演繹推理論證的. 因此，如何將“似乎顯然”是函數的結論推理到“確實顯然”是其認知困難之二.

基于以上分析，本節(jié)課根據思維最近發(fā)展區(qū)理論，在學生已有的認知經驗中尋找新知識的生長點，以概念同化的形式進行教學.

由此確定本節(jié)課的教學重點為對數函數的概念，教學難點為利用函數定義演繹推理對數函數的概念.

四、教學問題診斷

教學問題1：為什么引入對數函數概念？

一個新概念的引入要先考慮概念生成的合理性和必然性. 因此，本節(jié)課要解決的第一個問題就是為什么引入對數函數.

解決方案：先通過對實際案例中數據的運算、分析，發(fā)現對數式中兩個變量之間的關系，再借助數據的無限性和運算的有限性之間的矛盾，引導學生考慮用函數刻畫兩個變量之間的關系.

教學問題2：如何構建對數函數概念？

在數學概念的教學中，不但要使學生掌握單個概念，而且要使學生掌握概念體系，構建良好的數學認知結構.

從最近發(fā)展區(qū)的角度考慮，學生已有的經驗是函數、指數函數知識體系的構建. 基于這些因素，確定問題的解決方案：本節(jié)課教學，由對數運算入手，通過設置問題鏈挖掘函數本質，借助函數定義進行演繹推理，再類比指數函數從特殊到一般，抽象概括對數函數的定義;單元教學，類比指數函數知識體系構建對數函數知識體系，即對數函數的概念、后續(xù)課程中對數函數的圖象、性質及應用等.

教學問題3：對數函數的引入能做什么？

每個新概念的引入還需要考慮它是否能產生新的方法，或者為其他問題的解決帶來便利.

解決方案：本節(jié)課擬在運用演繹推理得到對數函數概念及利用對數函數解決實際問題兩個環(huán)節(jié)中引導學生初步體會對數函數和指數函數互為反函數，它提供了一種與指數函數不同的角度去刻畫同一個問題的變化規(guī)律.

五、教學過程設計

1. 創(chuàng)設情境，提出問題

情境：在周末參觀古生物博物館時，小明看著恐龍化石提了“我們怎么知道霸王龍是生活在白堊紀還是侏羅紀呢？”這樣的問題，大家能回答這個問題嗎？考古學家是如何利用遺址中的化石推斷恐龍生活的年代的呢？

【設計意圖】通過一個自然而真實的問題讓學生感受對數函數的實際背景，并建立與指數函數的聯系. 引導學生從另一個角度研究同一問題的變化規(guī)律，引導學生學會用數學眼光觀察世界. 通過具體數據運算的局限性，引出用函數刻畫死亡時間[x]與碳14含量[y]之間關系的必要性，體現對數函數概念引入的必然性，為抽象對數函數做準備.

2. 演繹推理，構建概念

問題3：你所學的數學知識中，有能用來描述兩個變量所有取值之間的關系的嗎？

追問1：死亡時間[x]是碳14含量[y]的函數嗎？

追問2：數學是一門嚴謹的科學，你能找到依據進行嚴謹的推理判斷嗎？

問題4：函數的定義是什么？

師生活動：學生在教師的引導下想到利用函數來描述死亡時間[x]與碳14含量[y]之間的關系，進而想到通過函數定義論證死亡時間[x]是碳14含量[y]的函數. 通過對函數定義的回顧提煉出：函數是兩個實數集之間的一種特殊對應關系. 函數有三個要點：兩個非空數集[A，B;] 兩個集合間有一個確定的對應關系;此對應關系要滿足對于集合[A]中的任意一個數[x，] 按照確定的對應關系，在集合[B]中都有唯一確定的數[y]與它對應.

問題5：在對數式中，[y]和[x]對應的集合[A，B]分別是什么？依據是什么？

問題6：從集合[A=0，1]到集合[B=0，+∞]的對應關系是什么？

追問1：畫哪個圖象？

追問2：集合[A=0，1]中任意一個數[y，] 如何用圖形刻畫？

追問3：按照對應關系，在集合[B=0，+∞]中有唯一確定的[x]與[y]對應，又如何用圖象刻畫呢？

追問4：從圖象直觀感知兩個函數圖象的確是有一個交點，但僅憑指數函數部分圖象，怎樣說明[0，+∞]上不會再有其他交點？

師生活動：師生利用信息技術作圖（如圖1），一起檢驗函數定義的三個要點，論證死亡時間[x]是碳14含量[y]的函數.

問題8：如果將底數換成其他常數，[x]還是[y]的函數嗎？如[x=log15y，x=log3y，x=lny，x=log12y.]

問題9：你能歸納這類具體函數的一般表示嗎？

追問1：底數[a]有限制嗎？

追問2：自變量是什么？因變量是什么？符合函數的表示習慣嗎？可以怎么做？

追問3：此函數的定義域為多少？為什么？

追問4：類比指數函數給出對數函數的定義.

師生活動：學生從特殊到一般抽象概括出對數函數的一般表達，同時類比指數函數給出對數函數的定義. 教師板書對數函數的定義，強調對數函數的形式特點和定義域.

【設計意圖】問題3的追問1一提出來，大部分學生都會下意識地回答“是”，但并沒有經過嚴謹地思考. 實際上，基于已學的函數定義和指數函數、對數，此處可以采取概念同化的教學方式，通過驗證對數式中死亡時間[x]與碳14含量[y]滿足函數定義的三個要點，演繹推理出死亡時間[x]是碳14含量[y]的函數. 通過拆解函數定義中的條件，引導學生學習數形結合，體會數形結合思想方法，學習用數學的思維思考世界.

3. 例題解析，學以致用

例1? 已知函數[fx]為對數函數，且[f3=1，] 則[f9]的值為? ? ? ? .

例2? 求下列函數的定義域：

（1）[y=log3x2;]（2）[y=loga4-x a>0，a≠1.]

問題10：例2中的兩個函數是對數函數嗎？

師生活動：師生共同解答，教師點撥. 這兩個函數不是對數函數，它們稱為對數型函數. 對數函數的真數是自變量[x];底數是大于0且不等于1的常數;整體系數是1.

【設計意圖】學生通過求對數函數解析式和對數型函數的定義域，理解對數函數的概念. 對于一個概念的完整理解，只明了本質屬性是不夠的，因此在教材的基礎上增加了例1及問題10，意在讓學生從正、反兩個方面理解對數函數的內涵和外延.

例3? 假設某地初始物價為1，每年以5%的增長率遞增，經過[y]年后的物價為[x.]

（1）該地的物價經過幾年后會翻一番？

（2）填寫表2，并根據表中的數據，說明該地物價的變化規(guī)律.

師生活動：依據題意，學生建立年數[y]關于物價[x]的對數函數，用Excel軟件計算相應年數，填寫數據如表3所示.

問題11：你們從表格里可以發(fā)現物價具有什么變化規(guī)律？

追問1：除了物價隨年數增長而增長的規(guī)律外，還有其他變化規(guī)律嗎？如何讓表中的數據更形象直觀呢？

師生活動：畫出表格中數據對應的散點圖，如圖2所示，橫坐標是物價[x，] 縱坐標是年數[y.]

追問2：從圖象上可以更加直觀地感受到增長趨勢，那么增長的快慢程度如何呢？

追問3：如何定量描述年數“增長得越來越慢”這個特征呢？

師生活動：學生通過觀察散點圖，得出物價大約每增加1所需時間在逐漸減少. 教師再將表3中的年數做差得到表4，從數據的角度體現此規(guī)律.

教師講授：現在有兩個角度可以描述物價的變化規(guī)律：一個是從物價[x]是年數[y]的指數函數的角度;另一個是從年數[y]是物價[x]的對數函數的角度. 這兩個函數可以從不同角度描述同一個問題的變化規(guī)律：物價增長得越來越快！它們兩者之間的關系，將在后續(xù)課程中研究.

【設計意圖】學生通過解答例3了解對數函數的實際意義，并初步體會對數函數的增長特點. 再次體會指數函數和對數函數是從不同角度刻畫同一個問題的變化規(guī)律，為后續(xù)學習反函數做鋪墊. 在學習過程中，通過綜合使用函數的三種表示——解析式法、列表法、圖象法，幫助學生從定性的圖象直觀到定量的數量關系描述物價的變化規(guī)律，學會用數學語言表達世界.

4. 自主演練，鞏固所學

練習1：求解下列函數的定義域.

【設計意圖】學生通過解答練習題，再次理解函數表達式對定義域的限制：分母不為0，真數大于0. 再次強化函數的三要素對函數的限制：利用對數恒等式化簡后的對應關系是一樣的，但因其定義域是不同的，所以這是兩個不同的函數. 因此，在研究函數時，不能隨意化簡表達式，應先求出定義域后再化簡.

5. 課堂小結，作業(yè)布置

知識：對數函數的概念，對數函數的結構特征、定義域及應用.

方法：從實例中提出數學問題，利用已有知識對其進行推理論證，再從特殊到一般抽象歸納一類函數的概念.

作業(yè)1：通過類比，由特殊到一般推理論證[y=][logax a>0，a≠1]是函數.

作業(yè)2：類比冪函數、指數函數的研究方法，研究對數函數[y=logax a>0，a≠1]的圖象和性質.

作業(yè)3：完成課后作業(yè)第3題.

【設計意圖】學生通過回顧本節(jié)課構建的知識和應用的方法，積累研究數學問題的方法與活動經驗，學會學習數學. 通過完成課后作業(yè)，學生將再次經歷演繹推理的過程，再次體驗類比方法的實用性，為后續(xù)對數函數圖象和性質的學習做好鋪墊.

六、教學反思

1. 關于設計的定位

教材為何要將“對數函數概念的抽象概括”設計為一個獨立的課時？要怎樣體現出設計的優(yōu)越性？通過反復研讀，筆者感悟到：學生在此前對數的學習中，已經掌握了指數和對數之間的內在關聯，對數函數概念的抽象就應在此基礎上展開，方能展現出這一節(jié)的獨特魅力和與眾不同. 因此，本節(jié)課最重要的兩個環(huán)節(jié)為創(chuàng)設情境和構建概念.

首先，利用碳14指數函數創(chuàng)設情境，解決以下兩個問題：學生通過運算感悟到已知一個[y]反過來可以計算[x]，得到對數式;利用數據的無限和運算的有限之間的矛盾，讓學生想到用“函數”描述兩個變量之間的關系.

其次，在構建概念中引導學生根據函數定義，進行嚴格的演繹推理，把一個“似乎顯然”的問題推理到“確實顯然”.

2. 關于遵循概念學習的規(guī)律

章建躍博士認為，從數學知識的發(fā)展過程的合理性、學生思維過程的合理性上加強思考，是落實數學學科核心素養(yǎng)的關鍵點. 本節(jié)課在具體教學中遵循以學生為中心，通過設置問題鏈引導學生參與到“為什么引入對數函數”“如何構建對數函數”“對數函數引入后有哪些作用”的新概念的建構過程中. 在知識的形成過程中遵循事物認知的一般規(guī)律，以情境問題引入，繼而轉化為數學問題，讓學生在明晰問題產生背景的基礎上從已有的數學知識入手分析問題、解決問題，從而將“用數學眼光觀察世界，用數學思維思考世界，用數學語言表達世界”落實到課堂的每一處.

3. 改進之處

（1）能正確處理“預設”與“生成”之間的關系，但對學生解答例3時出現的口誤“建立了年數[y]關于物價[x]的指數函數”雖然有及時糾正，但是沒有深入考慮口誤產生的原因，此處的口誤可能代表著學生對于描述兩個變量間函數關系的規(guī)范表達有待提高.

（2）在引導學生自主構建概念的過程中，重視學生的生成性學習，但對于如何引導學生，何時介入學生的自主探究，是不是可以讓學生更主動、更開放些等方面需要加強. 例如，提出研究“兩變量之間是否為函數關系”的問題后，可組織一次數學活動，由學生分組合作探究討論研究此問題的方法，由學生定下此節(jié)課的研究方案，師生共同驗證;在例題的設置上，是否可以再大膽一些，多設置一些實際應用問題. 這些都是有待進一步嘗試的.

參考文獻：

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