楊燦權(quán) 李馨 王紅權(quán)
摘? 要:文章通過研究6個幾何定值問題的解法,發(fā)現(xiàn)代數(shù)法是解決幾何定值問題的通法,其本質(zhì)是消元;而幾何法是直觀、易懂、深刻地理解幾何定值問題,數(shù)形結(jié)合方能揭示定值背后的秘密.
關(guān)鍵詞:定值;代數(shù)消元;幾何意義
研究圖形的性質(zhì)就是研究圖形要素之間確定的關(guān)系,它是幾何研究中最重要的一環(huán). 在練習(xí)題和考試題中都會涉及多個基礎(chǔ)圖形的組合,如求解或者證明某些問題,其實(shí)質(zhì)就是在理解圖形結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上對新圖形進(jìn)行性質(zhì)探究. 數(shù)學(xué)是確定性的科學(xué). 幾何定值是指當(dāng)幾何元素按照一定的規(guī)律在確定的范圍內(nèi)變化時,與其相關(guān)的某些幾何量始終保持不變. 當(dāng)學(xué)生遇到定值問題時,往往會冥思苦想其解答方法,然后驚嘆于命題人是如何想到這么巧妙的構(gòu)思的. 事實(shí)上,“確定”依賴于一些圖形的結(jié)構(gòu)或者代數(shù)特征.
很多文獻(xiàn)對定值問題進(jìn)行了研究,但是都是對單個或者某一類問題的研究. 這不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美,也說明此幾何定值問題之難,還有很多未解的幾何定值之謎等待探索,較難形成完整的體系. 本文也進(jìn)行了一些嘗試,從“數(shù)”和“形”兩個方面去揭開“定值”的神秘面紗.“數(shù)”往往可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律,“形”往往可以加強(qiáng)理解.
一、代數(shù)方法的本質(zhì)是消元
首先,定值問題應(yīng)是一個變中求不變的過程,所以它的先決條件是變化;其次,研究變化的重要工具是函數(shù),用以刻畫量與量之間的依賴關(guān)系;再次,需要確定變量,即需要知道哪些量能讓圖形確定不變;然后,用定量表示出圖形中所有其他的量;最后,通過代數(shù)變形,消去中間變量,得到定值. 從函數(shù)的角度看,定值源于可消元.
筆者通過以下3道例題具體闡釋這個過程.
例1中并未給出矩形的邊長大小,因而此題的結(jié)論不會因?yàn)榫匦蔚男螤罡淖兌淖? 從定性上分析,只要矩形的兩條邊長確定,矩形也就確定,線段AG,EG,F(xiàn)G的長也隨之確定. 所以設(shè)矩形的兩條相鄰邊長分別為a和b. 首先,分別用a,b表示出AG,F(xiàn)G,EG的長;然后,用EG,F(xiàn)G表示a和[ab];最后,代入就可得到AG,EG,F(xiàn)G的關(guān)系. 從以上過程可以看出,a和b是解答過程中的參數(shù),是過渡的橋梁. 事實(shí)上,還可以發(fā)現(xiàn)圖形中任意3條線段都會存在某種固定關(guān)系,只是有時很難用一個表達(dá)式表示,或者表達(dá)式不夠美觀,更或者結(jié)論過于平凡.
證法3相較于前兩種證法的優(yōu)勢是明顯的. 第一,整個證明過程清晰明了,簡單易懂,前面兩種證法對代數(shù)變形的要求較高. 第二,有利于結(jié)論的發(fā)現(xiàn),而不僅僅停留于結(jié)論的證明. 若用對角線BD和∠ADB來確定矩形,然后表示出GE和GF的長,根據(jù)三角函數(shù)的關(guān)系是很容易發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論的. 此外,還可以發(fā)現(xiàn)[GEBD23+GFBD23=1]等. 第三,變量減少了. 事實(shí)上,待求證的等式兩邊是齊次的,即比例之和為常數(shù),故只需要在相似的背景中就能得到相同的結(jié)論. 所以這是基于對問題的深刻理解所做出的決策. 這種三角換元思想,在后續(xù)的學(xué)習(xí)中非常重要,其目的還是消元.
有學(xué)生會覺得奇怪,DP的長都確定了,那么圖形也應(yīng)該是確定的,談何變化?事實(shí)上,即使DP的長是確定的,這個矩形依舊是無法確定的,那么確定這個矩形還需要兩個條件嗎?其實(shí)不然,因?yàn)槿鬉B的長確定,則△ABP確定,則整個矩形也確定了. 所以只需設(shè)一個變量,可以依舊設(shè)角度,若設(shè)邊長則需要較強(qiáng)的代數(shù)變形能力. 不妨以∠PBC作為變量進(jìn)行研究.
PD的長應(yīng)是一個關(guān)于角[α]的函數(shù),最后卻未出現(xiàn)角[α],是因?yàn)閟in2[α]和cos2[α]的系數(shù)相等,所以合并后變成一個常數(shù). cos2[α]+sin2[α] = 1這個公式是很多定值問題的根源,當(dāng)然其本質(zhì)是運(yùn)用勾股定理和平面圖形的特征解決問題. 通過配湊系數(shù),使得sin2[α]和cos2[α]合并后為定值,就出現(xiàn)很多定值問題.
例3? 如圖5,扇形OAB的半徑[OA=3,] 圓心角[∠AOB=90°,] 點(diǎn)C是[AB]上異于點(diǎn)A,B的動點(diǎn),過點(diǎn)C作[CD⊥OA]于點(diǎn)D,作[CE⊥OB]于點(diǎn)E,連接DE,點(diǎn)G,H在線段DE上,且[DG=GH=HE.] 求證:[CD2+3CH2]是定值.
例3中同樣是一個已知對角線的矩形. 只需設(shè)一個變量,即設(shè)[∠CED=α.] 若分別設(shè)矩形的兩邊長,然后利用勾股定理得到一個方程,同樣可以解決問題. 但設(shè)邊長是一個先增元再消元的過程,如果在表示上沒有很明顯的便利,那么無需增元. 設(shè)一個變量其實(shí)是從函數(shù)的觀點(diǎn)去解圖形,能從本質(zhì)上理解它的變化過程.
所證結(jié)論中[CH2]的系數(shù)3是怎么來的?不妨設(shè)[CD2+][tCH2]是定值,則有[9+tsin2α+4tcos2α]是定值,所以[9+t=4t.] 解得[t=3.] 更一般地,設(shè)點(diǎn)H為DE靠近點(diǎn)E的k等分點(diǎn),根據(jù)上面的分析很容易得到[t=][kk-2k≥3.]
通過以上3道例題可以清晰地看到,從函數(shù)的視角出發(fā),通過“設(shè)元—表示—消元”能較好地發(fā)現(xiàn)和解決定值問題. 借助三角函數(shù)有時則會更有效、更便捷. 從代數(shù)上看它是一種換元法,從幾何上看它是二維的量,包含了比線段更多的信息.
此外,這種代數(shù)消元的方法意義深遠(yuǎn),解析幾何就是用代數(shù)的方法來研究幾何圖形的特征. 高中圓錐曲線的內(nèi)容經(jīng)常會涉及求定點(diǎn)、定直線的問題. 例如,“拋物線簇[y=x2-2m+1x+2-m]必過哪個定點(diǎn)”“其頂點(diǎn)的運(yùn)動軌跡又是什么”等問題,其本質(zhì)都是消元.
二、幾何理解的本質(zhì)是結(jié)構(gòu)
從某種程度上講,幾何問題可以分為定量幾何和定性幾何. 定量幾何主要借助面積法、勾股定理、相似三角形和三角函數(shù)等方法,計算的比重較大. 如前面所述,往往可以借助代數(shù)的方法解決幾何問題. 而定性幾何主要解決“等”與“不等”的問題,依賴于平面的結(jié)構(gòu)——對稱性和平行性. 本文反其道而行之,先采用代數(shù)方法求解,后利用幾何解釋的方法來解決定值問題.
下面的例4和例5,無論是條件還是結(jié)論都很類似,那么它們背后的秘密又是什么呢?
對于例4和例5,通過代數(shù)法都能很好地解決問題,這說明代數(shù)法是解決定值問題的一種通法. 然而對于幾何定值問題,它的“定”必然是源于其幾何基本圖形的結(jié)構(gòu),這些基本圖形的結(jié)構(gòu)精簡質(zhì)樸地反映了平面的結(jié)構(gòu)——對稱性和平行性. 以上兩道例題的解決最終都可以歸結(jié)到等腰三角形的軸對稱性和平行線的平行性(等價于三角形內(nèi)角和為180°)上. 對于平面幾何的學(xué)習(xí),既是學(xué)習(xí)邏輯嚴(yán)密的幾何推理,又是通過數(shù)學(xué)的語言來理解和刻畫現(xiàn)實(shí)平面的特征. 若對于練習(xí)題的選擇和求解,教師能站在這一高度去看,能加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).
下面的例6也是一個典型的例子,用以說明隱藏于定值背后的幾何意義.
例6? 如圖11,AB是[⊙O]的直徑,E是半圓上一動點(diǎn)(點(diǎn)E與點(diǎn)A,B都不重合),點(diǎn)C是BE延長線上一點(diǎn),且[CD⊥AB,] 垂足為點(diǎn)D,CD與AE交于點(diǎn)H,點(diǎn)H與點(diǎn)A不重合. 若[CD=AB=2,] 求[HD+HO]的值.
圖11是一個隨著點(diǎn)D的位置變化而變化的動態(tài)圖形. 點(diǎn)D和點(diǎn)C的軌跡均是線段,點(diǎn)E的軌跡是半圓,那么點(diǎn)H的軌跡是什么呢?帶著這樣的思考,以點(diǎn)O為原點(diǎn),OB為x軸,過點(diǎn)O作垂直于OB的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系. 設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為H[x,y],則[OD=][x.] 根據(jù)三角形相似,易求得[HD=1-x22],所以[y=1-x22,]所以點(diǎn)H的運(yùn)動軌跡是拋物線的一部分. 此拋物線的頂點(diǎn)為[0, 12,] 焦點(diǎn)為[0,0,] 準(zhǔn)線為直線[x=1.] 根據(jù)拋物線的幾何意義,OH的長等于動點(diǎn)H到直線[x=1]的距離,所以[OH+HD]等于點(diǎn)D到直線[x=1]的距離. 顯然[OH+HD]是定值. 此時,恍然大悟,此定值來源于拋物線的幾何意義:拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離.
三、結(jié)束語
從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程來看,幾乎所有的數(shù)學(xué)知識都需要經(jīng)歷應(yīng)用的過程,其目的是促使學(xué)生理解概念,使所學(xué)知識能夠融會貫通,而這主要是通過解題練習(xí)來完成的. 如果說解題是一場學(xué)生與命題人的博弈,那么教師的角色是什么?首先,教師需要充當(dāng)一個“開鎖匠”,要教給學(xué)生一種解題方法,并找到解決同類問題的鑰匙;其次,教師需要充當(dāng)一個解密者,用以傳達(dá)命題人的命題方法與思想,講出題目背后的故事;最后,教師需要充當(dāng)一個傳播者,來傳播數(shù)學(xué)之美,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的無窮力量. 筆者認(rèn)為這就是所謂的“師者,所以傳道授業(yè)解惑也”.
數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的學(xué)科. 在日常教學(xué)中,教師不斷呼吁要加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想方法,也時常引用著名數(shù)學(xué)家華羅庚的名言“數(shù)缺形時少直觀,形缺數(shù)時難入微”,但又局限于沒有好的素材,沒有細(xì)致到位的講解. 而定值問題能夠集代數(shù)、幾何眾多知識點(diǎn)于一體,滲透分類討論、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、方程及函數(shù)思想,綜合性較強(qiáng),是典型的探究性習(xí)題. 讓學(xué)生在“數(shù)”與“形”的海洋中暢游,既能很好地解決問題,又能很好地加深理解.
總之,無論是代數(shù)還是幾何,在解決問題時都需要在一般觀念的引領(lǐng)下去思考. 例如,如何研究量與量之間的依賴關(guān)系?幾何性質(zhì)研究的是什么?幾何問題背后的代數(shù)特征是什么?代數(shù)問題背后的幾何結(jié)構(gòu)又是什么?圍繞這些真正的數(shù)學(xué)問題,開展有“數(shù)學(xué)含金量”的教學(xué)活動,促使學(xué)生在獨(dú)立思考的過程中形成數(shù)學(xué)的思維方式,學(xué)會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)思維思考世界、用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.
參考文獻(xiàn):
[1]李玉榮. 走進(jìn)幾何的定值問題[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)(初中版),2011(4):57-60.
[2]劉運(yùn)宜. 幾何中定值問題的證明[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志,2009(4):26-27.
[3]王紅權(quán),李馨. 一個常見平面幾何題的拓展與應(yīng)用[J]. 中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2018(6):34-37.
[4]章建躍. 研究三角形的數(shù)學(xué)思維方式[J]. 數(shù)學(xué)通報,2019,58(4):1-10.